EXPLORACION DE ALGUNOS CONCEPTOS GEOMETRICOS NO CONVENCIONALES EN EL TRIANGULO CON CABRI: UN PROBLEMA QUE EVOLUCIONA

Fernando Falcón Dorado

Eugenio Therán Palacio

Carmen Toscano Toscano

Ferfal27@hotmail.com etheran2000@yahoo.com.mx

caroto2003@yahoo.com

Resumen. En este trabajo se presenta una posibilidad de explorar a partir de una situación problema algunos conceptos no convencionales del triangulo como escintor, mescintor, vescintor, escintriz, mescintriz, vescintriz y medianiz utilizando el software Cabri Geometre que trae incorporado la calculadora graficadora TI 92 Plus. La experiencia se realiza con un grupo de estudiantes del quinto semestre del programa de licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas de la Universidad de Sucre. Se pretende que los alumnos generen conjeturas sobre la base del conocimiento informal con miras a la construcción del concepto geométrico formal.

INTRODUCCION.

Conceptos Preliminares

Conceptos correspondientes a segmentos Escintor de un triángulo: Segmento de recta inscrito en el triángulo que divide el perímetro del mismo en dos partes iguales.

Mescintor de un triángulo: Escintor que pasa por el punto medio de uno de los lados del triángulo. Vescintor de un triángulo: Escintor que parte de uno de los vértices del triángulo. Conceptos correspondientes a rectas:

Escintriz de un triángulo: Recta que corta al triángulo dividiendo el perímetro del mismo en dos partes iguales. Mescintriz de un triángulo: Escintriz que pasa por el punto medio de uno de los lados del triángulo. Vescintriz de un triángulo: Escintriz que pasa por uno de los vértices del triángulo. Medianiz de un triángulo: Recta que corta al triángulo dividiéndolo en dos partes de igual área. Mediana: Medianiz que pasa por un vértice (o por el punto medio) del triángulo. En proceso de validación de estos conceptos a través de la calculadora TI – 92 plus, una metodología inicial en la exploración miras a crear con un Escintor ,un Mescintor, un Vescintor, una Escintriz, una Medianiz, y una Vescintriz; lo mismo que una Medianiz y una Mediana, se empezó trabajando inicialmente en un triángulo equilátero los conceptos básicos que nos ayudan a resolver el problema “ The Equalizing Line” , el cual consiste en el siguiente problema:

Un granjero posee un terreno triangular que quiere repartir de la manera más equitativa posible entre sus dos únicos hijos. De tal forma que al dividir el terreno con una cerca (línea recta), las dos partes tengan igual perímetro e igual área. También llamado el “El problema del granjero”.

Problema planteado desde Francia por el Dr. Martín Acosta Gempeler, el día 23 de Noviembre del año 2002, vía Internet a los docentes que participaban del proyecto “Incorporación de las nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas en la educación media y básica Secundaria de Colombia”

Esta propuesta asume el presupuesto teórico desarrollado en el proyecto I. N. T. C. M. (M.E.N. 2000) concentrándose en lo que sea denominado la situaciones problemitas. El primer elemento teórico a considerar es el principio de mediación instrumental, que platea que todo conocimiento esta mediado por los instrumentos con que se dispone, puesto que las reflexiones iníciales del proyecto I N. T. C. M. giraron alrededor del cambio en los ambientes de aprendizaje, al disponer de herramientas computacionales con características de dinamismo, Interactividad y posibilidades de manipulación diferente a la usadas hasta el momento.

OBJETIVOS  

Validar a través de la calculadora TI 92 Plus los conceptos geométricos no convencionales tales como son el ESCINTOR, MESCINTOR, VESCINTOR, ESCINTRIZ, MESCINTRIZ, VESCINTRIZ, Y MEDIANIZ, Los cuales se pueden generar en un triangulo cualquiera ABC.

Esta validación de estos conceptos nos proporcionara la posibilidad de encontrar una o varias soluciones al problema “The Equalizing Line”

En el proceso de validar estos conceptos proporciona la posibilidad de comprobar las propiedades de EXISTENCIA, UNICIDAD y GENERALIZACION de la solución o soluciones al “problema del granjero”.

Explorar en un triángulo cualquier ABC, mediante cinco técnicas de gran eficacia para hallar resultados óptimos, permite generar CONJETURAS, conformación de definiciones selectivas o de escogencia del valor α la cual se constituye en condición necesaria en la validación de los conceptos geométricos no convencionales tales como: ESCINTOR, MESCINTOR,VESCINTOR, ESCINTRIZ, MESCINTRIZ, VESCINTRIZ, MEDIANIZ y MEDIANA; lo mismo que la creación de una determinada cantidad de TEOREMAS de gran importancia.

Proyectar el “problema del granjero” al contexto de los polígonos regulares e irregulares y aún mas allá, al contexto de los sólidos regulares e irregulares.

Cabe la posibilidad de que estas técnicas de exploración como estrategias válidas con la finalidad de solucionar el problema del granjero, se constituyan en una metodología exitosa para minimizar material de deshecho en la industria de la metalúrgica, en cortes de planchas metálicas o en la industria del plástico , una función importante se podría presentar al instante de tratar de aprovechar al máximo la distribución de un fluido sobre una placa o sobre un sólido, y en otras facetas de la industria.

