DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Licenciado. Ysmael González

Definición de derivada

La función f es derivable en a si:

lim𝑓 (𝑎+h )− 𝑓 (𝑎)

hh->0

En este caso, el límite se designa por f’(a) y recibe el nombre de derivada de f en a (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f)

Sentido geométrico de la derivada

Sentido geométrico de la derivada

Sentido Físico de la derivada

Reglas del cálculo de las derivadas

Reglas del cálculo de las derivadas (ejemplos)

Derivada de una función compuesta

Si la función g es diferenciable en x, y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y:

[ 𝒇 (𝒈 (𝒙 ) ) ] ′=𝒇 ′ (𝒈 (𝒙 ) ) .𝒈 ′ (𝒙)

Derivada de una función compuesta

Con y Se cumple: y g’ (x)Luego: =

Teorema del valor medio

Dada cualquier función f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) en que la tangente a la curva en c es paralela a la secante que une (a,f(a)) y (b,f(b)).

𝐟 (𝐛)−𝐟 (𝐚 )𝐛−𝐚

= 𝒇 ′ (𝒄)

Teorema del valor medioDada la función Hallar la recta tangente que tiene la misma pendiente que la recta que pasa por (-4,f(4)) y (6,f(6)):

𝒇 (−𝟒 )=𝟒 𝒇 (𝟔 )=𝟗

𝑓 (𝑥)=𝑥2

4

Teorema del valor medioLa pendiente viene dada por: = ½

Luego la recta tangente es: x + b

Como t corta a f(x): x + b

Resolviendo: 𝑥2−2 𝑥−4𝑏=0

Teorema del valor medioPor lo tanto: x

Como x sólo puede tomar un valor por cortar t a f(x) en un sólo punto (ya que t es tangente, no secante) :

luego:

x – ¼

Teorema del valor medio

𝑓 (𝑥)=𝑥2

4

𝑡=𝑥2−14

Regla de L’hopital

Sean f y g dos funciones definidas en [a,b] y y sean f(c)=0 y g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g’(x) diferente de 0 si x es diferente de c, si f y g son derivables en (a, b), entonces si existe el límite f’/g’ en c, existe el límite f/g en c igual al anterior.

= x->c x->c

Regla de L’hopital

= x->0

= 1x->0

x->0

Teorema de Taylor

Sea f una función con derivadas de orden n en el punto x=0, entonces existe un polinomio único de grado menor o igual que n que satisface:

𝒑 (𝟎 )= 𝒇 (𝟎 ) ,𝒑 ′ (𝟎 )= 𝒇 ′ (𝟎 ) ,𝒑 ′ ′ (𝟎 )= 𝒇 ′ ′ (𝟎 )𝒑𝒌 (𝟎 )= 𝒇 𝒌 (𝟎 )

Dado por:

𝒑 (𝒙)=∑𝒌=𝟎

𝒏 𝒙 (𝒌 )

𝒌 !𝒙𝒌

Donde (k) es el orden de la derivada.

Teorema de Taylor

cos

Comportamiento y gráfica de funciones

Valores máximos y mínimos

La función f tiene un máximo relativo en c, si existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f esta definida, tal que f(c)≥f(x) para todo x en ese intervalo.

La función f tiene un mínimo relativo en c, si existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f esta definida, tal que f(c)≤f(x) para todo x en ese intervalo.

Criterio de la 1° Derivada

Sea c un punto crítico de una función f continua en un intervalo. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en f(c) se clasifica:

1. Si f ’(x) cambia de – a +, f(c) es un mínimo relativo de f.

2. Si f ’(x) cambia de + a -, f(c) es un máximo relativo de f.

Criterio de la 1° DerivadaSi 𝑓 (𝑥 )=𝑥2−5 𝑥+6Luego

El punto crítico donde f’(x)=0 es x=5/2:

Resolviendo:

𝑓 ′ (𝑥 )=2𝑥−5

Intervalo Valor de prueba

f’(x) Signo

-∞ < x < 5/2 2 -1 - (Decreciente)

5/2 <x < +∞ 3 1 + (Creciente)

Por lo tanto x=5/2 es un mínimo relativo de f.

Criterio de la 1° Derivada

𝑓 (𝑥 )=𝑥2−5 𝑥+6

Min.

Criterio de la 2° Derivada

Sea c un punto crítico de una función f continua en un intervalo, que cumple f’(c)=0 y existe la segunda derivada de f en ese intervalo, se cumple que:

1. Si f ’’(c)>0 , f(c) es un mínimo relativo de f.2. Si f ’’(c)<0 , f(c) es un máximo relativo de f.

Criterio de la 2° DerivadaSi

𝑓 (𝑥 )=𝑥4 +43𝑥3

−4 𝑥2Luego

Los punto críticos donde f’(x)=0 son x=-2, x=0 y x=1 :

𝑓 ′ (𝑥 )=4 𝑥3+4 𝑥2−8𝑥

c f’’(c) Signo

-2 24 + Mínimo relativo

0 -8 - Máximo relativo

1 12 + Mínimo relativo

𝑓 ′ ′ (𝑥 )=12 𝑥2+8𝑥−8

Criterio de la 2° Derivada

𝑓 (𝑥 )=𝑥4 +43𝑥3

−4 𝑥2

Max.

Min.