Deducción de la Ecuación de Euler – Lagrange utilizando

Cálculo Elemental

.0'

y

F

dx

d

y

F

2

Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más

importantes de la Física.Nos hemos basado en “Deriving Lagrange’s

Equation Using Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja.

3

Lagrange (1736- 1813) y Euler (1707- 1783) fueron dos

matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la

ciencia. Utilizando cada uno sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las

fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación

Variacional. [1]

4

Dos Formulaciones de la Mecánica

VECTORIAL, se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula.

VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.

5

La Braquistócrona, Ejemplo Clásico del Empleo del

Cálculo Variacional

Brachistos y Cronos significan –en griego- Corto y Tiempo, respectivamente.La Braquistócrona es la curva de descenso más rápido.El problema fue originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686.

6

Enunciado del Problema de la Braquistócrona

“Dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).”

a

b

M

Fig. 1

7

“Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando: ,

'1

2

1 2

b

a

dxya

y

gt

en donde g es la aceleración de la gravedad.

8

Sin embargo esta solución no era general, y por lo tanto, el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella.

Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en las láminas que siguen.

9

El primero, Lagrange, utilizó un enfoque analítico [2]

y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional.

Lagrange, para su hallazgo-¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción [3] y en su invención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica (su propio diagrama es el de la figura 2) y utilizó el análisis infintesimal.

10

Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler.

El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica.

11

Brevemente, su programa consiste en:

1.Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua.

2.Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.

3.Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce una variación en la ordenada (de N-n hacia N-v).

Fig. 2

Variación

12

El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que

significa una “variación”Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian de la que por hipótesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tomó una variación (ordenada de N-n a N-v en la figura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, comparó los trayectos para finalmente descubrir su fórmula [4].

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Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones [5] :Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a por lo que se puede tomar como nula.Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también.

2x

14

Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a , y para ello utilizamos la aproximación cuadrática,

Supongamos, además, que está situada en un

extremo. Entonces, y por la razón de que = 0 en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así:

2

2

2

)(2

)()()()( 0 x

dx

xfdx

dx

xdfxfxP o

o

dx

xdf )( 0

0x

0x

2

20

2

)(2

)()()( x

dx

xfdxfxP o

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…donde vemos claramente que la diferencia entre

, que es , depende de

un infinitésimo al cuadrado, .

Refiriéndonos otra vez al gráfico de la figura 2, la variación v, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (está situada sobre un trayecto que, por hipótesis es ya un mínimo) y por lo tanto su diferenciacon el segmento m-o, es, en la práctica, nula. Nota: a esto es lo que se refieren los matemáticos cuando dicen “ignoremosla variación de segundoorden.”

)(y)( oxfxP

22

02

)(2

)(x

dx

xfd

2)( x

Fig. 2

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En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado [6]. En efecto, el Análisis Infinitesimal moderno, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero.

17

La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este caso el mínimo no es un punto; es más bien una función integral que describe un trayecto. Para estudiar dicha diferencia infinitesimal,

·Se asume una ruta mínima –dada como correcta- que existe dentro de una familia de rutas.·Se compara la “correcta” con otra apenas alejada de ella.·Por la razón de que la correcta es, por hipótesis, un trayecto mínimo, cualquier diferencia es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y por lo tanto, despreciable.

Repaso a guisa de aclaración:

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Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar la función mínima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función f(x) (un tema del Cálculo) no es lo mismo a buscar aquella función y = f(x)

que haga que la integral sea un extremo (un

tema del Cálculo de Variaciones).

b

a

dxxfI )(

19

En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de y, y’, y en muchos casos, de x también, razón por la cual los problemas variacionales se generalizan con una función F de tres variables,

F = F ( y, y’, x)

y la integral definida,

que se busca minimizar.

Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler.

z

a

dxxyyFI ),',(

20

Retomando los pasos de Euler,

Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en intervalos finitos y escogemos dos puntos cualesquiera, k, k+1. Por la razón de que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos en una segmento extremo.

k k+1

v

om

n

...z

a...

Fig. 2

x

Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizada por una suma:

z

a

dxxyyFI ),',(

n

okkkk xxyyF ),',(

21

Tercero, evaluamos la suma en k y k+1 justo donde está la variación v, para formar los elementos Lk y Lk+1 siendo,

kkkkk xxyyFL ),',(

11111 ),',( kkkkk xxyyFL

y

Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada ‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden.

k k+1

v

om

n

...z

a...

Fig. 2

22

Con tal fin, derivamos con respecto a yk,

kk

k

k

k

k

k

k

xdydx

xF

dydy

yF

dydy

yF

'

'=

kk

kk

k

kk

k

xdydx

xF

xdydy

yF

xyF '

'

Arreglando términos,

kkk

kk

k

yF

yF

xyF

yL

''

'2

yF

xyF

yL

kkk

k

1´

'

y

dy'

1

ydy

dx

k

k

o, lo que es lo mismo,

, y

por la razón de que,

kkkkk xxyyFL ),',(

k

k

y

L

23

Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo en cuenta que la pendiente del segmento v – o es negativa, obtenemos,

'yx

y

111

1

'2

kk

kk

k

y

Fx

y

F

y

L

Como buscamos el comportamiento de todo el segmento m-o, sumamos y, para encontrar

la diferencia mínima, igualamos a cero:

k

k

y

L

1

1

k

k

y

L+

0''

211)1(1

1

kkkkkkk

k

k yF

yF

xyF

yF

yF

yL

yL

Segmento

24

Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que obtenemos:

Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos [7], finalmente escribimos la última expresión como

que no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange.

'

1

2

1

1 y

F

xy

F

y

F

kk

''' 1 dyyy kk

0'

y

F

dx

d

y

F

René F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005.

25

Referencias utilizadas

[1] A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.[2] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”.[3] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv2 -el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción. [4] Ver Cornelius Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler.[5] Ver Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”.[6] Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición.[7] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o