1. DAN ETWINNINGA ~ HISTORY OF MATH ~ Gordana Divi, prof. mentor Srednja kola Novska 7. svibnja 2015. 2. Mreno sjedite ili web platforma na kojoj surauju nastavnici iz raznih europskih drava Rade na zajednikim projektima (eTwinning i Erasmus+) Ukljuuju uenike u suradnju Struno se usavravaju (u vlastitoj zemlji ili inozemstvu) webinari, mreene edukacije, radionice profesionalnog razvoja i konferencije 3. YOUTH LEISURE TIME (2012./2013.) Kako mladi provode svoje slobodno vrijeme? panjolska, Italija, Hrvatska, Slovaka i Poljska 4. SCHOOL AS HOME (2013./2014.) Rumunjska, Ukrajina i Hrvatska Izraivali predmete prodavali ih Uredili kolu i njen okoli 5. HISTORY OF MATH eTwinning projekt Suraujemo s Grkom Istraujemo: razvoj matematike misli od Sumerana do modernog doba istaknute matematiare od Antike Grke do modernog doba 6. to smo napravili? Prezentacije (.ppt) kojima smo predstavili: Sebe kolu Grad 7. to smo napravili? Izabrali LOGO projekta 13 8. to smo napravili? Posjetili smo izlobu Volim matematiku 9. to smo napravili? Organizirali smo Veer matematike 10. to smo napravili? Razmijenili estitke za Boi Nae estitke u Grkoj Grke estitke kod nas 11. to smo napravili? Obiljeili Dan broja 12. to smo napravili? Kolege iz Grke posjetili su Tehniki muzej Antike Grke u Solunu 13. to smo napravili? Mjerili opseg Zemlje Eratostenov pokus Izraunali opseg Zemlje (39 635 km) Mjerili duljinu sjene kole Raunali visinu kole 14. ... and our outcome for Novska school is 8.322 m !!! Greek Team 15. and our outcome for Edessa school is , , Croatian Team 16. to smo napravili? Napisali dokumente (.doc i .ppt) o zadanim temama 17. to smo napravili? Predstavili projekt na upanijskom vijeu nastavnika matematike Sisako-moslavake upanije (22. travnja 2015.) 18. to smo napravili? Postavili smo izlobu plakata u hodniku kole 19. to radimo? Piemo na forumu TwinSpacea rjenik matematikih pojmova s grkim korijenom na: Engleskom Grkom Hrvatskom 20. to radimo? Zavravamo dokumente: Spajamo dokumente .doc u knjigu Prevodimo sve na engleski jezik Slaemo prezentacije na engleskom jeziku u jedinstvene, koje emo objaviti na TwinSpace-u TwinSpace projekta: http://twinspace.etwinning.net/490/home 21. Antonio Jakubek, 4.g 22. Nae prvo znanje o matematici dolazi od Egipana i Babilonaca Babilonska matematika je datirana za 4000 godina prije Krista zajedno sa Sumeranima u Mezopotamiji 23. Malo se zna o Sumeranima Prvi put je naseljen 4500 i 4000 godina prije Krista Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi Jo manje se zna o njihovoj matematici 24. Koristili su klinasto pismo, a pisali su na glinenim ploicama Koristili su preko 2000 znakova Slika 1. Sumerski zapis klinastim pismom 25. Razvili su heksagezimalni brojevni sustav koji su preuzeli Babilonci Babilonci, Asirci i Hiti su naslijedili sumerski zakon i knjievnost i vanije njihov nain pisanja Ono to smo od Sumerana zadrali do danas je podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minutu na 60 sekundi 26. Propau Sumerske civilizacije u Mezopotamiji razvija se Babilonska Od Sumerana su naslijedili klinasto pismo i heksagezimalni brojevni sustav Slika 2. Znamenke u Babilonskom brojevnom sustavu 27. Za prikaz brojeva koristili su 2 osnovna oblika: Nisu imali sumbol za nulu ili decimalnu toku pa je bilo teko tumaiti nalaz iz tog doba Slika 3. Babilonski simbol za broj 10 Slika 4. Babilonski prikaz za broj 1 ili 60 28. 40-ih godina prolog stoljea Njemaki povijesniari Otto Neugebauer i Abraham Sachs Primijetili kako reci na ploici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo Ureene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost a+b=c 29. Dokaz postojanja Pitagorine trojke tisuama godine prije pojave matematiara antike Grke Slika 5. Plimpton 322 30. Nalazite u Nipuru-naeno oko 50 000 glinenih ploica Svjedoe znatnom poznavanju matematike Slika 7. Nalazite u Nipuru 31. Izgraivali su nizove koji ukljuuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10 ,15...), kvadratne brojeve (1, 4, 9, 16, 25...) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50...) Slike 8. i 9. Prikazuju nizove brojeva 32. Primjer koritenja niza piramidalnih brojeva je slaganje municije u Calcutti i lako izraunavanje broja uladi Slika 10. Sloena municija u Calcutti 33. Egipat Ella Cink, 4.g 34. Moskovski papirus - otkriven je 1893., a autor je nepoznat - najvea dostignua egipatske geometrije - duine je oko pola metra i irine manje od 8 cm - uva se u Moskovskom muzeju 35. Moskovski papirus 36. Rhindov papirus 1858. otkrio ga je kotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru Napisao ga je pisar Ahmes oko 1600. pr. Kr. Dug je 6 metara , irok 30 cm, uva se u British Museumu u Londonu 37. Zbirka tablica i vjebi sa 87 matematikih problema U njemu se nalaze i najstariji poznati i sauvani zapis broja Rhindov papirus 38. Brojevi Egipani su koristili brojevni sustav s bazom 10 broj 1339 39. Zbrajanje Oduzimanje Mnoenje Dijeljenje 40. Razlomci Poznavali su samo jedinine razlomke Iznimka je bio 2/3 Razlomke su tvorili tako to su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1 41. Geometrija Za izgradnju piramida i hramova Egipani su morali imati dobro razvijenu geometriju i stereometriju Znali su raunati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide 42. Algebra Staroegipatska algebra bila je retorika problemi i rjeenja dani su rijeima Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, a u svojim raunima imali su mjeavinu jednostavnosti i kompliciranosti 43. MATEMATIKA ANTIKE GRKE Doroteja Luki, 3.g 44. temeljena na grkim tekstovima razvijena od 7. st. pr. Kr. do 4. st. po. Kr. du istonih obala Mediterana matematika grki mathema znanost koritenje opih matematikih dokaza i teorija 45. presjedali najvanijom i najdramatinijom revolucijom u matematici ikad osnovni cilj: shvaanje ovjekova mjesta u svemiru matematika dosegla najvii nivo razvitka poeli upotrebljavati papirus grki doprinos matematike u tri faze: 1. od Talesa i Pitagore do Demokrita 2. Euklidov sustav 3. Aleksandrijska faza 46. Tales osniva grke matematike nema dokumentiranih dokaza klasina filozofija pomogla da se rekonstruiraju tekstovi iz blieg perioda izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija itd. teko pratiti tijek povijesnog razvitka o grkoj matematici zakljuujemo pomou: manjih sastavnica i zapaanja filozofa i drugih autora 47. Grki brojevni sustav (oko 900. pr. Kr. 200. poslije Kr.) prvi zasnovan na poetnim slovima imena brojeva 48. drugi je upotrebljavao sva slova iz grkog alfabeta i tri iz fenikog baza 10 49. ideja dokaza i deduktivna metoda koritenja logikih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija dalo je matematici snagu osigurava da su dokazane teorije