TECNICAS DE EXPLORACION EN UN TRIANGULO CUALQUIERA.  

TECNICA Nº 1: Esta técnica consiste en crear dos puntos P y Q sobre los lados AC y BC respectivamente. Luego con la herramienta F3-Polígono s se

generan dos figuras geométricas, las cuales son: El triángulo PQC y el trapecio ABQP.

Con la herramienta F6-Distancia y Longitud o Área, se hace posible hallar el perímetro tanto del triángulo ABC como los perímetros del trapecio ABPQ, Llamando a este perímetro P1 y P2 al perímetro del triángulo PQC. Luego arrastramos al punto P sobre el lado AC y al punto Q sobre el lado BC, hasta lograr que los perímetros comparativos sean iguales y en ese instante se valida el concepto geométrico no convencional del ESCINTOR del triángulo dado, de forma similar se hace para validar el concepto no convencional de MEDIANIZ.

Presentamos s dos ensayos donde se ha aplicado la técnica Nº1 en la validación de los conceptos de ESCINTOR y MEDIANIZ, como se puede apreciar en las Figuras 1, 2, 3 y 4:

FIGURA 1

En la Figura 1 se puede leer que el perímetro del triángulo PQC tiene un valor 5.02cm y el perímetro de la figura ABQP es de 5.00cm, el valor de α= AP es de 0.37cm y el valor de β=BQ es de 0.75cm, de esta lectura nos presenta la primera muestra de la existencia de un valor positivo α que podría constituirse en una pieza importante como condición necesaria para la existencia de los conceptos ya mencionados con antelación.

Los perímetros confrontados poseen un valor diferencial de 0.02cm, el cual puede ser admitido como aceptable y en consecuencia se valida por primera vez el concepto geométrico no convencional de ESCINTOR; esto nos induce a establecer una regla para la escogencia del valor de un α óptimo.

FIGURA 2

Al hacer una lectura del contenido de la Figura 2, observamos con toda claridad que el concepto de ESCINTOR en el triángulo equilátero queda completamente validado y nos sugiere que la α óptima a escoger en este caso es de 0.28cm.

Como una prueba reina a que someteremos nuestra construcción en estudio a partir de este momento es aplicarle la “Ley del Arrastre” como se observa en la Figura 3.

FIGURA 3

Constatamos que verdaderamente la construcción de la Figura 2 pasó la “Ley del Arrastre”, puesto que los perímetros mantienen un valor diferencial lo bastante pequeño como para que se mantenga la validación del concepto geométrico de ESCINTOR del triángulo Equilátero dado.

Ahora explorara remos el concepto geométrico de MEDIANA en un triángulo Equilátero dado ABC, para este fin se creó la Figura 4.

FIGURA 4

Al examinar el contenido de la Figura 4, observamos que el concepto de MEDIANA en el triángulo Equilátero dado se valida totalmente, mientras que el de ESCINTOR no es posible declarar su existencia en este caso; donde el valor del α es positivo y es el garante de la existencia de que a los dos únicos hijos del granjero les toque” terrenos” con iguales áreas.

Creemos que ya es el momento posible de presentar una o varias soluciones al “problema del granjero”, para esta finalidad se construyó la Figura 5.

FIGURA 5.

Afirmamos que existen tres maneras distintas de resolver el “problema del granjero” como lo muestra la Figura 5, en la cual se dividió el triángulo equilátero uniendo en el siguiente orden los vértices A, B y C con los puntos Medios M, M1 y M2 respectivamente; de donde se originan los siguientes triángulos comparativos:

∆1 formado por ABM de perímetro P1=6.74cm y área A1= 1.76cm2 comparado con el ∆2 formado por AMC de perímetro P2 = 6.74cm y área A2 = 1.76cm2, estos resultados garantizan una solución al problema original; lo mismo ocurre con los triángulos ABM1 y el triángulo BM1C de Perímetro P3 = 6.74cm y P4 = 6.74cm y de áreas A3 = 1.74cm2 y A4 = 1.74cm2 lo cual garantiza una segunda solución y existe una tercera solución similar a las anteriores puesto que el triángulo ABC se dividió en triángulos congruentes.

CONSOLIDACION DE RESULTADOS

Analizando todo este proceso exploratorio nos hace pensar en la selección de un valor positivo α que se constituye en una condición necesaria para la existencia del Escintor, Mescintor, Vescintor, Medianiz y Mediana de un triángulo Equilátero, es por eso que proponemos una primera definición:

Definición 1. (Escogencia del α).

Para escoger un valor óptimo α que permita validar la generación de un Escintor, Mescintor y un Vescintor en un triángulo cualquiera, se hace necesario que los porcentajes de error diferencial comparativos (Dados en cms) entre los perímetros o áreas comparadas, estén del orden de 10-2, 10-3, 10-4 o exista un cien por ciento de precisión entre estos valores.

Otra consecuencia de los resultados obtenidos en las exploraciones realizadas por los estudiantes de la LEBEM (Licenciatura en educación Básica en Matemáticas), proponemos el siguiente enunciado:

TEOREMA E1 (Escintor de un triángulo Equilátero).

