VÒ ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh...............................................................

A.Më ®Çu:

1.Nh÷ng ®iÒu ph¶i nãi ngay:

Ch¶ ph¶i nãi riªng bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh(ptr) hay bÊt ph­¬ng tr×nh(bptr),tr­ícbÊt kú bµi to¸n nµo mµ b¹n ph¶i tiÕp cËn vµ gi¶i quyÕt nªn tr¶i qua 3 c©u hái kinh®iÓn sau:

(H1) Cã nh÷ng ®èi t­îng ®Æc biÖt nµo xuÊt hiÖn trong bµi to¸n cña chóngta ?

(H2) C¸c ®èi t­îng ®ã cãliªn quan g× ®Æc biÖt víi nhau?

(H3) CÇn sö dông c«ng cô g× ®Ó khai th¸c quan hÖ ®· kh¸m ph¸ trªn?

2.B¶n chÊt bµi to¸n ptr, bptr Khi quan tr¾c cuéc sèng víi nhiÒu ®èi t­îngcon ng­êi n¶y sinh c¸c sù so s¸nh gi¸ trÞ cã 2 lèi rÏ trong t­ duy con ng­êi khi sos¸nh1) Kh¼ng ®Þnh sù chªnh lÖch gi¸ trÞ gi÷a c¸c ®èi t­îng ®· quan tr¾c kh¼ng ®Þnh nµycã tÝnh ®óng sai minh b¹ch t¹o nªn c¸c ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc .2)ThiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn so s¸nh vµ kiÕm t×m gi¸ trÞ cña ®èi t­îng thay ®æi lµm tháam·n sù so s¸nh ®· thiÕt lËp ®ã. Sù so s¸nh ®­îc thiÕt lËp ra ko kÌm theo kh¼ng ®Þnhmµ lµ ®Ó t¹o ra c¸c môc tiªu (®k) t×m kiÕm t¹o nªn c¸c ph­¬ng tr×nh bÊt ph­¬ng tr×nh.

.Kh¸i niÖm ptr 1 Èn sè

Lµ mét ®k ®­îc thiÕt lËp d¹ng:f(x) = g(x)Víi f(x) vµ g(x) lµ 2 biÓu thøc (hµm sè) biÕn x, trong ptr nã lµ ®èi t­îng ch­a biÕttr­íc gäi lµ Èn sè mµ ta cÇn t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) khái nh÷ng rµng buéc ®Ó tháa m·nsù so s¸nh.

.Chó ý

+NÕu thay dÊu ”=” bëi c¸c dÊu ss kh¸c ta cã c¸c bptr.+NÕu cã nhiÒu ®k ss ®­îc thiÕt lËp (cïng víi cã thÓ xuÊt hiÖn nhiÒu ®èi t­îng t×mkiÕm) ®ång thêi ta cã c¸c hÖ (ptr vµ bptr)

Nh÷ng lý lÏ phÝa trªn cña t«i hy väng gióp c¸c b¹n kh«ng bao giê hµm hå mµph¸t biÓu r»ng ptr hay bptr nµy lµ ®óng hay sai c¶ mµ chØ cã c¸c ®¼ng thøc hay bÊt®¼ng thøc sai mµ th«i.

+C¸c t×nh huèng x¶y ra víi 1 ptr (bptr):

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2

th1: V« No (ko t×m ®­îc gi¸ trÞ tháa ®k thiÕt lËp so s¸nh)

th2: Cã duy nhÊt 1 gtrÞ t×m ®­îc tháa m·n .....

th3+..: T×m ®­îc nhiÒu...thËm chÝ v« sè

+VÒ nghiÖm cña ptr :®ã lµ gi¸ trÞ t×m thÊy cña Èn sè tháa ®¶m sù so s¸nh trong ptr b¹n h·y nhí tr­íc khiss ®èi t­îng ss cÇn ph¶i ”sèng ®­îc” ®·. Vµ ®ã lµ lý do cÇn x¸c lËp sù tån t¹i cñac¸c biÓu thøc bÞ bÕ ®i mµ ss.

Víi hÖ ptr nhiÒu Èn sè No cña nã ph¶i lµ 1 bé gi¸ trÞ ®ång thêi lµm tháa m·n sùss thiÕt lËp, t«i ph¶i nãi vËy v× ®«i khi t«i thÊy r»ng cã b¹n ®i kl 1 hÖ bËc nhÊt 2 Èncã 2 No !

