Estudio sobre habilidades matemáticas para el Cálculo Diferencial en estudiantes de Ingeniería.

Falsetti, Marcela – Favieri, Adriana – Scorzo, Roxana. – Williner, Betina.

Universidad Nacional de La Matanza – Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas.

Florencio Varela 1903- San Justo – Pcia. De Buenos Aires. Resumen: El presente artículo reporta un estudio exploratorio sobre el aprendizaje de habilidades matemáticas en el marco de un taller de la asignatura Cálculo I (Análisis Matemático en una variable), con uso del software Mathematica®, para las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática de la Universidad Nacional de La Matanza (UNLaM) realizado durante el año 2007. El propósito del estudio es obtener información sobre la relación entre la propuesta de trabajo para los alumnos en el taller, y más específicamente en lo que se refiere a las actividades, y el aprendizaje de habilidades. Presentamos aquí los criterios que se han considerado para el estudio, las características de las actividades del taller, de los instrumentos para la evaluación de las habilidades y el análisis de los resultados obtenidos.

Palabras claves: habilidades para el aprendizaje matemático-taller con uso de software-cálculo diferencial e integral-matemática en carreras de ingeniería-

marcelacristinaf@yahoo.com.ar, adriana_favieri@yahoo.com.ar, rscorzo@yahoo.com.ar , bwilliner@yahoo.com.ar

Estudio sobre habilidades matemáticas para el Cálculo Diferencial en estudiantes de

Ingeniería

1. Introducción El presente artículo reporta un estudio exploratorio sobre el aprendizaje de habilidades matemáticas en el marco de un taller de la asignatura Cálculo I (Análisis Matemático en una variable), con uso del software Mathematica, para las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática de la Universidad Nacional de La Matanza (UNLaM) realizado durante el año 2007. Las nuevas tendencias para la formación de ingenieros hacen particular hincapié en las competencias (CONFEDI, 2005), lo cual incorpora un nuevo interés formativo, ya que no sólo interesa el contenido, la cantidad y la calidad de información, sino también el saber hacer y desempeñarse, la capacidad de evocar lo aprendido, integrarlo con otros conocimientos y aplicarlo a nuevos contextos y dar respuestas creativas a problemas profesionales. En relación con la formación por competencias del ingeniero, consideramos que éstas están estrechamente relacionadas con las habilidades, las cuales refieren a un conocimiento en la acción y para la acción, adquirido en un contexto temático específico. Las habilidades, integradas en redes, o esquemas, conceptuales, procedimentales y afectivas más complejas que resultan accesibles para distintos contextos, incluso diferentes a aquellos en los que se ha aprendido, constituirían las competencias. Esta concepción estaría en concordancia con la siguiente definición de competencia planteada por el International Bureau of Education Geneva (citado en Documento de CONFEDI, 2005) “Una competencia corresponde a una combinación interrelacionada de destrezas cognitivas y prácticas, conocimiento (incluyendo conocimiento tácito), motivación, valores, actitudes, emociones y otras componentes que juntas pueden ser movilizadas para lograr una acción efectiva en un contexto particular.” Efectuamos este estudio, cuyos resultados reportamos en este artículo, con el propósito de obtener información sobre la relación entre la propuesta de enseñanza en un taller de Cálculo I, y más específicamente en lo que se refiere a las actividades para ser trabajadas en ese espacio, y el aprendizaje de habilidades. En otros trabajos sobre habilidades matemáticas que hemos usado como referencia, las mismas son consideradas en forma genérica (Mena y otros, 2006), sin embargo nosotros consideramos que la manifestación correcta de una habilidad puede variar de acuerdo al contenido, por lo que su evaluación o ponderación debería hacerse, en lo posible, de acuerdo a la asociación habilidad-contenido (ver Rodríguez y otros, 2005) tal como será tratado aquí. Nos proponemos entonces mostrar el análisis de la habilidad por contenido, realizado con el propósito de tener información sobre el alcance de las actividades propuestas. Dicha información serviría para ajustar las nuevas actividades del taller con un sustento empírico y teórico sólido, de manera de orientarlas a la adquisición y fortalecimiento de las habilidades de estudio de la Matemática.