En todo triángulo Equilátero ABC, de lado L, debemos escoger un α de la forma tal que α = L/2 – β con la condición de que β € [0, L/2], esto nos permite generar todos los posibles Escintores del triángulo Equilátero. Un caso particular ocurre cuando β= α.

Prueba. Consideremos el triángulo ABC Equilátero de lado L (Ver Figura 2). Llamamos a la medida del segmento PQ por t .Como nuestro propósito es validar la existencia de un Escintor en dicho triángulo, entonces con base a la definición de Escintor del triángulo debe cumplirse que el perímetro de la figura ABQP debe ser congruente con el perímetro del triángulo PQC decir: L - α + L – β + t = α + L + β + t de donde L = 2 α + 2β así concluimos que α = L/2 – β bajo la condición de que βЄ[ 0 , L/2].

Un caso particular ocurre cuando α= β, en tal forma que se obtiene que α = L/4, en este caso esta ocurriendo que el segmento de recta PQ se vuelve paralelo al lado AB de o cualquier otro lado del triángulo Equilátero ABC. Con esta observación finaliza la prueba.

Como una consecuencia del teorema E1, se 0btiene el siguiente corolario:

COROLARIO E1. Tres Escintores de un triángulo Equilátero ABC de lado L, se cortan en tres puntos distintos, los cuales a su vez generan un triángulo Equilátero (Interno) cuyo perímetro equivale a la cuarta parte del perímetro del triángulo Equilátero ABC.

Prueba. Consideramos al triángulo ABC Equilátero de lado L (Ver Figura 6).

FIGURA 6

En la Figura 6, se observa que los triángulos ANM, RBT son triángulos Equiláteros congruentes y semejantes por construcción. Los triángulos PZM, SQT y RNK también son triángulos Equiláteros congruentes y semejantes por construcción, como consecuencia de estos hechos se puede afirmar que el triángulo SZK es Equilátero por tener los ángulos S, Z y K congruentes.

Ahora probemos que el perímetro del triángulo SZK equivale a la cuarta parte del perímetro del triángulo ABC. En efecto, debido a que el triángulo RBT (Hacemos SK = t) es Equilátero, afirmamos: L – 2 α + α = α + t + α así L - α = 2 α + t de donde t = L – 3 α.

Pero α = L/4, por lo tanto t = L – 3(L/4), para concluir que t = L/4.

Como el perímetro del triángulo SZK equivale a 3α es decir 3L/4 = Pe/4, donde Pe es el perímetro del triángulo ABC (Pe = 3L).Con esto finaliza la prueba.

Observaciones: Al explorar con más detenimiento la Figura Nº 6, afirmamos que la suma de los perímetros de los cuadrilátero ARSP, NBQZ y MKTC equivalen al perímetro del triángulo ABC. Además la suma de los perímetros de los trapecios RNZS, PSKM y ZQKT equivalente a 15L/4 = 5/4(3L) = ( 5/4) Pe.

Si por los puntos P y Q trazamos una línea recta, entonces podemos validar el concepto de ESCINTRIZ del triángulo ABC siguiendo el procedimiento que se hizo con el ESCINTOR para el triángulo Equilátero ABC.

Ahora, nuestro objetivo está dirigido a la exploración de la existencia de Mescintores y Vescintores en un triángulo Equilátero, para iniciar esta acción haremos una exploración de tipo algebraica, suponiendo que la siguiente Figura 7 presenta a una situación hipotética e ideal:

FIGURA 7

Como nuestra intención es validar en una primera instancia el concepto de Mescintor, como consecuencia de esta definición afirmamos que el perímetro del triángulo MPC debe ser equivalente al perímetro del polígono ABPM, es decir: L/2 + L + α + t = L/2 + L - α + t de donde 2α = 0 así α = 0.Esto significa que los posibles Mescintores son a su vez Vescintores y en este caso tan especial, afirmamos que sólo existen tres Mescintores- Vescintores en un

triángulo Equilátero (Ver Figura 8).

FIGURA 8

Todos estos elementos geométricos son de la categoría Mescintores – Vescintores, situación que validaremos mediante un ensayo con la calculadora T I -92 Plus (Ver Figura 9)

FIGURA 9

TECNICA Nº2 : Esta técnica nos permite crear un Segmento de Control y explorar en el triángulo Equilátero la existencia de un Escintor o una Escintriz, utilizando la ley del arrastre del punto P sobre el segmento OT, además esta estrategia facilita la validación por lo menos de un Escintor o una escintriz a través de una tabla elemento representativo que posee la calculadora TI-92 Plus ,La Figura 9 y Figura 10 representa una muestra de la técnica del segmento de control:

FIGURA 10

En el ensayo de la Figura 11 muestra la tabla de datos, sistema de representación dónde el estudiante puede explorar estos conceptos desde otro punto de vista:

FIGURA 11

En la Figura 11 Se puede observar que debido a que el objeto de estudio es un triángulo rectángulo, por tanto existen tres formas distintas para la creación de un Escintor o una Escintriz, pero la solución como tal es UNICA, así como la tabla de datos lo registra.