istinite postavilo temelje za sustavni pristup matematici Najvaniji doprinos Grka 50. PITAGORA Petra Kalanja, 2.g 51. Openito... prvi pravi matematiar roen na grkom otoku Samosu Tales ga je zainteresirao za matematiku otputovao je u Egipat oko 535. pr. Kr. osnovao je Pitagorejsku skolu danas ga svi znamo po Pitagorinom pouku 52. Kroz ivot... filozof u Egiptu hramski sveenik u Diospolisu zarobljenik u Babilonu oenio se u 60. godini gladovao do smrti najsavreniji broj 10 broj bit u filozofiji 53. Pitagorejska kola osnovana u Krotoni naglasak na tajnosti i zajednitvu Pitagorin pouak otkrie iracionalnih brojeva pet pravilnih geometrijaskih tijela 54. Pitagorin pouak povrina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbroju povrina kvadrata nad katetama 55. Pitagorine trojke 3, 4, 5 9+16=25 Egipatski trokut moemo dobiti jo beskonano mnogo Pitagorinih trojki tako to emo brojeve 3, 4 i 5 umnoavati istim brojem 6, 8 i 10 36+64=100 56. PLATON (428.-347.god. p.n.e.) -ivio i djelovao u Ateni -387. g.p.n.e. osnovao filozofsku kolu AKADEMIJU u kojoj se pouavala i matematika aritmetika, trigonometrija i planimetrija Slika 1.Platon Marija Koari , 4.g 57. Neka ne ulazi onaj koji ne zna geometriju! Slika 2. Natpis na ulazu u Akademiju 58. Platonova geometrijska tijela Opisana u djelu Timej 5 pravilnih poliedara: Slika 3. Pravilni poliedri 59. TETRAEDAR 4 vrha 6 bridova 4 strane jednakostranini trokuti Slika 4. tetraedar 60. HEKSAEDAR Kocka 8 vrhova 12 bridova 6 stranakvadrati Slika 5. heksaedar 61. OKTAEDAR 6 vrhova 12 bridova 8 strana jednakostranini trokuti Slika 6. oktaedar 62. DODEKAEDAR 20 vrhova 30 bridova 12 stranapravilni peterokut Slika 7. dodekaedar 63. IKOZAEDAR 12 vrhova 30 bridova 20 stranajednakostranini trokuti Slika 8. ikozaedar 64. Kineska matematika Ariana Gobac, 3.g 65. u 2. tisuljeu pr.Kr. u Kini su imali simbole za brojeve raunali su tapiima dok se u 16. st. nije pojavio abakus Slika 1. kineski brojevi Slika 2. abakus ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, no prilino je sigurno da poeci astronomije i matematike drevne Kine seu barem u 2. tisuljee pr.n.e. ,u to doba Kinezi su ve imali detaljno razraen kalendar najstariji sauvani matematiki tekstovi potjeu tek iz doba oko 200. pr.Kr. 66. Doprinosi kineskih matematiara: Sveta knjiga o aritmetici (2. 12.st.) indirektno govori o Pitagorinom pouku Aritmetika u devet knjiga (oko 150. g.pr.Kr.) - postupak izraunavanja povrine trokuta, etverokuta, kruga, krunog odsjeka i isjeka, obujam prizme, piramide, valjka, stoca, prikraene (krnje) piramide i stoca Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih ouvanih knjiga - koristila se za proricanje i gatanje, sadri elemente binarne notacije brojeva 67. Poznati matematiari: Zhang Qiu-Jian (5. st.) - dao je formulu za sumu aritmetikog niza Tsu Chung chih (430. 500.) za vrijednost broja uzima daje est tonih decimalnih mjesta Quin Jiu - Shao (1202. -1261.) - traio je rjeenja jednadbi metodom koju nazivamo Hornerova (William Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina ranije Chu Shih - kieh (1270. - 1330.) - napisao je dva vana teksta koji su vrhunac kineske matematike, tekstovi sadre Pascalov trokut binomnih koeficijenata, koji je u Kini poznat etiri stoljea prije no to ga je Pascal otkrio. 