2. Marco Teórico Nuestro fundamento teórico está basado en tres pilares: 2.1. Habilidades matemáticas 2.2. Uso del software en la enseñanza de la matemática 2.3. El taller como espacio de aprendizaje. 2.1. Habilidades matemáticas Una habilidad matemática es la capacidad de efectuar o realizar una tarea matemática eficientemente o de actuar adecuadamente frente a una situación, en la que la Matemática esté involucrada, comprendiendo más de una operación intelectual. En general, una habilidad nos permite realizar adecuadamente otras actividades jerárquica y/o lógicamente asociadas. Las habilidades matemáticas a las que nos referiremos en este trabajo pueden ser asociadas a las habilidades del dominio cognitivo que figuran en la “Taxonomía de Bloom” (ver Cruz, 2005). La clasificación de Bloom se realiza en seis categorías básicas según la función de la acción en la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, evaluación. Por nuestro lado, decidimos utilizar la clasificación que realiza Delgado Rubí, citando también a Hernández, Valverde y Rodríguez (Hernández y otros, 1998), agrupándolas no sólo de acuerdo al tipo de función que realizan sino también al objeto matemático (propiedad, símbolo, artefacto de representación, etc.) con el que se trata al realizar la acción.

• Habilidades conceptuales: aquellas que operan directamente con los conceptos (Identificar, Fundamentar, Comparar, Demostrar)

• Habilidades traductoras : aquellas que permiten pasar de un dominio a otro del conocimiento (Interpretar, Modelar, Recodificar)

• Habilidades operativas : funcionan generalmente como auxiliares de otras más complejas y están relacionadas con la ejecución en el plano material o verbal (Graficar, Algoritmizar, Aproximar, Optimizar, Calcular)

• Habilidades heurísticas: aquellas que emplean recursos heurísticos y que están presentes en un pensamiento reflexivo, estructurado y creativo (Resolver, Analizar, Explorar)

• Habilidades metacognitivas: las que son necesarias para la adquisición, empleo y control del conocimiento y demás habilidades cognitivas (Planificar, Predecir, Verificar, Comprobar, Controlar)

2.2. Uso del software en la enseñanza de la matemática Numerosos trabajos de investigación reportan los cambios en la forma de trabajo y los logros en el aprendizaje obtenidos al incorporar herramientas informáticas a la clase de Matemática (Figueroa y Mora ,2005; González y Calderón Montero ,2008; Hormigón ,2004,2007).Decidimos potenciar las tareas con el uso de un software en el ambiente de trabajo tipo taller. Para ello se incorpora el Mathematica como herramienta de trabajo, el cual es un potente software, que permite hacer cálculos rápidamente y gráficos precisos, favoreciendo el análisis, la inferencia y la justificación de los temas estudiados. Con respecto al uso de la computadora, Balacheff (1996) considera que el software tiene tres niveles de uso: puede ser utilizado por el profesor en el proceso de enseñanza, como medio visual, tornando ciertas clases más operativas; ser utilizado por el alumno como un medio para controlar resultados de ejercicios y, finalmente, hacer uso del mismo en el laboratorio, aprendiendo sintaxis, comandos y resolver situaciones problemáticas en forma activa. La función del profesor en este modelo es la de diseñar e implementar una situación, que en nuestro caso son las actividades formuladas para movilizar cierto conocimiento enseñado en las clases de la asignatura. Por eso en nuestra propuesta de taller lo importante no es sólo la entrega de un trabajo final sino observar, asesorar y seguir todo el proceso que el alumno desarrolla a lo largo de esta experiencia nueva de aprendizaje del Análisis Matemático. 2.3. El taller como espacio de aprendizaje. El taller, como metodología de trabajo para el aprendizaje, es un tipo de actividad sumamente difundida. Sánchez Iniesta indica al respecto (1995): “Entendemos que el taller es un modo de organizar el proceso de enseñanza / aprendizaje que se basa en la conjugación de la teoría y práctica para abordar la resolución de un problema o el estudio de un contenido concreto y mediante la actividad participativa del alumno, a través del ensayo creativo que éste hace de sus capacidades, conocimientos y destrezas, utilizando múltiples recursos y materiales. Esto sobreentiende que los sujetos que aprenden son personajes activos en la realización de las tareas y que el peso está en el “aprender haciendo”. Por su parte, Ander-Egg (1991) define: “Es un procedimiento adecuado para desarrollar una estrategia didáctica, capaz de promover la capacidad de aprender a aprender (autoformación)”. En el ámbito de un taller, la información y la teoría circulan en la medida que el sujeto enfrentado a un asunto lo necesita y hace uso de las mismas y no por una necesidad de transmisión por parte del docente que tiene que cumplir un programa. El asunto al que se enfrenta un sujeto en situación de taller de aprendizaje puede ser: un problema, una consigna de trabajo, un producto a realizar (texto literario, pintura, maqueta, etc.), un juego (como el ajedrez), etc. Algunas características generales de esta metodología son:

• se lleva a cabo el enlace entre teoría y práctica sobre la base de planteos o tareas concretos, • la explicación del experto para ayudar a realizar la tarea se realiza en forma diferenciada de acuerdo

a la demanda y necesidad del que aprende, es decir es una metodología que debe atender a la diversidad,

• favorece el intercambio entre pares que realizan una misma tarea, • favorece el uso de diferentes recursos (bibliográficos, utensilios, tecnológicos, etc.) de acuerdo a la

necesidad y capacidad del que aprende. • “propicia la aplicación de los conocimientos ya adquiridos, a situaciones nuevas de aprendizaje,

favoreciendo así la funcionalidad de los mismos” (Sanchez Iniesta ,1995).

3. Nuestro Contexto Consideramos que es conveniente tener conocimiento sobre la influencia de cierto tipo de actividades en el aprendizaje matemático, dado que no es lo mismo diseñar y formular un ejercicio o problema pensando en los conceptos involucrados que deben aprenderse, que hacerlo pensando además en qué habilidades pueden ponerse en juego con ese ejercicio o problema. Por ello nos centramos en las actividades que deben realizar los alumnos en modalidad de taller con uso del software Mathematica, que han sido confeccionadas por un grupo de docentes que participan de este estudio. Estas actividades conforman una serie de tres trabajos prácticos, de carácter obligatorio, a desarrollar en equipos de no más de tres integrantes., que deben ser

presentadas según un cronograma estipulado. Para efectuarlas el estudiante puede trabajar en los laboratorios de la Universidad por su cuenta, contando con tutoriales e instructivos especialmente diseñados, o asistir a los talleres en los cuales los profesores orientan sobre el uso del software, atienden las consultas y eventualmente dan explicaciones complementarias de algunos temas de Cálculo Diferencial e Integral que los estudiantes deberían conocer. Cabe aclarar que al momento de iniciar este estudio dichas actividades ya estaban diseñadas y que el análisis de las mismas y posterior evaluación de aprendizajes de habilidades se hizo sobre lo que ya había en marcha. Este taller complementa las clases teórico-prácticas de la materia que se dictan en forma tradicional mediante exposición dialogada. En las clases, los alumnos trabajan con una única guía de trabajos prácticos para toda la cátedra y con bibliografía recomendada Stewart (1999), Larson y otros (2002), Piskunov (1977), entre otros. El régimen de cursado de la asignatura es anual con dos exámenes parciales y con opción a promoción si la nota de cada parcial es mayor o igual a siete.

4. Metodología utilizada para hacer el estudio propuesto. La metodología de trabajo consistió en determinar el alcance de las actividades mediante la individualización y análisis de las habilidades que ellas propiciaban, la evaluación de los trabajos prácticos, una posterior entrevista individual y estructurada, que versó sobre los temas y habilidades tratadas en los trabajos prácticos, y un análisis de resultados sobre la sistematización estadística.

Para obtener datos sobre las habilidades matemáticas a desarrollar se han realizado las siguientes acciones: 4.1. Análisis preliminar de las actividades propuestas identificando las habilidades propiciadas por ellas. 4.2. Elaboración del instrumento para evaluar habilidades más propiciadas por los trabajos prácticos. 4.3. Análisis de los trabajos prácticos realizados por los alumnos. 4.1. Análisis preliminar de las actividades propuestas. 4.1.1. Habilidades que se debían poner en juego en las diferentes actividades. Trabajo práctico Nº 1: Tareas a realizar Habilidades que se espera que desarrollen •Definición de funciones en Matemática. •Cálculo de imágenes. •Cálculo de dominio de funciones. •Gráfico de funciones trigonométricas •Comparación de gráficos según ciertas transformaciones geométricas

•Identificar, a través del conjunto de puntos dados, cuáles no pertenecen al dominio de la función y, por ese motivo, no realizar el cálculo de la imagen correspondiente. •Controlar, una vez realizado el cálculo de imágenes, si son números reales, de no ser así •Fundamentar la respuesta •Analizar los distintos tipos de funciones para luego plantear la operación que permite •Calcular sus dominios •Identificar tipos de traslación/cambios amplitud de funciones trigonométricas y luego •Comparar

Trabajo práctico Nº 2: •Cálculo de: dominio de funciones, intervalos de positividad y negatividad, asíntotas, gráfico de la función.