Para utilizar una estrategia exitosa en la búsqueda de Median ices en un triángulo Equilátero cualquiera ABC, procedemos de la siguiente forma:

1. Creamos un triángulo Equilátero cualquiera ABC

2. Luego utilizaremos un segmento de control OT, dónde OP = α

3. Arrastrando el punto P sobre el segmento OT, llegamos al instante dónde las áreas A1 y A

Correspondiente a las figuras geométricas de un trapecio llamado ABQP y de un triángulo llamado PQC, son comparativamente bastante aproximadas bajo porcentaje de error del 1% el cual es aceptable en nuestro rango de confiabilidad dado en la definición 1, es así como pudimos obtener un α = 0.6897 cm. y luego nos pusimos en la tarea de calcular una de las subalturas del triángulo Equilátero llamada h1 la cual arrojó un valor en este caso de

1.4322cm y también calculamos el perímetro del triángulo, obteniéndose el valor de 7.0303 cm.

Nuestro siguiente paso consistió en confrontar el valor del α conocido con el α preconcebido por la fórmula α = Pe /3 – 2h1/√3 resultando estos alfas iguales, este resultado es muy significativo puesto que nos abre una ventana algebraica en la consecución de validar la existencia de una Medianiz para el triángulo Equilátero, cuando dicha Medianiz es horizontal.

Todo lo que hemos afirmado bajo el punto de vista de esta estrategia queda condensado en la Figura 12.

FIGURA 12

Este resultado obtenido mediante este tipo de exploración, lo podemos formalizar de la siguiente manera:

TEOREMA M1 (Medianiz de un triángulo Equilátero)

Se hace posible validar la existencia de una Medianiz en un triángulo Equilátero ABC, siempre que sea posible escoger un α bajo la siguiente fórmula: α = Pe/3 – 2h1/√3 dónde Pe es el perímetro del triángulo Equilátero, h1 es una de las subalturas del triángulo y además Pe >2√3 h1.

Prueba. Sea ABC un triángulo Equilátero cualquiera, de altura H y de lado L (Figura 13).

Como el triángulo es Equilátero, entonces H = √3 L/2. Ahora, los triángulos PQC y ABC son semejantes por el criterio de semejanza AAA.

Como consecuencia de la propiedad de semejanza se tiene que:

AC / BC = PC / PQ y AM / MC = PR / RC (Condición necesaria para la existencia)

Así tenemos: L / L = (L - α ) / Z de dónde Z = L - α (1)

Por otra parte se tiene: (L/2) / H = (Z/2) / h1 de dónde se deduce que Z = L h1 /H (2)

De las conclusiones (1) y (2) llegamos a la igualdad:

L - α = L h1 / H pero H = √3L / 2 y así α = L - 2h1 / √3, como Pe = 3L se deduce que

α = Pe /3 -2h1/√3 bajo la condición de que Pe > 2√3 h1.

FIGURA 13

Ahora al relacionar los triángulos ABC y PQC, resultan semejantes debido a que el segmento de recta PQ es paralelo al lado AB del triángulo dado. A demás debemos tener en cuenta algunas consideraciones tales como:

MC = H, PQ = t y CR = h.

Se debe probar que el valor del área del triángulo ABC es equivalente al doble del valor del área del triángulo PQC, es decir, A = 2 A1.

En el triángulo ABC se tiene que la fórmula que valida el valor del área de dicho triángulo está dada por: A = LH / 2 (1)

Por otra parte tenemos que: H2 + (L/2)2 = L2 de dónde se concluye que H = ½ √(4 L2 – L2) = ½ √ 3 L (2). Al reemplazar (2) en (1) se tiene que:

A = (√ 3 / 4) L2 (3)

En el triángulo PQC se tiene que la fórmula que valida el valor del área de dicho triángulo está dada por: A1 = t h / 2 (4)

Por otra parte se tiene que h2 + (t/ 2)2 = (L -α)2 de dónde se concluye que h = ½ √ 4(L -α)2 –t2 (5), debido) a la propiedad de la semejanza de triángulos podemos afirmar 1 = (L -α) / t de dónde t = L - α (6)

Al reemplazar las fórmulas (5) y (6) en (4), obtenemos:

A1 = ( (L -α) / 4) 4(L -α)2 – (L -α)2 = (L -α)2 √ 3 / 4, luego 2 A1 = (L -α)√ 3 / 2 (7)

Al comparar las fórmulas (3) y (7), forzosamente estamos comparando las expresiones 2(L -α)2 con la expresión L2, es decir 2(L -α)2 = L2 de dónde se concluye que α = (L / 2) (2 - √ 2). Fórmula que llamaremos FMágica la cual nos asegura la existencia de Median ices en un triángulo Equilátero, de una forma sencilla y rápida. Al factor (2 - √ 2)/2

Lo llamamos el factor FMágico. Una muestra de esta situación queda plasmada en la Figura 14

FIGURA 14

Estudio de Median ices no paralelas a uno de los lados del triángulo Equilátero ABC.

Esta exploración la haremos con base a la Figura14a.

