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Componentes:Erlan Luana Tiago
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos (A ≠ B), temos:
ax + by + c = 0 (equação geral da reta r)Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto
P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c ≠0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos:Vamos considerar a equação geral da reta r que
passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P
r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y
+ 2 = 0, obtemos:1 - 2 + 2 ≠ 0Como a igualdade não é verdadeira, então Q
r.
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:Isolando y na equação geral
ax + by + c = 0, temos:
Fazendo , vem: y = mx + q Chamada equação reduzida da reta, em que
,fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não
existe a equação na forma reduzida.
Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :
A equação geral de r é dada por:
Dividindo essa equação por pq , temos:
Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:
São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.
Assim, por exemplo, , são
equações
paramétricas de uma reta r. Para obter a equação geral dessa reta a
partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:
x = t + 2 t = x -2Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0
( equação geral de r)
Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os
pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
Equação GeralDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a
equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios,
temos:
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
(Fórmula de resolução)
Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:
Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência.