ANTIDERIVADAS

INTEGRANTE: VICTOR MASABE

AGOSTO 2014

INTRODUCCION

El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la

derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada. Las reglas de la derivación

son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.

En este sentido es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo

donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden

opuesto. Si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo

inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al

derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo

inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el

exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de

antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

A la hora de hablar de antiderivadas intervienen más elementos como son los

llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva

trazada de una función, la cual puede ser cóncava. Otros de los elementos a

mencionar son: la monotonía, valores extremos de una función.

DEFINICION DE ANTIDERIVADAS

Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos

Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.

Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30.

En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.

En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

In fact:

Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante.

Principio del formulario

P Pues la derivada de x4+C es 4x3,

Integral indefinida

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral

indefinida de la función f como

f(x) dx

y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,

f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama

el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x2 + C

La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C

4x3 dx = x4 + C

La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C

Leyendo la formula

Leemos la primera formula más arriba como sigue:

2x dx = x2 + C

La antiderivada de 2x, respecto a x, es igual a x2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.

ORIGEN

En la Antigua Grecia, los grandes matemáticos idearon un proceso mediante el cual podían

hallar el área de cualquier figura, siempre y cuando ésta pudiese ser dividida en otras figuras

geométricas más elementales (como triángulos); este era conocido como el Método

Agotamiento.

Este método era relativamente ingenioso, pero aún estaba lejos de la presentación formal de

la integral, además de que presentaba fallas cuando se quería hallar el área de una figura

curva.

Los griegos competían con el fin de encontrar un método general de cuadraturas, un

proceso mediante el cual pudieran hallar el área de cualquier figura curva, un proceso que

les permitiera cuadrar cualquier forma bidimensional…No lo lograron.

Aún sí, cabe destacar el logro de uno de dichos matemáticos: Arquímides de Siracusa

(287a.C. – 212a.C.), quien mediante un ingenioso argumento geométrico, descubrió que el

área del segmento de parábola desde x=0 hasta x=t es igual a (1/3)t^3. Hoy en día sabemos

que esto es igual a la integral de 0 a t de la función x^2, que es la función que define una

parábola. Él no lo sabía, su demostración fue puramente geométrica.

Más o menos a partir del siglo III d.C. (suceso relacionado con la destrucción de la Biblioteca

de Alejandría) no pasó mucho con respecto al desarrollo del cálculo por un buen

tiempo…Pero afortunadamente, después del Oscurantismo, a partir del Renacimiento y la

Ilustración, momento en el que renacieron los ideales jónicos y en países como Holanda se

abrazaron la ciencia y la técnica, el desarrollo de la Humanidad desde un punto de vista no

místico, y se estimuló el factor psicológico de las sociedades hacia la admiración por el

conocimiento, aparecieron personajes como Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes,

entre otros. Todos ellos hicieron aportes al descubrimiento del cálculo; por ejemplo Pierre de

Fermat y René Descartes combinaron Álgebra y Geometría para expresar figuras

geométricas con ecuaciones algebraicas, de ahí viene el plano cartesiano.

Entre los siglos XVII y XVIII aparecieron los dos personajes que darían por fin solución al

problema que plantearon los Antiguos Griegos: Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Desafortunadamente, este par nunca llegó a conocerse personalmente, aunque mantenían

contacto por correspondencia, pero nunca trabajaron juntos, sino que se limitaron a competir

entre ellos. Cada uno inventó su propia versión del cálculo (casi en paralelo), Newton se lo

guardó todo durante unos treinta años, mientras que Leibniz publicó su trabajo sin tapujos.

Por razones que me atrevo a calificar de excesivamente retrógradas y bañadas de un

elitismo completamente innecesario, Leibniz fue juzgado como culpable ante la acusación de

que había plagiado las ideas de Newton de las cartas que éste le enviaba. Se puede decir

que esto llevó a Leibniz a morir de amargura (mientras tanto, Newton se vanagloriaba

diciendo que había destrozado el corazón de Leibniz).

