I. Bentuk fungsi produksi sama untuk kedua jenis produk

x=K x

12 Lx

12 dan y=K y

12 Ly

12

MPLx=12Kx

12 Lx

−12 dan MPKx=

12Kx

−12 Lx

12

MPLy=12Ky

12 L y

−12 dan MPKy=

12Ky

−12 Ly

12

MRTSx=MPLxMPKx

=

12Kx

12 Lx

−12

12Kx

−12 Lx

12

=K x

Lx dan

MRTS y=MPLyMPKy

=

12Ky

12 L y

−12

12Ky

−12 Ly

12

=K y

L y

Karena

K y=K−K x dan Ly=L−Lx, maka MRTS y=K−K x

L−Lx dan

MRTSx=MRTS y❑⇔K xLx

=K y

Ly=K−K x

L−Lx❑⇔K x L−K x Lx=K Lx−K x Lx

Oleh karena itu K x=KLLx dan x=K x

12 Lx

12=( KL Lx)

12 Lx

12=( KL )

12 Lx

❑ atau

Lx=( LK )12 x, dan K x=

KLLx=

KL ( LK )

12 x=( KL )

12 x

Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya sama, maka fungsi permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah disubstitusi adalah juga sama.

K y=K−K x=K− KLLx=

K L−K LxL

=K (L−Lx)

L= KLLy

y=K y

12 Ly

12=( KL L y)

12 L y

12=( KL )

12 L y. Karena Ly=L−Lx, maka

y=( KL )12 L y=( KL )

12 (L−Lx)=(K L )❑

12−( KL )

12 Lx=(K L )❑

12−(KL )

12 Lx=(K L )❑

12−( KL )

12 ( LK )

12 x=(K L )❑

12−x.

Jadi garis efisiensi produksi adalah

y= (K L )❑12−x, yang berbentuk linear.

II. Bentuk fungsi produksi berbeda

x=K x

12 Lx

12 dan y=2K y

12 Ly

12

MPLx=12Kx

12 Lx

−12 dan MPKx=

12Kx

−12 Lx

12

MPLy=K y

12 Ly

−12 dan MPKy=K y

−12 Ly

12

MRTSx=MPLxMPKx

=

12Kx

12 Lx

−12

12Kx

−12 Lx

12

=K x

Lx dan

MRTS y=MPLyMPKy

=K y

12 Ly

−12

K y

−12 Ly

12

=K y

Ly

Karena

K y=K−K x dan Ly=L−Lx, maka MRTS y=K−K x

L−Lx dan

MRTSx=MRTS y❑⇔K xLx

=K−K x

L−Lx❑⇔K x L−K x Lx=K Lx−K x Lx

Oleh karena itu K x=KLLx dan x=K x

12 Lx

12=( KL Lx)

12 Lx

12=( KL )

12 Lx

❑ atau

Lx=( LK )12 x, dan K x=

KLLx=

KL ( LK )

12 x=( KL )

12 x

Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya sama, maka fungsi permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah disubstitusi adalah juga sama.

K y=K−K x=K− KLLx=

K L−K LxL

=K (L−Lx)

L= KLLy

y=2K y

12 Ly

12=2( KL Ly)

12 Ly

12=2( KL )

12 L y. Karena Ly=L−Lx, maka

y=2(KL )12 Ly=2( KL )

12 (L−Lx )=2 (K L )❑

12−2( KL )

12 Lx=2 (K L )❑

12−2(KL )

12 Lx=2 (K L )❑

12−2( KL )

12( LK )

12 x=2 (K L )❑

12−2x

. Jadi garis efisiensi produksi adalah

y=2 (K L )❑12−2 x, yang berbentuk linear.

III. Pangkat tidak sama

x=K x

12 Lx

12 dan y=K y

14 L y

34

MPLx=12Kx

12 Lx

−12 dan MPKx=

12Kx

−12 Lx

12

MPLy=34Ky

14 Ly

−14 dan MPKy=

14Ky

−34 Ly

34

MRTSx=MPLxMPKx

=

12Kx

12 Lx

−12

12Kx

−12 Lx

12

=K x

Lx dan

MRTS y=MPLyMPKy

=

14Ky

14 Ly

−14

34Ky

−34 Ly

34

=13K y

Ly

Karena

K y=K−K x dan Ly=L−Lx, maka MRTS y=K−K x

3(L−Lx) dan

MRTSx=MRTS y❑⇔K xLx

=K−K x

3(L−Lx)❑⇔3K x L−3K x Lx=K Lx−K x Lx

❑⇔3K x L−2K x Lx=K Lx❑

⇔3K x L=K Lx+2K x Lx❑

⇔K x=

(K+2K x)Lx3 L

Oleh karena itu K x=(K+2K x )Lx

3L dan x=K x

12 Lx

12=((K+2K x)Lx

3 L )12 Lx

12=((K+2K x)

