Conjuntos numéricos, mdc e mmc

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Professor: Rômulo Garcia Email: [email protected] Conteúdo Programático: Conjuntos Numéricos, mdc e mmc

"Se as condições forem favoráveis, venceremos. Se as condições forem desfavoráveis, ainda assim

venceremos. E se, de tudo, as condições forem totalmente desfavoráveis mesmo assim estaremos no páreo."

Ayrton Senna Módulo 1 - Conjuntos Numéricos a) Os Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, ...} N* = {1, 2, 3, ...} b) Os Inteiros (Z): O conjunto dos inteiros é dado por números que expressam quantidades positivas (+) e negativas (-). No caso das quantidades negativas, podemos entendê-las como uma falta de algum objeto. Z = {...–1,0,1,...}. Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos) Z+

* = {1, 2, 3, ...} (inteiros positivos) Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) Z-

* = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros negativos) Para melhor entender a parte negativa dos inteiros veja a seguinte situação: Pedro tinha 3 reais mas devia a Aline 5 reais, pagou os 3 que possuía e ainda ficou devendo 2. Logo ficou com – 2 reais. • Números Primos e Compostos: Um número inteiro positivo (diferente de 1) é dito primo quando admiti somente

dois divisores positivos: a unidade e ele mesmo. Obs: Se um número possuir mais de dois divisores então ele é chamado de composto. c) Os Racionais (Q): É todo número que pode ser escrito na forma de uma fração com o numerador sendo um nº inteiro e o denominador um número inteiro não nulo. Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Q = {a/b; a∈ Z e b ∈ Z*} Exemplos:

a) 5 = �� =

��

b) – 2 = �

�� =

��

c) 4,23 = ��

d) 1,1666... =

Observe que os números naturais, inteiros, decimais exatos e as dízimas periódicas são exemplos de números racionais. Fração geratriz de uma dízima periódica: Exemplos:

a) 0,72727272... = ��

72: período

b) 2,235235235... = 2 , ��235235... = ��

�� =

��

235: período

c) 21,92646464... = 21, �� 6464... = ��

�� =

��

64: período


92: anti-período

d) 902,034222222... = 902, ��!!�!!� ��22222... =

2: período 034: anti-período Regra prática para determinar a fração que gerou uma determinada dízima periódica.Numerador: escreva o número até o fim do período e Denominador: para cada algarismo do período, um algarismo 9, e para cada algarismo do anti d) Os Irracionais (I ou R – Q) e os Reais (R):√2 = 1,4142135... √3 = 1,7320508...

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo dequadrada de 3. Um número irracional bastante conhecido é o número

Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale E quanto é ?

Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamánúmero racional. Por este motivo houve a necessidade de cracionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é

representado por . As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.Por exemplo:

Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados

de números irracionais.

Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número

irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

Todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o n

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irraccomo:


22222... = ��

�� =

��

��

Regra prática para determinar a fração que gerou uma determinada dízima periódica. : escreva o número até o fim do período e subtraia pelo número que aparece antes desse período.

: para cada algarismo do período, um algarismo 9, e para cada algarismo do anti

Q) e os Reais (R):

são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadr

onal bastante conhecido é o número π =3,1415926535...

Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .

exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamánúmero racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números

se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é

As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.


ero também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão =3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

ados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais

subtraia pelo número que aparece antes desse período. : para cada algarismo do período, um algarismo 9, e para cada algarismo do anti-período, um algarismo 0.

são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz

exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de

se mais um conjunto. Que, por oposição aos números se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao

contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é


ero também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão úmero de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

ionais, definimos o conjunto dos números reais


(Obs.: Essa representação é equivocada, pois dá a entender que além dos números naturais estarem contidos nos inteiros, o conjunto dos números inteiros possui mais elementos que os naturais. E isso não é verdade!. Os dois têm a mesma cardinalidade – “tamanho” – e essa representação usada por muitos autores é incorreta e, para nós aqui, é meramente ilustrativa)

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos

importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

• Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

• Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Módulo 2 – Múltiplos e Divisores

Múltiplos de um número M(a):

Chamamos de múltiplos de um número a e representamos por M(a) ao conjunto formado quando se efetua o produto de a por todos os inteiros. Assim: M(5) = {.., -5, 0, 5, 10, ...} são os múltiplos de 5. Obs1: zero é múltiplo de qualquer número. Obs2: um produto é zero quando ao menos um de seus fatores é zero (principio do anulamento do produto).

Divisores de um número D(a):

Chamamos de divisores de um número a e representamos por D(a) ao conjunto formado por todos os inteiros que dividem o a.

Divisor de um número é todo aquele que o divide exatamente. Um número é divisível por outro se o resto da divisão for igual a zero. Assim: D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} são os divisores de 12.

Obs1: um é divisor de qualquer número Obs2: zero não é divisor de ninguém: “Jamais dividiras por zero” (1º mandamento da matemática). Obs3: todo número é divisível por si mesmo. • Queremos saber quantos são os divisores positivos de um número α. Para isso decompomos α em um produto de fatores primos: α = 2β1. 3β2, 5β3... . O número de divisores positivos de α é dado por:

(β1 + 1) . (β2 + 1) . (β3 + 1). ....