Durante casi un siglo prevalecieron las notaciones de Isaac Newton para el Cálculo, basado

principalmente en límites de razones, pero eventualmente se empezó a adoptar la notación

del Cálculo de Leibniz, el cual, en ciertos aspectos, era mejor que el de Newton. Fue Leibniz

quien ideó la notación que hoy en día usamos para las integrales, basándose en la palabra

latina summa, que significa suma.

TEOREMAS O PROPIEDADES QUE LO SUSTENTAN

Resolución de Integrales por Cambio de Variable

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u,

llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y

realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial,

aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio

de variable (CDV).

Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas

que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por

esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto

que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación

específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de

las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el

cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece

de la respuesta definitiva.

A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este

segundo método de integración.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente integral:

Solución Método a emplear: Integración por cambio de variable.

Regla de integración: Ecuación 1.1

Desarrollo:

En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:

u= 2x+6 (1)

Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

= (2)

Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar adx, en función de du y para ello se:

Deriva ambos miembros de (1) para obtener:

du=2dx

Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

(3)

Si en (2), se reemplaza a dx por la

expresión obtenida en (3) y además

se aplica la propiedad 1 de

los O.L , se obtiene:

= =

Efectuado el CDV se obtiene una

integral inmediata. Para su solución

basta con aplicar laEcuación 1.1.

Así:

=

Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:

Resolución de integrales por partes

De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método

de integración por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:

Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene:

La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente, se utiliza una

expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable:

y

Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se obtiene:

y

Así que la ecuación (*) se transforma en:

(Ecuación 1.6)

La Ecuación 1.6 expresa la integral en términos de otra integral, , la

cual por lo general, se resuelve más fácilmente que la integral original.

Para aplicar la integración por partes, es necesario elegir adecuadamente la parte

del integrando que se va a tomar como u. Es importante resaltar que una vez hecha la

elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos de hacer la

mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes:

1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.

2. no debe ser más complicada que

En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es

siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo,

en el desarrollo de la presente obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda

pero de carácter NO GENERAL, denominada I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección.

La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos casos - al hacer la elección

de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar

en un ciclo infinito, que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto ocurre, se

debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente.

Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:

I = Funciones Inversas.

L = Funciones Logarítmicas.

A = Funciones Algebraicas.

T = Funciones Trigonométricas.

E = Funciones Exponenciales.

La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada

elección, teniendo que recurrir a la ecuación 1.6 y los métodos ya expuestos, para resolver

cualquier ejercicio relativo al presente tópico. Por esta razón, es conveniente que el lector

haya estudiado - detalladamente - los dos métodos anteriores, puesto que en la solución de

los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de esos

contenidos.

Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación:

Supóngase que piden resolver la siguiente integral:

Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones, una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la palabra I.L.A.T.E. Como en

ella, leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la letra A, se elige como u la

función Algebraica, es decir, u = x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la integral es dv. Así:

Resolución de integrales por partes

De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método

de integración por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:

Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene:

La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente, se utiliza una

expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable:

y

Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se

obtiene:

y

Así que la ecuación (*) se transforma en:

(Ecuación 1.6)

La Ecuación 1.6 expresa la integral en términos de otra integral, , la cual por lo general, se resuelve más fácilmente que la integral original.

Para aplicar la integración por partes, es necesario elegir adecuadamente la parte

del integrando que se va a tomar como u. Es importante resaltar que una vez hecha la

elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos de hacer la

mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes:

1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.

2. no debe ser más complicada que

En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es

siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo,

en el desarrollo de la presente obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda

pero de carácter NO GENERAL, denominada I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección.

La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos casos - al hacer la elección

de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar

en un ciclo infinito, que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto ocurre, se

debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente.

Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:

I = Funciones Inversas.

L = Funciones Logarítmicas.

A = Funciones Algebraicas.

T = Funciones Trigonométricas.

E = Funciones Exponenciales.

La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada

elección, teniendo que recurrir a la ecuación 1.6 y los métodos ya expuestos, para resolver

cualquier ejercicio relativo al presente tópico. Por esta razón, es conveniente que el lector

haya estudiado - detalladamente - los dos métodos anteriores, puesto que en la solución de

los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de esos

contenidos.

Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación:

Supóngase que piden resolver la siguiente integral:

Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones, una

Algebraica (x) y otraExponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la

palabra I.L.A.T.E. Como en ella, leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la letra A,

se elige como u la función Algebraica, es decir, u = x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la

integral es dv. Así:

Resolver la siguiente integral:

Solución

Método a emplear: Integración por Partes.

Regla de integración: Ecuación 1.3 y 1.6

Desarrollo:

Por la teoría expuesta, conviene hacer las siguientes elecciones:

u = x (1) y (2)

Derivar ambos miembros de (1) para obtener:

du=dx

Aplicar integrales a ambos miembros de (2), para obtener:

(3)

Usando integración directa en el término de la izquierda y el método

de CDV, en el término de la derecha de (3), para obtener:

(4)

Reemplazar en la Ecuación 1.6, cada uno de sus factores por las

expresiones obtenidas en (1), (2)y (4), para obtener:

(5) Para resolver la última integral, se efectúa un CDV y se obtiene una

integral inmediata. Para su solución, se aplica la Ecuación 1.3. Así:

= (6)

Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorización. Así:

=

Por tanto, se concluye que:

Resolución De Integrales Por Fracciones Simples o

Parciales

Este método permite descomponer una integral de la forma:

En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que

por lo general son de fácil solución.

Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en

cuenta los siguientes criterios:

Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el

denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso defactorización.

Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador,

se debe resolver primero la división de polinomios.

Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente información:

En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el

resto (r), mediante la siguiente expresión:

(I)

Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene:

Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para polinomios, así:

Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, entonces

Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales,

se obtiene:

Ecuación1.7

Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar la siguiente

información:

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado

del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo

denominador sea de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n si el

polinomio ax2 + bx+ c no tiene raíces reales, y n es un número natural.

Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del siguiente modo:

1. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las

raíces de la ecuación q(x) = 0.

Es importante saber, que al realizar la mencionada descomposición, es

posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro

casos:

Caso1: Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe

escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C, etc) en

el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a

continuación:

Caso2: Factores en el denominador lineales repetidos. La integral dada debe

escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C,etc) en el

numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a

continuación:

Caso3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La integral dada

debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado

uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a

continuación:

Caso4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La integral dada

debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado

uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a

continuación:

2. Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador.

Para ello, basta con aplicar cualquiera de los métodos que el lector

ha manejado desde su formación pre-universitaria. Estos métodos

no serán explicados en la presente obra, puesto que deben ser

parte de las redes conceptuales previas del lector. Algunos de ellos

son: Sustitución, eliminación, igualación, Coeficientes

indeterminados, métodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan).

Nota: Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en el

cálculo de las mencionadas constantes. El lector debe dominar, por lo menos, una

técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al momento

de intentar calcular dichas constantes.

3. Se integran los sumandos que resulten. Una vez determinadas las

mencionadas constantes, se obtienen integrales que - por lo

general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos. Por

esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado -

responsablemente - los tres métodos anteriores, puesto que en la

solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye

una explicación detallada de esos contenidos.

Ejemplo

Solución

Método a emplear: Integración por Fracciones Parciales.

Desarrollo:

De acuerdo al Criterio2, se debe efectuar la división de

polinomios y aplicar la Ecuación 1.7se obtiene que:

(1)

La primera integral es inmediata, al resolverla se obtiene:

(2)

Para resolver la segunda integral, se aplica el Criterio1, es

decir, se debe factorizar y aplicar el caso 1. Así se obtiene

que:

Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio

anterior. De allí que ahora se pueda escribir, directamente,

que:

(3)

Reemplazando en (1), las expresiones (2) y (3), se tiene que:

Haciendo c = c1+ c2, se concluye que:

INTEGRACION POR TABLAS

Solución

Método a emplear: Integración por Tablas.

Regla de integración: Fórmula # 1 de la Tabla de integrales dada.

Desarrollo:

Al comparar la integral dada con las integrales de la Tabla de Integrales, se

establece que la forma que más se adapta a la situación planteada, es

la Fórmula #1, la cual viene dada por la siguiente expresión matemática:

(1)

Para aplicar (1), basta con construir las siguientes igualdades:

= (2)

Donde:

Ahora para obtener una respuesta preliminar, se debe reemplazar en (2) lo

establecido en (3), (4) y (5), para obtener:

Así, se concluye que:

EJEMPLO

Resolver la siguiente integral:

Solución

Método a emplear: Integración de la sumatoria de funciones e Integración

inmediata de funcionespotenciales.

