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carla-rebolo
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A empresa “Limpopó” aluga máquinas para a limpeza de alcatifas. O aluguer de
cada máquina tem um preço, por hora, de 4€, acrescido de uma taxa fixa de 3€
, isto é, a partir do momento em que a pessoa aluga a máquina tem de pagar 3€.
Exemplo:
1 2 3 4 5 6
7 11 15 19 23 27
Em todos os casos, a primeira parcela varia com o tempo e a segunda é fixa (3€).
4 + 3
4 1 + 3 4 2 + 3 4 3 + 3 4 4 + 3 4 5 + 3 4 6 + 3
8 + 3 12 + 3 16 + 3 20 + 3 24 + 3
k x b
Função: y = kx + b
Preço
Tempo
f x x( ) 4 3 f x x( ) 3 4ou
Declive da reta Ordenada na origem
Qual é a expressão algébrica desta função?
Uma função cuja expressão algébrica é do tipo y =kx +b (em que k e b são
números quaisquer) designa-se por função afim.
Representação gráfica:
Para representar graficamente, marca-se os pontos dados na tabela num referencial.
Cu
sto
(eu
ros)
Tempo (horas)
y = 4x + 3
Tempo
t
(horas)
1 2 3 4 5 6
Custo
c
(euros)
7 11 15 19 23 27
A reta intersecta o eixo vertical (eixo OY) no ponto de coordenadas (0,3) e não
na origem do referencial.
Exemplo:
Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.
h(x) = 2x , i (x) = 2x + 3, j(x) = 2x - 5
- Num mesmo referencial, representa graficamente
as três funções.
- Qual é a posição relativa das retas que
representam as funções?
- Indica as coordenadas dos pontos de interseção
de cada uma das retas com o eixo das
ordenadas.
Conclusão:
- Funções afins cujas expressões algébricas tenham o mesmo declive são
representadas graficamente por retas paralelas.
Exemplo:
Conclusão:
- O gráfico de uma função afim y = kx + b é uma reta cuja representação gráfica
pode ser obtida a partir da deslocação da representação gráfica de y = kx
paralelamente a si própria para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.
Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que
representa a função afim y=kx +b.
Parâmetro k : declive da reta
Nota:
- Qualquer ponto do eixo Ox (eixo das abcissas) tem ordenada zero.
Logo, as coordenadas são do tipo (x,0).
- Qualquer ponto do eixo Oy (eixo das ordenadas) tem abcissa zero.
Logo, as coordenadas são do tipo (0,y).
Exemplo:
Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.
h(x) = x + 3 , i(x) = -3x + 3, j(x) = 2x + 3
- Num mesmo referencial, representa graficamente
as três funções.
- Qual é a posição relativa das retas que
representam as funções?
- Indica as coordenadas dos pontos de interseção
de cada uma das retas com o eixo das ordenadas.
Conclusão:
As funções afins, y = kx + b, com a mesma ordenada na origem correspondem a
retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0,b).
Parâmetro b : ordenada na origem
- O parâmetro b na expressão y = kx + b chama- se ordenada na origem e é a
ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.
- O gráfico da função y =kx + b é uma reta que interseta o eixo das ordenadas
no ponto de coordenadas ( 0, b).
Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que
representa a função afim y=kx +b.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x
f(x) = 2x – 1
As funções:
f(x) = 2x
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x – 1
são crescentes porque k= 2,
isto é, o declive é maior
que zero ( k 0).
As retas são paralelas
porque têm o mesmo
declive (k).
A função:
f(x) = 2x
tem por gráfico uma reta quepassa pela origem, logo é deproporcionalidade direta.
As funções:
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x – 1
têm por gráfico uma reta quenão passa pela origem, logonão são de proporcionalidadedireta.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x + 2
f(x) = 2x
f(x) = 2x – 1
Para passar da função:
f(x) = 2x
para a função:
f(x) = 2x + 2
basta deslocar o gráfico dafunção:
f(x) = 2x
paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,2).