68. INDIJSKA MATEMATIKA 69. u staroindijskoj matematici nema velikih djela iskljuivo posveenih matematici; matematika je prisutna tek kao dio, kao pojedinano poglavlje u astronomskim ili astrolokim djelima najstariji poznati matematiki tekstovi su Sulvasutre, dodaci vjerskim tekstovima u njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju hramova i oltara na razini elementarne geometrije karakteristike indijskih matematikih tekstova je da su openito pisani u stihovima Slika 1. indijski brojevi 70. Staroindijskimatematiari: Aryabhatta (476. 550.) - znao je vaditi drugi i trei korijen podjelom radikanda u grupe dao je tone formule za povrinu trokuta i kruga, pie o, kvadratnim jednadbama, potencijama Brahmagupta (598. oko 670.) Brahmaguptina formula: poopenje Heronove formule na tetivne etverokute; 71. Mahavira (9. st.) bavio se elementarnom matematikom i prvi je indijski matematiar koji je napisao samo matematici posveen tekst Bhaskara (1114. 1185.) - najpoznatiji je indijski matematiar do 12. stoljea, puno je doprinjeo razumijevanju brojevnih sustava i rjeavanju jednadbi, dokazivao je i Pitagorin pouak glavna su mu matematika djela Lilavati i Bijaganita, bavio se ravninskom i sfernom trigonometrijom, 72. Arapska matematika 73. dananja matematika zapadnog stila mnogo je slinija matematici kakvu susreemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrkim, mnoge ideje koje su pripisane Europljanima pokazale su se zapravo arapskim Slika 1. arapski brojevi 74. Arapski matematiari: Al-Karaji (953.g. - 1029.g.) - smatra se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetikim osnovao je utjecajnu algebarsku kolu koja e uspjeno raditi vie stoljea 75. Al-Haytham (965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi koji je pokuao klasificirati parne savrene brojeve takoer je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov teorem (ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!), nije jasno je li to znao dokazati Omar Khayyam (1048.g. 1131.g.) uz matematiku bavio se astronomijom, filozofijom i poezijom dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadbi (14 tipova) i prvi uoio da ne moraju imati jedinstveno rjeenje 76. (12. 13. stoljee) Slika 1. FibonacciBarbara Maunjac, 4.g 77. talijanski matematiar mladost proveo u Arabiji temelj njegove matematike je broj iza sebe ostavio niz otkria 78. FIBONACCIJEV NIZ Slika 2. Fibonaccijev niz 79. Boanski omjer ili omjer Zlatnog reza = 1 + 5 2 1.618033989 80. FIBONACCIJEV NIZ U PRIRODI Slika 3. Fibonaccijev niz u suncokretu Slika 4. Fibonaccijev niz u koljci pua Nautilus Slika 5. Fibonaccijev niz u ljudskom tijelu 81. FIBONACCIJEV NIZ U UMJETNOSTI Slika 6. Fibonaccijev niz u portretu Mona Lise Slika 7. Fibonaccijev niz u Partenonu 82. Omjer zlatnog reza 83. Omjer zlatnog reza 84. Omjer zlatnog reza 85. Omjer zlatnog reza 86. Omjer zlatnog reza 87. Omjer zlatnog reza 88. LIBER ABACI najpoznatije djelo o aritmetici jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke etiri dijela Slika 8. Liber Abaci 89. JOHN NAPIER Laura Ilii, 3.g 90. OPENITO: roen u Edinburghu 1550.god, a umro 4.travnja 1617.god Upisao se na sveuilite St. Andrews Diplomu je stekao u Parizu, te je nakon toga boravio u Nizozemskoj i Italiji Poznat je u matematikim i inenjerskim krugovima Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama, Napierovih kostiju, te popularizaciji decimalnog zareza Radio je na podrujima matematike, fizike, astronomije i astrologije 91. Napierove kosti Decimalni zarez Logaritmi 92. NAJPOZNATIJA DJELA Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593. Statistical Account Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614. Construction of Logarithms, 1619. 93. Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Statistical Account i Construction of Logarithms 94. Henry Briggs engleski matematiar Profesor geometrije u Oxfordu roen u Warleywoodu u Yorkshireu 1561. studirao je na St. Johns Collegeu u Cambridgeu Patricia Kujundi, 3.g 95. kao profesor na Oxfordu saznaje za Napiera 1615. putuje k njemu u Edinburgh Napier se slae s Briggsovim prijedlogom za logaritme s bazom 10 Nakon Napierove smrti nastavja njegov rad 1624. objavljuje tablicu Arithmetica Logarithmica Umro je u Oxfordu 1630. 96. Blaise Pascal Antonio Horaek, 4.g 97. ivotopis Blaise Pascal Blaise Pascal bio je francuski matematiar, fiziar, izumitelj, pisac i kranski filozof. Bio je ''udo od djeteta'', a kolovao ga je otac. Pascalovi najraniji poslovi bili su u primjenjenim i prirodnim znanostima, gdje je doprinio prouavanju tekuina te je pojasnio pojmove tlaka i vakuuma generalizacijom rada Evangelista Torricellija. 98. Pascalov prvi stroj za raunanje 99. Pascalov doprinos matematici Prvi znaajan rad, Blaise je napisao sa samo esnaest godina, a bio je to osnovni nacrt njegove uvene rasprave o presjecima stoca. 100. Blaise Pascal, takoer je stvorio i svoj uveni mistini heksagram (Pascalov teorem), koji nije sauvan. U njegovoj ''Raspravi o aritmetikom trokutu'' (Trait du triangle arithmtique), opisao je zgodan, praktian tablini prikaz za binomne koeficijente, sada nazvan 'Pascalov trokut'. 101. Pascalov doprinos fizici Njegov rad na podruju hidordinamike i hidrostatike bio je usmjeren na naelima hidraulikih tekuina. Njegovi izumi ukljuuju hidrauliku preu (koristi hidraulini tlak da umnoi snagu) i pricu. Hidrostatski tlak poveava se dubinom, djeluje jednako u svim smjerovima te je jednak na svim mjestima na istoj dubini. 102. Pascalov zakon Temeljni je zakon hidrostatike: U tekuini koja se nalazi u zatvorenoj posudi vanjski tlak p iri se jednako na sve strane, odnosno estice tekuine prenose tlak u svim smjerovima jednako. 103. Povijest infinitezimalnog rauna Stjepan Marijan, 4.g 104. Gottfried Wilhelm Leibniz Leipzig 1.7.1646. Filozof, matematiar, fiziar i diplomat Pretea Georgea Boolea i simbolike logike diferencijal i integral 1559. Francuska akademija znanosti Prvi model raunalnog stroja Slika 1.1.: Gottfried Wilhelm LeibnizSlika 1.2.: Leibnizovo mehaniko raunalo 105. Isaac Newton Woolsthorpe-by-Colsterworth 4.1.1643. Astronom, matematiar i fiziar Metode fluksije Opi zakon gravitacije Zrcalni teleskop Kraljevska akademija Slika 2.1.: Isaac Newton Slika 2.2.: Zrcalni teleskop 106. Infinitezimalni raun Fukcije, derivacije, integralne granine vrijednosti i limesi funkcije Diferencijalni raun Integralni raun Slika 3.1.: Integral Slika 3.2.: Derivacija 107. Newton Leibnizova formula Ako je po volji odabrana primitivna funkcija funkcije na intervalu , , onda vrijedi: = () 108. Povijest infinitezimalnog rauna 5. st. pr. Kr.- Zenon 4. st. pr. Kr.- Eudokso 225. g. pr. Kr.- Arhimed 17. st.- Bonaventura Francesco Cavalieri Slika 4.1.: Metoda ekshaustije Slika 4.2.: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota 109. Sukob Newtona i Leibniza Isaac Newton- 1671.