FIGURA 14a

En el triángulo ABC, el valor del área está dada por la fórmula A = (√ 3 / 4) L2 (1)

En el triángulo PQC, para obtener el valor del área debemos recurrir a la fórmula de Herón, dónde el semiperímetro del triángulo PQC está dado por S = (2L -α - β + t) / 2 y por tanto el área está dada por A1 = √ S(S – L + α )(S – L + β )(S – t) (2)

Ahora buscamos los valores de las expresiones siguientes:

S – L + α = (α - β + t) / 2 S – L + β = (β - α + t) / 2 S – t = (2L - α - β - t) / 2

Reemplazando estos resultados en (2), se obtiene:

A1 = ¼ √ (α - β + t) (2L - α - β + t)(β - α + t )(2L - α - β - t)

A 1 = ¼ √ ((t - β) + α)((t + β) - α)((2L - β + t) - α)((2L - β - t) - α)

A1 = ¼ √ ((t2 - β2) + ((t +β) – (t -β))α - α2) ((2L - β)2 - t2) – ((2L - β - t) + (2L -β + t)α + α2)

A1 = ¼ √ ((t2- β2 + 2 βα - α2)((2L - β)2 – t2 + 2tα + α2) (3)

Debemos tener que A = 2A1, entonces esto nos fuerza a compara las fórmulas (1) con (3), es decir:

(√ 3 / 4) L2 = 1 /2 √ (t2 - β2 +2βα - α2)((2L - β)2 – t2 + 2tα + α2) (4)

La fórmula (4) podría ser el camino correcto en la consecución del α óptimo, para comprobar o refutar esta especie de conjetura realizaremos un ensayo que dejamos registrado en la Figura 12a, dónde se observa que L = 2.16 cm, t = 1.52 cm, β = 0.70 cm y α = 0.59 cm.

Al reemplazar estos valores exceptuando el valor de α en la fórmula (4) se obtiene:

√ 3 /4 (2.16)2 = ½ √ (1.84 + 1.4α - α2)(13.18- 2.32 + 3.05α + α2)

(2.03)2 = ¼ (1.84 + 1.4α - α2)(10.86 + 3.05α + α2)

16.48 = 19.98 + 15.2α - 10.86α2 + 5.61α + 4.27α2 -3.05α3 + 1.84 α2+ 1.4 α3 - α4

16.48 = 19.98 + 20.81α - 4.75 α2 – 1.65 α3 - α4 de dónde se tiene que:

α4 + 1.65 α3 + 4.75 α2 -20.81 α - 3.5 = 0

Utilizando el Derive que posee la calculadora, intentamos factor izar dicha ecuación de la siguiente forma:

(α - 1.94)(α + 0.16)(α2 + 3.42 α + 11.13) =0 de dónde la única solución positiva es α = 1.94 cuyo valor está muy alejado del α real el cual es 0.59 cm., por tanto concluimos que este no es el camino más adecuado para seleccionar un α que le de existencia al concepto no convencional del la Medianiz no paralela a uno de los lados del triángulo Equilátero dado.

Por todo esto se hizo necesario de usar otro tipo de estrategia

Es la validación de Medianices en dicho triángulo de una manera sencilla y efectiva. Esto nos condujo a descubrir algunas

Fórmulas experimentales empezando por la que relaciona el valor de la mitad del lado del triángulo equilátero, un valor β conocido y una constante K la cual está dada por la longitud por todo eso que tuvimos que echar mano de otro tipo de estrategia que nos permitiera del segmento de recta MQ, dicha fórmula experimental proponemos que debe tener la forma:

α ≈ L / 2 - β + K / 2 dónde K = MQ

A continuación presentamos tres ensayos que quedan registrados en las Figura 12b, 12c y 12d.

FIGURA 12b

FIGURA 12c

Analizando esta estrategia nos conduce a conjeturar lo siguiente: “En un triángulo Equilátero ABC cualquiera, es posible construir infinitas Medianices como resultado de las infinitas posiciones que pueden alcanzar los puntos P y Q respectivamente, en el segmento de recta BM o AM”

La estrategia que generó la “Fórmula experimental de α”, surge de observar con bastante detenimiento el comportamiento comparativo de los valores de los segmentos de rectas AP con BQ, QM y L/ 2, tomando como puntos de referencia los puntos medios de los lados y los vértices del triángulo dado. El procedimiento se basa en tomar un punto P sobre el lado AC muy cerca del vértice A y luego tomamos otro punto sobre el lado BC bastante cerca del punto medio de este lado. Luego hacemos una distinción especial con la herramienta F3-4, calculamos ahora los valores de los segmentos de rectas AP, BQ, MQ, L, A1, A2 dónde A1 representa el valor del área del polígono ABQP y A2 representa el valor del área del triángulo PQC, para luego arrastrar los puntos P y Q hasta que A1≈ A2 con un margen de error comparativo del orden de un 10-2 cm.; a partir de este instante empieza el proceso de comparar los valores en cuestión y después de muchas pruebas dónde estuvo presente el ensayo y error llegamos a la gran conclusión de que :

AP ≈ L / 2 – BQ + MQ / 2 haciendo AP = α (Valor desconocido), BQ = β y MQ = K, la fórmula toma la forma: α ≈ L / 2 - β + K / 2.

