Distribución normal

Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADAFACULTAD DE CIENCIAS CONTABLE, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS

LECTURA 02: DISTRIBUCIÓN NORMAL (PARTE II)

CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR. ESTANDARIZACIÓN.

TEMA 4: CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

En la sesión anterior llevamos acabo el calculo directo en la distribución normal en donde dada una determinada área teníamos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar ahora llevaremos acabo el proceso inverso; es decir dada una determinada área tenemos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar en donde haremos uso de las tablas estadísticas de la distribución normal I y II y además de las propiedades. A continuación citamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Si Z n(0,1) , hallar Zo en :

En la Tabla I observamos que el valor de Zo = 2.32, y se obtiene directamente.

Ejemplo 2:

Si Z n(0,1) , hallar Zo en :

95.0]ZZ[P o =≤

____________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Setiembre 2010Versión : 2

0.9898

Z00

oP[Z Z ] 0.9898≤ =


En la Tabla I observamos que el valor Zo se encuentra entre 1.64 y 1.65 y llevamos acabo el proceso de interpolación:

Z Area1.64 0.9495Zo 0.95

1.65 0.9505


0.95

Z00

0

0

0

0.9505 0.9495 1.65 1.640.95 0.9495 Z 1.64

0.001 0.010.0005 Z 1.64

Aplicando la regla de tres simples obtenemos :

Z 1.645

− −=− −

=−

=


Ejemplo 3:

Si Z n(0,1) , hallar el valor – Zo en:

01.0]ZZ[P o =≤

En la Tabla I observamos que el valor Zo se encuentra entre -2.33 y -2.32 y llevamos acabo el proceso de interpolación:

Z Area -2.33 0.0099 - Zo 0.01 -2.32 0.0102


0.01

-Zo 0

0

0

0

0.0099 0.0102 2.33 ( 2.32)0.01 0.0099 Z ( 2.32)

0.0003 0.010.0001 Z 2.32

Aplicando la regla de tres simples obtenenmos :

Z 2.3267

− − − −=− − − −

− =− +

− = −


Ejemplo 4:

Si Z n(0,1), hallar el valor de Zo en:

10.0]ZZ[P o =≥

Aplicando propiedad:

]ZZ[P1]ZZ[P oo <−=≥

90.0]ZZ[P o =<

En la Tabla I observamos que Zo se encuentra entre 0.8997 y 0.9015 y llevamos acabo el proceso de interpolación:

Z Area1.28 0.8997Zo 0.90

1.29 0.9015


0.10

Zo0


Ejemplo 5:Si Z n(0,1), hallar el valor de -Z0 y Z0 simétricos en:

90.0]ZZZ[P oo =≤≤−

En la Tabla II observamos que Zo se encuentra entre 0.8990 y 0.9011 y llevamos acabo el proceso de interpolación:

Z Area1.64 0.8990Zo 0.90

1.65 0.9011


- Zo

Zo0

0.90

0

0

0

0.9015 0.8997 1.29 1.280.90 0.8997 Z 1.28

0.0018 0.010.0003 Z 1.28


Z 1.282

− −=− −

=−

=


Ejemplo 6:

Si Z n(0,1) , hallar los valores -Zo y Zo simétricos en:

95.0]ZZZ[P oo =≤≤−

En la Tabla II observamos que se encuentra el área dada, por lo tanto no es necesario interpolar.

Entonces –Zo=-1.96 y Zo= 1.96


- Zo

Zo0

0.95

0

0

0

0

0.9011 0.8990 1.65 1.640.90 0.8990 Z 1.64

0.0021 0.010.001 Z 1.64


Z 1.645y

Z 1.645

− −=− −

=−

=

− = −


TEMA 5: ESTANDARIZACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL

Dada una variable aleatoria normal X, con media μ y desvío σ, si definimos otra

variable aleatoria σ

µ−= XZ entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución

normal estándar.

Al usar la fórmula de transformación cualquier variable aleatoria normal X se convierte en una variable aleatoria normal estandarizada Z. Mientras los datos originales para la variable aleatoria X tenían una media y una desviación estándar, la variable aleatoria estandarizada Z siempre tendrá una media μ = 0 y una desviación estándar σ = 1.

Veremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Si )100,100(nX → , hallar:

a) ]120X[P ≤

9772.0]2Z[P]120X[P

]10

100120Z[P]120X[P

=≤=≤

−≤=≤


0.9772

120

100

D.N.G


b) ]130X[P ≥

0013.0]130X[P9987.01]130X[P

]3Z[P1]130X[P

]10

100130Z[P1]130X[P

=≥−=≥

<−=≥

−<−=≥


0.9772

2 0

D.N.E.

0.0013

D.N.G.

130100


c) ]75X[P <

062.0]75X[P]5.2Z[P]75X[P

]10

10075Z[P]75X[P

=<−<=<

−<=<


0.0013

D.N.E.

30

D.N.G.

0.0062

75 100


d) ]125X75[P ≤≤

9878.0]125X75[P]5.2Z5.2[P]125X75[P

]10

100130Z10

10075[P]125X75[P

=≤≤≤≤−=≤≤

−<−=≤≤

NOTA: UTILIZAR LA TABLA II DIRECTAMENTE


D.N.E.

0.0062

-2.5 0

D.N.G.

75 125100

0.9878


e) ]134X80[P ≤≤

9767.0]125X75[P0228.09997.0]125X75[P

]00.2Z[P]4.3Z[P]125X75[P]4.3Z00.2[P]125X75[P

]10

100134Z10

10080[P]134X80[P

=≤≤−=≤≤

−<−≤=≤≤≤≤−=≤≤

−<−=≤≤


D.N.E.

- 2.5 2.50

0.9878

D.N.G.

80 134100

0.9767



D.N.E.

-2.00 3.40

0.9767

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