Ecuaciones

Diferenciales resueltas

con Transformada de

Laplace

Matemáticas Avanzadas II

Yazmin Barrientos Galván

Elena Lizeth Guerrero Ibarra

8°”A” Ing. Tecnologías de la

Producción

Prof.: Lic. G. Edgar Mata Ortiz

En la siguiente presentación se muestra como se

resuelven Ecuaciones Diferenciales con el método

de Transformada de Laplace. Con ejemplos

obtenidos del libro de Ecuaciones Diferenciales

del autor Denis G. Zill.

Transformada de laplace Permite resolver ecuaciones diferenciales

lineales, mediante la transformación en

ecuaciones algebraicas con lo cual facilita su

estudio.

Ecuación Diferencial

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones

matemáticas que establecen relaciones entre

variables independientes, dependientes y las

derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas

clasificaciones, una de ellas indica que este tipo

de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

¿Como resolver?Encuentre la

incógnita 𝑦 𝑡que satisfaga una

ED y las condiciones

iniciales

Aplique la Transformada

de Laplace

La ED transformada

se convierte en una

ecuación

algebraica en 𝑦 𝑆 .

Resuelva la ecuación

transformada de 𝑌(𝑠)

Aplique la

transformada

inversa

Resuelva 𝑦 𝑡 del

PVI original

Nuestra meta inmediata es usar la transformada de Laplace

para resolver ecuaciones diferenciales.

Aquí hemos asumido que e–st f (t) → 0 cuando t → . De manera

similar, con ayuda de (6),

Ecuación Diferencial

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 3y = 13sen 2t, y 0 = 6

Solución:

Primero tomamos la transformada de cada

miembro de la ecuación diferencial :

𝐿𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 3𝐿 𝑦 = 13𝐿 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

Pero de (6), L 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 = 𝑠𝑌 𝑠 − 6

Y de la parte d) del teorema 4.1

L 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =2

𝑠2+4𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶

𝑠𝑌 𝑠 − 6 + 3𝑌 𝑠 =26

𝑠2 + 4𝑜 𝑠 + 3 𝑌 𝑠 = 6 +

26

𝑠2 + 4

Fracciones Parciales :

Las fracciones parciales cumplen una función

importante cuando se trata de encontrar las

transformadas inversas de Laplace.

Al resolver la ultima ecuación para

Y(s),obtenemos

Y(s)= 6

𝑠+3+

26

(𝑠+3)(𝑠2+4)=

6𝑠2+50

(𝑠+3)(𝑠2+4)

En base a que el polinomio cuadrático s2 +4

no se factoriza con números reales,

asumido en la descomposición de la

fracción parcial es un polinomio lineal en s:

=𝐴

𝑠+3+

𝐵𝑠 + 𝐶

𝑆2 + 4

Al poner el lado derecho de la igualdad sobre un

denominador común e igualar los numeradores se

tiene:

6s2+ 50 = A (s2+ 4) + (Bs + C)(s + 3).

Al establecer s= –3, de inmediato se produce A = 8.

Como el denominador no tiene más ceros reales,

igualamos los coeficientes de:

s2y s: 6 =A + B y 0= 3B + C.

Aplicando el valor de A en la primera ecuación se

tiene B=–2, y al usar después este último valor en la

segunda ecuación resulta C=6. Por lo tanto.

Y(s)= 6𝑠2+50

(𝑠+3)(𝑠2+4)=

8

𝑠+3+−2𝑠+6

𝑠+3

Aún no hemos terminado porque la última expresión

racional todavía tiene que escribirse como dos

fracciones. Pero esto se hizo en el ejemplo 2

mediante la división término a término. Con base en

(2) de ese ejemplo.

Y(t) = 8𝐿−11

𝑆+3− 2𝐿−1

𝑆

𝑆2+4+ 3𝐿−1

2

𝑆2+4

Se deduce en los incisos c), d) y e) del teorema 4.3 que la solución

del problema de valor

Inicial es

y(t) = 8e-3t - 2cos 2t + 3 sen 2t.

EXPLICACION DE LOS TEOREMAS

Esta función básica señalada

es la que tomamos para

realizar la ED del ejemplo.

Para realizar la

transformada inversa

tuvimos que

apoyarnos con las

funciones aquí

mostradas

Bibliografía