•Analizar los diferentes tipos de funciones para luego plantear la operación que permite •Calcular el dominio. •Calcular intervalos de positividad y negatividad •Controlar resultados arrojados por el software y la respuesta correcta (el software manifiesta dificultades en la resolución de desigualdades no polinómicas) •Clasificar puntos de discontinuidad •Deducir la existencia de asíntota vertical •Calcular asíntotas. •Controlar lo obtenido analítica y gráficamente

Trabajo práctico Nº 3: •Análisis de proposiciones sobre puntos extremos y de inflexión de una función. •Uso de contraejemplos. •Estudio completo de función definida por intervalos.

•Explorar funciones que lo ayuden a decidir por la veracidad o no de las premisas propuestas. •Fundamentar la respuesta elegida. •Identificar extremos relativos y puntos de inflexión. •Calcular puntos críticos y puntos de inflexión. •Controlar y •Comparar la respuesta obtenida por el software y lo observado en el gráfico. •Analizar las diferentes fórmulas por ramas de una función para

luego plantear la operación para •Calcular el dominio •Calcular puntos críticos y puntos de inflexión y luego •Controlar que pertenezcan a la rama correspondiente

4.1.2. Selección de las habilidades a estudiar. Elegimos para el estudio, y de acuerdo a este análisis preliminar, las habilidades que más frecuentemente se presentan. En este caso: identificar, analizar, deducir, comparar, todas ellas de tipo conceptuales y controlar, de tipo metacognitiva. 4.1.3. Desagregación de las habilidades de acuerdo al contenido. De las habilidades elegidas para su estudio, recordamos la explicación brindada por Delgado Rubí, a las que incorporamos “analizar”: IDENTIFICAR: Consiste en distinguir el objeto de estudio matemático sobre la base de rasgos fundamentales o en determinar si el objeto pertenece a un conjunto de objetos con determinadas características. ANALIZAR: Consiste en examinar o estudiar un objeto matemático o una situación determinada considerando partes de la misma. COMPARAR: Es establecer una relación cuantitativa o cualitativa que hay entre dos entes matemáticos de un mismo conjunto o clase. DEDUCIR: Es hacer uso de algún esquema lógico (por ejemplo reglas de inferencia), para extraer alguna conclusión. CONTROLAR: Consiste en monitorear y regular, es evaluar un conjunto de informaciones con relación a objetivos prefijados, a los efectos de tomar decisiones. Consideramos que las habilidades están ligadas al contenido, es decir que no es lo mismo identificar el dominio de una función que identificar un punto extremo de la misma por lo que las hemos desagregado de la siguiente forma: Identificar Controlar Deducir Analizar Comparar Dominio de funciones

Uso de la definición de dominio

Características globales de funciones a partir de pocos datos puntuales.

Dominio de funciones.

Definiciones

Paridad de funciones

Empleo de la definición de puntos extremos y puntos de inflexión

Existencia de puntos extremos y puntos de inflexión.

Casos de discontinuidad

Gráficos vinculados con transformaciones geométricas de funciones.

Transformaciones de los gráficos de funciones

La relación entre la sintaxis del programa con los resultados matemáticos esperados.

Los resultados obtenidos numérica o algebraicamente con resultados obtenidos gráficamente

Discontinuidades Puntos de inflexión Puntos extremos y puntos críticos

Los resultados del programa en relación con características de la función exponencial

.