Função: y = kx + bf(x) = 2x
f(x) = 2x + 2
Para passar da função:
f(x) = 2x
para a função:
f(x) = 2x -1
basta deslocar o gráfico dafunção:
f(x) = 2x
paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,-1).
Função: y = kx + bf(x) = 2x
f(x) = 2x – 1
A reta que define a
função:
f(x) = 2x + 2
intersecta o eixo das
ordenadas (eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,2), 2 é
a ordenada na origem.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x + 2
A recta que define a
função:
f(x) = 2x - 1
intersecta o eixo das
ordenadas (eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,-1), -1
é a ordenada na
origem.
Função: y = kx + b
f(x) = 2x – 1
Função: y = kx + bAs funções:
f(x) = -0,5x
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x – 2
são decrescentes porque
k=-0,5, isto é, o declive
é menor que zero (k 0).
As retas são paralelas
porque têm o mesmo
declive (k).
f(x) = -0,5x
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x – 2
Função: y = kx + bA função:
f(x) = -0,5x
tem por gráfico uma reta quepassa pela origem, logo é deproporcionalidade direta.
As funções:
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x – 2
têm por gráfico uma reta quenão passa pela origem, logonão são de proporcionalidadedireta.
f(x) = -0,5x
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x – 2
Função: y = kx + b
Para passar da função:
f(x) = -0,5x
para a função:
f(x) = -0,5x + 3
basta deslocar o gráfico dafunção:
f(x) = -0,5x
paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,3).
f(x) = -0,5x + 3
f(x) = -0,5x
Função: y = kx + b
Para passar da função:
f(x) = -0,5x
para a função:
f(x) = -0,5x - 2
basta deslocar o gráficoda função:
f(x) = -0,5x
paralelamente a sipróprio, até ao pontode coordenadas (0,-2).
f(x) = -0,5x – 2
f(x) = -0,5x
Função: y = kx + b
A recta que define a
função:
f(x) = -0,5x + 3
intersecta o eixo das
ordenadas (eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,3), 3
é a ordenada na
origem.
f(x) = -0,5x + 3
Função: y = kx + b
A reta que define a
função:
f(x) = -0,5x - 2
intersecta o eixo das
ordenadas (eixo
vertical) no ponto de
coordenadas (0,-2) e
-2 é a ordenada na
origem.
f(x) = -0,5x – 2
- A representação gráfica duma função do tipo y = kx + b, com k e b constantes,
é uma reta que interseta o eixo das ordenadas em (0,b) e é paralela à reta que
representa a função y = kx.
- O gráfico da função y=kx+b sofre um deslocamento de b unidades, no eixo das
ordenadas, relativamente ao gráfico de y=kx, a função de proporcionalidade
direta.
Gráficos das funções do tipo y = kx+b
Determinação do declive de uma reta
Função constante
Uma função definida por uma expressão algébrica do tipoy= b, sendo b uma constante, é uma função constante.
O gráfico de uma função constante é uma reta paralelaao eixo das abcissas que corta o eixo das ordenadas noponto (0, b).
Exemplo:
Nota:
- Uma função do tipo y = b, chama-se função constante porque qualquer que
seja o objeto, a sua imagem é sempre a mesma.
- Numa reta horizontal, que corresponde a uma função constante (y=b), o
declive é zero.
Casos particulares da função afim
- Todas as funções lineares (do tipo y = kx) são funções afins, em que b = 0.
Representa uma situação de proporcionalidade direta e tem por gráfico uma reta
que contém a origem do referencial.
- Todas as funções constantes (do tipo y = b) são funções afins, em que k = 0,
cujo gráfico é uma reta horizontal que contém o ponto (0,b).
- O gráfico de uma função afim não linear e não constante é uma reta que não
passa pela origem do referencial e não é horizontal.