View
1.154
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Transformada de Laplace
š¹ š = š(š”)šāš š” šš”ā
0
š š” =1
2šš š¹(š )
š+ā
šāā
šš š” šš
onde c Ć© a abscissa de convergĆŖncia, uma constante real escolhida com valor superior Ć parte real de todos os pontos singulares de F(s).
2
Transformada de Laplace
ā¢ FunĆ§Ć£o transladada:
ā¢ Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e a funĆ§Ć£o transladada š š” ā š¼ 1 š” ā š¼ , onde š¼ ā„ 0
ššæ š š” ā š¼ 1 š” ā š¼ = šāš¼š š¹(š )
3
Transformada de Laplace
ā¢ FunĆ§Ć£o pulso retangular:
š š” = š“
š”0, šššš 0 < š” < š”0
0, ššš š šššš”šĆ”ššš
ššæ š š” =š“
š”0š (1 ā šāš š”0)
4
Transformada de Laplace
ā¢ FunĆ§Ć£o impulso:
š š” = limš”0ā0
š“
š”0, šššš 0 < š” < š”0
0, ššš š šššš”šĆ”ššš
ššæ š š” = š“
ššæ šæ š” = 1
5
Transformada de Laplace
ā¢ MultiplicaĆ§Ć£o por šāš¼š”: ššæ šāš¼š”š š” = š¹(š + š¼)
ā¢ MudanƧa de escala de tempo:
ššæ šš”
š¼= š¼š¹(š¼š )
6
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Teorema da derivaĆ§Ć£o real
ššæš
šš”š š” = š š¹ š ā š(0)
ā¢ De forma anĆ”loga, para a derivada de ordem n
ššæšš
šš”šš š” = š šš¹(š ) ā š šā1š 0 ā š šā2š 0 ā¦ā š 0š šā1 (0)
7
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Teorema do valor final
ā¢ Se š š” š šš(š”) šš” forem transformĆ”veis por Laplace e se lim
š”āāš(š”) existir, entĆ£o
limš”āā
š(š”) = limš ā0
š š¹(š )
ā¢ Ou seja, o comportamento em regime estacionĆ”rio de f(t) Ć© o mesmo que o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0. Conseguimos obter o valor de f(t) em t = ā diretamente de F(s). 8
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Teorema do valor inicial
ā¢ Se š š” š šš(š”) šš” forem transformĆ”veis por Laplace e se lim
š āāš š¹(š ) existir, entĆ£o
š 0+ = limš āā
š š¹(š )
9
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Teorema da integraĆ§Ć£o real
ššæ š š” šš” =š¹ š
š +šā1(0)
š
onde šā1 0 = š š” šš” avaliada em t=0.
10
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Teorema da derivada complexa
ā¢ Se f(t) for transformĆ”vel por Laplace, entĆ£o, exceto nos pĆ³los de F(s)
ššæ(š”š š” ) = āš
šš š¹(š )
11
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ ConvoluĆ§Ć£o
š1 š” ā š2 š” = š1 š” ā š š2 š ššš”
0
ā¢ Integral de ConvoluĆ§Ć£o
ššæ(š1 š” ā š2 š” ) = š¹1 š š¹2 š
12
Teoremas da Transformada de Laplace ā¢ Produto de duas funƧƵes no tempo
ššæ(š1 š” š2 š” ) =1
2šš š¹1 š ā š š¹2 š ššš+ā
šāā
13
Transformada Inversa de Laplace
š š” =1
2šš š¹(š )
š+ā
šāā
šš š” šš
ā¢ Outra maneira, Ć© utilizar mĆ©todos para a obtenĆ§Ć£o a partir de transformadas de Laplace conhecidas.
14
Transformada Inversa de Laplace ā¢ MĆ©todo de expansĆ£o em fraƧƵes parciais
ā¢ š¹ š =šµ(š )
š“(š ), onde A(s) e B(s) sĆ£o polinĆ“mios
em s.
ā¢ A maior potĆŖncia de s em A(s) deve ser maior do que a maior potĆŖncia de s em B(s)
šµ(š )
š“(š )= š¾
š + š§1 š + š§2 ā¦(š + š§š)
š + š1 š + š2 ā¦(š + šš), šššš š < š
15
Transformada Inversa de Laplace ā¢ Quando F(s) possui apenas pĆ³los distintos,
temos šµ(š )
š“(š )=
š1š + š1
+š2
š + š2+āÆ+
ššš + šš
ā¢ Os coeficientes ššsĆ£o chamados de resĆduo do pĆ³lo
šš = (š + šš)šµ š
š“ š š =āšš
=š1(š + šš)
š + š1+š2(š + šš)
š + š2+āÆ+
šš(š + šš)
š + šš š =āšš
16
Transformada Inversa de Laplace ā¢ Como
ššæā1šš
š + šš= ššš
āššš”
š š” = ššæā1 š¹(š )
= š1šāš1š” +š2 š
āš2š” +āÆ+ šššāššš”
para š” ā„ 0.
17
Transformada Inversa de Laplace ā¢ Quando inclui pĆ³los mĆŗltiplos
ā¢ Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter os resĆduos.
ā¢ Exemplo:
š¹ š =š 2 + 2š + 3
(š + 1)3
š¹ š =šµ(š )
š“(š )=
š1š + 1
+š2
(š + 1)2+
š3(š + 1)3
(š + 1)3šµ(š )
š“(š )= š1(š + 1)2+š2(š + 1) + š3
18
Transformada Inversa de Laplace ā¢ Quando inclui pĆ³los mĆŗltiplos
(š + 1)3šµ(š )
š“(š )š =ā1
= š3
š
šš (š + 1)3
šµ(š )
š“(š )š =ā1
= š2 + 2š1(š + 1)
š
šš (š + 1)3
šµ(š )
š“(š )š =ā1
= š2
š2
šš 2(š + 1)3
šµ(š )
š“(š )š =ā1
= 2š1
19
MATLAB
ā¢ ExpansĆ£o em fraƧƵes parciais no MATLAB:
šµ(š )
š“(š )=šš¢š
ššš=š0š
š + š1š šā1 +āÆ+ šš
š š + š1š šā1 +āÆ+ šš
šµ(š )
š“(š )=
š(1)
š ā š(1)+
š(2)
š ā š(2)+ āÆ+
š š
š ā š š+ š(š )
š, š, š = ššš ššš¢š(šš¢š, ššš)
20