En el siguiente ensayo descubrimos que existían otro tipo de “Fórmulas Experimentales”, las cuales tendrían el mismo patrón de la primera fórmula experimental con la variante que el tercer término podría ser un múltiplo de K / 2 o múltiplos de K / 3 o una interpolación de estos valores, como lo muestran las Figura 12e y 12f.

Figura 12d

FIGURA 12e

Figura 12f

Al descodificar Para concluir con el estudio del triángulo Equilátero , debemos encontrar una solución nos conduzca a la comparación simultanea de perímetros entre si y áreas entre si, luego mediante la herramienta del arrastre del punto P sobre un segmento localizado sobre uno de los lados del triángulo, encontrar las condiciones necesarias para la existencia de dicha solución, para este fin proponemos el siguiente modelo bifuncional al problema que generó el “ Granjero”; para esto modelaremos una estrategia que:

1. Crear un triángulo Equilátero ABC cualquiera y calcular su perímetro.

2. Calcular Pe / 2 y transferir este valor sobre una semirrecta PR a partir del punto P

3. Con centro en B y radio BR crear una circunferencia que corta a el lado BC en el punto T.

4. Unir los puntos P y T a través de un segmento de recta y así el triángulo original queda dividido en dos figuras geométricas a las cuales es posible calcularles sus perímetros P1 y P2 lo mismo que sus áreas A1 y A2; todo este proceso queda condensado en la Figura 13.

Figura 13.

Ahora, al mover el punto P hacia el punto M o hacia el punto A se dan las condiciones esperadas en la solución del problema del granjero, esta situación queda plasmada en la Figura 14.

Figura 14

Al observar la Figura 13, es posible afirmar primera mano que:

Cuando el punto P alcanza la posición del puntos A, T ocupa la posición del punto medio del lado BC y cuando esto ocurre se activa una solución para el problema propuesto inicialmente y lo mismo ocurre cuando el punto P alcanza la posición del punto M, el punto T coincide con el punto C y por tanto es

también condición necesaria para la existencia de una solución al problema original.

Concluimos que existen sólo tres maneras diferentes para darle una solución al problema “The Equalizing Line” en un triángulo Equilátero y el concepto ideal a validar que está estrechamente ligado a la solución del “Problema del granjero” es sin duda alguna el concepto geométrico no convencional de la Mediana.

EXPLORACIÓN EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES

Ahora, centraremos nuestro estudio en el triángulo Isósceles en dónde utilizaremos estrategias similares a las que se usaron en el estudio del triángulo Equilátero.

EN LA BÜSQUEDA DE ESCINTORES

Empezando la exploración con un triángulo Rectángulo, utilizando un segmento de control es posible hallar un valor positivo α el cual se constituye en una condición necesaria para la existencia de un de Escintor en dicho triángulo, luego compararemos el α conocido con un α que lo llamamos el “alfa algebraico” que en este caso está dado por la fórmula (2 - √2) L / 4, dicha búsqueda quedó condensada en la Figura 15.

Figura 15

Este resultado lo dejamos consignado bajo el siguiente teorema:

TEOREMA E2. (Escintor de un triángulo Isósceles Rectangular)

En un triángulo Isósceles Rectangular ABC, se hace posible asegurar la existencia de un Escintor si el valor del α se escoge utilizando la fórmula (2 - √2) L / 4 dónde L es el lado apropiado a escoger del triángulo ABC.

Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles Rectangular, de lados L y L1 (Figura 16) Hacemos PQ = t .Puesto que el triángulo dado es Isósceles Rectangular, podemos afirmar que L2 + L2 = L2

1 así L1 = √2 L.

Como el objetivo es validar la existencia de un Escintor, esto implica que el perímetro del triángulo PQC equivale al perímetro del trapecio ABQP, es decir:

2 (L - α ) + t = 2α + L1 + t de dónde 2L – 2 α = 2 α + L1 por tanto se tiene que:

2L – L1 = 4 α pero L1 = √2 L por tanto tenemos que 4 α = 2L - √2 L, así 4 α = (2 - √2) L para concluir que:

α = (2 - √2)( L / 4). Con esto se termina la prueba.

Observación: De nuevo aparece la fórmula FMágica en la escogencia del α óptimo, puesto que este valor se puede expresar como ( (2 - √ 2)/ 2)(L/2) dónde la expresión (2 - √ 2) / 2 es el ya conocido como “factor mágico

Figura 16

Siguiendo la línea de exploración , continuaremos estudiando Escintores en un triángulo Isósceles no rectangular, dónde se hace uso de un segmento de control, el cual nos facilita encontrar un valor positivo α como punto de partida para la posible existencia del Escintor en dicho triángulo; luego contrastamos el valor del α hallado por procedimiento netamente exploratorio con un valor llamado un alfa algebraico, que en este caso está dado mediante la fórmula ( 2L – L1 ) / 4,todo este proceso quedó registrado el las Figuras 17 y 18.

Figura 17

Figura 18

Estos resultados los consignamos de una manera formal, a través del siguiente teorema:

TEOREMA E3. (Escintor de un triángulo Isósceles no rectangular)

En un triángulo Isósceles no rectangular ABC, de lados L y L1, existe un Escintor siempre que podamos escoger el valor del α óptimo de siguiente manera: (2L – L1) / 4, dónde L >L1 / 2.

Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles no rectangular, de lados L y L1 (Figura 19).

Llamamos al segmento PQ por t y como nuestro compromiso es garantizar la existencia de un Escintor en dicho triángulo, se hace necesario que los perímetros del triángulo PQC sea equivalente al perímetro del trapecio ABPQ, es decir:

L - α + L - α + t = 2 α + L1 + t de dónde 2L – 2 α = 2 α + L1 así 2L – L1 = 4 α para concluir que α = (2L – L1) / 4 bajo la condición de que L > L1 / 2. Con esto se termina la prueba.

EN LA BÚSQUEDA DE MESCINTORES

Nuestra misión ahora, consistirá en la búsqueda de posibles Mescintores en un triángulo Isósceles, para concretar dicha búsqueda exploraremos en dicho triángulo, la posibilidad de la existencia de un valor positivo llamado α el cual se constituye como una condición necesaria para la existencia de Mescintores en el triángulo Isósceles, agotemos todos los posibles casos que se pueden dar en nuestra actividad exploratoria.

Analicemos el primer caso, el cual queda condensado en la Figura 20.

Figura 20

Al observar detenidamente la Figura 19, podemos concluir que el perímetro del triángulo MBP es equivalente al perímetro del polígono AMPC, es decir:

L + L 1/2 + α + r = L1/2 + L - α + r de dónde concluimos que α = 0.

Este resultado nos hace pensar que el punto P debe alcanzar la posición del punto C y el concepto de Merscintor estaría ligado a otro concepto geométrico llamado Vescintor.

En un segundo caso, colocaremos el punto P sobre el lado L1 del triángulo Isósceles y dicho ensayo queda formalizado bajo la Figura 21.

Figura 21

El α obtenido en la Figura 21 a través de la exploración por vía de la ley del arrastre del punto P sobre el lado AB, lo confrontaremos con el llamado “alfa algebraico” el cual se calcula mediante la expresión (L1 – L) / 2, este ensayo queda condensado en la Figura 22.

Figura 22

Formalizando los resultados obtenidos en los ensayos anteriores, afirmamos que:

TEOREMA M2 (Mescintor de un triángulo Isósceles)

En todo triángulo Isósceles de lados L y L1, existe un Mescintor en dicho triángulo si es posible escoger un α de la forma (L1 – L) / 2.

Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles de lados L y L1 (Figura 23).

Como nuestro interés se basa en la validación la existencia de un Mescintor en el triángulo dado, esto implica que los perímetros del triángulo PBM debe ser equivalente al perímetro del polígono APMC, es decir:;

L1 - α + L/2 + r = α + L + L/2 + r de dónde L1 - α = α + L así L1 – L = 2 α por tanto podemos concluir que α = (L1 – L) / 2. Con esto se termina la prueba.

Figura 23

Explorando Mescintores en un triángulo Isósceles Rectangular, utilizando un segmento de control para generar una condición necesaria la cual queda condensada en un valor positivo llamado α , para garantizar la existencia de un Mescintor en dicho triángulo ,así como se presenta en la Figura 24

Figura 24

Haciendo un nuevo ensayo en la calculadora voyage 200 y comparando el α hallado por medios totalmente exploratorios con un α llamado algebraico el cual se calcula mediante la fórmula (√2 – 1)( L / 2), observamos una pequeña diferencia la cual se encuentra dentro del rango de aceptación dado en la definición 1, es por eso que dicha experiencia la presentamos en la Figura 25.

Figura 25

Estos dos resultados los registramos mediante el siguiente teorema;

TEOREMA M3 (Mescintor de un triángulo Isósceles Rectangular)

En todo triángulo Isósceles Rectangular ABC, de lados L y L1, se presenta la posibilidad de validar la existencia de un Mescintor en dicho triángulo, siempre y cuando se seleccione el α óptimo como α = (√2 – 1)( L / 2).

Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles Rectangular de lados L y L1 (Figura 26).

Debido a que el triángulo ABC es rectángular, se tiene que L1 = √2 L.

Hacemos AP = α entonces PB = √2 L - α, y PM = r.

Como estamos en vía de validar la existencia de un mescintor en el triángulo ABC, esto implica que el perímetro del triángulo PBM debe coincidir con el perímetro del polígono APMC, es decir:

√2 - α + L/2 + r = α + L + L/2 + r de dónde se tiene que √2 L – L = 2 α así (√2 – 1) L =2α para concluir que α = (√2 – 1)( L / 2). Con esto se termina la prueba.

Figura 26

Al explorar en un triángulo Isósceles la validación de conceptos tales como Medianiz-Vescintriz , en dicho proceso se presenta una observación muy importante la cual se constituye en la clave para garantizar la existencia de conceptos del tipo Medianiz-Vescintriz; dicha clave está relacionada con las propiedades de la semejanza de triángulos ,las cuales en este caso se constituyen en una condición necesaria para que estos conceptos tengan vida este contexto, así que un primer ensayo siguiendo la estrategia utilizada en situaciones similares con anterioridad en donde se hace una comparación entre el α obtenido por medios puramente exploratorios con un α llamado algebraico

nacido de una fórmula experimental, situación que queda plasmada en la Figura 27.