- De Methodis Serierum et Fluxionum (objavljen 60 godina kasnije), fizikalni pristup Gottfried Wilhelm Leibniz- 1684.- prvi objavljeni rezultati, geometrijski pristup Slika 5.2.: De Methodis Serierum et Fluxionum Slika: 5.3.: Transactions of the Royal Society of London 110. ABRAHAM DE MOIVRE Iva Ciprijanovi, 4.g 111. DE MOIVREOVI POETCI: roen je u mjestu Vitry u Francuskoj, 26.svibnja 1667.godine. francuski matematiar poznat po formuli koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju Bio je protestant, pa je neko vrijeme nakon edikta iz Nantesa (1685.) proveo u zatvoru, a nakon toga se odselio u Englesku gdje je proivio ostatak svog ivota. 112. Za ivot je zaraivao kao privatni uitelj matematike te je uenike poduavao u njihovim domovima, ali i u londonskim kafiima. Nadao se da e jednom postati profesor matematike, ali u svakoj dravi je zbog neega bio diskriminiran. 113. DE MOIVREOVA ANEGDOTA: Njegova poznata anegdota je da je predvidio dan svoje smrti tako to je utvrdio da svaki dan spava po 15 minuta dulje te je sumacijom odgovarajueg aritmetikog niza izraunao da e umrijeti na dan kad prespava puna 24 sata, i bio je u pravu. 114. THE DOCTRINE OF CHANCE: A METHOD OF CALCULATING THE PROBABILITIES OF EVENTS IN PLAY Glavno De Moivrevo djelo U toj se knjizi moe nai definicija statistike nezavisnosti dogaaja te niz zadataka vezanih za razne igre. Slika 1. De Moivrevo djelo :The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of events in play 115. DE MOIVREOVE FORMULE: Slika 2. Formula za binomne koeficijente Slika 3. Formula kojom je mogao dokazati sve cjelobrojne brojeve n Slika 4. Poznata DE MOIVREOVA formula 116. Slika 1. Johann Carl Friedrich Gauss Marta uri, 3.g 117. njemaki matematiar (1777. 1855.) osim matematikom, bavio se astronomijom, fizikom, geodezijom i topografijom osmislio neeuklidsku geometriju sa esnaest godina s dvadeset i etiri godine objavio je majstorsko djelo Disquisitiones Arithmeticae 1801. je prema njegovim izraunima otkriven planetoid Ceres otkrio Kirchhoffove zakone napravio primitivni telegraf stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein 118. Slika 2. Disquisitiones Arithmeticae Slika 3. Magnetischer Verein 119. osmislio bri nain rjeavanja zadataka zbrajanja brojeva od 1 do 100: (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 * 101 = 5050 spoznao kriterij konstruiranja pravilnog sedamnaesterokuta dokazao osnovni teorem algebre stvorio Gaussovu ravninu stvorio Gaussovu krivulju koja se koristi u mnogim znanostima, posebno u psihologiji 120. Slika 4. Gaussova ravnina Slika 5. Pravilan sedamnaesterokut Slika 6. Gaussova krivulja 121. John Nash Lana Matievi, 3.g 122. John Nash (1928.) je ekonomist i matematiar. Objavio je nekoliko teorija koje ste koriste i koje su doprinjele ekonomiji. Osvojio je 1994. godine Nobelovu nagradu za ekonomiju. Njegova najpoznatija teorija je: Nash Equilibrium (teorija igara) 123. to je Nashov Equilibrium? Koncept koji je na poetku bio napravljen kao taktika za jednostavne igre Nije najbolja strategija koja se moe iskoristiti, ali je najbolja taktika da se ne koriste drugi igrai kako bi se dolo do cilja 124. Zanimljivosti Patio od shizofrenije (do 1990.) Film Beautiful mind je snimljen o njegovom ivotu. 125. Od znastvene racionalnosti do iluzionistikog kaosa 126. Jednandba N.E.