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Definizione di funzioni !
In questa lezione vediamo…
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3 Funzioni definite a tratti
Funzioni numeriche
Definizione di funzione
Sfida
?!
Buona parte dei giovani (e non) di quest’era tecnologica possiede uno Smartphone pieno di app.Anche il tuo amico Alessandro ne possiede uno e ha scaricato un’app che permette di visualizzare quante volte le altre applicazioni sono state aperte nel corso di una giornata. Una sera, sbirciando il cellulare di Alessandro, vedi questi dati:
Se mettiamo le app in relazione con il numero di aperture giornaliere, otteniamo una funzione? E se invece come insieme di partenza consideriamo le aperture?
app Facebook Twitter Meteo WhatsApp Agenda YouTube Calcolatrice
aperture 6 3 1 10 3 5 1
Ora vediamo…
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3 Funzioni definite a tratti
Funzioni numeriche
Definizione di funzione
1. Definizione di funzione
Il concetto di funzione è importantissimo, infatti lo troviamo continuamente!
Una funzione è qualcosa in più di una relazione, infatti è:
Aiutiamoci con un disegno!
Abbiamo visto che una relazione tra due insiemi e è:una legge che associa a QUALCHE elemento di UNO O PIÙ elementi di
A BA B
una relazione che associa a OGNI elemento di UNO E UNO SOLO elemento di A B
1. Definizione di funzione
RELAZIONE
A B1 •2 •3 •4 •
a •
c •
b •
A B1 •2 •3 •4 •
a •
c •
b •
FUNZIONE
Vediamo le relazioni tra gli insiemi e , rappresentate dalle frecceBA
La relazione a sinistra non è una funzione perché c’è un elemento di (l’elemento 2) che non ha un corrispondente in (non parte nessuna freccia!)
AB
1. Definizione di funzione
Una funzione è definita con le lettere minuscole ed è chiamata anche corrispondenza univoca: BAf →: BA f!→!
è l’insieme di partenza o DOMINIO e è l’insieme di arrivoBA
Se x è un elemento di e y un elemento di , possiamo scrivere una funzione come
Chiamiamo:yxf !:BA
• y l’IMMAGINE di x tramite f• x la CONTROIMMAGINE di y tramite f • CODOMINIO I’insieme delle immagini degli elementi di AC
In generale, , C è contenuto in B, perché non è detto che tutti gli elementi di siano immagine di un elemento di!
BC ⊆ BA
1. Definizione di funzione
Esempio:A B
1 •2 •3 •4 •
a •
c •b •
d •
A B1 •2 •3 •4 •
a •
c •b •
A B1 •2 •3 •4 •
a •
c •b •
d • d •
La relazione è una funzione! Il codominio è l’insieme
} ; { cbC =
La relazione è una funzione!d è immagine di 3 2 è controimmagine di bIl codominio coincide con l’insieme di arrivo!B
La relazione NON è una funzione!Infatti, l’elemento 2 ha due immagini in : gli elementi b e c
B
Ora vediamo…
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3 Funzioni definite a tratti
Funzioni numeriche
Definizione di funzione
2. Funzioni numeriche
Possiamo descrivere una funzione numerica con l’espressione che si legge «y uguale f di x»
L’immagine y dipende dall’elemento x del dominio: • x variabile indipendente• y variabile dipendente.
y = f (x)
Una funzione è numerica se l’insieme di partenza e quello di arrivo sono insiemi numerici, come e N,Z,Q R
Esempio: La funzione che ha espressione associa a ogni elemento del dominio «il suo quadrato diminuito di »Calcoliamo l’immagine dell’elemento tramite :Basta quindi sostituire l’elemento nell’espressione al posto della
f :R→ R y = x2 − 22
3 f y = f (3) = 32 − 2 = 7x
2. Funzioni numeriche
Il codominio della funzione è:
1. 2. C.E. perché c’è la radice quadrata e quindi Il codominio è quindi l’insieme C = [−2;+∞)⊂R
y = x2 − 2
y = x2 − 2⇒ x = y+ 2y+ 2 ≥ 0 y ≥ −2
Esempio:
x = ...
Per trovare il codominio della funzione dobbiamo:
1. Scrivere l’espressione della funzione esplicitando2. Calcolare le C.E. dell’espressione a destra dell’uguale. L’insieme degli elementi che soddisfano le C.E è il codominio!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2y
xO
2. Funzioni numeriche
Possiamo rappresentare le funzioni numeriche con un grafico o diagramma cartesiano.Infatti, se x è un elemento del dominio e y la sua immagine tramite la funzione f , il grafico di f è l’insieme dei punti );( yxP
Esempio:La figura mostra il grafico della funzione
Dal grafico della funzione possiamo risalire a molte sue caratteristiche!Infatti vediamo che il grafico si trova sopra che è il valore minimo del codominio!
22 −= xy
2−=y
Ora vediamo…
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3 Funzioni definite a tratti
Funzioni reali di variabile reale
Definizione di funzione
3. Funzioni definite a tratti
Esempio:
xO-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
1
2
3
4
y
)1;0(
Le funzioni definite a tratti hanno un’espressione analitica diversa a seconda del valore della variabile indipendente x
x ≤ 0La funzione è definita a tratti perché per l’espressione è diversa da quella per
Il grafico rappresenta la retta nel semipiano delle ascisse . Appena incontriamo il punto di ascissa dobbiamo fermarci! Da quel punto in poi, il grafico diventa quello della parabola
y = −x +1
12 += xy
≤ 0
!"#
>+≤+−== 0 1
0 1)( 2 xxxxxfy
x > 0
0
La funzione valore assoluto, che conosciamo dagli studi su equazioni e disequazioni, è una funzione definita a tratti!
La sua espressione analitica è
3. Funzioni definite a tratti
Esempio:
!"#
<−≥== 0
0 xxxxxy
La funzione è definita a tratti32 −= xy
!"
!#
$
<−
≥−=−=
23 2323 32
32xx
xxxy
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3y
xO 32
!!
Soluzione alla sfida
Costruiamo un diagramma della relazione tra app e aperture:
A = app{ } B = aperture{ }• Facebook• Twitter
• 1
• 5• 3
• Meteo• WhatsApp• Agenda• YouTube• Calcolatrice
• 6
• 10
A OGNI elemento del dominio (insieme delle app) corrisponde UN SOLO elemento dell’insieme delle aperture . La relazione è una funzione!
B = 1;3;5;6;10{ }A→ B
A
Invece, la relazione non è una funzione perché gli elementi 1 e 3 dell’insieme hanno più di un corrispondente in !
B→ AB A
• La relazione è una funzione ? e se ?
Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
23−
=x
y
• Se la funzione è , quanto vale ? E ?y = −5x4 −1 )0(f )2(−f
• Disegna il grafico di f (x) =x −3 x ≥12x +1 x<1#$%
f :N→ Nf : Z→Q
Rewarded education!
