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kei-kawamura
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カメラによる射影と逆射影
2視点幾何と2重線形拘束
3視点幾何と3重線形基本拘束
4視点幾何と4重線形基本拘束
3視点拘束と4視点拘束
まとめ
2010-07-19 Computer Vision: A State-of-the-Art, 4 2/20
射影の導出
空間中の点
画像中の点
画像と空間の射影関係
空間中と画像中の点の関係
画像中の直線
点を通る直線の拘束条件
空間中の点を通る平面の拘束条件
画像中の直線を通る平面
2010-07-19 Computer Vision: A State-of-the-Art, 4 4/20
2視点幾何と2重線形拘束
私的考え方– 2枚の画像における特定の2点を一致させる射影行列を作るのは簡単
– 2枚の画像における,任意の2点を常に一致させる射影行列は難しい=拘束条件
私的手順– 画像中の点を特定するには,2本の直線が必要
– 空間中の点を特定するには,4枚の平面が必要
– 4枚の平面の交点が一致すれば良い
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2重線形拘束の導出(1/2)
目標
まずは,直線の交点
次に,平面の交点
さらに,平面を直線と射影に変換
2010-07-19 Computer Vision: A State-of-the-Art, 4 7/20
Levi-Civitaの記号@物理屋さんエディントンのイプシロン@数学屋さん
2重線形拘束の導出(2/2)
改めて,平面の交点が一致
並べ替えると
改めて,点と直線の関係,および特殊なテンソルより
直線のテンソルを消去して整理すると
目標達成!
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補足
2重線形拘束はエピポーラ拘束とも呼ばれる
は
– 基礎行列(fundamental matrix)
– 2焦点テンソル(bifocal tensor)
2台のカメラを射影的に校正することと同じ
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小休止
多重線形拘束の導出
– 4枚の平面が,1点で交差すること
– 平面の作り方は自由だが,4枚に限定される
予告
– 適当な平面から拘束条件を導出
– 平面の作り方に応じて複数の拘束タイプを列挙
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3重線形拘束の導出
平面の交点が一致する
4直線に関するテンソル表記の拘束式に変換
2直線を点に関する拘束式に変換
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目標達成!
を3焦点テンソルと呼ぶ
4重線形拘束の導出
平面の交点が一致する
4直線に関するテンソル表記の拘束式に変換
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目標達成!
を4焦点テンソルと呼ぶ
別式の立て方
直線 の自由度
– 点 を通過すれば良い
– 他点 を通過すると考える
導出
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直線と2点の関係
直線を点に関する拘束式に変換
は任意でよいので,他の項が0のはず
3視点拘束
対応 線形拘束 独立な式の数
3点 4
2点1直線 2
1点2直線 1
3直線 2
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対応 線形拘束 独立な式の数
4点 16
3点1直線 8
2点2直線 4
1点3直線 2
4直線 1
4視点拘束
2010-07-19 Computer Vision: A State-of-the-Art, 4 17/20
自由度
カメラ行列 11
3次元射影変換 15
2視点 11x2-15=7
– 2焦点テンソル 3x3=9
3視点 11x3-15=18
– 3焦点テンソル 3x3x3=27
4視点 11x4-15=29
– 4焦点テンソル 3x3x3x3=81
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まとめ
多視点幾何における拘束条件の導出
– 拘束条件をテンソル表記で記述
– 平面4枚の交点が一致する拘束
– 平面の作り方による複数タイプの存在
– 自由度の列挙
テンソルってもしかしてすごい便利かも!?
2010-07-19 Computer Vision: A State-of-the-Art, 4 19/20