Sección 3.1-3.2

StewartCuarta Edición

DERIVACIÓN

Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED)Para el curso de Cálculo diferencial UNIANDES

Marcos Alejo Sandoval

RECTA TANGENTE A UNA CURVA

Donde h tiende a cero...

x

y f(x)

a

f(a)

f(a+h)

a+h

sec

f(a h) f(a)m

h

+ −=

h

f(x)h)f(xlimm

0htang

−+=→

Este límite representa el valor de la pendiente

de la recta tangente a la curva f(x) en un punto

x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

f ’(x)

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA

y f(a) f '(a)(x a)− = −

ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábloa y=x2 en el punto (-2,4)

ejercicio

x alim f '(x)

→= = ∞

TANGENTE VERTICAL

Si una curva f(x) posee una tangente vertical en x=a de su dominio, entonces se cumple:

• SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….

• Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

REGLAS DE DERIVACIÓN

NOTACIÓN

x

df(x)f '(x) D f(x)

dx= =

REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de una función de la forma f(x)=xn

1n

n

nx(x)f'

:entonces,xf(x)Si−=

=

0(x)f':entoncesN,f(x)Si

1(x)f':entoncesx,f(x)Si

:NOTA

====

REGLAS DE DERIVACIÓN

Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

dxdf(x)

KKf´(x)(x)g'

Kf(x)g(x)

==

=

REGLAS DE DERIVACIÓN

Regla de la suma algebraica de funciones:

(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)

:g(x)yf(x)Sean

±=±

PROBLEMA1

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

x

6x

53

f(x)c.

x

22xx3f(x)b.

14xxf(x)a.

5

235

2

+=

+−=

++=

PROBLEMA2

¿En qué puntos la siguiente función tiene una

recta tangente con pendiente horizontal ?

3xxf(x) 3 −=

PROBLEMA3

32xxf(x) 2 +−=

Halle el punto en el cual la recta tangente a la

curva dada es paralela al eje x

CONSIDERACIÓN

Si la derivada es nula en un punto de un intervalo (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto.

Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

TEOREMA

Si f(x) es DERIVABLE en x=a,

entonces necesariamente es

CONTINUA en ese punto

El recíproco no necesariamente es cierto

PROBLEMA4

¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:

• a. ¿Derivable?• b. ¿Continua pero no

derivable?• c. ¿Ni continua ni

derivable?

--33

F(x)F(x)

3311

xx

--33

F(x)F(x)

3311

xx

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Si f(x) = ex, entonces

f ´ (x) = ex

xcscx.cotan(x)F'cscxF(x)

xcsc(x)G'cotanxG(x)

secx.tanx(x)z'secxz(x)

xsec(x)h'tanxh(x)

cosx(x)g'senxg(x)

senx(x)f'cosxf(x)

2

2

−==−==

======−==

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

PROBLEMA5

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

22

9

x

2 3a. f(x) secx- tanx 1 sen x

x 53

b. f(x) 6 2senxx

2 cosx 1c. f(x) e

senx 3

= + + −

= − +

+= +

Regla del producto de funciones:

(x)g'f(x)g(x)(x)f'

g(x))'(f(x)

:g(x)yf(x)Sean

×+×=×

Ejemplo: f(x)=x3cos(x)

F(x)=ex. tanx

REGLAS DE DERIVACIÓN

Regla del cociente de funciones:

( )2

'

g(x)

(x)g'f(x)g(x)(x)f'g(x)f(x)

:g(x)yf(x)Sean

×−×=

REGLAS DE DERIVACIÓN

Ejemplos:

f(x)=x3 / cos(x)

F(x)=3ex/(tanx-2)

PROBLEMA6

Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :

x3

2

xf(x)c.

senx4)(3x

f(x)b.

2xsenxf(x)a.3

−=

−=

=

PROBLEMA 6 -RESPUESTAS

21

21/211/2-

2

32

)3x(2

)(3xx3x2x21

f´(x)c.

xsen4)cosx(3xsenx9x

f´(x)b.

xcosx)2(senxf´(x)a.

−

−−

−

−−=

−−=

+=

)(

PROBLEMA7

Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :

2-x

x

4

(x 1)(x 3)a. f(x)

(xsecx)

3tanx 5b. g(x) x senx-

x e

2 cscxc. F(x) 6e

3 x

− +=

= −

= +

PROBLEMA 8

3senxx

6xtanxF(x)b.

x2

5xcosxg(x)a.

+=

=

aplique las reglas de derivación para hallar la derivada de las funciones dadas :

PROBLEMA 9

Un problema interesante…

Dada f(x) y las condiciones que se indican, encuentre f’(4)

f(x) x .g(x), g(4) 2 , g´(4) 3,

f´(4)=?

= = =

REFLEXIONES

El más preciado derecho en el mundo es el derecho a estar equivocado.

(Harry Weinberger, 1917)

Caer está permitido, levantarse es obligatorio...

(Anónimo)