1. Cuadratura de Gauss CLASE 14 23-JULIO-2014

2. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados Describiremos una tcnica denominada de los Coeficientes indeterminados para obtener frmulas de integracin numrica. El procedimiento consiste en proponer una frmula conteniendo algunas incgnitas. Esta formula es aplicada a casos conocidos con el propsito de obtener ecuaciones, de las cuales se determinan los valores para las incgnitas. 3. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados Describiremos una tcnica denominada de los Coeficientes indeterminados para obtener frmulas de integracin numrica. Como ejemplo se usa este mtodo para obtener una frmula de tres puntos espaciados en h: 0 2 0 2 4. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados Formula propuesta = 0 2 = 0 0 + 1 + 2 (2) Deben determinarse los coeficientes 0, 1, 2. Para obtenerlos, se usaran tres casos con polinomios de grado 0, 1 y 2 con los cuales que se cumpla la formula. Es suficiente considerar la forma mas simple del caso: 5. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados 1. = 1, = 0 2 1 = 2 = 0 0 + 1 + 2 2 = 0 1 + 1 1 + 2 1 0 + 1 + 2 = 2 2. = , = 0 2 = 22 = 0 0 + 1 + 2 2 = 0 0 + 1 + 2 2 1 + 22 = 2 6. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados 3. = 2 , = 0 2 2 = 83 3 = 0 0 + 1 + 2 2 = 0 0 + 1 2 + 2 42 1 + 42 = 8 3 Resolviendo las tres ecuaciones resultantes se obtienen: = , = , = 7. Obtencin de frmulas de integracin numrica con el mtodo de coeficientes indeterminados Reemplazando en la formula propuesta se llega a la conocida formula de Simpson = + + () La obtencin de la implica que es exacta si es un polinomio de grado menor o igual a dos. Para otra , ser una aproximacin equivalente a sustituir por un polinomio de grado dos. 8. Cuadratura de Gauss La formulas de Newton-Cotes estudiadas utilizan polinomios de interpolacin construidos con puntos fijos equidistantes. Estas formulas son exactas si la funcin es un polinomio de grado menor o igual al polinomio de interpolacin respectivo. Si se elimina la restriccin de que los puntos sean fijos y equidistantes, entonces las formulas de integracin contendrn incgnitas adicionales. 9. Cuadratura de Gauss La cuadratura de Gauss propone una formula general en la que los puntos incluidos no son fijos como en las formulas de Newton-Cotes: = = + + + Los puntos 0, 1, , son desconocidos. Adicionalmente tambin deben determinarse los coeficientes 0, 1, , El caso simple es la formula de dos puntos. Se usa el mtodo de los coeficientes indeterminados para determinar la cuatro incognitas. 10. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Formula propuesta = = 0 0 + 1 (1) Por simplicidad se usar el intervalo 1, 1 para integrar. Mediante una sustitucin al caso general: = 1 1 = 0 + 1 (1) Habiendo cuatro incgnitas se tomarn cuatro casos en los que la frmula sea exacta. Se usarn polinomios de grado 0, 1 , 2 3. Es suficiente considerarlos en su forma ms simple: 11. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos 1. = 1, = 1 1 1 = 2 = 0 0 + 1 1 = 0 1 + 1 1 2 = 0 + 1 2. = , = 1 1 = 0 = 0 0 + 1 1 = 0 0 + 1 1 0 = 0 0 + 1 1 3. = 2 , = 1 1 2 = 2 3 = 0 0 + 1 1 = 0 0 2 + 1 1 2 2 3 = 0 0 2 + 1 1 2 4. = 3 , = 1 1 3 = 0 = 0 0 + 1 1 = 0 0 3 + 1 1 3 0 = 0 0 3 + 1 1 3 12. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Se genera un sistema de cuatro ecuaciones no lineales. Una solucin para este sistema se obtiene con facilidad mediante una simple sustitucin: Los valores 0 = 1 = 1 satisface a la ecuacin (1) De la ecuacin (2) se tiene 0 = 1. Esto satisface tambin a la ecuacin (4) 13. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Finalmente sustituyendo 0 = 1 en la ecuacin (3): 2 3 = 1 1 2 + (1) 1 2 se obtiene: 1 = 1 3 , entonces, 0 = 1 3 y se reemplazan en la formula propuesta. 14. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Definicin: Frmula de cuadratura de Gauss con dos puntos = 1 1 = 0 0 + 1 1 = 1 3 + 1 3 Esta simple frmula es exacta si es un polinomio de grado menor o igual a tres. Para otra es una aproximacin equivalente a sustituir con un polinomio de grado tres. 15. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Ejemplo. Calcule = 1 1 23 + 2 1 = 1 1 = 1 3 + 1 3 = 2 1 3 3 + 1 3 3 1 + 2 1 3 3 + 1 3 3 1 = 4 3 La respuesta es exacta pues es un polinomio de grado 3. 16. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Mediante un cambio de variable se extiende la frmula al caso general: = = 0 0 + 1 1 Sea = 2 + + 2 Se tiene que = 1 = , = 1 = , = 2 Sustituyendo se tiene 17. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Definicin: Formula de Cuadratura de Gauss para dos puntos = = 2 1 1 2 + + 2 = 2 1 3 + 1 3 Esta simple frmula es exacta si es un polinomio de grado menor o igual a tres. Para otra es una aproximacin equivalente a sustituir con un polinomio de grado tres. 18. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Ejemplo Calcule = 1 1 23 + 2 1 19. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Solucin Analtica = 1 1 = 1 3 + 1 3 = 2 1 3 2 + 1 3 2 1 + 2 1 3 2 + 1 3 2 1 = 4 3 La respuesta es exacta pues es un polinomio de grado 3. 20. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Mediante un cambio de variable se extiende la formula al caso general: = = 0 0 + 1 1 Sea = 2 + + 2 Se tiene que = 1 = , = 1 = , = 2 Sustituyendo se tiene 21. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Definicin: Frmula general de Cuadratura de Gauss para dos puntos: = = 2 1 1 2 + + 2 = 2 1 3 + 1 3 22. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Ejemplo: Calcule = 1 2 con la frmula de la cuadratura de Gauss con dos puntos 23. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Solucin Analtica = 2 + + 2 = 21 2 + 2+1 2 = 1 2 + 3 2 = = 2 1 1 2 + + 2 = 1 2 1 1 1 2 + 3 2 = 1 2 1 1 1 2 + 3 2 1 2 + 3 2 = 1 2 1 3 + 1 3 24. Frmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos Solucin Analtica = 1 2 1 2 3 + 3 2 1 2 3 + 3 2 + 1 2 3 + 3 2 1 2 3 + 3 2 = 7.3832 La respuesta exacta con seis decimales es 7.389056 25. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss . Use la funcin cgauss para calcular = 1 2 26. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss 27. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss Para mejorar la precisin de esta formula se le puede aplicar mas de una vez dividiendo el intervalo de integracin en sub-intervalos 28. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss Ejemplo. Aplique dos veces la cuadratura de Gauss en el ejemplo anterior = 1 2 = 1 + 2 = 1 1.5 + 1.5 2 Posteriormente corremos la funcin gauss en Matlab y aparecer lo siguiente 29. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss 30. Instrumentacin computacional de la cuadratura de Gauss Se puede dividir el intervalo en mas sub-intervalos para obtener mayor precisin. Conviene definir una funcin en MATLAB para determinar la precisin del resultado, comparando valores consecutivos, en base a la convergencia de la integral. 31. Instrumentacin extendida de la cuadratura de Gauss es la cantidad de sub-intervalos 32. Instrumentacin extendida de la cuadratura de Gauss Ejemplo. Aplicar sucesivamente la Cuadratura de Gauss incrementando el nmero de sub-intervalos hasta que la respuesta tenga cuatro decimales. 33. Instrumentacin extendida de la cuadratura de Gauss 34. Instrumentacin extendida de la cuadratura de Gauss En el ultimo se han usado 4 sub-intervalos. El valor obtenido tiene cuatro decimales fijos. Para obtener formulas de cuadratura de Gauss con mas puntos no es practico usar el mtodo de coeficientes indeterminados. Se puede usar un procedimiento general basado en la teora de polinomios ortogonales. 35. Integrales con limites infinitos Estas integrales se denominan integrales impropias del primer tipo. Ocasionalmente pueden ser de inters calcular integrales cuyos limites no se pueden evaluar en las formulas. Mediante alguna sustitucin deben reducirse a una forma simple eliminando estos limites impropios. 36. Integrales con limites infinitos Ejemplo. Calcule = 0 1+2 3 con la cuadratura de Gauss = 1,2,4 37. Integrales con limites infinitos Solucin Antes de la sustitucin conviene separar la integral en dos sub-intervalos = 0 1+2 3 = 0 1 1+2 3 + 1 1+2 3 = 1 + 2 1 se puede calcular inmediatamente con la cuadratura de Gauss Para 2 se hace la sustitucin = 1/ 38. Integrales con limites infinitos Solucin 0, = 1 = 1, = 1/2 = 0 1+2 3 = 1 0 1 1+1/2 3 2 = 0 1 4 1+2 3 Ahora se puede aplicar la cuadratura de Gauss 39. Integrales con limites infinitos 40. Integrales con limites infinitos 41. Integrales con limites infinitos Resultados calculados: = 1; = 1 + 2 = 0.6019 = 2; = 1 + 2 = 0.5891 = 4; = 1 + 2 = 0.5890 El ultimo resultado tiene un error en el orden de 0.0001 42. Integrales con limites infinitos