Fundamentos matematica iv

FUNDAMENTOSDA

MATEMATICA IV

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Sumario

Geometria Espacial 7

Paralelismo e Perpendicularismo. Poliedros. 71.1 Ponto, Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Axiomas de Incidencia e Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Posicoes relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Outras condicoes para a construcao de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4 Intersecao de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6 Retas Reversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.9 Posicoes Relativas entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.2 Angulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


1.3 Reta e Plano Perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


1.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Poliedro Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 Relacao de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Poliedros Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Poliedros de Platao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


1.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Solidos e Superfıcies 252.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Paralelepıpedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Area Lateral e Area Total do Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3 Volume do Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2.1.5 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Cavalieri e os Indivisıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


3

Fundamentos da Matematica IV

2.4 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Elementos do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Superfıcies de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Classificacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Secao Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.5 Calculo das Areas de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 Volume do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 Superfıcie da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 Secoes Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.3 Elementos da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.4 Calculo das Distancias Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.5 Area e Volume de uma Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Area da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Volume da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Area da secao (cırculo) na esfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Area da secao (coroa circular) no solido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Inscricao, Circunscricao de Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.1 Algumas Propriedades Metricas dos Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


2.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Analise Combinatoria e Binomio de Newton 43

Princıpios Basicos da Analise Combinatoria 433.1 Princıpio Fundamental de Contagem e Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Princıpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


3.2 Princıpio de Inducao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Como demonstrar que uma proposicao e verdadeira por inducao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Arranjo e Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1 Arranjo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.3 Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3.4 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Combinacao, Permutacao e Binomio de Newton 534.1 Combinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


4.2 Permutacao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


4.3 O Triangulo Aritmetico de Pascal (ou de Tartaglia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4


4.4 O Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


4.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Atividade Orientada 61

Atividade Orientada 61

6.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

PROPOSTA METODOLOGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Procedimentos:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Problematizacao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Procedimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Consideracao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Questionamentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Para refletir: (Liberte sua mente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Referencias Bibliograficas 66

5


Apresentacao da Disciplina

Prezado aluno,

O estudo de Geometria Espacial e da Matematica Discreta sao temas

centrais nos conte udos de Matematica da segunda serie do Ensino

Medio. Em geral, os estudantes apresentam dificuldades quando iniciam

seus estudos nestas duas areas. Poder ıamos dizer que a Geometria

Espacial requer um esforco maior de imaginacao do que a Geometria

Plana, devido as limitacoes causadas pela representacao das figuras em

duas dimensoes. Por outro lado, alguns topicos da Matematica Discreta

utilizam-se de tecnicas bem diferentes daquelas que o estudante esta

acostumado, necessitando, entao, fazer uso do seu racioc ınio logico e

criativo com muito mais frequencia do que nas series anteriores.

Para que os alunos possam superar estas dificuldades, os professores

precisam ter um bom dom ınio do conte udo a ser trabalhado. O professor

nao deve simplesmente contentar-se em como resolver os problemas

que comumente aparecem nos livros, e, sim, aprofundar-se nestas areas

da Matematica. E preciso ter uma orientacao adequada, ja que se corre

o risco de transmitir para o aluno a ideia de que os assuntos tratados

requerem o uso de uma grande quantidade de artif ıcios e, dessa forma,

cometer o erro de reforcar a ideia da Matematica como uma ciencia de

dif ıcil entendimento e restrita a poucos.

Este material foi escrito para o curso de Licenciatura em Matematica da

FTC-Ead e visa, fundamentalmente, fornecer subs ıdios para evitar que

tudo isso nao venha a ocorrer.

Bons estudos!

Prof. Eleazar Madriz.

6

Geometria Espacial

Paralelismo e Perpendicularismo.

Poliedros.

1.1 Ponto, Reta e Plano

Imagine que voce esta voltando do seu trabalho numa noite e, no exato instante em que esta em

frente a sua casa, a rua onde mora fica sem energia, e voce, guiado pela intuicao, olha para o ceu e so ve

estrelas. Voce fica maravilhado com o espetaculo e, so depois de 10 minutos, volta a energia e a vida segue

normalmente. No dia seguinte, o professor de Matematica de sua turma se atrapalha quando fala sobre o

que e um ponto e voce fala para ele - professor e so olhar as estrelas. Com esta situacao, queremos ilustrar

a dificuldade que existe quando tentamos definir o que e um ponto. Dificuldade esta que os matematicos

encaram axiomaticamente, isto e, aceitando “proposicoes” como validas sem contestacoes, ou seja, sem

ter como provar sua veracidade.

Originado da palavra grega αξιωµα (axioma), o termo axioma significa algo que e considerado ajustado

ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιoειν (axioein), significando

considerar digno que, por sua vez, vem de αξoζ (axios), significando digno. Entre os filosofos gregos

antigos, um axioma era uma reivindicacao que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade

de prova. Na epistemologia (significado da palavra), um axioma e uma verdade auto-evidente sobre a qual

outros conhecimentos devem se apoiar, da qual outro conhecimento e construıdo. Para dizer o mınimo,

nem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existem. A palavra

axioma como usada na Matematica moderna, nao e uma proposicao que e auto-evidente. Mais do que

isso, simplesmente significa um ponto de partida em um sistema logico.

Provavelmente, o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas sao os postulados de Euclides.

Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.) foi um professor, matematico platonico e escritor de origem de-

sconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espac o euclidiano, imutavel, simetrico e

geometrico, metafora do saber na antiguidade classica, que se manteve incolume no pensamento matema-

tico medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construıdos modelos de

geometrias nao-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platao, em

pleno florescimento da cultura helenıstica. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de profes-

sores da recem fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da epoca, tornou-se o

mais importante autor de Matematica da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com

seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes,

sendo cinco sobre geometria plana, tres sobre numeros, um sobre a teoria das proporcoes, um sobre

incomensuraveis e os tres ultimos sobre geometria no espac o. Escrita em grego, a obra cobria toda a

aritmetica, a algebra e a geometria conhecidas ate entao no mundo grego, reunindo o trabalho de seus

7


predecessores, como Hipocrates e Eudoxio. Sistematizava todo o conhecimento geometrico dos antigos e

intercalava os teoremas ja conhecidos, com a demonstracao de muitos outros que completavam lacunas e

davam coerencia e encadeamento logico ao sistema por ele criado. Apos sua primeira edicao foi copiado

e re-copiado inumeras vezes e, versado para o arabe (774), tornou-se o mais influente texto cientıfico de

todos os tempos e um dos com maior numero de publicacoes ao longo da historia.

Depois da queda do Imperio Romano, os livros de Euclides foram recuperados para a sociedade eu-

ropeia pelos estudiosos arabes da penınsula Iberica. Escreveu ainda Optica (295 a.C.), sobre a otica da

visao e sobre Astrologia, Astronomia, Musica e Mecanica, alem de outros livros sobre Matematica. Entre

eles citam-se Lugares de Superfıcie, Pseudaria e Porismas. Algumas das suas obras como Os elementos,

Os Dados, outro livro de texto, uma especie de manual de tabelas de uso interno na Academia e com-

plemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, divisao de figuras, sobre a divisao geometrica de

figuras planas, Os Fenomenos, sobre Astronomia, e Optica, sobre a visao, sobreviveram parcialmente e

hoje sao, depois de A Esfera de Autolico, os mais antigos tratados cientıficos gregos existentes. Pela sua

maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilıssimo professor.

Euclides, provavelmente, recebeu os primeiros ensinamentos de Matematica dos discıpulo de Platao.

Ptolomeu I - general macedonio (favorito de Alexandre, o Grande) - trouxe Euclides de Atenas para Alexan-

dria. Esta se tornara a nova capital egıpcia no litoral mediterraneo e centro economico e intelectual do

mundo helenıstico. O sabio fundou a Escola de Matematica na renomada Biblioteca de Alexandria, que

pode ter alcanc ado a cifra de 700.000 rolos (papiros e pergaminhos). Alexandria, a partir de Euclides ate o

seculo IV d.C., reinou quase absoluta nao so como a mais ecletica e cosmopolita cidade da Antiguidade,

mas tambem como principal centro de producao matematica. Alem de Os Elementos, a bibliografia de

Euclides e ecletica e valiosa: Os Dados (solucao de problemas geometricos planos); Da Divisao (trata da

divisao de figuras planas); Fenomenos (geometria esferica aplicada a astronomia); Optica (que trata da

geometria dos raios refletidos e dos raios refratados); Introducao Harmonica (musica). E para desfortuna

de milhares de matematicos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superfıcie, Pseudaria,

Porismas (que pode ter representado algo proximo da nossa atual Geometria Analıtica). Precipuamente,

lamenta-se o desaparecimento de As Conicas, obra do autor, que, conforme referencias, deve ter tratado

da esfera, do cilindro, do cone, do elipsoide, do paraboloide e do hiperboloide, etc. A biblioteca de Alexan-

dria estava muito proxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do

insigne Carl B. Boyer, em a Historia da Matematica:

“A Universidade de Alexandria, evidentemente, nao diferia muito de instituicoes modernas de

cultura superior”.

Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como admin-

istradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possuımos,

parece que Euclides definitivamente pertencia a ultima categoria. Nenhuma descoberta nova e atribuıda

a ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essa e a chave do sucesso de sua maior obra

“Os Elementos”. Euclides foi sinonimo de Geometria e reinou absoluto ate o seculo XIX , quando foi par-

cialmente contestado por Riemann, Lobatchewski e Bolyai (criadores das geometrias nao-euclidianas). Na

Teoria da Relatividade, a geometria euclidiana nem sempre e verdadeira. Exemplo: no gigantesco campo

gravitacional, que orbita nas vizinhanc as dos buracos negros e nas estrelas de neutrons. Mesmo assim,

o proprio Einstein se faz reconhecido: “Quem, na juventude, nao teve seu entusiasmo despertado por

Euclides, certamente nao nasceu para ser cientista”.

As figuras geometricas basicas, no plano, sao os pontos e as retas. O plano e formado de pontos e as

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retas sao subconjuntos especiais do plano, ja que elas podem ser definidas a partir dos pontos. Os pontos

e as retas do plano satisfazem um grupo de axiomas que apresentaremos ao longo deste material. Um

plano pode ser imaginado como a superfıcie de uma folha de papel na qual podemos estender sem nenhum

tipo de restricao em qualquer direcao. Nela, um ponto pode ser interpretado como a marca gerada quando

a ponta de um lapis encontra a folha de papel, ou quando o lapis e pressionado sobre o papel. Com o

auxılio de uma regua, o desenho de uma parte da reta pode ser feito. E comum o uso de desenhos quando

queremos estudar geometria, mas, devemos advertir que os desenhos so devem ser considerados como

um instrumento que possibilita o manejo da linguagem formal envolvida na geometria. No decorrer deste

material, usaremos letras maiusculas do alfabeto indo-arabico para denotar pontos; e letras minusculas,

do mesmo alfabeto, para designar retas.

1.1.1 Axiomas de Incidencia e Ordem

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliacao da Geometria plana (euclidiana) e

trata dos metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relacao entre esses ele-

mentos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, sao: pontos, retas, segmentos de retas, planos,

curvas, angulos e superfıcies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao: comprimentos

de curvas, areas de superfıcies e volumes de regioes solidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos

primitivos, os quais serao aceitos sem definicao. Consideraremos o ponto, a reta e o plano como objetos

matematicos definidos de forma axiomatica, isto e, que nao precisamos de demonstracao alguma para

aceitar sua existencia. Destes elementos basicos temos um conhecimento gerado pela intuicao e das

experiencias que a observacao nos da.

Para o estudo da Geometria Espacial (euclidiana), lidaremos com um conjunto-universo denominado

espaco. O espac o intuitivamentee o conjunto de todos os pontos e qualquer conjunto de pontos (como

por exemplo uma reta, um plano, uma esfera) e um subconjunto do espac o.

A Geometria Espacial funciona como uma ampliacao da Geometria Plana (euclidiana) e trata dos

metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, assim como a relacao entre esses elementos.

Os objetos tratados na Geometria Espacial sao os pontos, as retas, os segmentos de retas, os planos, as

curvas, os angulos e as superfıcies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao os compri-

mentos de curvas, as areas de superfıcies e os volumes de regioes solidas.

Assim, para iniciar o estudo da Geometria Espacial, enunciaremos alguns axiomas que relacionam o

ponto, a reta e o plano.

O axioma a seguir estabelece a existencia de pontos que pertencem ou nao a uma reta dada. Formal-

mente temos:

Axioma 1. Para qualquer reta existem pontos que pertencem a reta

e pontos que nao pertencem a reta.

Aα

r

Ja o proximo axioma responde a seguinte pergunta: “dados dois pontos existira uma reta que os

contem?”

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Axioma 2. Para qualquer par de pontos distintos existe uma

unica reta que os contem.

A B

rr =←→AB

As primeiras definicoes basicas associadas a estes axiomas envolvem relacoes entre pontos e entre

pontos e retas. A primeira descreve quando varios pontos pertencem a mesma reta e a segunda quando

duas retas se cortam. Estas definicoes sao fundamentais no desenvolvimento dos teoremas que usam a

Geometria Espacial na resolucao de problemas.

1.1 Definicao. Diremos que tres pontos sao colineares se existe somente uma reta que os contem.

1.2 Definicao. Diremos que duas retas se interceptam se elas

tem um ponto em comum. m

nP

Consideremos uma reta m e sobre ela os pontos A, B e C .A

BC

Podemos dizer que o ponto C localiza-se entre os pontos A e B , ou que os pontos A e B estao separa-

dos pelo ponto C . Esta nocao de que um ponto localize-se entre dois outros e uma relacao que motiva o

seguinte axioma:

Axioma 3. Dados tres pontos distintos em uma reta, um e so

um localiza-se entre os outros dois.

A B C

α

r

A partir deste axioma podemos apresentar a seguinte definicao:

1.3 Definicao. Sejam A e B dois pontos e r a reta que passa por eles. Chamaremos de segmento AB ao

conjunto de todos os pontos de r e que estao localizados entre A e B . A e B sao chamados de extremos

do segmento AB .

Muitas figuras sao construıdas usando-se segmentos. A mais simples e o triangulo que e formado por

tres pontos que nao pertencem a uma mesma reta e pelos tres segmentos determinados por estes tres

pontos.

A partir destas definicoes podemos enunciar o primeiro dos teorema da Geometria Espacial, o qual

garante a relacao basica entre duas retas.

1.4 Teorema. Duas retas se interceptam em um unico ponto ou nao se interceptam.

Antes de apresentar a demonstracao do teorema 1.4 lembre-se que, em geral, na matematica existem

dois tipos basicos de proposicoes: as que sao aceitas sem demonstracao, chamadas de axiomas e, as

que podem ser deduzidas dos axiomas, conhecidas como lemas, teoremas e corolarios. Estas ultimas

podem ser ordenadas da seguinte maneira: os lemas podem ser usados para demonstrar um teorema e

os corolarios, sao uma consequencia do teorema.

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Prova. Pelo axioma 2, se duas retas tem mais de um ponto em comum, entao elas devem coincidir.

Portanto, a intersecao e vazia ou contem so um ponto. 2

Observe como e utilizado o axioma 2 na prova do teorema anterior. Ele e fundamental para estabelecer

a conexao necessaria entre a hipotese e a tese que compoem o teorema.

Outro objeto elementar da geometria espacial e o plano. Este e de muita importancia, ja que nele

podemos agrupar diferentes objetos geometricos que sao fundamentais para esta geometria. Um axioma

se faz necessario para garantir a existencia e unicidade deste tipo de objeto geometrico.

Axioma 4. Tres pontos nao-colineares determinam um unico plano.A B C

α = (A, B , C )

O axioma anterior garante a existencia e unicidade de um plano. Todavia, precisamos saber construı-lo.

O teorema a seguir nos da uma (das tantas) condicoes para tal construcao.

1.5 Teorema. Uma reta m e um ponto P , que nao pertence a m, determinam um unico plano que os

contem. Simbolicamente,

(P 6∈ m)⇒ (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]). ( 1.1)

Observe que a hipotese do teorema e P 6∈ m e que a tese e (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]), ou seja, devemos

provar que se o ponto P nao esta na reta m ⊂ α, entao existe um unico plano α que contem o conjunto

formado pelo ponto P e pela reta m. Para isto devemos provar que o plano existe e depois garantir a

unicidade do mesmo. Vejamos entao a prova deste teorema.

Prova. Consideremos dois pontos A e B da reta m. Uma vez que P nao pertence a reta m, A, B e P sao

nao colineares. Assim, pelo axioma 1.1.6, estes determinam um plano α. Pela construcao, α contem a

reta m e o ponto P . 2

α

mP

α

m

AB P

α

m

AB P

1.1.2 Posicoes relativas entre duas retas

As retas podem ser entendidas como conjuntos de pontos no plano. A partir disto, podemos estudar a

intersecao entres duas delas por meio da seguinte definicao.