Reglas de integración:

Ecuación 1.2

y Ecuación1.1

Antes de presentar el desarrollo de la integral dada, es necesario recordar

que la integral es unoperador lineal y por tanto cumple con las siguientes

propiedades:

1. Las constantes pueden ser extraídas del símbolo integral.

2. Si el exponente del integrando es uno y está conformado por términos

que se están sumando o restando entre si, la integral original puede

separarse en tantas integrales como términos posea el integrando.

Desarrollo:

Como el integrando tiene exponente 1 y está conformado por dos términos

que se están restando, se puede aplicar la propiedad 2 de un operador

lineal (O.L), es decir, la integral original puede ser reemplazada por dos

integrales parciales, como se muestra a continuación:

=

Así, se ha simplificado el ejercicio original y bastará con resolver cada una de las

integrales parciales para obtener la respuesta pedida.

En las integrales parciales, se observa la presencia de constantes por lo

cual, en atención a la propiedad 1 de un (O.L), se procede a extraer dichas

constantes de cada uno de los símbolos integrales. Así:

El diferencial indica que se debe integrar con respecto a la variable y, razón

por la cual, se hace pertinente transformar el radical en exponente

fraccionario y a su vez, colocar en el numerador, cambiando el signo de

su exponente de acuerdo a de las reglas de potenciación, sección2.

Obteniéndose:

Ahora, basta con recordar y aplicar los pasos desarrollados en el ejercicio

anterior para obtener:

Resolviendo las operaciones básicas indicadas en la expresión anterior, se

tiene que:

+

Se tomará como norma de uniformidad la siguiente:

“Los resultados finales de una integral, no deberán contener exponentes

fraccionarios ni exponentes negativos”

(Ver: redes conceptuales previas, seccion 1 y seccion 2)

Aplicando este criterio, se obtiene:

CONCLUSIONES

En referencia a las antiderivadas es una operación contraria que es

originalmente una derivada. Para lograr resolver estas operaciones es

necesario tomar en cuenta muchos recursos aritméticos, esto debido a que

no hay un procedimiento específico por el cual se pueda llegar al resultado

sino por medio de diferentes operaciones.

La antiderivada de una función también puede recibir el nombre de

integral indefinida o primitiva de una función; cada uno tiene su razón de ser,

antiderivada viene dado por qué se hace una operación contraria para llegar

a la función original; integral indefinida porque existe una constante C que

puede dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es

una operación que busca el génesis de la función. Todas aunque tienen

diferentes nombre relativamente significan lo mismo.

Una antiderivada se diferencia de una derivada por la existencia de un

símbolo llamado integración

Sus propiedades son muy similares a las de las derivadas, con solo la

anexión una propiedad de linealidad.

Al momento de situarse en la operación intervienen dos valores

fundamentales que son máximos y mínimos sean estos relativos o absolutos,

su importancia deriva de que mediante el cálculo de ellas se logra saber cuál

es la altura máxima, media o mínima al momento de trazar la curva de una

función, esto da lugar a la monotonía de la representación que busca la

manera de determinar si una función es creciente o decreciente; también da

lugar a la concavidad, de forma que este permite descubrir hacia

qué dirección es cóncava la figura, mediante el signo de la función, esta

puede ser cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Los valores extremos de una función vienen dados por medio

del cálculo de la monotonía, y deja en descubierto la altura máxima y la

minima disminución a la horade trazar una curva; dando también a altura

medias.

Es importante este tema porque es un mundo en el que se debe tener

mucha concentración y dedicación para llegar a la solución de cada

planteamiento.

REFERENCIAS CONSULTADAS

2000. GRAN ENCICLOPEDIA SALVAT. Tomo 16. Salvat Editores.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos73/antiderivadas/antiderivadas2.shtml#ixzz3BAm72XRP

REFERENCIAS ELECTRONICAS

Texto Electrónico para la enseñanza integral

http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag36.htm