Ex1: Calcule o número de divisores positivos de 24. Solução: Temos que 24 = 23 . 31. O número de divisores de 24 é dado pelo produto (3+1).(1+1) = 4 x 2 = 8


Ex2: Calcule o número de divisores de 360 Solução: 360 = 23 . 32 . 51, logo o número de divisores positivos de 360 é dado pelo produto (3+1) . (2+1). (1+1)= 4 x 3 x 2 = 24 divisores positivos. Como o número de divisores positivos é igual ao de divisores negativos temos um total de 48 números divisores 360. Módulo 3 - Máximo Divisor Comum (MDC)

Podemos determinar o m.d.c. de dois números, dividindo-se o maior pelo menor deles. Se a divisão não for exata, dividi-se o menor pelo resto e assim sucessivamente. O último divisor será o m.d.c.

O m.d.c é dado pelo produto dos fatores comuns com menores expoentes. Obs: quando dois ou mais números admitirem somente a unidade como divisor comum eles serão chamados de

primos entre si. Ex.: Determine o m.d.c entre 12, 18, 30 12, 18, 30 2 6, 9, 15 3 2, 3, 5 2.3 = 6 = MDC (observe que usamos na coluna da direita apenas os fatores primos que dividem,

AO MESMO TEMPO, todos os números da coluna da esquerda) É bom lembrar que 6 é o maior número natural “que separa em partes” os valores 12, 18 e 30.

Módulo 4 - Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O m.m.c é dado pelo produto dos fatores comuns e não-comuns com maiores expoentes. 12, 18, 30 2 6, 9, 15 2 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 22.32.5 = 180 = MMC (observe que usamos na coluna da direita os fatores primos que dividem,

PELO MENOS UM, dos números da coluna da esquerda) É bom lembrar que 180 é o menor número natural que ao ser dividido pelos valores 12, 18 e 30 deixam resto

zero. Importante: m.d.c. (a,b). m.m.c (a,b) = | ab |

Exercícios resolvidos:

1) Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?

Devemos encontrar o MDC entre 156 e 254, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado.

Decomposição em fatores primos 234 = 2 * 3 * 3 * 13 156 = 2 * 2 * 3 * 13 MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78

Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.


2) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

Decomposição em fatores primos: 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 36 = 2 * 2 * 3 * 3 30 = 2 * 3 * 5 MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6 Determinando o número total de equipes: 48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 3) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro. 4) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos? Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.

MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6 O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.

Exercícios:

1) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a a) 32 b) 30 c) 24 d) 18 e) 16


2) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que: a) todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade; b) todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos; c) cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número compreendido entre: a) 10 e 20 b) 20 e 30 c) 30 e 40 d) 40 e 50 e) 50 e 60 3) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que todos os agentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de agentes por equipe será a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 4) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2.

Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 147

5) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em a) 9 de dezembro de 2010. b) 15 de dezembro de 2010. c) 14 de janeiro de 2011. d) 12 de fevereiro de 2011. e) 12 de março 2011. 6) Duas polias conectadas por uma correia têm comprimentos de 12 cm e 22 cm.

O menor número de voltas completas que a polia menor deve dar para que a polia maior dê um número inteiro de voltas é a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 7) Um agente administrativo foi incumbido de tirar cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as páginas do texto aparecem destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, o número de páginas que serão impressas sem essa falha é a) 226 b) 225 c) 224 d) 223 e) 222

8) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi a) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/02

9) Analise as afirmativas a seguir:


Assinale: a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

10) Se a fração irredutível é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b : a) 670 b) 1809 c) 2010 d) 590 e) 540 11) O texto seguinte é um extrato do testamento do senhor Astolfo:

Deixo da quantia que tenho no Banco à minha única filha, Minerva, e o restante à criança que ela está esperando, caso seja do sexo feminino; entretanto, se a criança que ela espera for do sexo masculino, tal quantia deverá ser igualmente dividida entre os dois." Considerando que, 1 mês após o falecimento de Astolfo, Minerva teve um casal de gêmeos, então, para que o testamento de Astolfo fosse atendido, as frações da quantia existente no Banco, recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente:

a) b) c) d) e)

12) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a a) 6480 b) 6686 c) 6840 d) 5584 e) 596016

13) Seja N um número inteiro positivo, no qual x é o algarismo das centenas, y o das dezenas e z o das unidades. Se y > 5, z < 6 e 36x + 9y + z = 347, então a) N < 500 b) 500 < N < 600 c) 500 < N < 700 d) 700 < N < 800 e) N > 800 14) Uma loja vende certo artigo por 15 reais. Em uma promoção, o preço de venda desse artigo foi baixado para x reais e isso fez que todas as n unidades em estoque, que não eram mais do que 30, fossem vendidas. Se com a venda das n unidades foi arrecadado o total de 253 reais e sendo x um número inteiro, então n - x é igual a a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 14

15) Sejam x e y números reais dados por suas representações decimais

Pode-se afirmar que: a) x + y = 1 b) x - y = 8 / 9 c) xy = 0,9 d) 1 / ( x + y ) = 0,9 e) xy = 1 Gabarito: 1) E 2) B 3) D 4) B 5) D 6) E 7) C 8) D 9)E 10) A 11) D 12) E 13) E 14) D 15) C

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