1.6 Definicao. Duas retas sao chamadas de concorrentes se elas tem

um unico ponto em comum. m

n

Pelo Teorema 1.4 duas retas podem nao ter intercedamo. Por isso, temos dois possıveis casos:

As retas sao coplanares:

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1.7 Definicao. Duas retas sao chamadas de paralelas se elas sao

coplanares nao tem um ponto em comum. m

n

Usaremos s ‖ r para denotar que as retas s e r sao paralelas.

As retas nao sao coplanares:

1.8 Definicao. Duas retas sao reversas se nao existe um plano que as contenha.

Consequentemente, podemos dizer que: Dadas duas retas distintas, ou elas sao concorrentes, ou paralelas ou

reversas.

O axioma mais famoso de Euclides garante que se duas retas concorrentes sao paralelas a uma terceira reta

entao elas sao coincidentes. Em outras palavras:

Axioma 5. Por um ponto fora de uma reta m pode-se tracar uma unica reta paralela a m.

O axioma 5 e conhecido como O Quinto Postulado de Euclides ou Postulado das paralelas e e o postulado

que caracteriza a geometria Euclidiana.

O paralelismo pode ser visto como uma relacao sobre o conjunto de retas em um plano. A relacao pode ser

definida como: Sejam m e n duas retas no plano α, diremos que m ∼ n se, e somente se, m e n sao paralelas.

Esta relacao e reflexiva, ja que toda reta e paralela a ela mesma, e e simetrica, ja que se m e paralela a n, entao

n e paralela a m. O seguinte teorema garante que a ∼ e transitiva.

1.9 Teorema. Se duas retas m e n sao paralelas a uma reta s, entao m e n sao paralelas. Simbolicamente,

(m ‖ s ∧ n ‖ s)⇒ (m ‖ n).

Prova. Consideraremos o caso geral onde as tres retas sao distintas.

Por hipotese, as retas m e s determinam um plano α. De maneira analoga, as retas n e s tambem

determinam um plano, β. Como s e comum aos planos α e β, s e a intersecao destes planos.

Tomemos um ponto P em n e consideremos o plano γ que contem a reta m e o ponto P . Os planos

distintos β e γ tem em comum o ponto P . Logo, existe uma reta r em comum a β e γ. Assim, o ponto

P pertence as retas n e r e ambas sao paralelas a reta s. Logo, pelo axioma 5, a reta r e igual a reta n.

Portanto, como m e paralela a r e r = n, vem que m e paralela a n. 2

1.1.3 Outras condicoes para a construcao de um plano

Vimos no axioma 1.1.6 que dados tres pontos nao colineares existe um e somente um plano que os

contem. Utilizando as definicoes da secao anterior podemos reunir outras condicoes para a construcao de

um plano, sao elas:

— Usando uma reta e um ponto fora da reta.

— Usando duas retas concorrentes.

— Usando duas retas paralelas distintas.

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Apresentaremos, formalmente, estas construcoes atraves de teoremas e respectivas demonstracoes.

1.10 Teorema. Duas retas m e n concorrentes determinam um unico plano que as contem. Simbolica-

mente,

(m ∩ n = P ⇒ (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]) ( 1.2)

Observe que neste caso a hipotese e m ∩ n = P e a tese e (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]). Devemos provar a

existencia e a unicidade do plano.

Prova. Consideremos um ponto A da reta m e um ponto B da reta n, ambos distintos do ponto P , onde

P e o ponto que m e n tem em comum. Ja que os pontos A, B e P nao sao colineares, pelo axioma 1.1.6,

eles determinam um unico plano α. 2

1.11 Teorema. Consideremos duas retas paralelas distintas. Entao, elas determinam um unico plano que

as contem.

O teorema pode ser representado como;

(t ‖ s ∧ r 6= s)⇒ (∃!α [r ⊂ α ∧ s ⊂ α]) ( 1.3)

A demonstracao do teorema consiste em supor que existem dois planos α e α′ que passam por r e s e

logo em seguida se verifica que eles coincidem.

Prova. Sejam A e B dois pontos distintos em r e P um ponto em s. Visto que r ‖ s, temos:

(α = (r , s); A, B ∈ r ; P ∈ s)⇒ α = (A, B , P)

(α′ = (r , s); A, B ∈ r ; P ∈ s)⇒ α′ = (A, B , P)

Portanto, α = α′. 2

1.1.4 Intersecao de Planos

Axioma 6. Se dois planos distintos tem um ponto em comum A, existe outro ponto B , comum aos planos,

diferente de A.

1.12 Teorema. Sejam α e β dois planos distintos. Se eles tem um ponto em comum A, entao a intersecao

deles e uma unica reta r que passa por A. Simbolicamente,

(α 6= β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β)⇒ (∃!r [A ∈ r = α ∩ β]) ( 1.4)

Para esta prova temos, como hipotese,

(α 6= β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β)

e como tese,

(∃! r [A ∈ r = α ∩ β]).

Prova. Se A e o ponto em comum entre os planos α e β, temos pelo axioma 6 que deve existir outro

ponto B diferente de A comum aos planos. Usando o axioma 2, podemos garantir que existe uma unica

reta r que os contem. 2

A partir do teorema 1.12 podemos apresentar a seguinte definicao:

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1.13 Definicao. Dois planos distintos que se interceptam sao chamados de secantes ou concorrentes. A

reta comum e a intersecao desses planos ou o traco de um deles no outro.

1.1.5 Semiplanos

Axioma 7. Uma reta m de um plano α separa esse plano em dois subconjuntos Γ e Σ , tais que:

1. Γ ∩ Σ = ∅;

2. Γ e Σ sao convexas;

3. (A ∈ Γ , B ∈ Σ )⇒ AB ∩m 6= ∅.

Os conjuntos Γ e Σ sao chamados de semiplanos abertos e os conjuntos m ∪ Γ e r ∪Σ sao chamados

de semiplanos, e a reta m e a origem de cada um desses semiplanos.

Observe que a intersecao de dois planos determina 4 semiplanos.

1.1.6 Retas Reversas

Dadas duas retas reversas e um ponto, tres situacoes possıveis devem ser analisadas:

1. O ponto pertence a uma das retas;

2. O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta;

3. O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano nao paralelo a outra.

Exemplo 1.1. Dadas tres retas, duas a duas concorrentes, nao passando por um mesmo ponto, prove

que estao no mesmo plano.

Solucao: Sejam m, n e r as tres retas. Denotemos com A, B e C os pontos de concorrencia de m com

n, m com r , n com r respectivamente. Visto que m, n, e r nao passam por um mesmo ponto entao A, B e

C nao sao colineares. Pelo axioma esses tres pontos determinarao um unico plano α procurado. 2

1.1.7 Exercıcios Propostos

1.1. Quantas retas existem em um plano?

1.2. Quantas retas ha no espac o?

1.3. Considere os pontos A, B , C e D, dois a dois, distintos. Quantas e quais sao as retas determinadas

pelos pares de pontos A, B , C e D:

(a) A, B , C e D sao colineares.

(b) A, B , C e D nao sao colineares.

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1.4. Frequentemente encontramos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas no chao, balanc am e nos

obrigam a colocar algum calc o em uma das pernas para que fique firme. Explique usando argumentos da

geometria, porque isso nao acontece com uma mesa de 3 pernas.

1.5. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:

1. ( ) Duas retas ou sao coincidentes ou sao distintas.

2. ( ) Duas retas ou sao coplanares ou sao reversas.

3. ( ) Duas retas distintas determinam um planos.

4. ( ) Duas retas concorrentes tem um ponto em comum.


(a) r ∩ s = ∅⇒ r e s sao reversas.

(b) r e s sao reversas⇒ r ∩ s = ∅.

1.7. Num plano α ha duas retas, m e n, concorrentes num ponto Q. Seja P um ponto fora de α. Considere

o plano β que contem ao ponto P e a reta m e o plano γ que contem ao ponto P e a reta n. Qual e a

intersecao de β com γ?

1.8. Demonstre que num plano existem infinitas retas.

1.9. Quantos sao os planos determinados por quatro pontos distintos, dois a dois?

1.10. Classifique em verdadeiro ou falso:

(a) Tres pontos distintos determinam un plano;

(b) Um ponto e uma reta determinam un unico plano;

(c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

1.11. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, sao reversas entre si?

1.12. Quantos sao os planos que passam por uma reta?

1.13. Quantos sao os planos que passam por dois pontos distintos?

1.14. Prove a existencia de retas reversas.

1.15. Prove que um quadrilatero reverso nao e paralelogramo.

1.16. Prove que as diagonais de um quadrilatero reverso sao reversas.

1.17. Duas retas nao coplanares sao reversas?

1.18. Duas retas coplanares ou sao paralelas ou sao concorrentes?

1.19. A condicao r�

s = ∅ e necessaria para que r e s sejam reversas?

1.20. Um ponto P e o trac o de uma reta r num plano α. Se βe um plano qualquer que passa por r , o que

ocorre com a intersecao α ∩ β?

1.21. Duas retas r e s sao reversas. Em r ha um ponto R e em s ha um ponto S . Sejam α o plano gerado

por r e S , e β o gerado por s e R . Qual e a intersecao de α com β?

1.22. As retas que contem os lados de um triangulo ABC furam um plano α nos pontos O, P e R . Prove

que estes pontos sao colineares.

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1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos

1.14 Definicao. Diremos que a reta m e paralela ao plano α se, e somente se m e α nao tem um ponto

em comum.

Esta definicao pode ser representada como m ‖ α⇔ m ∩ α = ∅.

1.15 Teorema. Se a reta m nao esta contida no plano α e e paralela a uma reta n contida em α, entao m

e paralela a α. Simbolicamente,

(m * α ∧ m ‖ n ∧ n ⊂ α)⇒ m ‖ α ( 1.5)

Neste caso a hipotese e (m * α ∧ m ‖ n ∧ n ⊂ α) e a tese e m ‖ α.

Prova. Visto que m e n sao paralelos, elas determinam um plano β cuja intersecao e a reta n. Logo,

todos os pontos comuns a α e β estao em n. Como m e n nao tem pontos comuns, temos que α e m nao

tem pontos comuns logo m e α sao paralelos. 2

Esta e a condicao suficiente para que uma reta seja paralela a um plano. Vejamos agora a condicao

necessaria par que isto ocorra.

1.16 Teorema. Se a reta m e paralela ao plano α, entao existe uma reta n contida no plano α paralela a

m. Simbolicamente,

m ‖ α⇒ (∃n ⊂ α [m ‖ n]). ( 1.6)

Prova. Conduzimos por m um plano β que intercepta ao plano α. Logo, a intersecao de α com β nos

da uma reta n. As retas m e n sao coplanares, pois estao em β e nao tem ponto em comum. Logo, m e n

sao paralelas, completando assim a prova do teorema. 2

Os teoremas 1.15 e 1.16 apresentam as condicoes suficiente e necessaria, respectivamente, para a

existencia de retas e planos paralelos. Podemos resumi-los no seguinte teorema.

1.17 Teorema. Uma condicao necessaria e suficiente para que uma reta m, que nao pertence ao plano

α, seja paralela a esse plano, e que exista uma reta n contida no plano α paralela a m.

1.1.9 Posicoes Relativas entre uma Reta e um Plano

Uma reta e um plano podem apresentar:

1. Dois pontos distintos;A

BC

2. Um unico ponto em comum;

3. Nenhum ponto em comum. α

m


1.23. Considere um quadrilatero A, B , C e D, os pontos M , N , P , Q e R sao respectivamente pontos

medios dos segmentos AB , AD, CD, BC , BD e AC . Prove que MNPQ e um paralelogramo.

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1.24. Construa uma reta paralela a um plano dado.

1.25. Construa um plano paralelo a uma reta dada.

1.26. Prove que: Se uma reta e paralela a dois planos secantes, entao ela e paralela a intersecao.

1.27. Dadas duas retas m e n, construa um plano α paralelo a m que contenha a m.

1.28. Construa, por um ponto P , um plano paralelo a duas retas reversas m e n dadas.


1. Uma reta e um plano que tem um ponto comum sao concorrentes.

2. Uma reta e um plano paralelos nao tem ponto comum.

3. Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a qualquer reta do plano.

4. Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra.

5. Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma, encontra a outra.

6. Por qualquer ponto e possıvel conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.

1.30. Construa, por um ponto P , uma reta que se apoia em duas retas reversas r e s dadas.

1.31. Construa por um ponto P um plano paralelo a duas retas reversas r e s dadas.

1.32. Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais nao passa nenhuma reta que se apoie em

ambas?

1.33. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, e unico.

1.2 Angulo entre Duas Retas

Na Geometria plana vimos que angulo e a abertura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Visto que na geometria espacial trabalhamos com retas que podem nao ter pontos em comum precisamos

definir angulo entre retas quaisquer.

1.18 Definicao. Duas retas que se interceptam determinam quatro angulos, dois a dois opostos pelo

vertice. O angulo entre elas e definido como menor desses angulos. Se as retas r1 e r2 sao reversas,

entao existe um ponto P de r1 por onde passa uma reta s2 paralela a r2. O angulo entre r1 e r2 e definido

como o angulo entre r1 e s2. Se as retas sao paralelas o angulo entre elas e zero.

Com essa nova definicao, introduziremos de maneira natural um conceito muito importante na Geome-

tria espacial:

1.19 Definicao. Duas retas sao ortogonais se, e somente se, o angulo entre elas e reto.

Usaremos o sımbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade de duas retas.

# Lembre-se que duas retas sao perpendiculares se sao concorrentes e o angulo entre elas e reto.

Assim retas perpendiculares sao ortogonais mas o contrario nao e sempre verdadeiro.

# OBSERVE que durante o texto utilizaremos ⊥ tambem para indicar perpendicularidade.

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1.34. Classifique em verdadeiro o falso:

1. Duas retas perpendiculares sao concorrentes;

2. Se duas retas formam angulo reto, entao elas sao perpendiculares;

3. Se duas retas sao perpendiculares, entao elas formam angulo reto;

4. Se duas retas sao ortogonais, entao elas formam angulo reto;

5. Duas retas que formam angulo reto podem ser reversas;

6. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao perpendiculares entre si;

7. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao paralelas entre si.

1.3 Reta e Plano Perpendicular

1.20 Definicao. Uma reta m e um plano α sao perpendiculares se, e somente se,

i. existe um ponto P comum a m e a α, e

ii. a reta m e perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P .

1.21 Definicao. Diremos que a reta m e o plano α sao oblıquos se, e somente se, m e reversa e nao

ortogonal a toda reta de α.

Podemos dizer, como consequencia das definicoes anteriores, que se uma reta e perpendicular a um

plano, ela e ortogonal a qualquer reta do plano. De fato, sendo m perpendicular a α em O e x e uma reta

qualquer de α, temos dois casos a considerar:

1◦ caso: x passa por O. Neste caso pela definicao m ⊥ x .

2◦ caso: x nao passa por O. Seja x ′ uma reta que passa por O que seja paralela a x . pela definicao

temos que m ⊥ x ′ e , entao m ⊥ x

Portanto, podemos concluir que (m ⊥ α ∧ x ⊂ α)⇒ (m ⊥ x ∨ x ⊥ m).

1.22 Teorema. Uma reta m e perpendicular a um plano α se, e somente

se, existem duas retas concorrentes a e b em α, tais que m forma angulo

reto com a e b. Simbolicamente,

(m ⊥ a ∧ m ⊥ b ∧ a ∩ b = O ∧ a ⊂ α ∧ b ⊂ α)⇒ m ⊥ α ( 1.7)

m

b

a

Prova. Para provar que m ⊥ α, devemos provar que m e perpendicular a todas as retas de α que

passam por O. Para isso, basta provarmos que m e perpendicular a uma reta x generica de α, que passa

por O.

Tomemos em m dois pontos A e A′, simetricos em relacao a O: OA ≡ OA′. Tomemos ainda um ponto

B ∈ a e um ponto C ∈ b, tais que BC intercepta x num ponto X . Notemos que, nessas condicoes, a e

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mediatriz de AA′, b e mediatriz de AA′ e por isso: AB ≡ A′B e AC ≡ A′C . Tambem notemos que para

chegarmos a tese, basta provarmos que x e mediatriz de AA′.

Temos que:

(AB ≡ A′B , AC ≡ A′C , BC comum)⇒4ABC ≡ 4A′BC ⇒ ABC ≡ A′BC ⇒ ABX ≡ A′BX .

(AB ≡ A′B , ABX ≡ A′BX , BX comum)⇒4ABX ≡ 4A′BX ⇒ XA ≡ XA′.

XA ≡ XA′ ⇒ x e mediatriz de AA′ ⇒ m ⊥ x ⇒ m ⊥ α.

2

1.23 Definicao. Sejam α e β dois planos. Diremos que α e perpendicular a β se, e somente se, α contem

uma reta perpendicular a β.

Uma pergunta que surge de maneira natural a partir da definicao 1.21 e: Que condicao deve ser

cumprida para que os planos α e β sejam perpendiculares? A resposta e apresentada no seguinte teorema.

1.24 Teorema. Se dois planos sao perpendiculares entre si e uma reta de um deles e perpendicular a

intersecao dos planos, entao essa reta e perpendicular ao outro plano.