3.Bµn vÒ sù so s¸nh

phÐp so s¸nh xu«i phÐp so s¸nh ng­îc= 6=> < ¸

phÐp so s¸nh ng­îc phÐp so s¸nh xu«i

+C¸c cÊu tróc ®­îc thiÕt lËp nªn ®Ó so s¸nh víi nhau chÝnh lµ c¸c biÓu thøc (hµmsè) mµ biÕn sè chÝnh lµ gi¸ trÞ ch­a biÕt tr­íc (cÇn t×m kiÕm) gäi lµ Èn sè. C¸c biÓuthøc Êy ch¼ng qua lµ c¸c c«ng thøc liªn kÕt l¹i tõ c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n. V× thÕ vÒc¬ b¶n c«ng viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh lµ gi¶i tho¸t Èn sè khái nh÷ng rµng buéc r¾c rèi®· ®­îc thiÕt lËp, sù gi¶i tho¸t Êy ¾t h¼n ph¶i ®i kÌm viÖc biÕn ®æi ”t¸c ®éng” vµo®èi t­îng ®­a vÒ h×nh thøc dÔ khai tho¸t h¬n(c¬ b¶n) .

+Kh«ng ph¶i lóc nµo còng cã thÓ (hay lµ còng nªn) t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) trùctiÕp Èn sè, cã thÓ víi 1ptr( bptr ) qu¸ cång kÒnh ta nªn t×m kiÕm 1 ®èi t­îng trunggian chøa Èn sè trùc tiÕp := Èn sè phô, hÖt nh­ ng­êi ta t×m vµng (Èn sè trùc tiÕp),thùc ra lµ t×m ”quÆng chøa vµng” (Èn sè phô) råi tõ quÆng mµ ®·i ra vµng 10.Còngph¶i nãi ngay lµ ch¼ng ph¶i cø ®¸ quÆng nµo còng ®·i ra vµng,v× thÕ nÕu ®Æt Èn sèphô th× ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn phô.

+Còng cÇn nhí r»ng do cã c¸c sù so s¸nh gi¸ trÞ := sù ®¸nh gi¸. ThÕ nªn kh«ng®­îc quªn r»ng ®«i khi viÖc t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) ph¶i cÇn tíi c¸c kü n¨ng ®¸nh gi¸®Ó c¸ biÖt hãa ®iÒu kiÖn so s¸nh.

Tãm l¹i :

Cã 3 gi¶i ph¸p c¬ b¶n tr­íc 1 ptr( bptr)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3

(gp1)B: BiÕn ®æi c¸c ®èi t­îng cã mÆt theo nh÷ng môc ®Ých sau:

(+)§­a vÒ c¸c h×nh thøc c¨n b¶n

(+)XuÊt hiÖn ®èi t­îng thÓ hiÖn chung (Èn sè phô)

(+)B¾t nh©n tö

(gp2)a: T×m ra ®èi t­îng thÓ hiÖn chung ®Ó ®Æt Èn phô víi môc ®Ých lµm ®¬ngi¶n kÕt cÊu (®Æc biÖt chó ý ®iÒu nµy víi bµi to¸n cã tham sè)

(gp3)d:§¸nh gi¸ t­¬ng thÝch c¸c ®èi t­îng cã mÆt ®Ó c¸ biÖt hãa sù so s¸nh

CÇn ph¶i n¾m ®­îc ®iÒu nµy nÕu muèn x¸c ®Þnh môc ®Ých bµi to¸n còngnh­ h×nh thµnh c¸c ph­¬ng ¸n gi¶i

4.Sù gi¶i tho¸t khái c¸c phÐp to¸n

Do c¸c cÊu tróc ®­îc thiÕt lËp nªn ®Ó so s¸nh lµ c¸c biÓu thøc (hµm sè) mµ c¸chµm sè s¬ cÊp cña chóng ta l¹i lµ c¸c quy t¾c d­íi h×nh thøc c¸c c«ng thøc cho t­¬ngøng gi¸ trÞ ®­îc h×nh thµnh trªn c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n (quy t¾c ®Þnh trÞ c¬ b¶n). Ta®· biÕt c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n nh­ sau:

B¶ng 2:

phÐp to¸n xu«i phÐp to¸n ng­îc+ -£ ¥

(::)n np:::

cos(:::) arccos(:::)sin(::) arcsin(:::)

a(:::) loga(:::)phÐp to¸n ng­îc phÐp to¸n xu«i

C¸c phÐp to¸n t¸c ®éng trùc tiÕp vµo biÕn sè ®ã céng víi c¸c phÐp hîp hµm sègióp h×nh thµnh nªn c¸c líp hµm sè s¬ cÊp sau:

1,Hµm ®a thøc

2,Hµm ph©n thøc

3,Hµm v« tû

4,Hµm l­îng gi¸c

5,Hµm sè mò vµ logarit

6,C¸c hµm tæng hîp tõ c¶ 6 phÐp trªn

Trong viÖc gi¶i ptr(bptr) b¹n cÇn n¾m ch¾c ®iÒu nµy ®Ó cã ®­îc hÖ thèng vÒ c¸ch×nh thøc ptr(bptr) vµ ý t­ëng (gi¶i ph¸p) c¬ b¶n vÒ kü n¨ng xö lý.