Puntos de inflexión Que el resultado numérico esté dentro de los valores posibles de acuerdo a la situación

Puntos extremos y puntos críticos

4.2. Elaboración del instrumento para evaluar las habilidades antes mencionadas Diseño de la entrevista: Esta evaluación fue al final de la realización del taller y luego de la entrega de los trabajos prácticos. Esta instancia fue predominantemente oral y se les permitió, a los alumnos, hacer uso del software. Se decidió con los datos de esta instancia oral, complementar la información que se tenía de los trabajos prácticos, que habían sido escritos, para sobrepasar las posibles dificultades en el uso correcto de los símbolos y para que el docente interactuara con el estudiante y tener un acceso más directo a lo conceptual. Para esta instancia se diseñaron unas planillas estructuradas. Planteamos un cuestionario precisando a qué habilidad o habilidades apuntaba cada pregunta y anticipando posibles respuestas a las mismas para poder luego clasificarlas según cuatro categorías (Bien, Mal, Regular, No responde). Dado que había que entrevistar a muchos alumnos en distintos horarios, para que no hubiese pasaje de información entre los alumnos, las planillas no tenían las mismas preguntas aunque compartían el formato y el nivel de dificultad.

En todas las planillas había preguntas o tareas que apuntaban a las cinco habilidades estudiadas, aunque no a los mismos contenidos. Exponemos ejemplos de las preguntas formuladas a los alumnos en esta instancia, asociadas a la habilidad a la que apuntaban y al contenido al que referían (una pregunta puede abarcar más de una habilidad).

Dominio Si al calcular la imagen de un número a través de una función la respuesta del software es un número imaginario ¿Qué significa?

Paridad Si una función par con dominio en R tiene un máximo en (1,2) ¿posee otro extremo? Si es así ¿es máximo o mínimo?

Transformación gráfica de funciones ¿Qué movimientos se realizaron en la función y = ln x para obtener la función y = -ln(x-3)? (grafícalas con el programa)

Discontinuidades ¿Qué procedimiento tienes que realizar con el Mathematica para calcular las discontinuidades de una función?

Puntos de Inflexión ¿Puede una función tener derivada segunda nula en un punto y no ser éste punto de inflexión? Da un ejemplo usando el programa

I D E N T I F I C A R

Puntos extremos Da un ejemplo, si es que existe, de una función que tenga un extremo relativo en un punto y que en dicho punto tenga una tangente vertical. En caso de no existir explica.

Definición de dominio ¿Por qué el Mathematica devuelve imágenes complejas en algunos casos?

Definición de puntos extremos y puntos de inflexión

¿Todos los puntos obtenidos por el programa donde la derivada se anula son extremos?¿Puede existir algún extremo más que el programa no calcule? Explicar

Relación entre la sintaxis del programa y los resultados esperados

¿Cómo te das cuenta en el Mathematica si te equivocaste al definir una función?

Controlar los resultados del programa con las características de la función exponencial

Sabemos que el Mathematica manifiesta algunos problemas en la resolución de desigualdades ¿cómo puedes controlar el resultado obtenido al resolver e1/x>0?

C O N T R O L A R

Controlar que los resultados estén dentro de los valores posibles

Cuando tenemos una función definida por partes ¿todos los puntos obtenidos por el programa cuya derivada segunda es cero o no existe son posibles puntos de inflexión?

D E D U C I R

Características globales de funciones a partir de pocos datos puntuales

Si una función par con dominio en R tiene un máximo en (1,2) ¿posee otro extremo? Si es así ¿es máximo o mínimo?

Dominio de funciones ¿Qué comandos utilizarías del Mathematica para hallar el

dominio de ( )2

1f x

x 3x 2=

− +?

A N A L I Z A R

Casos de discontinuidad ¿Cuál sería el procedimiento correcto, o la secuencia de comandos necesarios para encontrar el dominio de funciones, sin olvidarse los casos posibles?

C O M

Definiciones ¿Qué diferencia hay entre intervalo de crecimiento y conjunto de positividad?

P A R A R

Gráficos en relación con transformaciones geométricas

Compara con Mathematica ex con e-1/2x. Extrae conclusiones

4.2.1. Aplicación de la entrevista: El lugar donde ésta se llevó a cabo fue en los laboratorios de Computación de la Universidad donde está instalado el software Mathematica. Se entrevistaron 243 alumnos de las asignaturas Cálculo I o Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica o Informática de la Universidad Nacional de La Matanza. Los alumnos debían primero esbozar una respuesta por escrito, pudiendo en esta instancia usar el software, y luego explicar oralmente la respuesta a un profesor quien, en ese momento, calificaba el nivel de desarrollo de cada habilidad vinculada, según cuatro categorías (Bien, Mal, Regular, No responde), marcándola en la planilla mencionada (una por alumno). 4.3. Análisis de los trabajos prácticos realizados por los alumnos: Hemos trabajado con muestras aleatorias de los trabajos prácticos, es decir fueron elegidos al azar 39 conjuntos de los tres trabajos prácticos hechos a lo largo del año, un total de 117 producciones analizadas.

