Funciones trigonométricas y sus gráficas

Comenzaremos definiendo las funciones trigonométricas básicas.

El cual es “Punto terminal”

Pero para esto, utilizaremos un concepto nuevo (en

función de lo ya aprendido).

Definición:Sea la medida de un ángulo en posición normal y sea el punto de intersección de la circunferencia unitaria y el lado terminal del ángulo.

𝑡∈ℝ ,𝑡¿

𝑡𝑡

𝑃 (𝑡)se llama punto

terminal del ángulo.

𝑃 (𝑡)

Coseno

Seno

Tangente

Listo, ahora podremos definir 3 nuevas

funciones que llamaremos “funciones trigonométricas”, las cuales son:

Definición:

Se define la función COSENO, como aquella que asocia a cada la abscisa del punto terminal

𝑡∈ℝ𝑃 (𝑡)

Donde Coseno es la abscisa de , indicada por la flecha naranja

𝑃 (𝑡)

cos :ℝ→ [−1,1 ]¿

𝑃 (𝑡)

𝑡

Definición:

Se define la función SENO, como aquella que asocia a cada la ordenada del punto terminal

𝑡∈ℝ𝑃 (𝑡)

𝑃 (𝑡)

sen :ℝ→ [−1 ,1 ]¿

𝑃 (𝑡)

𝑡

Donde Seno es la ordenada de , indicada por la flecha naranja

Entonces podemos escribir las coordenadas del punto terminal en función del seno y coseno…

¿

𝑡𝑡

𝑃 (𝑡)

¿Cómo crees que sería?

Definición:

Se define la función TANGENTE, como el cociente entre las funciones seno y coseno.

Donde, Y su dominio es el conjunto A:

t g : A⊆ℝ→ℝ¿

Observación importante:

Como observas, el dominio de la función tangente no está definido para los valores

múltiplos impares de . Esto sucede porque para estos valores, el

coseno toma valor 0. Luego como recordarás, la división por 0 no se puede

realizar.

¿Interesante no? Veamos otras cosas de utilidad

Valores positivos y negativos de las funciones coseno, seno y tangente

𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) +¿ 𝒕𝒈(𝒕) ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿ ¿

𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) ¿

− ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿

Estos valores nacen a partir de la definición. Recuerda que el coseno viene dado por la

abscisa y el seno por la ordenada

𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) +¿ 𝒕𝒈(𝒕) ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿ ¿

𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) ¿

− ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿

Si te es muy complicado

recordarlo. Aprende esta nemotecnia:

“Todas son tacos”

Te invito a deducir de donde nace (Pista: tienen que ver los valores

positivos)

Poniendo en práctica lo de la clase anterior, podemos generar la siguiente tabla de valores de las funciones trigonométricas para ciertos

ángulos:

¿Te diste cuenta que la primera fila era igual a la última?

¿Entonces qué pasará cuando el ángulo sea de 720° ?

Porque las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de dar una

vuelta completa a la circunferencia unitaria.

Very well! tienes toda la razón.Se repetirán los valores

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Conozcamos las variaciones que puede tener la función

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Si aumentamos en una unidad el argumento, la curva se desplaza hacia la izquierda en la misma cantidad.

𝑐𝑜𝑠(𝑥+1)

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Si disminuimos en dos unidades el argumento, la curva se desplaza hacia la derecha en la misma cantidad.

𝑐𝑜𝑠(𝑥−2)

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Si el coseno de x lo aumentamos en una unidad, la curva se desplaza hacia arriba en la misma cantidad.

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )+1

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Si multiplicamos la función coseno de x por una constante positiva, amplificamos (o reducimos si es menor que 1) la función

tantas veces como sea la constante.

2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )

Gráfica de función coseno

𝑐𝑜𝑠(𝑥 )

Si multiplicamos la función coseno de x por -1, se obtiene una función idéntica a coseno reflejada sobre el eje x.

−𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )

Ahora te toca a ti

Grafica la función

Yo se que puedes lograrlo!

3𝑐𝑜𝑠(𝑥−2)

Indicación: Si te cuesta mucho, intenta darte valores de x entre y , y con tu calculadora observa qué valores obtienes por resultado al sustituirlos en la función que debes graficar.Teniendo estos puntos puedes ingresarlos al plano cartesiano y generar la gráfica

Gráfica de función seno

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

La función seno tiene las mismas variaciones que la función coseno

Gráfica de función tangente

𝑡𝑔(𝑥)

Como dije anteriormente, las funciones seno y coseno

tienen las mismas variaciones que la función

coseno. Por lo tanto ahora tu deberás comprobarlas en la guía que sigue a esta clase.

Estoy seguro que no te será problema

Entonces ahora vamos por la guía