Prova. Se α ⊥ β, entao α contem uma reta a, perpendicular a β. Seja i a reta de intersecao entre os

planos e suponhamos que a reta r ∈ α seja perpendicular a i . Assim temos: (a ⊥ i , r ⊥ i) ⇒ a ‖ r . Assim,

r ⊥ β. 2

OBS: Outra possibilidade seria que a reta perpendicular a intersecao dos planos i estivesse no pano β

com o mesmo raciocınio chegarıamos a tese do teorema.

Pela definicao 1.21, se a uma reta e perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha e

perpendicular ao primeiro. Resumindo os resultados podemos formular o seguinte teorema:

1.25 Teorema. Sejam α e β dois planos secantes. α e β sao perpendiculares se, e somente se, toda reta

m em α perpendicular a intersecao de α com β e perpendicular a β.

1.3.1 Leitura

“Obviamente, e impossıvel precisar as origens da geometria”. Mas essas origens, sem duvidas, sao

muito remotas e muito modestas. Nessa longa trajetoria, segundo alguns historiadores, a geometria pas-

sou por tres fases:

(a) a fase subconsciente, em que, embora percebendo formas, tamanhos e relacoes espaciais, grac as

a uma aptidao natural, o homem nao era capaz ainda de estabelecer conexoes que lhe propor-

cionassem resultados gerais;

(b) a fase cientıfica, em que, embora empiricamente, o homem ja era capaz de formular leis gerais (por

exemplo, a razao entre uma circunferencia qualquer e seu diametro e constante);

(c) a fase demonstrativa, inaugurada pelos gregos, em que o homem adquire a capacidade de de-

duzir resultados gerais mediante raciocınios logicos. O primeiro matematico cujo nome se associa a

19


matematica demonstrativa e Tales de Mileto (c. 585 a.C). Tales teria provado algumas poucas e es-

parsas proposicoes, como, por exemplo, “os angulos da base de um triangulo isosceles sao iguais”.

Mas o aparecimento de cadeias de teoremas, em que cada um se demonstra a partir dos anteriores,

parece ter comec ado com Pitagoras de Samos (c. 532 a.C.) ou na escola pitagorica.


1.35. Sejam a,b e c tres retas no espac o tais que a ⊥ b e c ⊥ a. Que se pode concluir a proposito das

posicoes das retas b e c? (Justifique sua resposta)

1.36. Dois triangulos ABC e BCD sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa CD,

prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .

1.37. Duas retas nao paralelas entre si sao paralelas a um plano. Toda reta que forma angulo reto com

ambas, e perpendicular ao plano.

1.38. Prove que: Se o plano α e perpendicular ao plano β e se uma reta m e perpendicular a um deles

tem um ponto P comum com o outro, entao essa reta esta contida nesse outro plano.

1.39. Um triangulo ABC , retangulo em B , e um paralelogramo BCDE estao situados em planos distintos.

Prove que as retas AB e DE sao ortogonais.

1.40. Classifique em verdadeiro e falso:

(a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes.

(b) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano.

(c) Uma reta perpendicular a um plano forma angulo reto com qualquer reta do plano.

(d) Se uma reta e perpendicular a duas retas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.

1.41. Dois triangulos ABC e BCD sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa CD,

prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .

1.42. Num quadrilatero reverso de lados congruentes entre si e congruentes as diagonais, prove que os

lados opostos sao ortogonais, assim como as diagonais tambem sao ortogonais.

1.43. Uma reta a e perpendicular a um plano α nu ponto O. Uma reta b de α nao passa por O e uma reta c

de α passa por O e e concorrente com b em R . Se S e um ponto qualquer de a e a reta SR e perpendicular

a b, entao b e perpendicular a c .

1.44. Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos?

1.45. Uma reta e um plano sao paralelas. Toda reta perpendicular a reta dada e perpendicular ao plano?


(a) Se uma reta e ortogonal a duas retas distintas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.

(b) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.

(c) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta e perpendicular a primeira e ortogonal a

segunda, entao ela e perpendicular ao plano.

20

(d) Se uma reta forma angulo reto com duas retas de um plano, distintas e que tem um ponto comum,

entao ela e perpendicular ao plano.

(e) Duas retas reversas sao paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas e perpendicular ao plano.

1.4 Poliedros

Um conjunto P e convexo se, para qualquer par de pontos pertencentes a P , o segmento de reta

que esta totalmente contido em P . Disto podemos afirmar que uma superfıcie poliedrica limitada convexa

aberta ou fechada poderia ser ou nao ser uma regiao convexa.

1.26 Definicao. Uma superfıcie poliedrica limitada convexa e a reuniao de um numero finito de polıgonos

planos e convexos, que verificam as seguintes questoes:

1. dois polıgonos nao estao num mesmo plano;

2. cada lado de polıgono nao esta em mais que dois polıgonos;

3. havendo lados de polıgonos que estao em um so polıgono, entao eles devem formar uma unica

poligonal fechada, plana ou nao, chamada contorno;

4. o plano de cada polıgono deixa os restos deles num mesmo semi-espaco.

Da definicao anterior podemos classificar as superficies poliedricas limitadas convexas a partir de seu

contorno, assim chamaremos de abertas as que tem contorno, e de fechadas as que nao tem.

Uma superfıcie poliedrica limitada convexa tem os seguintes elementos basicos:

• Faces: sao os polıgonos;

• Arestas: sao os lados dos polıgonos;

• Vertices: sao os vertices dos polıgonos;

• Angulos: sao os angulos dos polıgonos;

Estudaremos as diferentes relacoes entre os elementos de uma superfıcie poliedrica limitada convexa.

1.4.1 Poliedro Convexo

Seja n um numero finito (n ≥ 4) e consideremos n polıgonos convexos tais que:

1. Dois polıgonos nao estao num mesmo plano;

2. Cada lado de polıgono e comum a dois e somente dois polıgonos;

3. O plano de cada polıgono deixa os demais polıgonos num mesmo semi-espac o.

Se as condicoes anteriores sao consideradas, entao ficam determinados n semi-espac os, cada um

deles tem como origem o plano de um polıgono, e contem os restantes polıgonos.

21


1.27 Definicao. Um conjunto P e um poliedro convexo se e a intersecao de um numero finito de polıgonos

que verificam as condicoes 1, 2 e 3 anteriores.

De maneira analoga, as superfıcies poliedricas limitadas convexas sao poliedros convexos que pos-

suem faces que sao polıgonos convexos; arestas, que sao os lados dos polıgonos e vertices que sao os

vertices dos polıgonos. Chamaremos de superfıcie do poliedro a reuniao das faces do poliedro.

1.28 Definicao. Diremos que dois poliedros convexos P e S sao congruentes se, e somente se, e possıvel

estabelecer uma correspondencia entre seus elementos de modo que as faces e os angulos poliedricos

de P sejam congruentes as faces e os angulos poliedricos S .

1.29 Definicao. (auxiliar) Um angulo poliedrico e a regiao constituıda por todas as faces que convergem

em um vertice.

Naturalmente, da definicao de congruencia de poliedros, definimos a congruencia entre faces, arestas

e angulos.

1.4.2 Relacao de Euler

A relacao de Euler estabelece uma relacao entre os vertices, arestas e faces de um poliedro. Para um

poliedro P denotaremos com V , A e F , o numero de vertices, arestas e faces de P , respectivamente.

1.30 Teorema. Seja P um poliedro convexo. Entao,

V − A + F = 2 ( 1.8)

Para a demonstracao deste teorema provaremos previamente o seguinte lema. Porem, antes disto, e

necessario definirmos para uma superfıcie poliedrica limitada convexa S , a seguinte notacao:

• Va e o numero de vertices de S ;

• Aa e o numero de arestas de S ;

• Fa e o numero de faces de S .

1.31 Lema. Seja S uma superfıcie poliedrica limitada convexa aberta. Entao,

Va − Aa + Fa = 1.

Prova. Para Fa = 1. Neste caso a superfıcie se reduz a um polıgono plano convexo de n lados e,

entao, Va = Aa = n. Temos, portanto,

Va − Aa + Fa = n − n + 1 = 1.

Agora, admitamos que a relacao vale para uma superfıcie poliedrica limitada convexa aberta de F ′

faces com V ′ vertices e A′ arestas. Provaremos a continuacao que a relacao e valida para uma superfıcie

poliedrica limitada convexa aberta de F ′ +1 faces, que possui Va vertices e Aa arestas. Pela hipotese, para

a superfıcie de F ′ faces, A′ arestas e V ′ vertices vale:

V ′ − A′ + F ′ = 1. ( 1.9)

22

Acrescentemos a essa superfıcie uma face de p arestas. Como q dessa aresta coincidem com arestas

que ja existem, obtemos uma nova superfıcie com Fa = F ′ + 1 faces, Va vertices e Aa arestas tais que

Fa = F ′ + 1; ( 1.10)

Aa = A′ + p − q ( 1.11)

Va = V ′ + p − (q + 1) ( 1.12)

onde para a equacao (5) q arestas coincidem, e para a equacao (6) o numero de arestas e de vertices

coincidem que sao q e q + 1, respectivamente. Agora e so usar as equacoes (4), (5) e (6) para provar que

Va − Aa + Fa = V ′ − A′ + F ′. Como Va − Aa + Fa = V ′ − A′ + F ′, podemos dizer que essa expressao nao

se altera se acrescentamos uma face da superfıcie, e como pela hipotese V ′ − A′ + F ′ = 1, completamos

a prova do lema.

Prova. [do Teorema 1.30] Tomemos a superfıcie de qualquer polıgono convexo ou qualquer superfıcie

poliedrica limitada convexa fechada, que tenha V vertices, A arestas e F faces, e das faces retiremos uma.

Logo, ficamos com uma superfıcie aberta com Va vertices, Aa arestas e Fa faces, para qual vale o lema 1,

isto e Va − Aa + Fa = 1. Como Va = V , Aa = A e Fa = F − 1, temos que V − A + F = 2, assim o teorema

fica provado.

Os poliedros que verificam a relacao de Euler sao chamados poliedros eulerianos. Em geral, todo

poliedro convexo e euleriano, mas nem todo poliedro eureliano e convexo.

1.4.3 Poliedros Importantes

Poliedros de Platao

1.32 Definicao. Um poliedro e chamado de poliedro de Platao se os seguintes ıtens estao satisfeitos:

i. todas as faces tem o mesmo numero de arestas;

ii. todos os angulos poliedricos tem o mesmo numero de arestas;

iii. vale a relacao de Euler.

E possıvel demonstrar que existem cinco classes de poliedros de Platao. Eles sao apresentados na

seguinte tabela, em que m indica o numero de arestas associadas a uma face; m o numero de arestas

associadas a um angulo; A o numero de arestas do poliedro; V o numero de vertices do poliedro e F o

numero de faces do poliedro.

m n A V F Nome

3 3 6 4 4 Tetraedro

3 4 12 8 6 Hexaedro

4 3 12 6 8 Octaedro

3 5 30 20 12 Dodecaedro

5 3 30 12 20 Icosaedro

23


Poliedros Regulares

Outra classe de poliedros muito importante na geometria espacial e a classe dos poliedros regulares.

1.33 Definicao. Um poliedro convexo e chamado de regular se, e somente se, verifica as seguintes

condicoes:

i. suas faces sao polıgonos regulares e congruentes;

ii. seus angulos poliedricos sao congruentes.

Para esta classe de poliedros tambem existem so cinco tipos de poliedros: O tetraedro regular, o

hexaedro regular, o octaedro regular, dodecaedro regular e o icosaedro regular.

Uma propriedade importante que estes poliedros verificam e a seguinte:

1.34 Teorema. Todo poliedro regular e de Platao.

Em geral, nao e valido que todo poliedro de Platao seja um poliedro regular.


1.47. Seja P um poliedro convexo de onze faces que tem seis faces triangulares e cinco faces quadran-

gulares. Calcule o numero de arestas e de vertices do poliedro P .

1.48. Num poliedro convexo de 10 arestas, o numero de faces e igual ao numero de vertices. Quantas

faces tem esse poliedro?

1.49. Considere um poliedro de sete vertices que tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos.

Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

1.50. Ache o numero de faces de um poliedro convexo que possui 16 angulos triedros.

1.51. Em qualquer poliedro convexo, e par o numero de faces que tem numero ımpar de lados? Justifique

sua resposta.

1.52. A soma dos Angulos das faces de um poliedro convexo e 270◦. Calcule o numero de faces, sabendo

que e 2/3 do numero de arestas.

1.53. Determine o numero de vertices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face

quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

1.54. Num poliedro convexo com 10 arestas, o numero de faces e igual ao numero de vertices. Quantas

faces tem esse poliedro?

1.55. Num poliedro convexo o numero de aresta excede o numero de vertices em 6 unidades. Calcule o

numero de faces desse poliedro

1.56. Calcule o numero de faces triangulares e o numero de faces quadrangulares de um poliedro com 20

arestas e 10 vertices.

1.57. Um poliedro de sete vertices tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos. Quantas

arestas e quantas faces tem o poliedro?

24

1.58. Ache o numero de faces de um poliedro convexo que possui 16 angulos triedros.

1.59. Um poliedro convexo tem 11 vertices, o numero de faces triangulares igual ao numero de faces

quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o numero de faces desse poliedro.

1.60. Calcule em graus a soma dos angulos das faces de um tetraedro.

1.5 Gabarito

1.1. Infinitas. 1.2. Infinitas. 1.3. (a) 3 retas: AD, BD e CD. (b) 6 retas: AB , AC AD, BC , BD e CD. 1.4. Use o postulado da

determinacao de planos. 1.5. 1. V 2. V 3. F 4. V 1.6. (a) F (b) V. 1.7. A reta OP . 1.8. 1.9. Nenhum, um ou quatro. 1.10. (a) F

(b) F (c) F. 1.11. Nao sao obrigatoriamente reversas. Podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. 1.12. Infinitos. 1.13. Infinitos.

1.14. 1.15. 1.16. 1.17. Verdadeiro. 1.18. Verdadeiro. 1.19. 1.20. Verdadeiro. 1.21. A reta RS . 1.22. 1.23. 1.24. 1.25.

1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1. F 2. V 3. F 4. F 5. F 6. F 1.30. 1.31. 1.32. Existem infinitos pontos. 1.33. 1.34. 1. V 2. F 3. V 4.

V 5. V 6. F 7. F 1.35. Elas podem ser: concorrentes, paralelas ou reversas 1.36. 1.37. Por um ponto do plano conduza duas retas

respectivamente paralelas as retas dadas. 1.38. 1.39. 1.40. a) V; b) F; c) V; d) F 1.41. 1.42. 1.43. 1.44. Verdadeiro. 1.45.

Falso. 1.46. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) V 1.47. N umero de arestas 19, n umeros de vertices 10. 1.48. 6 1.49. 1.50. 10. 1.51.

Verdadeiro. 1.52. 4. 1.53. 10. 1.54. 6. 1.55. 8. 1.56. 8 e 4. 1.57. N umero de arestas 15 e n umero de faces 10. 1.58. 10. 1.59.

11. 1.60. 720◦.

Solidos e Superfıcies

2.1 Prismas

2.35 Definicao. Consideremos uma regiao convexa plana

P1, . . . , Pn de n lados e uma reta m nao paralela nem contida

no plano da regiao. Chamaremos de prisma ilimitado convexo

a reuniao das retas paralelas a m que passam pelos pontos da

regiao poligonal dada.

No caso em que a regiao P1, . . . , Pn seja concava, o prisma ilimitado resultara concavo.

Em geral, um diedro e a reuniao de dois semiplanos de mesma origem nao contidos num mesmo plano.

O prisma possui os seguintes elementos: n arestas, n diedros e n faces.

2.36 Definicao. Chamaremos secao a uma regiao plana com um so vertice em cada aresta. Diremos

que a secao e reta ou normal se e perpendicular as arestas.

A reuniao das faces de um prisma ilimitado convexo e chamada de superfıcie convexa ilimitada do

prisma. Esta tem as seguinte propriedades.

1. As secoes paralelas de um prisma ilimitado sao polıgonos congruentes.

2. A soma dos diedros de um prisma ilimitado convexo de n arestas e igual a 2(n− 2) retos.

2.37 Definicao. Seja ABCD . . . MN um polıgono convexo situado num plano α e um segmento PQ, cuja

reta suporte intercepta o plano α. A reuniao de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ , com

uma extremidade nos pontos do polıgono e situado num mesmo semi-espac o dos determinados pelo plano

α, chama-se de prisma limitado convexo.

25


Uma definicao de prisma equivalente a definicao 2.37 e a seguinte:

2.38 Definicao. Um prisma limitado convexo e a reuniao

da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os

planos de duas secoes paralelas distintas com essas secoes.

Se consideramos um prisma formado por um polıgono de n lados, ele possui os seguintes elementos

basicos:

• 2 bases congruentes;

• n faces laterais;

• (n + 2) faces;

• n arestas laterais;

• 3n arestas;

• 3n diedros;

• 2n vertices;

• 2n triedros. ← Aresta da base

← Aresta lateral

Um novo conceito que aparece neste tipo de figura geometrica e a altura.