Figura 27

Estos resultados son registrados en el siguiente teorema:

TEOREMA ME1 (Medianiz-Vescintriz de un triángulo Isósceles)

En todo triángulo Isósceles ABC de lados L y L1 de altura H, Existe una Medianiz –Vescintriz en dicho triángulo, si se selecciona el α óptimo de la forma:

α = (1 – 2h1 / √4L2 – L12) L con la condición de que L > L1 / 2.

Prueba. Sea el triángulo ABC Isósceles de lados L y L1 y altura H = MC (Figura 28). Hacemos PQ = Z.

Debido a que el segmento PQ es paralelo al lado AB, podemos asegurar con seguridad de que los triángulos AMC y ABC son semejantes, lo mismo ocurre con los triángulos AMC y PRC aseveración que es garantizada por la propiedad Angulo-Angulo-Angulo de la semejanza de triángulos. Por todo lo anterior afirmamos que:

PC / PQ = AC / AB (1) y AM / MC = PR / RC (2)

En este caso (1) y (2) se constituyen las condiciones necesarias para la existencia del α óptimo. También podemos afirmar que de (1) y (2) se desprende:

(L -α) / Z = L / L1 de dónde se tiene que (L -α) / L = Z / L1 (3)

También podemos afirmar que (L1/2) / H = (Z/2) / h1 de dónde Z / L1 = h1 / H (4)

Por tanto de (3) y (4) concluimos que (L -α) / L = h1 / H de dónde se tiene que

L – (h1 L) / H = α , para luego concluir que (1 – h1/H) = α (5)

Por otra parte el triángulo MBC es recto en M y por tanto afirmamos que:

H2 + L12 / 4 = L2 de dónde se concluye que H = ½ √4 L2 – L1

2 (6)

Reemplazando (6) en (5), tenemos:

α = (1 – 2h1 / √ (4 L2 – L12)) L con la condición de que L > L1 / 2. Con esto se

termina esta prueba.

Figura 28

Podemos afirmar con toda certeza que los casos referentes a la búsqueda se Medianiz-Vescintriz tanto en un triángulo Equilátero como en el triángulo Isósceles se constituyen en los casos más evidentes que le dan solución al “problema de granjero”, donde se supone en estos casos que los terrenos están conformados como triángulos Equiláteros e Isósceles, situaciones mostradas en las Figuras 29 y 30.

Figura 30

Figura 29

La observación uno-a consiste en haber descubierto por decirlo así las propiedades de la semejanza de triángulo como la condición de mayor importancia que garantiza la existencia de algunos conceptos geométricos no convencionales tales como la Medianiz y de la Vescintriz en este caso.

CONCLUSIONES

La experiencia denota una riqueza conceptual, en la medida que los conocimientos involucrados posibilitan la valides de conjeturas y la modelación

de una situación problema que desencadena otras situaciones problemas. Hay que anotar también que la intermediación de la herramienta tecnológica mostró novedosas norma de validar los conceptos de Escintor, Mescintor y Vescintor. Esta situación presenta varios matices: inicialmente se presenta un problema de existencia, luego el de la unicidad y posteriormente el de la generalización mediante modelos algebraicos.

La exploración libre posibilitó encontrar soluciones insospechadas, por ejemplo, la existencia de infinitos Escintores para el triangulo equilátero. De igual forma se hizo una exploración libre para los triángulos isósceles y escaleno, encontrándose algunos resultados que están en la fase de análisis e interpretación.

En esta primera fase de exploración nos permitió generar una definición muy importante, la cual nos da los parámetros en la selección adecuada de un valor positivo α la cual es la condición necesaria para la existencia de los conceptos geométricos no convencionales; al igual que generación de varios teoremas y un corolario del primer teorema.

Otra fortaleza que posee esta investigación es la gran visualidad conceptual esta acción se refiere a la posibilidad de leer , analizar y conjeturar a partir de una imagen compactada en su respectiva Figura señalada en cada sección de estudio del triángulo ABC.

La investigación propicia la creación de muchas estrategias de exploración que generaron contextos especiales dónde se daban algunos resultados muy específicos, tales como relaciones, propiedades, conjeturas y generalizaciones, también nos obliga a crear modelos geométricos los cuales se constituyen en contextos muy especiales que aceleran la consecución de una solución tan anhelada a un problema preestablecido con antelación.

Esta investigación arrojó como uno de los resultados contundente a afirmar que el problema del granjero posee más de una solución en el contexto del triángulo Escaleno.

BIBLIOGRAFIA

MEN (1998). Matemática. Lineamientos Curriculares. Bogota, Editorial Magisterio.

MEN (1999). Nueva Tecnologías y Currículo de Matemática: Apoyo a los Lineamientos Curriculares. Bogota, Enlace Editores Ltda...

MEN (2004).Pensamientos Geométricos Tecnología Computacionales. Bogota, Enlace Editores Ltda.

MEN (2002). Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnología en el Aula de Matemática. Serie Memorias. Bogota, Enlace Editores Ltda.

MEN (2004). Tecnología Informática: Innovación en el Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media. Series Estadios. Bogota, Enlace Editores Ltda.