5. Sistematización y análisis de datos sobre el desempeño de los estudiantes en relación con el aprendizaje de habilidades.

Como explicamos anteriormente realizamos el análisis de 117 producciones escritas. En cuanto a las entrevistas, examinamos un total de 243 entrevistas personales que no son necesariamente de los mismos alumnos de los cuales se tienen datos en los trabajos prácticos. Las categorías en ambos casos son las mismas: Mal o No responde, Regular, Bien, de acuerdo a las respuestas dadas para cada ejercicio solicitado en los trabajos o entrevista. Hemos realizado un análisis, en el cual se presenta el comportamiento de las variables consideradas y la relación que puede apreciarse entre ellas. Cabe aclarar que, en el caso de las entrevistas, los datos presentados son frecuencias relativas porcentuales sobre la cantidad de alumnos que contestó alguna pregunta relacionada con la habilidad-contenido. Así, por ejemplo, fueron 72 alumnos los que contestaron alguna pregunta referida a identificar dominio de una función. De esa totalidad, el 7% contestó mal (M), el 21% regular (R) y el 72% bien (B). No es la misma situación en los trabajos prácticos, donde para las 117 producciones analizadas estudiamos todos los casos habilidad-contenido. Mostraremos en paralelo el análisis para ambos instrumentos para cada habilidad:

IDENTIFICAR Trabajos prácticos Entrevistas

0

20

40

60

80

100

M 23 5 10 31 41 28

R 33 13 39 23 33 41

B 47 82 51 46 26 31

Dominio ParidadTransf.

FuncionesDiscontinuid

adesP.inflexión P.críticos

Observando el histograma puede apreciarse: Dificultades en la identificación de dominio, manifestado en el cálculo indiscriminado de imágenes, sin reconocer si los valores solicitados pertenecían o no al dominio de la función. Desempeño aceptable en paridad y transformaciones de funciones, aunque se aprecia dificultad en la explicación de la influencia de los parámetros en la transformación del gráfico. En cuanto a la identificación de puntos de inflexión, no se reconocieron todas las condiciones necesarias

0

20

40

60

80

100

M 7 2 4 0 0 18

R 21 14 21 23 47 41

B 72 84 75 77 53 41

Dominio ParidadTransf.funci

onesDiscont Pinflexión P.críticos

En general los alumnos no presentan dificultades en esta habilidad, siendo los de mayor desarrollo identificar dominios, paridad, transformaciones de funciones y discontinuidades. Sin embargo es más parejo el desarrollo de la habilidad en relación a los puntos de inflexión y puntos críticos.

en la definición para este tipo de puntos. Algo similar sucedió con los puntos críticos considerando sólo aquellos de primera derivada nula y no aquellos en los cuales no existe la derivada.

Puede observarse una mejora en la manifestación de la habilidad identificar en la entrevista final, siendo los niveles más altos los relacionados con los conceptos de dominio, paridad, transformación de funciones y discontinuidades. Estos conceptos se desarrollan durante todo el año en el aula, y se complementan en el taller con el manejo del software. La agilización de los cálculos a la hora de ecuaciones o inecuaciones permite poner el acento en los significados. Las dificultades manifestadas en identificar puntos críticos, extremos y de inflexión, podría deberse a que la actividad propuesta exigía el uso de los conceptos y no la solución mecánica.

CONTROLAR Trabajos prácticos Entrevistas

0

20

40

60

80

100

M 18 28 28 38 49

R 28 46 36 16 18

B 54 26 36 46 33

Dominio Extremos y pi SintáxisResultados programa

rdos dentro de valores posibles

En general se observa poco control de los alumnos sobre los resultados arrojados por el software. Puede apreciarse una mejora en el control de la definición de dominio a través de la realización de los tres trabajos. En cuanto al control al hallar puntos extremos y de inflexión, más de la mitad del alumnado no calcularon el mínimo en el punto de no existencia de la derivada, a pesar de tener el gráfico de la función que evidenciaba dicho extremo. También fue importante el porcentaje de alumnos que no controló si los resultados obtenidos al resolver ecuaciones eran válidos, hecho que motivó el hallazgo de puntos de inflexión en intervalos no correspondientes. Con respecto a la sintaxis propia del software, este control fue muy escaso, casi un 64% de los alumnos dejan como resultados de imágenes las “palabras” que les brindaba el software.