2.39 Definicao. Seja o prisma limitado P1 . . . Pn. A altura do prisma e a distancia h entre os planos das

bases.

Uma primeira relacao que verifica o prisma e a relacao de Euler, isto e:

V − A + F = 2n − 3n + (n + 2) = 2.

De maneira analoga que para com o prisma ilimitado, o prima limitado tambem possui secoes.

2.40 Definicao. Uma secao de um prisma limitado convexo e o lugar geometrico formado pela intersecao

do prisma com um plano que tem intersecao nao-vazia com todas as arestas laterais do prisma. Chamare-

mos de secao reta uma secao cujo plano e perpendicular as arestas laterais do prisma.

Outra definicao que aparece de maneira natural ao estudar prisma limitados e a de superfıcie, formal-

mente temos.

2.41 Definicao. Chama-se superfıcie lateral do prisma a reuniao das faces laterais e denotada usual-

mente por Al . A reuniao da superfıcie lateral com as base e chamada de superfıcie total do prisma e

denotada por At .

Existe uma classificacao para os prismas convexos limitados.

1. Prisma reto: e aquele cujas arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases.

2. Prisma oblıquo: e aquele cujas arestas laterais sao oblıquas aos planos das bases.

3. Prisma regular: e um prisma reto cujas bases sao polıgonos regulares.

Em geral, a natureza de um prisma depende de sua base, isto e, se e um polıgono triangular, quadran-

gular, pentagonal, etc.

26

2.1.1 Paralelepıpedos

Uma classe interessante de prismas limitados sao aquelas cujas bases estao definidas por paralelo-

gramos. Apresentaremos os mais importantes.

2.42 Definicao. Um paralelepıpedo e um prisma cujas bases sao paralelogramos.

A superfıcie de um paralelepıpedo e a reuniao de seis paralelogramos, dois que constituem suas bases

e o restante as 4 faces laterais.

2.43 Definicao. Um paralelepıpedo reto e um prisma reto cujas bases sao paralelogramos.

No caso do paralelepıpedo reto, a superfıcie total e a reuniao de quatro retangulos, que conformam

suas faces laterais com dois paralelogramos, definindo suas bases.

2.44 Definicao. Um paralelepıpedo reto-retangulo e um prisma reto cujas bases sao retangulos.

Para esta classe de paralelepıpedos reto-retangulos, tanto as bases como as faces laterais sao retangulos.

Portanto, a superfıcie total e a reuniao desses seis retangulos.

Dos paralelepıpedos retangulos sao os mais estudados:

O cubo: paralelepıpedo reto-retangulo cujas arestas sao congruentes;

O romboedro: paralelepıpedo com doze arestas congruentes entre si;

O romboedro reto: paralelepıpedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si;

O romboedro reto-retangulo: romboedro reto cujas bases sao quadrados.

2.1.2 Area Lateral e Area Total do Prisma

2.45 Definicao. A area lateral Al de um prisma e a soma das areas de suas faces laterais, e a area do

prisma ou area total e a soma da area lateral com as areas das bases.

Consideremos um prisma de aresta lateral medindo a e de lados de uma secao lateral medindo l1, . . . , ln,

respectivamente. Observe que a face lateral e um paralelogramo de base medindo a e altura igual a um

lado da secao reta. Entao podemos escrever:

At = al1 + . . . + aln = (l1 + . . . + ln)a.

Chamemos de 2p a soma dos comprimentos dos lados l1 + . . . + ln. Na realidade, 2p e a medida do

perımetro da secao reta. Assim, podemos escrever a seguinte equacao:

At = 2 · p · a. ( 2.13)

A equacao ( 2.13) nos permite calcular a area lateral de um prisma. Para o calculo da area total, basta somar

a area lateral duas vezes a area da base, isto e:

AT = Al + 2B , ( 2.14)

em que B denota a area da base.

27


2.1.3 Volume do Prisma

Nesta secao usaremos o princıpio de Cavallieri que garante:

Dois solidos nos quais todo plano paralelo a um dado plano, determina neles secoes de mesma area

sao solidos de volumes iguais.

Nota 1. Dois solidos de volumes iguais sao chamados equivalentes.

Seja P1 um prisma qualquer de altura h e base B1 e P2 um paralelepıpedo retangulo de altura h e base B2.

Sejam AB1 = B e AB2 = B respectivamente as areas de B1 e B2. Podemos supor, sem perda de generalidade, que

os dois solidos tem bases num mesmo plano α e estao num dos semi-espacos determinados por α. Alem disso,

para qualquer plano β, paralelo ao plano α que intercepta ou secciona a P1, o plano β deve seccionar a P2, sao

as secoes B ′1 e B ′

2, respectivamente, tem areas iguais, ja que sao congruentes as respectivas bases.

Podemos afirmar o seguinte:

(AB′1= AB1 , AB′

2= AB2 , AB1 = AB2 = B)⇒ AB′

1= AB′

2.

Entao, pelo principio de Cavallieri, P1 e P2 tem volumes iguais. Assim, se denotamos por VP1 e VP2 os volumes de

P1 e P2, respectivamente, podemos escrever VP1 = VP2 . Visto que VP2 = AB2 · h = B · h temos que VP1 = B · h.

De onde concluımos que o volume V de um prisma qualquer e

V = B · h, ( 2.15)

ou seja, e o produto da area da base pela altura.

Exemplo 2.1. Prove que a soma dos angulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale

S = (n − 1) · 8r , onde r = 90◦.

Solucao: Um prisma que possui n faces laterais, tem uma base que e um polıgono de n lados, e a

soma dos angulos internos desse polıgono igual a (n− 2) · 2r . Como cada face lateral e um paralelogramo

e a soma dos angulos internos de cada uma e 4 · r , fazendo os calculos para as duas bases do prisma,

temos: S = 2 · (n − 2) · 2r + n · 4r ⇒ S = n · 4r − 8 · r + n · 4r ⇒ S = n · 8r − 8r ⇒ S = (n − 1) · 8r .

Exemplo 2.2. Quantas diagonais possui um prisma cuja base e um polıgono convexo de n lados?

Solucao: Unindo-se um dos vertices de uma das bases aos vertices da outra base, temos um total de

(n− 3) diagonais, isto pelo fato de eliminar duas diagonais de face e uma aresta. Como existem n vertices

na base tomada, o numero total de diagonais e exatamente n(n − 3).

Exemplo 2.3. Demonstrar que as diagonais de um paralelepıpedo retangulo interceptam-se em seus

pontos medios.

Solucao: Sejam BC e EH , AD e FG arestas opostas do paralelepıpedo. Por estas arestas opostas

passam planos diagonais que determinam no paralelepıpedo secoes que sao paralelogramos. As diago-

nais destes paralelogramos sao diagonais do paralelepıpedo, logo como estas se interceptam nos pontos

medios fica completada a demonstracao.

Exemplo 2.4. Considere um prisma triangular regular que tem a aresta da base medindo 10dm. De

quanto podemos aumentar a altura, conservando-se a mesma base, para que a area lateral do novo

prisma seja igual a area total do prisma dado?

28

Solucao: Se um triangulo equilatero tem lado de medida a, entao sua area A4 e1

2a · a√

3

2. Logo,

A4 =a2√

3

4.

Sejam All e At1 as areas lateral e total do prisma e Al2 a area lateral do novo prisma. Sendo B a area

da base, temos:

B =102√

3

4= 25

√3.

Supondo que a altura H do prisma teve um aumento x , temos:�� At1 = Al1 + 2B = 3(10h) + 2 · 25√

3

Al2 = 3(10h2)

At1 = Al2

⇒

�� At1 = 30h + 50√

3

Al2 = 30(h + x)

30h + 50√

3 = 30(h + x)⇒ 30x = 50√

3

Portanto, temos que x =5√

3

3dm.


2.1. Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui:

(a) 7 faces;

(b) 8 faces.

2.2. Prove que a soma dos angulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale S = (n−1) ·8r ,

em que r = 90◦

2.3. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos angulos das faces e 72 retos

2.4. A soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma e igual a 96 r . Calcule a soma dos

angulos internos de uma de suas bases.

2.5. Calcule a soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma oblıquo, sabendo que o prisma

tem 8 faces

2.6. Quantas diagonais possui um prisma cuja base e um polıgono convexo de n lados?

2.7. Prove que um numero de diagonais de um prisma e igual ao dobro do numero de diagonais de uma

de suas bases.

2.8. Calcule a soma dos angulos diedros de um prisma que tem por base um polıgono convexo de n lados.

2.9. Calcule a soma dos angulos das faces de um paralelepıpedo

2.10. Mostre que as diagonais de um paralelepıpedo retangulo sao congruentes.

2.11. Ache a natureza de um prisma , sabendo que ele possui:

(a) 15 arestas;

(b) 24 arestas.

2.12. Se a soma dos angulos das faces de um prisma e 72 retos, qual e a natureza do prima?

29


2.13. Prove que o numero de diagonais de um prisma e igual ao dobro do numero de diagonais de uma

de suas faces.

2.14. A soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais e:

(a) 1.160◦;

(b) 2.160◦.

2.15. Escreva as equacoes das areas lateral e da area total para:

(a) o prisma reto;

(b) o prisma regular.

2.16. Se a altura de um prisma e de 10 cm e sua base e um triangulo retangulo isosceles de 6 cm, quanto

mede a area lateral e o volume do prisma?

2.17. Dado um prisma triangular regular de volume 8 m3 e de altura 80 cm, determine quanto mede a

aresta da base.

2.18. A base de um prisma de 10 cm de altura e um triangulo retangulo isosceles de 6 cm de hipotenusa.

Calcule a area lateral e o volume do prisma.

2.19. Calcule o volume e a area total de um prisma, sendo sua secao reta um trapezio isosceles cujas

bases medem 30 cm e 20 cm e cuja altura mede 10√

2 cm e a area lateral 640 cm2

2.20. Determine a area lateral e o volume de um prisma reto de 25 cm de altura, cuja base e um hexagono

regular de apotema 4√

3 cm

2.21. Um prisma reto tem por base um hexagono regular. Qual e o lado do hexagono e a altura do prisma,

sabendo que o volume e de 4 cm3 e a superfıcie lateral de 12 cm2?

2.22. Determine a area total de um prisma triangular oblıquo, sendo a sua secao reta um triangulo

equilatero de 16√

3 cm2 de area e um dos lados da secao igual a aresta lateral do prisma.

2.1.5 Leitura

Cavalieri e os Indivisıveis

de Hygino H. Domingues.

“No inıcio do seculo XV I I , os metodos deixados pelos gregos para o calculo de areas e

de volumes, apesar de sua beleza e rigor, mostravam-se cada vez menos adequados a um

mundo em franco progresso cientıfico, pois faltavam a eles operacionalidade e algoritmos para

implementa-los. Como nao havia ainda condicoes matematicas de se obter esse requisitos,

os metodos entao surgidos eram sempre passıveis de crıticas - como o mais famoso deles, a

geometria dos indivisıveis, de Boanaventura Cavalieri (1.598− 1.647).

O milanes Cavalieri foi um dos matematicos mais influentes de sua epoca. De familia nobre,

Cavalieri seguiu paralelamente a carreira religiosa e a atividade cientıfica. Discıpulo de Galileu

Galilei (1.564 − 1.642), por indicacao deste, ocupou desde 1.629 a catedra de Matematica da

30

Universidade de Bolonha, ao mesmo tempo que era o superior do monasterio de Sao Jeronimo.

Cavalieri foi tambem astronomo, mas, se ainda e lembrado, isso se deve em grande parte ao

metodo dos indivisıveis que desenvolveu a partir de 1.626.

Cavalieri nao definia, em suas obras sobre o assunto, o que vinham a ser os indivisıveis.

Segundo ele, porem, uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas

entre si e uma figura solida por uma infinidade de secoes planas paralelas entre si - a essas

cordas e a essas secoes chamava de indivisıveis. Num de seus livros “explicava” que um solido

e formado de indivisıveis, assim como um livro e composto de paginas. Do ponto de vista logico,

essas ideias envolviam uma dificuldade insuperavel.”

2.2 Piramide

2.46 Definicao. Consideremos uma regiao poligonal plano-convexa

definida como A1, . . . , An com n lados e um ponto V que nao pertence

ao plano onde esta a regiao. Uma piramide ilimitada convexa e o lugar

geometrico formado pela reuniao das semi-retas de origem V que pas-

sam pelos pontos que definem a regiao poligonal plano-convexa dada. No

caso em que a regiao poligonal plano-convexa seja concava, a piramide

ilimitada resulta concava.

Um piramide ilimitada convexa possui os seguintes elementos:

1. n arestas;

2. n diedros;

3. n faces.

V

A1

A2

A3

2.47 Definicao. Uma secao de uma piramide e a regiao poligonal plana com um so vertice em cada

aresta e uma superfıcie e a reuniao das faces da piramide.

Um tipo muito importante de piramide sao as limitadas. Elas aparecem em muitas aplicacoes da vida

real.

2.48 Definicao. Consideremos um polıgono convexo ABC . . .MN situado em um plano α e um ponto

V que nao esta no plano α. Chamaremos de piramide ao lugar geometrico definido pela reuniao dos

segmentos com uma extremidade em V e outra nos pontos do polıgono. V e ABC . . . MN sao chamados

de vertice e base da piramide, respectivamente.

Uma definicao equivalente e a seguinte.

2.49 Definicao. Uma piramide convexa limitada e a parte da piramide ilimitada que contem o vertice

quando se divide essa piramide pelo plano de uma secao reunida com essa secao.

31


Nota 2. Nesta secao, usaremos a seguinte definicao de triedro. Dadas tres arestas a, b e

c , consideremos as semi-retas Va, Vb, Vc de mesma origem V , nao coplanares. Estas retas

tomadas duas a duas formam tres semi-espac os que denotaremos com ε1, ε2 e ε3, onde:

ε1: com origem no plano formado por as retas b, c e contendo a semi reta Va;

ε2: com origem no plano formado por as retas a, c e contendo a semi reta Vb ;

ε3: com origem no plano formado por as retas a, b e contendo a semi reta Vc .

O triedro determinado por Va, Vb, Vc e a intersecao dos semi-espac os ε1, ε2, ε3.

Os elementos basicos da piramide sao:

1. Uma base;

2. n faces laterais;

3. n + 1 faces;

4. n arestas laterais;

5. 2n arestas;

6. 2n diedros;

7. n + 1 vertices;

8. n + 1 angulos poliedricos;

9. n triedros.

← Aresta da base

← Aresta lateral

2.50 Definicao. Chama-se altura de uma piramide a distancia h entre o vertice e o plano da base.

Nota 3. Para entender o conceito de distancias no espac o consulte o material online.

2.51 Definicao. Chamaremos de superfıcie lateral da piramide a reuniao das faces laterais da piramide, e

a area desta superfıcie e chamada de area lateral e a denotaremos com Al . A superfıcie total da piramide

e reuniao das faces laterais e da base e a area total (area da superfıcie das faces laterais e da base) sera

denotada por At .

Quando se secciona uma piramide triangular por um plano paralelo a base temos:

1. As aresta laterais e a altura ficam dividas na mesma razao;

2. A secao e a base sao triangulares semelhantes;

3. A razao entre as areas da secao e a base e igual ao quadrado da razao de suas distancias ao vertice.

Em geral, temos que, duas piramides triangulares com bases de areas iguais e alturas congruentes

tem volumes iguais. Alem disso o volume de prisma triangular e a soma dos volumes de tres piramides

triangulares equivalentes (de volumes iguais).

Desse modo, o volume do tetraedro, VT , pode ser calculado da seguinte maneira: Seja B a area da

base e h a medida da altura do prisma, entao VT =1

3B · h, em geral o volume de uma piramide qualquer

V =1

3B · h, onde B e a area da base e h a medida da altura da piramide.

32

A area lateral de uma piramide e a soma das areas das faces laterais, e a area total e a soma das

areas das faces laterais com a area da base. Assim, temos que, se B e a area da base, Al a area lateral,

podemos escrever At = Al + B , onde At representa a area total. Se

• 2p e a medida do perımetro da base;

• m e a medida do apotema da base;

• m′ e a medida do apotema da piramide,

podemos escrever as seguintes equacoes: Al = pm′, At = p(m + m′ e V =1

3pm · h. Estas equacoes

verificam a relacao (m′)2 = h2 + m2.

Exemplo 2.5. Prove que a soma dos angulos S de todas as faces de uma piramide de n faces laterais

vale S = (n − 1) · 4r .

Solucao: A soma dos angulos S de todas as faces e igual a soma dos angulos da base, que e (n−2)·2r ,

com a soma dos angulos das faces laterais, que e n · 2r . Assim, temos que:

S = (n − 2) · 2r + n · 2r = (n − 1) · 4r .


2.23. Ache a natureza de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos das faces e 20 retos

2.24. Ache a natureza de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos das faces e 56 retos

2.25. Calcule o numero de diagonais da base de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos internos

de todas as suas faces e igual a 32 retos.

2.26. Calcule a soma dos angulos das faces de uma piramide cuja base e um polıgono convexo de n

lados.

2.27. Ache a natureza de uma piramide que possui:

(a) 6 faces

(b) 8 faces

(c) 12 arestas

(d) 20 arestas

2.28. Calcule o numero de diagonais da base de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos internos

de todas as suas faces e igual a 32 retos.

2.29. De um tetraedro regular de aresta a calcule:

(a) a area total

(b) a medida h da altura

(c) o seu volume V

2.30. Sabendo-se que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule a medida de sua altura, sua

area total e seu volume.

33


2.3 Cilindro

2.52 Definicao. Consideremos um cırculo de centro O e raio r , situado num plano α, e um segmento

de reta PQ, nao-nulo, nao-paralelo e nao-contido em α. Um cilindro circular e a reuniao dos segmentos

congruentes e paralelos a PQ, com extremidade nos pontos do cırculo e situados num mesmo semi-espac o

dos determinados pelo plano α.

2.53 Definicao. Um cilindro e a regiao compreendida entre as secoes circulares do cilindro circular

determinadas por dois planos paralelos e distintos unida com tais secoes.

Um cilindro possui os seguintes elementos:

2 bases: sao cırculos congruentes situados em planos paralelos;

Geratrizes: sao os segmentos com extremidade em um ponto da circunferencia de centro O e raio r e a

outra no ponto correspondente da circunferencia de centro O ′ e raio r ;

r : e raio da base.

2.54 Definicao. Seja C um cilindro. Chamaremos de altura do cilindro e denotaremos com h, a distancia

entre os planos das bases de C . A superfıcie de C , a reuniao das geratrizes. A area dessa superfıcie e

chamada area lateral e indicada por Al .

Os cilindros podem ser classificados dependendo das geratrizes. Se as geratrizes sao oblıquas aos

planos das bases, temos um cilindro circular oblıquo. Se as geratrizes sao perpendiculares aos planos das

bases, temos um cilindro circular reto. O cilindro circular reto e tambem chamado cilindro de revolucao,

pois e gerado pela rotacao de um retangulo em torno de um eixo que contem um dos seus lados.

2.55 Definicao. Secao meridiana e a intersecao do cilindro com um plano que contem a reta OO ′ deter-

minada pelos centros das bases.

Observe que a secao meridiana de um cilindro oblıquo de um cilindro oblıquo e um paralelogramo e a

secao meridiana de um cilindro reto e um retangulo. Se r e o raio da base e h a altura do cilindro, a secao

meridiana tem uma area de 2r · h.

2.56 Definicao. Cilindro equilatero e um cilindro cuja secao meridiana e um quadrado.

Em geral, a area lateral de um cilindro e Al = 2πrh, e a area total e At = 2πr(h+ r). Por ultimo o volume

pode ser calculado pela formula V = πr 2h.


2.31. Calcule a medida da area lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm

e a geratriz 10 cm.

2.32. O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e altura 3 cm. Determine a area lateral desse cilindro.

2.33. Determine o raio de um cırculo cuja area e igual a area lateral de um cilindro equilatero de raio r .

2.34. Demonstre que, se a altura de um cilindro reto e metade do raio da base, a area lateral e igual a

area da base.

34

2.35. Um cilindro tem 2, 7 cm de altura e 0, 4 cm de raio da base. Calcule a diferenca entre a area lateral

e a area da base.

2.36. Determine a area lateral de um cilindro equilatero, sendo 15 cm a medida de sua geratriz.

2.37. Um pluviometro cilındrico tem um diametro de 30 cm. A agua colhida pelo pluviometro depois de um

temporal e colocada em um recipiente tambem cilındrico, cuja circunferencia da base mede 20π cm. Que

altura havia alcancado a agua no pluviometro, sabendo-se que no recipiente alcancou 180 mm?

2.4 Cone

2.57 Definicao. Consideremos um cırculo de centro O e raio r situado em um plano α e um ponto V fora

de α. Chama-se cone circular o lugar geometrico formado pela reuniao dos segmentos de reta com uma

extremidade em V e outra nos pontos do cırculo.

2.4.1 Elementos do Cone

O cone possui os seguintes elementos:

� Base: e o cırculo de centro O e raio r ;

� Vertice: e o ponto V fora do plano;

� Geratrizes: sao os segmentos formados com uma extremidade em V e outra nos pontos da circun-

ferencia;

� Raio: e o raio da base.

� Eixo: e aresta determinada pelo vertice e pelo centro da base.

2.58 Definicao. Dado um cone C , chama-se altura do cone a distancia entre o vertice e o plano e a base.

2.4.2 Superfıcies de um Cone

Em um cone podemos observar que as geratrizes definem uma superfıcie.

2.59 Definicao. A superfıcie lateral de um cone e a reuniao de suas geratrizes e sera denotada com Al .

Chamaremos de superfıcie total a reuniao da superfıcie lateral com a superfıcie do cırculo que define a

base.

2.4.3 Classificacao

Considere um cone de vertice V e centro da base O. A reta OV e o plano α que contem a base

classificam um cone em:

Cone oblıquo: a reta OV e oblıqua ao plano α;

35


Cone circular reto: a reta OV e perpendicular ao plano α.

O cone circular reto tambem e chamado de cone de revolucao, pois ele pode ser gerado pela rotacao

de um triangulo retangulo, tomando-se um dos catetos como eixo de revolucao.

2.4.4 Secao Meridiana

Uma pergunta natural surge quando estudamos cones: Que lugar geometrico fica definido quando

interceptamos um plano com um cone?

2.60 Definicao. Consideremos um cone C de vertice V e centro da base O. Chamaremos de secao

meridiana do cone C a intersecao de C com um plano que contem a reta OV .

A partir da definicao de secao meridiana, temos o seguinte tipo de cone:

2.61 Definicao. Um cone e equilatero se sua secao meridiana e um triangulo equilatero.

2.4.5 Calculo das Areas de um Cone

Em um cone circular reto, todas suas geratrizes sao congruentes entre si. Se g e a medida da geratriz,

entao, pelo Teorema de Pitagoras, temos uma relacao notavel no cone:

g2 = h2 + r2,

em que h e a altura e r o raio da base do cone. Assim, podemos afirmar que a superfıcies de um cone

circular reto de raio r e geratriz g e equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2rπ.

Entao, a superfıcie lateral pode ser calculada considerando o comprimento do arco e a area do setor, temos

assim que a area lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funcao de g (medida da geratriz) e r

(raio da base do cone):

• comprimento de arco: ` = 2πg ;

• area do setor: As = πg2.

Al =2πr · πg2

2πg⇒ Al = πrg . ( 2.16)

Usando a equacao anterior, a area total de um cone circular reto pode ser obtida em funcao de g

(medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

At = Al + B = πrg + πr 2 = πr(g + r). ( 2.17)

2.4.6 Volume do Cone

Seja C um cone de altura H1 = h e base B1 e T um tetraedro de altura H2 = h e base B2. Sejam

AB1 = B e AB2 as areas de B1 e B2. Desta forma, o cone e o tetraedro tem alturas congruentes e bases

36

equivalentes. Suponha que as bases estao num mesmo plano α e que os vertices estao num mesmo

semi-espac o dos determinados por α. Nestas condicoes, qualquer plano β paralelo a o plano α, distando

h′ dos vertices que dividem o cone, tambem divide o tetraedro. Considerando-se as areas das secoes B ′1

e B ′2, AB′

1e AB′

2respectivamente, temos:

AB′1

AB1

= � h′

h � 2

,AB′

2

AB2

= � h′

h � 2

⇒AB′

1

AB1

=AB′

2

AB2

visto que AB1 = AB2 = B , temos que AB′1= AB′

2.

Agora, pelo princıpio de Cavallieri, podemos afirmar que o cone e o tetraedro tem volumes iguais, isto

e, Vcone = Vtetraedro , e como Vtetraedro =1

3AB2 · h = B · h, assim, o volume do cone pode ser calculado

usando a seguinte equacao:

Vcone =1

3Bh,

onde B e a superfıcie da base e h a altura do cone. Concluindo, podemos dizer que o volume de um cone

e um terc o do produto daarea da base pela medida da altura. Se B = πr 2, entao pela equacao anterior,

temos que

Vcone =1

3πr2h.

Exemplo 2.6. Seja C um cone equilatero que tem raio da base r . Calcule:

(a) a area lateral;

(b) a medida em radianos do angulo do setor equivalente a superfıcie lateral;

(c) a area total;

(d) o volume.

Solucao: Observe que a geratriz do cone e o dobro do raio, isto e g = 2r , e que a altura verifica

h = 2r

√3

2= r√

3. Assim temos:

(a) Al = πrg ⇒ Al = 2πr2.

(b) θ = 2πrg⇒ θ = πrad

(c) At = Al + B ⇒ At = 2πr2 + πr2 ⇒ At = 3πr2.

(d) V =1

3πr2h ⇒ V =

1

3πr2r√

3⇒ V =

√3

3πr2.

Exemplo 2.7. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um angulo de 60 graus com o

plano da base. Determinar a area lateral, area total e o volume do cone.

Solucao: Como sen(60o) = h/20, entao (1/2)√

3 = h/20h = 10√

3 cm, e como V = (1/3) · B · h, entao

temos que:

V = (1/3)π · r 2h⇒ V = (1/3)π · 102 · 10√

3⇒ V = (1/3)1000 ·√

3 · π cm3.

Agora, se r = 10 cm; g = 20 cm e Al = πrg , escreveremos:

Al = πrg = π · 10 · 20 = 200 · π cm2

e

At = Al + B = πrg + πr 2 = πr(r + g) = π · 10 · (10 + 20) = 300π cm2.

37



2.38. Para cada um dos seguintes cones, calcule a area lateral, a area total e o volume:

(a) cone equilatero de raio r = 11 cm e geratriz g = 22 cm;

(b) cone reto de diametro da base 20 cm e altura h = 35 cm.

2.39. Represente, atraves de expressoes algebricas, a area lateral, a area total e o volume dos solidos

cujas medidas estao indicadas a seguir:

(a) cone reto de altura h e raioh

2;

(b) cone equilatero de geratriz g = 2r e raio r .

2.40. A geratriz de um cone mede 14 cm e a area da base 80π cm2. Calcule a medida da altura do cone.

2.41. Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diametro de sua

base.

2.42. Calcule o raio e a altura de um cone de revolucao cujo desenvolvimento e um semicırculo de raio a.

2.43. Um cone tem 8 cm de altura e 15 cm de raio. Outro cone tem 15 cm de altura e 8 cm de raio. Quanto

a area lateral do primeiro excede a area lateral do segundo?

2.5 Esfera

Um problema fundamental para empresas que fabricam recipientes que armazenam uma determinada

quantidade de um produto lıquido, e a necessidade de realizar o calculo do volume destes em recipientes

esfericos, a partir do conhecimento da altura do lıquido colocado no mesmo. Por exemplo, quando um

recipiente e esferico, ele possui um orifıcio na parte superior (Polo Norte) por onde pode ser introduzido,

verticalmente, uma vareta escalonada com indicadores de medidas. Ao retirar a vareta, observa-se o nıvel

de lıquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde a altura do lıquido contido no recipiente

esferico.

2.62 Definicao. Seja O um ponto no espac o e um segmento

de medida r . Chamaremos de esfera de centro O e raio r ao

conjunto dos pontos P do espac o, tais que a distancia O a P

seja menor ou igual r .

A esfera pode ser definida como um solido de revolucao gerado pela rotacao de um semicırculo em

torno de um eixo que contem o diametro do semicırculo.

2.5.1 Superfıcie da Esfera

2.63 Definicao. Seja C uma esfera de centro O e raio r . Chama-se superfıcie da esfera de centro O e

raio r ao conjunto dos pontos P do espac o, tais que a distancia de O a P seja igual a r .

38

Podemos definir a superfıcie da esfera como a superfıcie de revolucao gerada pela rotacao de uma

semi-circunferencia com extremidades no eixo.

2.5.2 Secoes Planas

Quando interceptamos uma esfera com um plano, a secao plana e um cırculo. Se o plano passa pelo

centro da esfera, obtemos como secao um cırculo maximo da esfera.

Considere uma esfera de raio r e uma secao plana paralela a um cırculo maximo e que dista d unidades

deste. Claramente, d < r . Se a secao plana possui raio de medida s, entao a seguinte relacao e valida:

r2 = s2 + d2.

2.5.3 Elementos da Esfera

Em relacao a intersecao de um plano com uma esfera, alguns elementos se destacam.

Considere uma reta que passa pelo centro O de uma esfera. Esta reta intercepta a esfera em dois pon-

tos. Seja e o segmento de reta com extremidades nestes pontos. Observe que eles sao as extremidades

do diametro da esfera. Assim, temos os seguintes elementos:

� Polos: sao as extremidades do eixo e;

� Equador: e a secao perpendicular ao eixo e que passa pelo centro da superfıcie;

� Paralelo: e a secao perpendicular ao eixo e que e paralela ao equador;

� Meridiano: e a secao cujo plano contem o eixo;

� Distancia polar: e a distancia de um ponto qualquer de um paralelo ao polo.

2.5.4 Calculo das Distancias Polares

Em geral, associamos a um ponto A da superfıcie de uma esfera, duas distancias polares: P1A e P2A,

em que P1 e P2 representam os polos desta esfera.

Considere uma esfera de centro em O e raio r e um ponto A nao coincidente com os polos P1 e P2 e

cujas distancias polares sao p1 e p2 unidades, respectivamente. Considere, ainda, um paralelo que dista d

unidades do cırculo maximo.

Usando-se as relacoes metricas no triangulo retangulo formado pelos pontos P1, A e P2, temos:

AP12

= P1P2 · P1M

AP22

= P1P2 · P2M⇒ p2

1 = 2r(r − d)

p22 = 2r(r + d)

Estas equacoes estabelecem relacoes que permitem calcular as distancias polares.

39


2.5.5 Area e Volume de uma Esfera

Area da Esfera

A area da superfıcie de uma esfera de raio r e igual a A = 4πr 2.

Volume da Esfera

Consideremos um cilindro equilatero de raio da base r e seja S o ponto medio do eixo do cilindro.

Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vertice comum, a reuniao dois cones e

um solido chamado clepsidra. Ao solido que esta dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar

de solido X , este solido e chamado de anticlepsidra.

Consideremos, agora, uma esfera de raio r e solido X descrito anterior. Suponhamos que a esfera seja

tangente a um plano α, que o cilindro tenha base em α e que os dois solidos, esfera e solido X , estejam

num mesmo semi-espac o dos determinados por α. Agora, qualquer plano β, paralelo a α, distando d do

centro da esfera, tambem divide o solido X . Assim, temos

Area da secao (cırculo) na esfera:

ASC = πs2 = π(r2 − d2).

Area da secao (coroa circular) no solido:

AX = πr2 − πd2 = π(r2 − d2).

As areas das secoes na esfera e no solido sao iguais. Entao, pelo princıpio de Cavallieri, a esfera e o

solido X tem volumes iguais, Vesf era = VX . Mas,

VX = Vci l indro − 2Vcone = πr2 · 2r − 2 · (1

3πr2 · r). ( 2.18)

Assim, como Vesf era = VX , temos que

Vesf era = 2 · πr3 − 2

3πr3 =

4

3πr3. ( 2.19)

Portanto, podemos dizer que o volume de uma esfera de raio r e:

Vesf era =4

3πr3.

Exemplo 2.8. Determine a area do cırculo da esfera cujas distancias polares sao de 5 cm e 3 cm.

Solucao: Sendo o raio da secao r e d o diametro da esfera, temos que: d2 = 52 + 32 ⇒ d =√

34.

Sejam P1 e P2 os polos e A um ponto na esfera, diferente dos polos. Eles formam um triangulo 4P1AP2,

neste triangulo se verifica que: dr = 5 · 3 ⇒√

34r = 15 ⇒ r =15√34

. A area da secao S e igual a :

S = πr ⇒ S = π15√34

2

⇒ S =225π

34. Portanto, a area do cırculo e

225π

34cm2.

40

2.6 Inscricao, Circunscricao de Solidos

2.64 Definicao. Seja P um poliedro e S um solido qualquer. P diz-se inscrito em S se P ⊂ S e a intersecao

entre P e a superfıcie de S sao somente vertices de P .

Exemplo 2.9. Tetraedros inscritos

Nota 4. Se a intersecao entre P e a superfıcie de S e constituıda de todos os vertices, a

inscricao diz-se completa. Neste modulo trataremos somente deste tipo de inscricao.

Um caso particular, muito interessante, da definicao 2.64 surge quando o

poliedro P e regular (um solido de Platao). Visto que a distancia entre o centro

do poliedro e seus vertices e sempre a mesma, existe sempre uma esfera cuja

superfıcie contem todos os vertices de P . Neste caso chamaremos S de esfera

circunscrita.