VÝ dô1:

Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

2:p

3x¡ 2¡ 3: 3px¡ 1 = 1:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4

Tr­íc khi b¾t ®Çu lêi gi¶i cÇn cã nh÷ng nhËn xÐt sau:

Cã:

c¨n bËc 2 (liªn quan: ®Õn phÐp lòy thõa bËc2) vµ bËc 3 (nghÜ ®Õn phÐp lòy thõabËc 3) cña nh÷ng l­îng bËc nhÊt (rÊt dÔ hãa gi¶i nhê phÐp nh©n chia cho h»ng sèvµ phÐp céng trõ)

T¹o quan hÖ:

(p

3x¡ 2)2 = 3x - 2

( 3px¡ 1)3 = x - 1

3(x - 1) - (3x - 2) = -1 $ (p

3x¡ 2)2 - 3( 3px¡ 1)3 = 1 (*)

Nh­ vËy nÕu rót bít 1 ®èi t­îng c¨n vd:p

3x¡ 2 =3 3px¡ 1 + 1

2ta t×m ra ®èi

t­îng thÓ hiÖn chung (Èn sè phô) ( 3px¡ 1) = t ®em thay vµo (*) ®Ó cã

ptr $ ¡4t3 + 3t2 + 2t¡ 1 = 0 ®©y lµ 1ptr bËc 3 nh­ng cã no ®Æc biÖt t = 1...

—————-

Ph¶i nãi lu«n nh­îc ®iÓm cña ch­¬ng tr×nh phæ th«ng hiÖn t¹i khi v¾ng mÆt hai”2 viªn thuèc gi¶i” cho 2 phÐp to¸n l­îng gi¸c ®ã lµ phÐp lÊy arccos vµ arcsinch¶ kh¸c nµo ®Î con g¸i ra (nh÷ng ®øa con g¸i siªu viÖt) råi ®Ó nã Õ chång! Ph¸mÊt sù hµi hßa cña cÊu tróc.

4.VÒ bµi to¸n cã tham sè

Xin quay l¹i sù vÝ von viÖc gi¶i ptr nh­ lµ ®i t×m vµng, sù kiÕm t×m kh«ng chØphô thuéc c¸ch thøc, c«ng nghÖ t×m kiÕm mµ cßn phô thuéc nhiÒu yÕu tè. Gi¶iph­¬ng tr×nh còng thÕ, trong nh÷ng ®iÒu kiÖn thùc tÕ kh¸c nhau mét ®èi t­îng sÏcã nh÷ng gi¶i ph¸p kiÕm t×m vµ gi¶i tho¸t kh¸c nhau. ViÖc ®ã kh«ng chØ phô thuéc®èi t­îng trùc tiÕp (Èn sè) ta ®i t×m mµ cßn phô thuéc vµo nhiÒu yÕu tè, nh÷ng yÕutè phô gia (gièng nh­ chÊt xóc t¸c trong ph¶n øng ®iÒu chÕ chÊt hãa häc) cã thÓch­a t­êng minh gi¸ trÞ (còng nh­ mét biÕn sè trong biÓu thøc hµm ®­îc thiÕt lËpso s¸nh) nh­ng ta kh«ng coi nã lµ Èn sè (v× cã ph¶i môc ®Ých lµ ®i t×m nã ®©u!) mµgäi lµ tham sè vµ øng víi mçi t×nh huèng ®Æc biÖt x¶y ®Õn víi tham sè t×nh huèngvµ ®iÒu kiÖn gi¶i tho¸t l¹i kh¸c ®i buéc ta ph¶i luËn xÐt t­êng minh (qu¸ tr×nh biÖnluËn). V× lý do trªn t«i nghÜ vÒ b¶n chÊt

tham sè lµ:

sè tham gia vµo sù thiÕt lËp so s¸nh trong ph­¬ng tr×nh cã thÓ g©y ®Õn nh÷nggi¶i ph¸p kh¸c nhau cho viÖc t×m kiÕm Èn sè