0

20

40

60

80

100

M 6 11 4 47 17

R 14 36 28 18 39

B 80 53 68 35 44

Dominio Extremos y pi Sintáxisrdos/ fun.expone

ncialrdos dentro de

valores posibles

En general el alumno tiende a aceptar los resultados que “devuelve” el software sin pensar si existe o no coherencia con lo que sabe o está resolviendo. Puede evidenciarse un progreso en control del dominio de funciones, ya que alrededor del 80% respondió correctamente. En cuanto a los puntos extremos y de inflexión, solo un 50% logró el objetivo propuesto. Durante las entrevistas se manifestó una mejora en el control de la sintaxis del programa, evidencia del trabajo continuado durante el año. Con respecto al control de resultados del Mathematica en comparación a la función exponencial, aproximadamente el 60% de los alumnos no pudo realizarlo, a pesar de contar con los elementos necesarios para ello. También fue escaso el porcentaje de alumnos que controlaron si los resultados obtenidos pertenecían al intervalo correspondiente.

Aunque en la entrevista se observa una mejoría en los resultados, creemos que los alumnos no están acostumbrados a tener visión retrospectiva para revisar pertinencia y adecuación de las respuestas, ya sean propias o arrojadas por el software. El diseño de las actividades los obligó a repensar respuestas, controlar resultados y a verificar soluciones que pueden llegar a ser erróneas.

ANALIZAR Trabajos prácticos Entrevistas

0

20

40

60

80

100

M 23 18

R 31 56

B 46 26

Discontin. Dominio

Con respecto a analizar dominio las dificultades mayores se dieron en el primer trabajo, ya que la mayoría de los alumnos no sabían qué ecuación o desigualdad debían plantear. En cuanto al análisis de las discontinuidades, el error más frecuente fue no tener en cuenta la lateralidad en los límites.

0

20

40

60

80

100

M 3 5

R 28 15

B 70 80

Discontin. Dominio

Puede observarse una mejora en analizar de dominio y discontinuidades de funciones.

Esta habilidad requiere mayor elaboración personal que uso del software, lo que pudo evidenciarse en la corrección de los trabajos en la que los errores estaban relacionados con los conceptos y no con el uso del Mathematica. La mejora en el desarrollo de esta habilidad podría estar relacionada en el trabajo sobre los conceptos, tanto en el aula como en el taller con el uso del software.

DEDUCIR Trabajos prácticos Entrevistas

0

20

40

60

80

100

P.I P.cr ítico 28 51 21

M R B

Ante la proposición “Si un punto tiene derivada primera (o segunda) cero entonces es extremo (o punto de inflexión)”, los alumnos debían contestar verdadero o falso, justificando en cada caso. Como observamos en el histograma, la mayoría contestó M o R. Uno de los errores más frecuentes fue responder verdadero y brindar un ejemplo para justificar.

0

20

40

60

80

100

Car act gr ales 6 23 71

M R B

Consideramos “deducir características globales de funciones” a: dada una consigna que brinda ciertas características de una función (por ejemplo paridad) deducir, a partir de ellas, otras particularidades El 71% de los alumnos pudo deducir estas características mencionadas con los datos proporcionados. Los alumnos entrevistados podían ayudarse graficando en Mathematica diferentes situaciones. Este pudo haber sido un factor que favoreció la calidad de las respuestas brindadas. Así mismo los conceptos involucrados son muy trabajados durante todo el año.

En el caso de deducir, los conceptos trabajados en los dos casos fueron diferentes. En los trabajos no se plantearon ejercicios para que el alumno deduzca características globales de una función a partir de diferentes datos, sin embargo, el trabajo en detalle con ciertos conceptos permitió que frente a situaciones planteadas en la defensa bien distintas a las resueltas en los trabajos, pero vinculadas con conceptos básicos como paridad, asíntotas, discontinuidades, puntos críticos, el alumno pudo dar respuesta y en todos los casos apoyándose con el software.