Uma outra caracterıstica dos poliedros regulares e que todas as suas faces

equidistam do centro, assim podemos garantir a existencia de uma esfera que

contem somente um ponto de intersecao com cada face do poliedro. Esta esfera

sera especialmente chamada esfera inscrita.

Do mesmo modo, a distancia do centro aos vertices e sempre a mesma. Assim, existe tambem uma

esfera que circunscreve esse poliedro de diametro igual a distancia entre dois vertices opostos.

Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular

Poliedro % do volume da esfera

Tetraedro 2,2518%

Cubo 36,7553%

Octaedro 31,8310%

Dodecaedro 66,4909%

Icosaedro 60,5461%

41


2.6.1 Algumas Propriedades Metricas dos Poliedros Regulares

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades metricas dos solidos platonicos. Seja a

a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em funcao de a os raios r e R , respectivamente, da

esfera inscrita e da circunscrita.

Poliedro r R

Tetraedro

√6

12a

√6

4 a

Cubo ou Hexaedro 12a

√3

2 a

Octaedro√

66 a

√2

2 a

Dodecaedro 120 � � 10(25 + 11

√5 � a

√3

4 (1 +√

5)a

Icosaedro√

312 (3 +

√5)d 1

4(10 + 2√

5)a


2.44. Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano α determina na esfera um cırculo de raio

20 cm, sendo 21 cm a distancia do plano ao centro da esfera.

2.45. Determine o diametro de um cırculo cuja area e igual a superfıcie de uma esfera de raio r .

2.46. Determine o raio de uma esfera de superfıcie 36π cm2.

2.47. Determine o volume de uma esfera de 100π cm2 de superfıcie.

2.48. A cupula de uma igreja e uma semi-esfera apoiada sobre um quadrado de 12 m de lado. Determine

a superfıcie da cupula (isto e, o cırculo base da semi-esfera esta inscrito nesse quadrado).

2.7 Gabarito

2.1. (a) pentagonal; (b) hexagonal. 2.2. 2.3. Decagonal. 2.4. 22 r . 2.5. 40 r . 2.6. n · (n−3). 2.7. 2.8. (n−1) ·4r . 2.9. 1.080◦.

2.10. 2.11. (a) pentagonal; (b) octogonal. 2.12. decagonal. 2.13. 2.14. (b). 2.15. (a) Al = 2ph e At = 2ph + 2B ; (b)Al = 2pa e

At = 2p(h + m). 2.16. Al = 60(1 +√

2) cm2 . V = 90 cm3 . 2.17.2

34√2700. 2.18. Al = 60(1 +

√2) cm2 e V = 90 cm3 . 2.19.

Al = 20(32 + 25√

2) cm2 e V = 2000√

2 cm3 . 2.21.4√

3

9m,

3√

3

2m. 2.22. At = 32(6 +

√3) cm2. 2.23. Piramide Hexagonal.

2.24. Piramide pentadecagonal. 2.25. 27. 2.26. (n − 1) · 4 retos. 2.27. (a) piramide pentagonal; (b) piramide heptagonal; (c)

piramide hexagonal; (d) piramide decagonal. 2.28. 27. 2.29. (a) At = a2√

3; (b) h = a√

63 e (c) V = a3

√2

12 . 2.30.√

6 cm; 9√

3 cm2 e9√

2

4cm3 . 2.31. 80π cm2. 2.32. 18π cm2. 2.33. 2r . 2.34. Saia da Al e chegue na B . 2.35. 2π cm2 . 2.36. 225π cm2. 2.37.

8 cm. 2.38. (a) Al = 242π cm2 ; At = 363π cm2; V =1331π

3cm3. (b) Al = 50π

√53 cm2 ; At = 50(2+

√53)π cm2; V =

3500π

3cm3

2.39. (a) Al =π

√17

8h2; At =

π(2+√

178 h2; V =

π

12h3. (b) Al = 2πr2 ; At = 3πr2 ; V =

√3

3πr3 . 2.40. 2

√29 cm. 2.41. 8 cm. 2.42.

a

2;

√3a

2. 2.43. 119π cm2 . 2.44. 29 cm. 2.45. 4r . 2.46. 3 cm. 2.47.

500

3π cm3 . 2.48. 72π m2.

42

Analise Combinatoria e

Binomio de Newton

Princıpios Basicos da Analise Com-

binatoria

3.1 Princıpio Fundamental de Contagem e Consequencias

A Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que permitam contar – de uma forma indireta – o

numero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condicoes.

Analise Combinatoria e um conjunto de procedimentos que possibilita a construcao, sob certas cir-

cunstancias, de grupos diferentes formados por um numero finito de elementos de um conjunto.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados com ele-

mentos de Z terao k elementos, isto e, k sera a taxa do agrupamento, com 0 ≤ k ≤ n.

Arranjos, Permutacoes ou Combinacoes sao os tres tipos principais de agrupamentos, sendo que eles

podem ser simples, com repeticao ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

E comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado e

pouco com os mesmos, que as vezes sao utilizados em concursos em uma forma dubia!

Para motivar a ideia de contagem considere o seguinte exemplo:

Exemplo 3.1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

Solucao: Formar um casal equivale a tomar as decisoes:

D1: Escolha do homem (5 modos)

D2: Escolha da mulher (5 modos).

Desta forma, ha 5× 5 = 25 modos de formar um casal.

Em geral, se ha k1 modos de tomar uma decisao D1 e, tomada essa decisao, ha k2 modos de tomar

outra decisao D2, entao o numero de modos de tomar sucessivamente as decisoes D1 e D2 e k1 · k2.

Podemos estender este princıpio para uma quantidade n de decisoes a serem tomadas.

3.1.1 Princıpio Fundamental da Contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1

maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, entao o numero total

43


T de maneiras de ocorrer o acontecimento e dado por:

T = k1 · k2 · k3 · . . . · kn

Uma estrategia para resolver problemas de contagem e a seguinte:

1. Postura: E necessario colocar-se no papel da pessoa que deve fazer a acao solicitada pelo problema

e ver que decisoes deveremos tomar. No exemplo, nos nos colocamos no papel da pessoa que

deveria formar o casal.

2. Divisao: Sempre que seja possıvel, dividir as decisoes a serem tomadas em decisoes mais simples.

Observe que formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher.

3. Nao adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificul-

dades. Se uma das decisoes a serem tomadas for restrita que as demais, essa e a decisao que deve

ser tomada em primeiro lugar.

Exemplo 3.2. O codigo Morse usa duas letras, ponto, e trac o, e as palavras tem 1 a 4 letras. Quantas

sao as palavras do codigo Morse?

Solucao: Ha 2 palavras de uma letra. Ha 2 · 2 = 4 palavras de duas letras, pois ha dois modos de

escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, ha 2 · 2 · 2 = 8 palavras

de tres letras e 2 · 2 · 2 · 2 = 16 palavras de 4 letras. Assim, o numero total de palavras e 2 + 4 + 8 + 16 = 30

Exemplo 3.3. Uma bandeira e formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores

verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e nao se pode usar cores iguais em listras

adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Solucao: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Ha 3 modos de escolher a cor

da primeira listra e, a partir daı, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A Resp. e

3 · 26 = 192

Exemplo 3.4. De quantos modos podemos escolher uma revista e um jornal numa banca que possui 4

revistas e 3 jornais?

Solucao: A cada revista podemos juntar um jornal de tres modos diferentes, pois sao tres os jornais

existentes na banca. Como a revista pode ser escolhida de quatro modos diferentes (sao 4 as revistas na

banca), entao a escolha de uma revista e um jornal pode ser feita 4 · 3 = 12 modos diferentes.

Nota 5. Neste ultimo exemplo destacamos os eventos:

Escolha das revistas: 4 modos diferentes.

Escolha dos jornais: 3 modos diferentes.

Escolha de uma revista e um jornal: 12 modos diferentes.

Exemplo 3.5. Quantos sao os numeros de tres dıgitos distintos?

Solucao: O primeiro dıgito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele nao pode ser igual a 0. O segundo

dıgito pode ser escolhido de 9 modos, pois nao pode ser igual a 0. O terceiro dıgito pode ser escolhido de

8 modos, pois nao pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dıgitos. A resposta e 9 · 9 · 8 = 648.

44

Exemplo 3.6. Um salao tem 8 portas. De quantos modos uma pessoa pode entrar no salao e sair por

uma porta diferente da que entrou?

Solucao: Consideremos os seguintes eventos:

Entrada no salao: 8 modos diferentes.

Saıda do salao: 7 modos diferentes.

Entrada e saıda: 8 · 7 = 56 modos diferentes.

Exemplo 3.7. De quantos modos 4 pessoas podem sentar-se em 6 cadeiras dispostas em linhas?

Solucao: A primeira pessoa a sentar-se tem 6 possibilidades. A segunda tem 5 possibilidades. A

terceira tem 4 possibilidades. A quarta tem 3 possibilidades. Deste modo, as quatro pessoas podem

sentar-se de 6 · 5 · 4 · 3 = 360 modos diferentes.

Exemplo 3.8. Quantos numeros de tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4

e 5?

Solucao: Consideremos os seguintes eventos:

Algarismo das centenas: este algarismo pode ser qualquer dos

numeros dados 2, 3, 4 ou 5. Portanto, quatro possibilidades.4

Algarismo das dezenas: tres possibilidades, porque o algar-

ismo posto na centena nao pode ser repetido, de acordo com

o enunciado da questao. 4 3

Algarismo das unidades: duas possibilidades.4 3 2

Deste modo, o total de numeros que podem ser formados e 4 · 3 · 2 = 24.

Exemplo 3.9. Quantos multiplos de 5 com tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos

1, 2, 3, 4, 5?

Solucao:

Algarismo das unidades: uma possibilidade, pois este algar-

ismo so pode ser 5.5

1

Algarismo das centenas: quatro possibilidades. 5

4 1

Algarismo das dezenas: tres possibilidades. 5

4 3 1

Deste modo, o total de numeros e 1 · 4 · 3 = 12.

45


Exemplo 3.10. Quantos multiplos de 5 com tres algarismos distintos podem ser formados com os

algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Solucao: Os numeros procurados devem terminar em 0 ou em 5. Como os numeros terminados em 0

sao, em quantidade, como veremos, maior que os terminados em 5, teremos que fazer duas hipoteses:

I. Numeros terminados em 0.

0

5 4 1

O total de numeros e 5 · 4 · 1 = 20.

II. Numeros terminados em 5.

5

4 4 1

Esses numeros nao podem comec ar por 0. Logo, existem apenas 4 possibilidades para o algarismo

das centenas (1, 2, 3 ou 4). Para o algarismo das dezenas existem, novamente, 4 possibilidades, pois

0 pode ser, tambem, esse algarismo.

Deste modo o total de numeros terminados em 5 e 4 · 4 · 1 = 16.

Total procurado: 20 + 16 = 36.

Nota 6. Toda vez que e necessaria a feitura de hipoteses o resultado final e a soma dos

resultados obtidos em cada hipotese.

Exemplo 3.11. Quantos sao os numeros inteiros positivos de cinco algarismos que nao tem algarismos

adjacentes iguais?

Solucao:

9 9 9 9 9

Sao em numero de 10 os algarismos a serem utilizados. Os numeros que estamos formando nao podem

comec ar por zero. Logo, existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo da esquerda. O algarismo

adjacente nao pode ser igual ao ja utilizado, portanto, 9 possibilidades (o zero que nao entrou anterior-

mente pode, agora, ser, tambem, esse algarismo). Da mesma forma sao as possibilidades dos demais

algarismos.

A resposta e, portanto, 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 95.

Exemplo 3.12. Calcule o numero de divisores do numero α = 23 · 32 · 54.

Solucao: Para formar um divisor de n, primeiramente, devemos escolher um dos fatores entre 20,

21, 22, 23, portanto, 4 possibilidades. Outro fator desse divisor deve ser escolhido entre 30, 31, 32, por-

tanto, 3 possibilidades. Finalmente, um terceiro fator deve ser escolhido entre 50, 51, 52, 53, 54, logo, 5

possibilidades.

De acordo com o princıpio fundamental o numero de divisores de n e 4 · 3 · 5 = 60.

Nota 7. De modo geral, o numero de divisores de α = 2k1 · 3k2 · 5k3 · 7k4 · . . . · pkn , em que p e

primo, e

(k1 + 1) · (k2 + 1) · (k3 + 1) · (k4 + 1) · . . . · (kn + 1).

46

Exemplo 3.13. Quantas sequencias de 5 algarismos podemos formar com os algarismos 0 e 1?

Solucao: Exemplos de algumas dessas sequencias: (0, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 0), etc.

O primeiro termo pode ser 0 ou 1. Deste modo, duas possibilidades. O segundo termo pode ser 0 ou 1.

Assim, duas possibilidades.

Da mesma forma sao as possibilidades dos demais termos. Concluımos que o numero de sequencias

e 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32.


3.1. Numa festa existem 90 homens e 80 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

3.2. Uma prova consta de 20 questoes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas diferentes uma

pessoa podera responder esses 20 testes?

3.3. Quantos divisores inteiros e positivos possui o numero 360?

3.4. Quantos divisores inteiros e positivos do numero 360 sao pares?

3.5. Quantos divisores inteiros e positivos do numero 360 sao ımpares?

3.6. O conjunto A possui n elementos. Quantas sao as funcoes f : A→ A bijetoras?

3.7. O conjunto A possui 4 elementos, o conjunto B , 7 elementos. Quantas funcoes f : A → B existem?

Quantas delas sao injetoras?

3.8. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um

cırculo, cada quadrante de um so cor, se quadrantes cuja fronteira e uma linha nao podem receber a

mesma cor?

3.9. As placas dos veıculos sao formados por tres letras (de um alfabeto de 26 letras) seguidas por 4

algarismos. Quantas placas poderao ser formadas?

3.10. Um vagao do metro tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros,

4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais nao tem preferencia. De quantos

modos eles podem se sentar, respeitadas as preferencias?

3.11. Quantos sao os numeros pares de tres dıgitos distintos?

3.2 Princıpio de Inducao Finita

Como podemos demonstrar que uma proposicao e verdadeira para qualquer numero natural? e uma

pergunta basica no fazer da matematica. Existem algumas proposicoes que seguem diretamente de leis

da aritmetica, como por exemplo, a identidade algebrica:

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1, ∀n ∈ N

Porem as proposicoes mais interessantes e de teor aritmetico mais genuıno nao sao como este simples

exemplo. Como podemos demonstrar por exemplo, que a soma de todos os numeros de 0 ate n e igual an(n+1)

2 ?

47


E claro que nao podemos demonstrar uma proposicao de carater geral provando apenas que ela e

verdadeira quando o numero em questao e 1, ou 2 ou 3 e assim sucessivamente, porque nao e possıvel

efetuar infinitas verificacoes. Mesmo que tivessemos efetuado milhoes de verificacoes estarıamos ainda

muito longe de garantir a veracidade no caso geral.

A inducao matematica e um metodo de prova matematico usado para demonstrar a verdade de um

numero infinito de proposicoes. A formulacao mais simples e mais comum de inducao matematica foi feita

por Peano e diz:

Seja N um conjunto de numeros naturais e dado um natural n, indiquemos por S(n) seu sucessor

(n + 1). Se:

Para cada numero natural n ∈ N , se S(n) ∈ N , entao N = N, isto e, N e o conjunto de todos os

naturais.

Partindo deste princıpio, seja P(n) um enunciado que depende de uma variavel n ∈ N e suponhamos

que sejam satisfeitas as seguintes propriedades:

i) O enunciado P(1) e valido.

ii) Se o enunciado P(k) vale entao o enunciado P(k + 1) tambem vale.

Entao o enunciado e valido para todos os numeros naturais. Nesse caso entao P(n) e valido para todo

n ≥ 1.

3.2.1 Como demonstrar que uma proposicao e verdadeira por inducao?

Para demonstrar a veracidade de uma proposicao por inducao devemos seguir os seguintes passos:

a) Verifica-se que a proposicao e verdadeira para n=1;

b) Supoe-se que a proposicao e verdadeira para k ;

c) Se verifica que a proposicao e verdadeira para k+1

O passo a) e chamado BASE DA INDUCAO e o passo b) e chamado HIPOTESE DA INDUCAO.

Uma maneira util para entender esse problema e pensar ao efeito domino: se voce tem uma longa fila

de dominos em pe e voce puder assegurar que:

O primeiro domino caira. Sempre que um domino cair, seu proximo vizinho tambem caira. entao voce

pode concluir que todos os dominos cairao.

Exemplo 3.14. Provar que a soma Sn dos n+1 primeiros numeros naturais e igual a n(n+1)2 .

Solucao: A propriedade que temos que provar e que

Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n =n(n + 1)

2

Primeiro passo: Verificar a base da inducao

48

S0 = 0 =0(0 + 1)

2

Segundo passo: Hipotese da inducao:

Suponhamos que a propriedade Sn e verdadeira para todo n = k ≥ 0. Isto e,

Sk =k(k + 1)

2.