3L )12 Lx

❑ atau

Lx=( 3 LK+2K x )

12 x, dan (K+2K ¿¿ x)❑

12 Lx=(3 L )❑

12 x❑

⇔(K+2K ¿¿ x )❑

12=

(3 L )❑12 xLx

¿¿

❑⇔

(K+2K ¿¿ x)=( (3 L )❑12 xLx )

2

❑⇔

(K+2K ¿¿ x)=3 Lx2

Lx2

❑⇔2K x=

3 Lx2

Lx2

−K ¿¿

❑⇔K x=

3L x2

2 Lx2 −K

2

K x=(K+2K x )Lx

3 L=

(K+2K x )3L ( 3 L

K+2K x)12 x=(K+2K x

3L )12 x

K x2=( K+2K x

3 L )❑

x2

Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya berbeda, maka fungsi permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah disubstitusi adalah juga berbeda.

K y=K−K x=K− KLLx=

K L−K LxL

=K (L−Lx)

L= KLLy

y=2K y

12 Ly

12=2( KL Ly)

12 Ly

12=2( KL )

12 L y. Karena Ly=L−Lx, maka

y=2(KL )12 Ly=2( KL )

12 (L−Lx )=2 (K L )❑

12−2( KL )

12 Lx=2 (K L )❑

12−2(KL )

12 Lx=2 (K L )❑

12−2( KL )

12( LK )

12 x=2 (K L )❑

12−2x

. Jadi garis efisiensi produksi adalah

y=2 (K L )❑12−2 x, yang berbentuk linear.

Contoh:

Misalnya di sebuah pulau terluar dan terasing hidup sebuah keluarga Anu. Dia merupakan produsen sekaligus konsumen. Untuk penghidupan keluarganya dia mengumpulkan makanan dari kelapa dan ikan. Karena dia produsen dan konsumen, sehingga tidak memerlukan pasar untuk memfasilitasi keputusan produksi dan konsumsinya. Untuk mengumpulkan kelapa dan ikan, dia hanya menggunakan tenaga kerja dan peralatan.

Fungsi produksinya:

F=2KF12 LF

12 dan C=KC

12 LC

12

K=100 dan L=400

Ingat hubungan antara 2 fungsi produksi di atas ─ yang mempunyai pangkat sama, dan yang beda hanya kelipatannya saja ─ akan menghasilkan hubungan fungsi linear.

F=2KF12 LF

12−2C=2(40.000)1/2−2C=400−2C

Fungsi utilitas/preferensi Anu adalah U = CF. Persoalan maksimasinya

Maks U = CF,

dengan kendala F=400−2C❑⇔F−400+2C=0

Fungsi lagrannya menjadi

L=CF+ λ(F−400+2C)

Persyaratan turunan pertama

∂L∂C

=F+2 λ=0❑⇔λ=−F

2 (1)

∂L∂F

=C+ λ=0❑⇔λ=−C (2)

∂L∂F

=F−400+2C=0 (3)

Selesaikan (1) dan (2), diperoleh

F = 2C (4)

Masukkan (4) pada (3), diperoleh

2C – 400 + 2C = 0, maka

C* = 100 (5)

Masukkan (5) pada (4), diperoleh

F* = 200 (6)

Untuk memperoleh harga relatif antara C dan F, perlu mencari MRTCF dan MRSCF

MRT CF=−∂¿¿

MRSCF=FC

=2, jadi pCpF

=2

Penggunaan input yang efisien untuk masing-masing produk

KC=( KL )❑

1 /2

C ¿=( 100400 )❑12 (100 )=50 (7)

LC=( LK )❑

1/2

C ¿=( 400100 )❑

12 (100 )=200 (8)

K F=( KL )❑

1 /2

F¿=12 ( 100400 )

❑

12 (200 )=50 (9)

LF=( LK )❑

1/2

F¿=12 ( 400100 )

❑

12 (200 )=200 (10)

Kita dapat memperoleh MRTSC dan MRTSF

MRTSC=K C

LC= 50200

=14

MRTSF=K F

LF= 50200

=14

Dengan demikian, harga input relatif antara K dan L adalahwr=14

Jadi keseimbangan adalah efisien dalam ekonomi di mana tidak mungkin untuk menghasilkan lebih banyak produk yang satu tanpa mengurangi untuk menghasilkan produk yang lain, dan keseimbangan itu memaksimalkan utilitas (preferensi) konsumen tunggal yang hidup di pulau terluar dan terasing.