Euclides de AlejandríaNació : hacia el 325 a. de C. ( ¿en Alejandría? )

Murió: hacia el 265 a. de C. en Alejandría, Egipto

 

No se sabe con certeza ni donde ni cuando nació, pero sí que vivió antes que Arquímedes, después de Eudoxo, y que fue contemporáneo del primer Ptolomeo (367-283 a. de C.). Sus ideas nos hacen pensar que estudió en Atenas con discípulos de Platón. Fue llamado desde Alejandría, y allí fundó una escuela en la que realizó su actividad científica y enseño matemáticas durante más de 20 años. Su principal obra es "Elementos de Geometría", conocida como "Los Elementos". Se trata de un extenso tratado formado por trece libros, donde recopila casi todo el saber matemático de la época. Su gran importancia se debe a la forma en que se organizan y exponen los contenidos (método axiomático). Partiendo de una serie de definiciones, nociones y postulados, va demostrando paso a paso todas y cada una de las proposiciones que aparecen en los trece libros, lo cual es un modelo ejemplar de rigor y claridad.

Casi desde el momento en que se escribió y casi hasta el presente, los "Elementos" han ejercido una continua e importante influencia en los asuntos humanos. Fue la primera fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la llegada de la geometría no euclídea en el siglo XIX. Algunas veces se ha dicho, que junto con la Biblia, los "Elementos" puede ser el libro más traducido, editado y estudiado de todos los producidos en el mundo occidental. (van der Waerden)

Se utilizó como texto de estudio durante casi 2000 años y seguramente nunca se podrá dejar de mirar a esta magistral obra. La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del árabe al latín. En 1505 se publica la primera versión en latín traducida directamente del griego. En España la primera versión se realiza en Sevilla en 1576.

 

"Los seis libros primeros de la Geometría de Euclides, Traduzidos por Rodrigo gamorano Astrologo y Mathematico, y Cathedratico de Cosmografia por su Magestad en la casa de Contratacio de Seuilla, 1576"

 

"Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que son de hecho de poca importancia si tenemos en cuenta la fecha en que se escribió, es y seguirá siendo sin duda, el más grande de los libros de matemáticas de todos los tiempos. (Heath)

 

Los 13 libros

Libro I: Teoremas relativos a congruencias, rectas paralelas. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema de Pitágoras) Libro II: Aritmética de la Escuela Pitagórica. 2 definiciones; 14 proposiciones. Libro III: Círculos, cuerdas, .... 11 definiciones; 37 proposiciones. Libro IV: Construcciones con regla y compás. 7 definiciones; 16

proposiciones. Libro V: Teoría de la proporción. 18 definiciones; 25 proposiciones. Libro VI: Estudio de figuras semejantes. 4 definiciones; 33 proposiciones. Libro VII: Teoría de números; 22 definiciones; 39 proposiciones. (la p.I es el algoritmo de Euclides). Libro VIII: Teoría de números; 27 proposiciones. Libro IX: Teoría de números; 36 proposiciones; (p.XX "el conjunto de números primos es infinito"). Libro X: Magnitudes; 36 proposiciones; (Se establece el método de exhaución). Libro XI: Geometría de sólidos y esfera; 39 proposiciones. Libro XII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones. Libro XIII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones.

 

Proposiciones equivalentes al 5º postulado de Euclides

Se cree que incluso Euclides pensaba que su 5º postulado (también llamado postulado de las paralelas) podía demostrarse a partir de los otros axiomas de los que partía. A lo largo de la historia muchos matemáticos lo intentaron y lo único que se alcanzó fue otras proposiciones a partir de las cuales podía demostrarse este postulado.

El postulado de las paralelas de Euclides afirma lo siguiente:"Si una recta corta a otras dos de forma que los dos ángulos internos que quedan a uno de los lados suman menos que dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas por ese lado se cortan en un punto"

Playfair: "Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela"

Legendre: "Existe un triángulo en el que la suma de sus ángulos vale dos rectos"

Gauss: "Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k"

Bolyai: "Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia"

Si suponemos que la geometría de Euclides es consistente, resulta que el nacimiento de las geometrías no euclídeas en el siglo XIX, implica que la demostración del postulado de las paralelas es imposible (es una proposición indecidible) ya que quitando este postulado y poniendo otro diferente (por

ejemplo, que por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas), se obtiene una teoría que es consistente. Si el postulado de las paralelas pudiese demostrarse a partir de los otros axiomas, resulta que su sustitución por otro postulado no equivalente daría lugar a una teoría inconsistente, lo cual es contradictorio con lo dicho anteriormente.

 

El conjunto de los números primos es infinito

Para demostrar esta afirmación razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = { p1, p2, ... pn } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M=p1xp2x ... pn+1. Como cada primo pi es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q|M y obviamente, q|p1xp2x ... pn. Por consiguiente, q divide a la diferencia M - p1xp2x ... pn (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos no puede ser finito (q.e.d.)

También puedes ver la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.

Y la tabla de los primeros 10.000 números primos.

Articulo elaborado por José María Gómez.