Queremos provar que esta propriedade tambem e verdadeira para todo n = k + 1, isto e que

Sk+1 =(k + 1) � (k + 1) + 1 �

2=

(k + 1)(k + 2)

2.

Sk+1 = 0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =

= Sk + (k + 1)

=k(k + 1)

2+ (k + 1) Pela hipotese da inducao

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

=(k + 1)(k + 2)

2

Assim pelo princıpio da inducao P(n) e verdadeira para todo n ≥ 1. 2

Exemplo 3.15. Provar que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) = n2.

Nossa propriedade e:

P(n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

Base da Inducao:

P(1) : 1 = 12

P(2) : 1 + 3 = 4 = 22

Hipotese da inducao:

Suponhamos que a propriedade P(n) e verdadeira para todo n = k ≥ 0, isto que:

P(k) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

queremos provar que P(n) tambem e verdadeira para n = k + 1, ou seja que

P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2(k + 1)− 1) = (k + 1)2

De fato,

49


P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) + (2(k + 1)− 1) =

= P(k) + (2(k + 1)− 1)

= k2 + (2k + 1)

= (k + 1)2

Assim pelo princıpio da inducao P(n) e verdadeira para todo n ≥ 1.

3.3 Arranjo e Permutacao

3.3.1 Arranjo

3.65 Definicao. Seja S um conjunto de m elementos, onde m e um inteiro positivo. Um arranjo de p

(p < m) elementos de S e um agrupamento, de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela

ordem ou pela especie. O arranjo e simples, se nao ocorre repeticao de qualquer elemento, em caso

contrario, isto e, se existe repeticao de algum elementos, e chamado de arranjo com repeticao.

Nota 8. Usaremos AS para indicar arranjo simples, e AR para arranjo com repeticao.

Exemplo 3.16. Seja Z = {a, b, c , d} com m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos

tomados 2 a 2 sao 12 grupos que nao podem ter a repeticao de qualquer elemento mas que podem

aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estao no conjunto:

AS = {ab, ac , ad , ba, bc , bd , ca, cb, cd , da, db, dc}

Nota 9. Em um arranjo com repeticao todos os elementos podem aparecer repetidos em cada

grupo de p elementos.

Exemplo 3.17. Seja Z = {a, b, c , d}, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repeticao desses 4 elemen-

tos, tomados 2 a 2, sao 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os

agrupamentos estao no conjunto:

AR = {aa, ab, ac , ad , ba, bb, bc , bd , ca, cb, cc , cd , da, db, dc , dd}

3.66 Definicao. Um arranjo e chamado de condicional se todos os elementos aparecem em cada grupo

de p elementos, mas existe uma condicao que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Exemplo 3.18. Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {a, b, c , d , e, f , g} comecam com duas

letras escolhidas no subconjunto {a, b, c}?

Solucao: Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa e p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3

elementos e a taxa que este subconjunto sera formado e p1 = 2. Com as letras a,b e c , tomadas 2 a 2,

temos 6 grupos que estao no conjunto: Pabc = {ab, ba, ac , ca, bc , cb}. Com as letras d , e, f e g tomadas 2

a 2, temos 12 grupos que estao no conjunto: Pdef g = {de, df , dg , ed , ef , eg , f d , f e, f g , gd , ge, gf }50

3.3.2 Fatorial

3.67 Definicao. Dado um inteiro positivo n definimos o fatorial de n, que denotamos por n!, por:

n! = � 1 , n = 0

n · (n − 1)! , n 6= 0

Assim, se estamos interessados em calcular 5!, devemos calcular 4! e multiplicar por 5, mas para

calcular 4! e necessario calcular 3!, que depende do calculo de 2!, que a sua vez depende de calcular 1!,

que e igual a 1, ja que 1! = 1 · (1− 1)! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1. Portanto, para calcular 5! temos que:

5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3!� �� 4!

= 5 · 4 ·3!� ��

3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1!� �� 2!

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Nota 10. Em geral, para todo inteiro positivo n, temos:

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.

Por exemplo, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5.040.

3.3.3 Permutacoes Simples

Poucos problemas de Combinatoria que, embora sejam aplicacoes do princıpio basico de contagem,

aparecem com muita frequencia. O primeiro desses problemas e exibido no seguinte exemplo:

Exemplo 3.19. De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos?

O problema que foi enunciado anteriormente e conhecido como Problema das Permutacoes Simples.

A escolha do objeto que ocupara o primeiro lugar pode ser feita de n modos; a escolha do objeto que

ocupara o segundo lugar pode ser feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupara o terceiro lugar

pode ser feita de n − 2 modos; etc. Assim, a escolha do objeto que ocupara o ultimo lugar pode ser feita

de 1. Isto e, cada vez que ocupamos uma posicao, o seguinte perde para uma, portanto a Resp. para este

problema e:

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1.

Podemos dizer que cada ordem que se da aos objetos e chamada de uma permutacao simples dos

objetos. Assim, por exemplo, as permutacoes das letras a, b e c , sao:

(abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e (cba).

No total temos 6 permutacoes simples. Portanto, o numero de permutacoes simples de n objetos distintos,

isto e, o numero de ordens em que podemos colocar n objetos distintos e exatamente Pn = n!.

Exemplo 3.20. Quantos anagramas sao possıveis com as letras da palavra AMOR?

Solucao: O numero de arranjos e P4 = 24 e o conjunto solucao e:

{AMOR , AMRO, AROM , ARMO, AORM , AOMR , MARO, MAOR ,

MROA, MRAO, MORA, MOAR , OAMR , OARM , ORMA, ORAM ,

OMAR , OMRA, RAMO, RAOM , RMOA, RMAO, ROAM , ROMA}

51


Exemplo 3.21. Quantos sao os anagramas da palavra “calor”? Quantos comec am por consoante?

Solucao: Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocacao dessas 5 letras. Portanto, o numero

de anagramas e P5 = 5! = 150. Agora, para formar um anagrama comec ado por consoante devemos

primeiramente escolher a consoante, existem 3 modos de fazer a eleicao e, depois, arrumar as quatro letras

restantes em seguida a consoante, que representam 4! = 24 modos. Entao, ha 3 × 24 = 72 anagramas

comec ados por consoante.

Exemplo 3.22. De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos, e um de 3

objetos?

Solucao: Um processo de fazer a divisao e colocar os objetos em fila; os 5 primeiros formam o grupo

de 5 e os 3 ultimos formam o grupo de 3. Ha 8 modos de colocar os objetos em fila. Entretanto, note que

filas como abcde|f gh e badce|ghf sao filas diferentes e geram a mesma divisao em grupos. Cada divisao

em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo. Ha, entao 5!3! modos

de arrumar os objetos em cada grupo. Cada divisao em grupos foi contada 5!3! vezes. Assim, a Resp. e8!

5!3!= 56.


3.12. Quantos sao os anagramas da palavra “BOTAFOGO”?

3.13. De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matematica, 3 livros diferentes de

Estatıstica e 2 livros diferentes de Fısica, de modo que livros de uma mesma materia permanec am juntos?

3.14. Se A e um conjunto de n elementos, quantas sao as funcoes f : A→ A injetoras?

3.15. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, 3, . . . ,10?

3.16. Permutam-se, de todos os modos possıveis os algarismos, 1, 2, 4, 6 e 7, e escreve-se os numeros

assim formados em ordem crescente.(a) Que lugar ocupa o numero 62.417?

(b) Qual o numero que ocupa o 66◦?

(c) Qual o 200◦ algarismo escrito?

(d) Qual a soma dos numeros assim formados?

3.17. De quantos modos e possıvel sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modo que duas determinadas

pessoas dessas 7 nao fiquem juntas?

3.18. De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:

(a) Em dois grupos de 6?

(b) Em tres grupos de 4?

(c) Em um grupo de 5 e um grupo de 7?

(d) Em seis grupos de 2?

(e) Em dois grupos de 4 e dois grupos de 2

(f) Em quatro grupos de 3?

3.19. Quantos dados diferentes podemos formar gravando numeros de 1 a 6 sobre as faces indistinguıveis

de um cubo de madeira?

3.20. Um campeonato e disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos e

possıvel selecionar os jogos de primeira rodada?

3.21. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, . . . , n nas quais o elemento que ocupa a

k-esima posicao e inferior a k + 4 para todo k?

52

3.22. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, . . . , n nas quais o elemento que ocupa a

k-esima posicao e maior que k − 3, para todo k?

3.4 Gabarito

3.1. 7.200. 3.2. 220 = 1.048.576. 3.3. 24. 3.4. 18. 3.5. 6. 3.6. n!. 3.7. 2.401 e 840. 3.8. 260. 3.9. 175.760.000. 3.10. 43.200.

3.11. 328. 3.12. 6.720. 3.13. 8.640 3.14. n!. 3.15. 10!. 3.16. (a) 81◦; (b) 46.721; (c) 1 n umero; (d) 5.333.280. 3.17. 3.600. 3.18.

(a) 462; (b) 5.775; (c) 792; (d) 10.395; (e) 51.975; (f) 51.975. 3.19. 30. 3.21. 6 · 4n−3. 3.22. 2 · 3n−2.

Combinacao, Permutacao e

Binomio de Newton

4.1 Combinacao

Um motivo tao mundano quanto os jogos de azar e que acabou levando ao desenvolvimento da Analise

Combinatoria. A necessidade de calcular o numero de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo

dos metodos de contagem. Grandes matematicos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana

(1.500− 1.557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1.601− 1.665) e Blaise Pascal

(1.623− 1.662).

Como dissemos acima, a Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que permitam contar – de

uma forma indireta – o numero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob cer-

tas condicoes. Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos

sejam distintos entre si apenas pela especie.

O segundo problema importante e o seguinte:

Exemplo 4.1. De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?

O problema que enunciamos anteriormente e conhecido como Problema das Combinacoes Simples.

Nele uma Combinacao simples e quando nao ocorre a repeticao de qualquer elemento em cada grupo

de p elementos. Cada selecao de p objetos e chamada de uma Combinacao Simples de Classe p dos n

objetos.

Para resolver o problema das combinacoes simples basta notar que selecionar p objetos entre n objetos

dados e equivalente a dividir n objetos em grupo de p objetos, que sao selecionados, e um grupo de n − p

objetos, que sao nao selecionados. Entao temos as seguinte formula:

Cn,p = C pn =

n!

p!(n − p)!.

Exemplo 4.2. Seja C = {a, b, c , d}, m = 4 e p = 2. As combinacoes simples desses 4 elementos

tomados 2 a 2 sao 6 grupos que nao podem ter a repeticao de qualquer elemento nem podem aparecer na

ordem trocada. Todos os agrupamentos estao no conjunto:

CS = {ab, ac , ad , bc , bd , cd}53


Solucao: Usando a formula para o exemplo acima, temos:

C4,2 =4!

2!(4− 2)!=

24

4= 6.

Exemplo 4.3. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissoes de 5 pessoas, com pelo menos 3

homens, podem ser formadas?

Solucao: Ha comissoes com: 3 homens e 2 mulheres, 4 e 1 mulher, 5 homens. Entao

C5,2 · C4,2 + C5,4 · C5,5 = 10 · 6 + 95 · 4 + 1 = 81.

Assim, podemos formar 81 comissoes.

Exemplo 4.4. De quantos modos 5 criancas podem formar uma roda de ciranda?

Solucao: A primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianc as basta escolher uma

ordem para elas, o que poderia ser feito 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD sao

iguais, pois na roda o que importa e a posicao relativa das crianc as entre si e a roda ABCDE pode ser

virada na roda EABCD. Como cada roda por der virada de cinco modos, a contagem de 120 rodas contou

cada roda 5 vezes e a resposta e120

5= 24.

Exemplo 4.5. Quantas sao as solucoes inteiras e nao-negativas da equacao x1 + . . . + xn = p?

Solucao: A resposta deste problema e representada por Cn,p .


4.1. Determine n para quen�

k=1

k! seja um quadrado perfeito.

4.2. Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com 4 materias em cada dia. Este ano

a divisao: Matematica, Portugues, Biologia e Ingles no primeiro dia e Geografia, Historia, Fısica e Quımica

no segundo. De quantos modos pode ser feito o calendario de provas?

4.3. Quantos sao os numeros naturais de 7 dıgitos nos quais o dıgito 7 figura exatamente 3 vezes e o

dıgito 8 exatamente 2 vezes?

4.4. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo

de 7 homens e 4 mulheres?

4.5. Uma comissao formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e

5 mulheres.

(a) Quantas comissoes podem ser formadas?

(b) Qual seria a resposta se um dos homens nao aceitasse participar da comissao se nela estivesse

determinada mulher?

4.6. Para a selecao brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 ata-

cantes. De quantos modos e possıvel escalar a selecao com 1 goleiro, 4 zagueiros , 4 meios de campo e

2 atacantes?

54

4.7. Quantas diagonais possui:

(a) um octaedro regular?

(b) um icosaedro regular?

(c) um dodecaedro regular?

(d) um cubo?

(e) um prisma hexagonal regular?

4.8. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma unica vez, sao jogadas 780

partidas. Quantos sao os participantes?

4.9. Sejam Im = {1, 2, . . . , m} e In = {1, 2, . . . , n}, com m ≤ n. Quantas sao as funcoes f : Im → In

estritamente crescentes?

4.10. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos

eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

4.2 Permutacao Circular

Quando queremos saber o numero de modos de colocar n objetos em cırculo, considerando que as

possibilidades que possam coincidir por rotacao sejam consideradas iguais, em outras palavras estamos

querendo calcular o numero de permutacoes circulares de n objetos, que denotamos por: PC (n). Essa

permutacao e dada por:

PC (n) =n!

n= (n − 1)!

Exemplo 4.6. Seja um conjunto com 4 pessoas Z = {a, b, c , d}. De quantos modos distintos estas

pessoas poderao sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que

haja repeticao das posicoes?

Solucao: Se considerassemos todas as permutacoes simples possıveis com estas 4 pessoas, terıamos

24 grupos, apresentados no conjunto:

PC (4) = {abcd , abdc , acbd , acdb, adbc , adcb, bacd , badc , bcad , bcda, bdac, bdca, cabd ,

cadb, cbad , cbda, cdab, cdba, dabc , dacb, dbac , dbca, dcab, dcba}

Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:

abcd = bcda = cdab = dabc

abdc = bdca = dcab = cabd

acbd = cbda = bdac = dacb

acdb = cdba = dbac = bacd

adbc = dbca = bcad = cadb

adcb = dcba = cbad = badc

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

PC (4) = {abcd , abdc , acbd , acdb, adbc , adcb}.

Note que PC (4) =4!

4= (4− 1)! = 3! = 6.

55



4.11. De quantas formas 8 sinais “+” e 4 sinais “-” podem ser colocados em uma sequencia?

4.12. Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra ESTATISTICA,

quanto tempo levara para escrever todos, se nao deve parar nenhum instante para descansar?

4.13. Uma moeda e lanc ada 20 vezes. Quantas sequencias de caras e coroas existem, com 10 caras e 10

coroas?

4.14. Uma urna contem 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas sao extraıdas uma a uma sem reposicao.

Quantas sequencias de cores podemos observar?

4.15. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele so pode dar um passo

de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3, 1), quantas

trajetorias existem ate o ponto B(5, 4)?

4.3 O Triangulo Aritmetico de Pascal (ou de Tartaglia)

Comec aremos esta secao com seguinte observacao: para todo numero real n, desde que p seja um

inteiro positivo, faz sentido a seguinte operacao:

n · (n − 1) · . . . · (n − p + 1)

p!.

Definiremos, entao, para qualquer n real e qualquer p inteiro nao-negativo o binomial de n sobre p por

n · (n − 1) · . . . · (n − p + 1)

p!.

No caso em que n seja um inteiro nao-negativo o binomial de n sobre p coincide com C np e sera denotado

por � np � .

Partindo da definicao de combinacoes, podemos construir o seguinte triangulo, que e conhecido na

literatura como Triangulo de Tartaglia-Pascal (Tartaglia, Nicolo Fontana (1.500−1.557), matematico italiano,

e Pascal, Blaise, matematico, filosofo e fısico frances). Sua formacao esta baseada em os diversos valores

de C pn

C 00 1

C 01 C 1

1 1 1

C 02 C 1

2 C 22 1 2 1

C 03 C 1

3 C 23 C 3

3 1 3 3 1

C 04 C 1

4 C 24 C 3

4 C 44 1 4 6 4 1

C 05 C 1

5 C 25 C 3

5 C 45 C 5

5 1 5 10 10 5 1...

......

......

.... . .

......

......

......

. . .

E importante observar que, numerando as linhas e colunas a partir de zero, C pn aparece na linha n e

coluna p.

A relacao que permite construir o triangulo e conhecida como relacao de Stifel, (Stifel, Michael (1.487−1.567, algebrista alemao) que afirma que somando dois elementos lado a lado no triangulo obtem-se o

elemento situado embaixo do da direita. Isto queda expressado pelos seguintes teoremas.

56

4.68 Teorema (Relacao de Stifel). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que p < n, se verifica que:

C pn + C p+1

n = C p+1n+1 .