COMPARAR

Trabajos prácticos Entrevistas

0

20

40

60

80

100

M 5 46 49

R 41 33 36

B 54 21 15

Gr áf icos/ tr ansf Def inicionesRdos anal íticos/ Rdos

gr áf icos

No hubo dificultades en comparar transformaciones de funciones en forma analítica y gráfica, aunque observamos problemas en cuanto a expresar de manera coloquial las conclusiones extraídas. En el caso de definiciones, muchos alumnos confunden intervalo de crecimiento con conjunto de positividad y puntos críticos con extremos. En cuanto a comparar resultados analíticos con gráficos usando función exponencial el desempeño no fue aceptable; no han podido comparar el resultado analítico del software con el gráfico, respondiendo erróneamente.

0

20

40

60

80

100

M 5 14 16

R 20 37 34

B 75 49 50

Gr áf icos/ tr ansf Def inicionesRdos anal íticos/ Rdos

gr áf icos

Observamos que el 75% de los alumnos no tienen dificultades al reconocer los movimientos que se efectúan en una gráfica, ya que el uso del software facilita la visualización de gráficos. Se evidencian dificultades en la de definiciones, e intervalo de crecimiento con conjunto de positividad y puntos críticos con extremos. Puede apreciarse un desarrollo aceptable en la comparación de los resultados analíticos con los gráficos.

Se han incrementado los porcentajes de desarrollo de esta habilidad, que podría atribuirse al uso del software, el cual facilita la realización de gráficos y la modificación de parámetros, haciendo que la comparación resulte rápida y eficaz, permitiendo extraer conclusiones con mayor certeza.

6. Conclusiones. A través de este trabajo hemos podido desarrollar una metodología para estudiar la función y alcance de las actividades propuestas y tener un acercamiento al grado de aprendizaje de las habilidades propiciadas por las mismas. Consideramos que queda en evidencia que el estudio de una habilidad en estrecha relación con contenidos claves para la asignatura, provee una mejor información sobre el desarrollo de la misma y los aprendizajes de los conceptos. Los resultados de la entrevista final, nos permiten inferir que aquellas habilidades que fueron promovidas por las actividades del taller durante el año con mayor frecuencia, han mejorado los porcentajes de desarrollo y que en esto el uso del software ha jugado un papel importante, especialmente en habilidades como controlar y comparar. También cabe mencionar que estos avances se manifestaron en relación a todos los contenidos considerados, aún en los tratados en las actividades iniciales del taller (del TP 1), como por ejemplo “identificar si un valor pertenece o no al dominio de una función”. Pudimos observar, en el transcurso de este estudio, la potencialidad didáctica del uso del software. A través de la visualización, usando gráficos, y el ahorro de los cálculos simbólicos y numéricos que realiza el

programa sin esfuerzo por parte del alumno, se tiene más oportunidad para que el estudiante ponga el acento en los conceptos, en las deducciones, en la construcción y empleo de ejemplos y contraejemplos, etc. Este análisis nos invita a reformular la planificación de las actividades del taller de informática, haciendo especial énfasis en un diseño que favorezca el desarrollo de habilidades matemáticas, se afiancen los conceptos y se amplíe el espectro de las mismas a través del uso del software Mathematica. Otro aspecto a tener en cuenta como objetivo futuro es fomentar más habilidades conceptuales, metacognitivas y heurísticas, y registrar su desarrollo y evolución tanto en forma grupal como individual, no sólo porcentual. Finalmente nos proponemos también un seguimiento más personalizado de los alumnos, es decir pretendemos a futuro comparar el desarrollo de habilidades en los trabajos prácticos, la entrevista personal de cada uno, con el desempeño del mismo en los exámenes parciales, que en el presente estudio no se ha tenido en cuenta.

7. Referencias Bibliográficas • Ander-Egg, Ezequiel (1991).El taller, una alternativa para la renovación pedagógica. Argentina:

Magisterio del Río de la Plata. • Balacheff N. (1996). Conception, propriété du systeme sujet/milieu .Documento no publicado. Grenoble.

Francia. • Cruz, E. (2005). Encyclopedia of Educational Technology: Bloom's Revised Taxonomy. Retrieved

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