1

Théorème Soit a un réel fini ou infinie

aulim nn

=+∞→

, si et seulement si, aulim n2n

=+∞→

et aulim 1n2n

=++∞→

Théorème Toute suite convergente est bornée.

Théorème Soit ℓ et 'ℓ deux réels.

Soient )u( n et )v( n deux suites convergentes respectivement vers ℓ et 'ℓ .

• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≥ , alors 0≥ℓ

• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≤ , alors 0≤ℓ

• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : Mum n ≤≤ , alors Mm ≤≤ ℓ

• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : nn vu ≤ , alors 'ℓℓ ≤

Convergence et divergence

• Si

croissanteest)u(

majoréeest)u( alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≤nu

• Si

tedécroissanest)u(

oréeminest)u( alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≥nu

• Si

majoréenonest)u(

croissanteest)u( alors +∞=

+∞→n

nulim

• Si

oréeminnonest)u(

tedécroissanest)u( alors −∞=

+∞→n

nulim

Calcul de limite

• Si

ℓ

ℓ

encontinueestf

verseconvergentest)u( alors ( ) )(fuflim n

nℓ=

+∞→

• Si

=

=

→

+∞→e)x(flim

)iniinfoufini(ulim

n

nn

ℓ

ℓℓ alors ( ) euflim n

n=

+∞→

Soit (u) la suite définie par ( )n1n ufu =+

• Si

ℓ

ℓ

encontinueestf

verseconvergentest)u( alors )(f ℓℓ =

Suite adjacente

• Si

( )

=−

≤∈∀

+∞→0vulim

tedécroissanest)v(etcroissanteest)u(

vuIn

nnn

nn

nn

alors )u( n et )v( n convergent vers le même

limite

Théorème d’encadrement

• Si

==≤≤≥∈∃

+∞→+∞→ℓn

nn

n

nnn00

wlimvlim

wuv:nn/Nn alors ℓ=

∞→n

nulim

• Si

=≤≥∈∃

+∞→0vlim

vu:nn/Nn

nn

nn00 alors 0ulim n

n=

∞→

Fiche de cours 4ème Maths

Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

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2

• Si

+∞=≥≥∈∃

+∞→n

n

nn00

wlim

wu:nn/Nn alors +∞=

∞→n

nulim

• Si

−∞=≤≥∈∃

+∞→ nn

nn00

vlim

vu:nn/Nn alors −∞=

∞→n

nulim

Suite arithmétique – Suite géométrique

( ) ( )

{ }

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

++

+

=

+=

=

=

=

+

+∞→+∞→

+∞→

−

++

−−=+++=•

−−=+++=•

−∈

++−=+++=•

++=+++=•

+=+++=•

+=+++=•

−≤>∞+=

<<−

=

=

+∞=

⇒≠⇒−≠−

=−+==+=

=+=

n

pk

1npn1ppk

1nn1

n

0k

k

*

npn1pp

n

pk

k

n

0k

n0n10k

n

0k

n

0k

xfois1n

n

n

n

n

0

1

1

20112

spspsp

n0n0n

n1nn1n

q1

qqq...qqq

q1

q1q...q1q

1Rqtoutpour

2

)uu)(1pn(u...uuu

2

)uu)(1n(u...uuu

2

)1n(nn...21k

x)1n(x...xxx

1qsipasexiste'n

1qsi

1qsi1

1q1si0

qlim0

n

1lim

nlim

g.snonvv

v

v

va.snonuuuuu

qvvr)sp(uu

qvvnruu

qvvruu

***g.segéométriquSuite******a.suearithmétiqSuite***

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