Com a relacao de Stifiel temos a garantia que Somando dois elementos consecutivos de uma mesma

linha obtemos o elemento situado abaixo da ultima parcela

4.69 Teorema (Relacao das Combinacoes Complementares). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que

p < n,

C pn = C n−p

n .

A relacao das combinacoes complementares pode ser interpretado como: Em uma mesma linha do

triangulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos sao iguais.

4.70 Teorema (das Linhas). Para todo inteiro positivo n,

C 0n + . . . + C n

n = 2n.

4.71 Teorema (das Colunas). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que p < n,

C pp + . . . + C p

p+n = C p+1p+n+1.

Exemplo 4.7. Um palacio tem 7 portas. De quantos modos pode ser aberto o palacio?

Solucao: C 17 conta os modos de abrir o palacio abrindo uma so porta, C 2

7 conta os modos de abrir o

palacio abrindo duas portas, assim temos C 17 + . . . + C 7

7 = 27 − C 07 = 128− 1 = 127.


4.16. Usando a relacao de Stifel, escreva as sete primeiras linhas do triangulo de Pascal.

4.17. Determine um conjunto que possua exatamente 48 subconjuntos.

4.18. Tem-se n comprimidos de substancias distintas, soluveis em agua e que nao podem reagir entre

si. Quantas solucoes distintas podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um

copo com agua?

4.19. Calculen�

k=0

(k + 1)C kn

4.20. Prove, por inducao, o Teorema das Linhas.

4.21. Calcule o valor da soma S = 50 · 51 + 51 · 52 . . . + 100 · 1001.

4.22. Qual e o valor da soma S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + 50 · 51 · 52?

4.23. Qual e valor da soma S = 12 + 22 + . . . + n2?

4.24. Calcule o valor da soma s = 2 · 12 + 5 · 22 + 8 · 23 + . . . + (3n − 1) · n2

4.25. Se A possui 512 subconjuntos, qual e o numero de elementos de A?

4.26. Resolva a equacao � 142x � = � 14

2x−1 � .

57


4.4 O Binomio de Newton

Queremos desenvolver um metodo para expandir o seguinte produto:

(x + a)n = (x + a) · (x + a) · (x + a) · . . . · (x + a)� �� n vezes

.

Para expandir um produto deste tipo, deve-se tomar os seguintes cuidados:

� Todos os membros terao o termo x e, tambem, o termo a. Ou seja, deve existir x · a em todos os termos;

� A soma dos expoentes de cada membro deve ser igual ao expoente do binomio;

� Toma-se a sequencia numerica obtida no triangulo referente ao numero de combinacoes usado e

distribui-se ordenadamente.

Deste modo, para n = 2, temos:

(x + a)2 = x2a0 + x1a1 + x0a2.

Lembrando que qualquer numero elevado a zero e igual a 1 e que nao e necessario colocar o expoente

quando for igual a 1, temos:

(x + a)2 = x2 + xa + a2,

ou seja, so falta saber os coeficientes da equacao. Para tanto usaremos o Triangulo de Pascal

n Coeficientes

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 74 116 116 74 36 9 1

10 1 10 45 110 190 232 190 110 45 10 1

Deste modo, como imaginavamos, temos, entao:

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2.

Analogamente, obtemos:

Binomio Expressao expandida

(x + a)2 1x2a0 + 2x1a1 + 1x0a2

(x + a)3 1x3a0 + 3x2a1 + 3x1a2 + 1x0a3

(x + a)4 1x4a0 + 4x3a1 + 6x2a2 + 4x1a3 + 1x0a4

Generalizando, temos o seguinte teorema.

58

4.72 Teorema. Se x e a sao numeros reais e n e um inteiro positivo, entao

(x + a)n =n�

k=0

C nk akxn−k .

Prova. Temos que (x + a)n = (x + a)(x + a) . . . (x + a).

Cada termo do produto e obtido escolhendo-se em cada parenteses um x ou um a e multiplicando-se

os escolhidos. Para cada valor de k , 0 ≤ k ≤ n, se escolhermos a em k dos parenteses, x sera escolhido

em n − k dos parenteses e o produto sera igual a akxn−k (0 ≤ k ≤ n). Isso pode ser feito de C nk modos.

entao (x + a)n e uma soma onde ha, para cada k ∈ 1, . . . , n, C nk iguais a akxn−k . 2

Observe que:

i. O teorema e valido para o binomio (x − a)n, a ≥ 0.

ii. O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos.

iii. Os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n sao os elementos de linha n do triangulo de Pascal.

iv. Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem acima, o termo de ordem k + 1 e

Tk+1 = C nk akxn−k .

Este termo e chamado Termo Geral.

Exemplo 4.8. Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de � x4 − 1

x � 7

.

Solucao: O termo generico do desenvolvimento e

C p7 � −1

x � p

(x4)7−p = C p7 (−1)px28−5p.

O termo em x3 e obtido se 28− 5p = 3, isto e, se p = 5.

Exemplo 4.9. Qual o termo independente de x no desenvolvimento de � x − 1

x � 8

?

Solucao: O termo generico do desenvolvimento e

C p8 x8−p � −1

x � p

= C p8 (−1)px8−2p.

Para que este termo seja independente de x , devemos ter 8 − 2p = 0. Assim, p = 4. Portanto, o termo

procurado e:

C 48 x4 � −1

x � 4

= 70.


4.27. Calcule o termo maximo do desenvolvimento de � 1 +1

2 � 120

.

4.28. Prove que 100150 > 9950 + 10050.

4.29. Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de � x3 − 1

x2 � 9

.

59


4.30. Para que valores de n o desenvolvimento de � 2x2 − 1

x3 � n

possui um termo independente de x .

4.31. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de � x2 +1

x3 � 10

4.32. Calculen�

k=0

�n

k � xk

4.33. Calculen�

k=0

k

�n

k � xk .

4.5 Gabarito

4.1. n = 1 e n = 3. 4.2. 4.3. C 37 · C 2

4 · 82 − C 36 · C 2

3 · 8 = 12.960 4.4. 371 4.5. a)560; b)434 4.6. 6.300 4.7. (a) 3, (b) 36, (c) 100,

(d) 4, (e) 18 4.8. 40 4.9. Cmn 4.10. 267.148 4.11. 495 4.12. 577 dias e meio. 4.13.

20!

10! · 10!. 4.14. 10. 4.15.

(a + b)!

a! · b!. 4.16.�� 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

�� 4.17. Imposs ıvel, pois nao existe n natural tal que 2n = 48. 4.18. 2n − 1.. 4.19. 2n−1(n + 2).

4.21. 301.750. 4.22. 1.756.950. 4.23.n(n + 1)(2n + 1)

6. 4.24.

(n + 1)n(9n2 + 5n − 2

12. 4.25. 9. 4.26. x = 1 ou x = 5. 4.27.

C 40120

240. 4.28. 4.29. −126. 4.30. n deve ser um m ultiplo nao-negativo de 5. 4.31. 210. 4.32. (1 + x)n . 4.33. nx(1 + x)n−1.

60

Atividade Orientada

6.1 Etapa 1

Nas tres questoes seguintes, verifique se os ıtens indicados sao verdadeiros ou falsos e assinale a

sequencia verdadeira.

Questao 6.1.1.

( ) Uma reta e um plano secantes tem um unico ponto comum.

( ) Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a infinitas retas do plano.

( ) Se duas retas distintas sao paralelas a um plano, entao elas sao paralelas entre si.

( ) Por um ponto fora de uma reta passa um unico plano paralelo a reta.

(a) FFFV (b) VVVF (c) VVFF (d) VFVF

Questao 6.1.2.

( ) Se uma reta e paralela a dois planos, entao esses planos sao paralelos.

( ) Se dois planos distintos sao paralelos, entao uma reta de um deles e paralela ao outro.

( ) Se dois planos sao secantes, entao qualquer reta de um deles e concorrente com o outro.

( ) Dois planos distintos paralelos tem um ponto comum.

(a) FFFV (b) VFVF (c) VVFV (d) FVFF

Questao 6.1.3.

( ) Se uma reta e perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, entao ela esta contida

no plano.

( ) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano.

( ) Uma reta e um plano sao perpendiculares. Toda reta perpendicular a reta dada e paralela ao plano

ou esta contida nele.

( ) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos.

( ) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes.

(a) FFVVV (b) VFVFF (c) VFVFV (d) FVFFV

61


Questao 6.1.4. Um poliedro de sete vertices tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos.

Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Questao 6.1.5. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determine o numero

de faces, arestas e vertices desse solido euleriano.

Questao 6.1.6. Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos angulos das

faces e igual a 2.160◦. Determine o numero de faces de cada especie desse poliedro, sabendo que ele tem

15 arestas.

Questao 6.1.7. Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, e par o numero de faces que tem numero

ımpar de lados.

Questao 6.1.8. Calcule a diagonal de um paralelepıpedo retangulo de dimensoes y , (y + 1) e (y − 1).

Questao 6.1.9. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos angulos das faces e 32 retos.

Questao 6.1.10. A altura de um prisma reto mede 15 cm; e a base e um triangulo cujos lados medem

4 cm, 6 cm e 8 cm. Calcule a area lateral e o volume do solido.

Questao 6.1.11. Calcule o volume e a area total de um prisma cuja base e um triangulo equilatero de

6 dm de perımetro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base.

Questao 6.1.12. Calcule a area lateral e total de uma piramide quadrangular regular, sendo 7 m a medida

do seu apotema e 8 m o perımetro da base.

Questao 6.1.13. Calcule o volume de uma piramide regular hexagonal, sendo 6 cm a medida da aresta

da base e 10 cm a medida da aresta lateral.

6.2 Etapa 2

Questao 6.2.1. Com uma prancha retangular de 8 cm de largura por 12 cm de comprimento podemos

construir dois cilindros, um segundo o comprimento e outro segundo a largura. Determine em qual dos

casos o volume sera menor.

Questao 6.2.2. Um suco de frutas e vendido em dois tipos de latas cilındricas: uma de raio r cheia ate

a altura h e outra de raio r/2 e cheia ate a altura 2h. A primeira e vendida por R3, 00 e a segunda por 1, 60.

Qual a embalagem mais vantajosa para o comprador?

Questao 6.2.3. Calcule a area total e o volume de um cone equilatero, sabendo que a area lateral e

igual a 24π cm2.

Questao 6.2.4. Determine a altura de um cone, sabendo que o desenvolvimento de sua superfıcie lateral

e um setor circular de 135◦ e raio igual a 10 cm.

Questao 6.2.5. Determine a area e o volume de uma esfera de 58 cm de diametro.

Questao 6.2.6. Determine a distancia polar de um cırculo menor de uma esfera, sendo 10 cm o raio da

esfera e 6 cm a distancia do cırculo ao centro da esfera.

62

UTILIZANDO GEOMETRIA NAS EMBALAGENS

Caro(a) estudante,

Nesta etapa da Atividade Orientada, pretendemos desenvolver algumas atividades em que buscaremos

ampliar a compreensao da relacao plano/espac o, em Geometria, atraves de uma de suas aplicacoes mais

usuais na pratica cotidiana: as embalagens.

O que vai trabalhar?

I. Poliedros e Superfıcies de Solidos Geometricos

(a) Identificar os Poliedros ou Superfıcies de Solidos Geometricos;

(b) Classificacao dos objetos geometricos;

(c) Identificacao dos elementos;

(d) Planificacao;

(e) Construcao a partir de figuras planas.

II. Modelagem Matematica atraves da geometria das embalagens.

PROPOSTA METODOLOGICA

Realizar a atividade nos mesmos grupos do Seminario Presencial III e socializar as respostas na tutoria.

Procedimentos:

I. Poliedros e Superfıcies de Solidos Geometricos

(a) Identificar os Poliedros ou Superfıcies de Solidos Geometricos;

Selecionar, no mınimo, 5 (cinco) embalagens de formatos diferentes, como caixa de sapato, leite,

conservas, etc. e identificar as que mais se aproximam/assemelham aos Poliedros ou Superfıcies

de Solidos Geometricos. As embalagens devem ser de papelao ou similar para que possam ser

desmontadas.

(b) Classificacao dos objetos geometricos;

Com as embalagens identificadas na proposta anterior, classificar os objetos geometricos de acordo

com os tipos estudados.

(c) Identificacao dos elementos

Identificar elementos da geometria pertinentes aos solidos, tais como: linha (paralelas, perpendicu-

lares, etc.), plano, segmentos, congruentes, angulos, etc.

(d) Planificacao

Planificar essas caixas e encontrar a area da superfıcie e o volume.

(e) ATIVIDADE PRATICA: Construcao a partir de figuras planas

Usando uma folha de cartolina, cada equipe devera projetar e construir uma embalagem de modo a

obter o menor desperdıcio de cartolina e o maximo de capacidade da embalagem.

II. Modelagem matematica atraves da geometria das embalagens

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Problematizacao: Selecionar duas embalagens de mesma capacidade e formatos diferentes, conforme

descricao a seguir:

- uma em forma de paralelepıpedo retangulo;

- outra de forma cilındrica.

Obs.: O ideal e que se trabalhe com embalagens de mesmo produto, como: leite condensado; polpa

de tomate; molhos; etc.

Procedimento:

1. Coletar os dados necessarios para o calculo das areas de superfıcies das embalagens. ( Sugestao:

Para calcular o raio da base da embalagem cilındrica, medir o comprimento da circunferencia).

2. Encontrar a area de superfıcie das duas embalagens planificadas e comparar os resultados obtidos.

Consideracao: Considerando o fator economico, desperdıcio de material, a embalagem que obtiver a

menor area representara um modelo matematico.

Questionamentos:

(a) Qual das duas embalagens desperdic a menos material possıvel na sua construcao? A forma cilındrica

ou a forma retangular?

(b) Justificando a resposta utilizando calculos matematicos.

Para refletir: (Liberte sua mente)

Naturalmente, voce percebeu que o modelo matematico buscou atender a necessidade real de quanti-

dade de materia prima utilizada nas embalagens a partir de conceitos de medidas de area e de superfıcie.

Mas, voce ha de convir que outras intencoes podem gerar outros modelos matematicos. Portanto, liberte

sua mente e viaje em outros questionamentos que partem de outras intencionalidades e sao passıveis de

fazer emergir novos modelos matematicos: - E se a intencao fosse criar uma estetica diferente de em-

balagem para atrair a atencao dos consumidores? - E se a intencao fosse criar a embalagem ideal para

adequar-se a anatomia da mao favorecendo a praticidade do uso do produto? - E se a intencao fosse

acondicionar o maior numero de unidades de produto em caixas maiores? - E se a intencao fosse oferecer

um servic o de uso individual? E de uso familiar? E de uso industrial?

Agora e com voce! Use sua imaginacao, signifique a geometria e descubra modelos matematicos.

Liberte sua mente!

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6.3 Etapa 3

Questao 6.3.1. Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS?

Questao 6.3.2. Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra

ESTATISTICA, quanto tempo levara para escrever todos, se nao deve parar nenhum instante para des-

cansar?

Questao 6.3.3. De quantos modos e possıvel colocar 5 rapazes e 4 moc as em fila de modo que as

moc as permanec am juntas?

Questao 6.3.4. Quantos sao os anagramas da palavra ESTUDO que comec am por vogal e terminam

por consoantes?

Questao 6.3.5. De quantas formas 20 alunos podem ser colocados em 4 classes A, B , C e D ficando 5

alunos por classe?

Questao 6.3.6. Um baralho tem 52 cartas. De quantos modos podemos distribuı-las entre 4 jogadores,

de modo que cada um receba 13 cartas?

Questao 6.3.7. De quantas formas 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 pessoas por

time?

Questao 6.3.8. Um grupo de 10 viajantes para para dormir num hotel. So havia 2 quartos com 5 lugares

cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite?

Questao 6.3.9. Desenvolva (√

x −√y )4 usando o teorema binomial.

Questao 6.3.10. Qual o coeficiente de x6 no desenvolvimento de (x2 + x−3)8?

Questao 6.3.11. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de � x3 − 1

x2 � 10

.

Questao 6.3.12. Sendo a equacao

�12

p + 3 � =

�12

p − 1 � , calcule p.

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Fundamentos da Matematica IV REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Referencias Bibliograficas

[1] MORGADO, Augusto Cesar de Oliveira. CARVALHO, Joao Bosco Pitombeira de. CARVALHO, Paulo

Cezar Pinto. FERNANDEZ, Pedro. Analise Combinatoria e Probabilidade. Brasil: SBM.

[2] LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto de. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto

Cesar. A Matematica do Ensino Medio — Vol. 2. Rio Janeiro, Brasil: SBM, 1.998.

[3] LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto Cesar.

A Matematica do Ensino Medio — Vol. 3. Rio de Janeiro, Brasil: SBM, 1.998.

[4] DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matematica Elementar - Vol. 10. Sao

Paulo, Brazil: ATUAL, 1993.

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FTC – EaDFaculdade de Tecnologia e Ciencias – Educacao a Distancia

Democratizando a educacao.

www.ftc.br/ead

Education

Fundamentos matematica iv