ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD CONDICIONAL, PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYE

Nombre: Virginia Guadalupe Acero Trujillo.

Grupo: 2º “F”

Profesor: Edgar Gerardo Mata O.

19/febrero/2015

PROBABILIDAD TOTAL

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

FÓRMULA

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

EJERCICIOS

Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.

b) Verde: probabilidad del 30%

c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%

2.- Aplicamos la fórmula:

Luego,

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

 

Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

En definitiva, ¿Cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema completo

2.- Aplicamos la fórmula:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15

Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...

Ejercicio 3. Si A 1, A 2,..., A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1   A 2  ...   A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Ejercicio 3. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas,

de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de

ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es

la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas,

esté fundida?

TEOREMA DE BAYES

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado en B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

El teorema de bayes es de  enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

FÓRMULA

Sea   un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un

suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la

probabilidad   viene dada por la expresión:

Donde:

 son las probabilidades a priori.

 es la probabilidad de   en la hipótesis .

 son las probabilidades a posteriori.

EJERCICIOS

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de nieve fue de 7.1%

Ejercicio 2. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños

el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra

que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos

que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos

serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean

menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses

es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

 

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir

de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos

condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña un infante menor de 24

meses será:

Ejercicio 3. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20%

se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías

correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan

correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona

un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una

cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad

total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el

valor de la probabilidad será:

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra

un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La

probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la

probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal

entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o

pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B,

viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones

causales o temporales son nociones que no pertenecen al

ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o

no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Tomando los mundos en los que B se cumple,   se puede interpretar como la fracción

en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es

tener dolor de cabeza,   sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se

está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos

posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se

tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y

dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien

tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor

de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B.

Como el área verde representa   y el área de B representa a , formalmente se

tiene que:

FÓRMULA

EJERCICIOS

Ejercicio 1. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.

Calcular la probabilidad de que:

1 Las dos sean copas

2 Al menos una sea copas

3 Una sea copa y la otra espada

Las dos sean copas

Al menos una sea copas

Una sea copa y la otra espada

Ejercicio 2. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las

chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio

francés?

2 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?

¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?

Ejercicio 3. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los

alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si

además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que

escogido al azar un alumno de la clase:

1 Juegue sólo al fútbol

2 Juegue sólo al baloncesto

3 Practique uno solo de los deportes

4 No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

Juegue sólo al fútbol

Juegue sólo al baloncesto

Practique uno solo de los deportes

No juegue ni al fútbol ni al baloncesto