Xin ®Æt m×nh vµo xóc c¶m cña mét ng­êi chØ huy mét trËn ®¸nh khi gÆp bµi to¸nbiÖn luËn nãi riªng hay cã tham sè nãi chung. H·y ®Æt ra nh÷ng ch÷ ”nÕu” cã lý(mét c¸ch tù nhiªn) cho nh÷ng t×nh huèng x¶y ®Õn cho trËn ®¸nh ”gi¶i tho¸t cña

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5

b¹n”; ®ã thùc chÊt lµ mét qu¸ tr×nh diÔn dÞch c¸c ý t­ëng gi¶i tho¸t. T«i nhËn thÊycã nh÷ng c©u hái th­êng diÔn ra tù nhiªn víi m×nh nh­ sau :

(B1) B©y giê sÏ tÊn c«ng thÕ nµy...nh­ng lì...th× sao? vËy nªn xÐt.

(B2)NÕu (®iÒu kiÖn) thuËn lîi cho phÐp ”tÊn c«ng kia” kh«ng x¶y ra th× sao?...(chänc¸h tÊn c«ng kh¸c tr¸nh ®i c¹m bÉy ®· nhËn ra hay ®iÒu kiÖn kh«ng cho phÐp võanhËn ra)

(B3) Quay l¹i (B1).......

Cø thÕ qu¸ tr×nh luËn xÐt vÐt hÕt ®­îc c¸c t×nh huång x¶y ®Õn ®Ó cuèi cïng chota mét kÕt luËn tæng hîp.

Nãi chung t«i h¬i khã hiÓu lµ 1 sè hs rÊt ng¸n viÖc gi¶i vµ biÖn luËn ptr, bptrcã tham sè mong b¹n h·y b×nh th¶n h¬n th× tèt. Thùc ra lo¹i bµi tËp nµy cÇn ë b¹nphÈm chÊt cña 1 b¸c n«ng d©n. Nã ko khã nh­ng r¾c rèi v× nh÷ng suy luËn vôn vÆtkiÓu vÐt c¹n, ngµy cßn hs t«i th­êng ®èi diÖn víi nã nh­ thÓ cÇn ®i qua mét con®­êng m­a lÇy vËy. Cßn b¹n h·y xuÊt ph¸t viÖc ”gi¶i vµ biÖn luËn” tõ thuËt gi¶i vµkhi nµo c¸i tham sè ®¸ng ghÐt kia ng¨n c¶n tÝnh cã lý cña gi¶i thuËt th× ta sÏ vËt nãra mµ mæ xÎ vµ xem xÐt ...vËy th«i!

VD1:

Gi¶i biÖn luËn víi m lµ tham sè ptr:

m+ x = 1 +m2x—————

ptr $ (m¡ 1) = (m2 ¡ 1)xNÕu m2 ¡ 1 = 0 $ (m¡ 1)(m+ 1) = 0 $ m = 1 hoÆc m = ¡1

m = 1 ptr $ 0x = 0 nhËn R: tËp nghiÖm

m = ¡1 ptr $ 0x = ¡2: v« nghiÖm

NÕu m2 ¡ 1 6= 0 $ m 6= 1 vµ -1

ptr $ x =m¡ 1

m2 ¡ 1

$ x =1

m+ 1

VËy:+Víi m = 1 tËp nghiÖm ptr lµ R

+Víi m = ¡1 ptr v« nghiÖm

+Víi m 6= 1 vµ -1 ptr cã nghiÖm duy nhÊt x =1

m+ 1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

6

Còng ph¶i nãi thªm lµ khi dïng kü n¨ng ®Æt Èn sè phô gi¶i ph­¬ng tr×nh (bptr)cã tham sè b¹n cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè phô kÎo kh«ng c¸i ®iÒu kiÖn ”t­ëng bë”mµ b¹n luËn ra cho nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng x¸c thùc.

VD3:

T×m tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh:

cos2x¡ 2m:cosx+ 1 = 0 cã 2 ngiÖm ph©n biÖt x 2 (0;¼

2)

————–

Tai n¹n x¶y ®Õn lµ ®Æt cosx = t råi th× ptr cã ngiÖm $ ptr t2¡ 2m:t+ 1 = 0 cã

2ngiÖm ph©n biÖt (thËm chÝ 2nghiÖm ph©n biÖt 2 (0;¼

2))!

lêi gi¶i ®óng ph¶i lµ:

®Æt cosx = t 2 (0; 1) khi x 2 (0;¼

2) mµ víi mçi t 2 (0; 1) th× cosx = t sÏ sinh ra

duy nhÊt ®óng 1 n0x 2 (0;¼

2)

VËy nªn ®Ó ptr ®Ò ra cã ngiÖm nh­ yªu cÇu$ ptr t2 ¡ 2m:t+ 1 = 0 cã 2ngiÖmph©n biÖt t 2 (0; 1) ®Õn ®©y b¹n h·y xem l¹i VD2.

Tõ VD3 cã thÓ rót ngay ra mét bµi häc lµ:

Trong viÖc xö lý viÖc cã nghiÖm (hay luËn xÐt sè c¸c nghiÖm) mét ph­¬ng tr×nhcã tham sè mµ ta ®Æt Èn sè phô:(+)®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè phô theo ®iÒu kiÖn cña Ên sè gèc, c«ng viÖc nµy chÝnh lµt×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm t = p(x) : Èn phô trªn miÒn x tháa ®iÒu kiÖn Èn sè

(+) Muèn xÐt sè nghiÖm cÇn xÐt c¶ tÝnh c¶m sinh nghiÖm x tõ nghiÖm t cñaph­¬ng tr×nh Èn phô (phÐp gi¶i ng­îc).

B. Mét sè gi¶i ph¸p chi tiÕt:

H·y xem l¹i b¶ng(2) c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n ®Ó hiÓu ý t­ëng h×nh thµnh c¸c kün¨ng c¬ b¶n mµ t«i bµy ra sau ®©y

1. Ph­¬ng tr×nh (bptr) bËc nhÊt:

T«i xem träng lo¹i nµy khi d¹y cho h/s mÊt c¨n b¶n (phÇn nhiÒu trong nh÷ng®øa trÎ tõng ngåi tr­íc t«i ) kh«ng ph¶i v× nã dÔ mµ v× nã b¸o ®éng ®­îc cho chóng®iÒu chóng ®· mÊt.

1.1,Kh¸i niÖm:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7

Lµ bµi to¸n liªn quan tíi ®iÒu kiÖn so s¸nh víi c¸c biÓu thøc h×nh thµnh bëi 3phÐpto¸n (+),(-) vµ (.) víi h»ng sè (c¸c hµm bËc nhÊt).

1.2,§iÒu c¬ b¶n cÇn biÕt:

(-)sù gi¶i tho¸t:

(xem b¶ng 2)

(-)luËt lÖ:

Nhí lµ (+) vµ (-) th× v« t­ nh­ng (:) th× cÇn sè chia (mÉu sè ph©n thøc) 6= 0

2.Ph­¬ng tr×nh ®a thøc bËc cao h¬n 1:

§©y lµ nÒn t¶ng cho c¸c thÓ lo¹i ptr hay bptr cã thÓ gi¶i ®­îc sau nµy

1.1,Kh¸i niÖm:

Lµ bµi to¸n liªn quan tíi ®iÒu kiÖn so s¸nh víi c¸c biÓu thøc h×nh thµnh bëi 3phÐpto¸n (+),(-) , (.) víi h»ng sè vµ c¸c hµm lòy thõa bËc tù nhiªn(c¸c hµm ®a thøc).

2.2,§iÒu c¬ b¶n cÇn biÕt:

(-)Sù gi¶i tho¸t:

T×m c¸ch ph©n tÝch triÖt ®Ó ®a thøc vÒ tÝch c¸c nh©n tö bËc nhÊt vµ bËc 2 v« nghiÖm

(-)LuËt lÖ:

(+)CÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ tam thøc bËc 2

(+)Kü n¨ng ph©n tÝch nh©n tö gåm

(kng0)C¸ch nhÈm nghiÖm m«t ®a thøc bËc lín h¬n 2 (mß ra gi¸ trÞ lµm ®a thøctriÖt tiªu )

(kng1)§Þnh lý B¬zu:

NÕu ®a thøc P(x) cã nghiÖm lµ c (tøc lµ P(c) = 0) th× P(x) cã nh©n tö (x - c),(nghÜa lµ P(x) = (x - c).Q(x) víi Q(x): ®a thøc )

(kng2): 2 D¹ng ph©n tÝch c¬ b¶n cña 1 tam thøc bËc 2 gåm ph©n tÝch chÝnh t¾cvµ ph©n tÝch nh©n tö.

(+)Ph­¬ng ph¸p xÐt dÊu b»ng b¶ng vµ trôc ®an dÊu

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com