GEOMETRI NON EUCLID

A. Sejarah Geometri non Euclid

Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan

dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hungaria

János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan

risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-

Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah

penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika

ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20

tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky

menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai

bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin

tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak

mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta

fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.

Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang

geometri Riemann, membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold, Riemannian

metrik, dan kelengkungan. Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak

Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola satuan

dalam ruang Euclidean. Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang

dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel Terminologi.

Itu Gauss yang menciptakan istilah "non-euclidean geometri" Dia merujuk pada

karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik.. Beberapa penulis modern yang

masih menganggap "non-euclidean geometri" dan "geometri hiperbolik" menjadi sinonim.

Pada tahun 1871, Felix Klein, dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada

tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena

itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat

panjang di bawah payung projective geometri. [ 11] Klein bertanggung jawab untuk istilah

"hiperbolik" dan "eliptik" (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean "parabola", sebuah

istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan

saat ini dari "geometri non-euclidean" untuk berarti baik geometri "hiperbolik" atau

"berbentuk bulat panjang".

1

Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang

harus disebut "non-euclidean" dengan berbagai cara Dalam disiplin ilmu lainnya., Fisika

terutama matematika paling, istilah "non-euclidean" sering diartikan tidak Euclidean .

aksioma dasar non-Euclidean geometri.

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya,

sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya

mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma.

Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan

memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang

berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda.

Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan

kelima postulat Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair,

sementara Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa "tidak ada

sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen." Dalam salah satu sistem, penghapusan satu

aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan

meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama

28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel

atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus

diganti oleh negasinya. Meniadakan bentuk aksioma Playfair, karena itu adalah pernyataan

majemuk (... terdapat satu dan hanya satu ...), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan

ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis

melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel

dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan "Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati

P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l" dan menjaga semua aksioma lainnya,

hasil geometri hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti

paralel mendalilkan dengan pernyataan, "Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak

melewati P, semua garis melalui P memenuhi l", tidak memberikan satu set konsisten

aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini

mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda)

untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa

yang dikenal sebagai "kasus sudut tumpul". Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma

yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus

tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan. Beberapa

2

diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan

bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak

terbatas. Geometri eliptik Riemann muncul sebagai geometri paling alami memuaskan

aksioma ini.

Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar

berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat ,

yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah,

memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki

dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean ,

tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.

Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah

sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara

dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk

setiap garis yang diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis

melalui A yang tidak berpotongan ℓ.Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak

terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik,

setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk

bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).

Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua

garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak

lurus ke saluran ketiga:

Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika

diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.

Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak

sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,

garis-garis ini sering disebut ultraparallels.

Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan

akhirnya berpotongan.

Sementara geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk

beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai

sah sampai abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean

geometri mulai segera setelah karya Euclid ‘s Elemenditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai

dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha

untuk membuktikan semua hasil lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari

3

postulat sering disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel

mendalilkan “, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:

Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi

yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika

diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan

sudut. Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti

ini (lihat postulat paralel untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun,

secara konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya,

“Antara dua titik garis lurus bisa diambil”).

Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang

berbeda dari kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat

lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi ,

termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11),

dengan Persia matematikawan Umar Khayyām(abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-

13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18). Teorema Ibn al-

Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert dan Saccheri

segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang . ”

Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair

‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri.

Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap

pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben

Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk

merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan,

mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal

itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.

Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan

dari “prinsip-prinsip Bertuah” (Aristoteles ): “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan

tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka

bertemu. ” Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut

yang sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah

membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut

berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah

setara dengan postulat sendiri. Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang

dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”), yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298,

4

berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel

dalil . “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-

bukti proposisi banyak dari Elemen.” Karyanya diterbitkan di Roma tahun 1594 dan

dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri  yang mengkritik pekerjaan ini serta yang

dari Wallis.

Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan

Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di

pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama. Dalam sebuah

karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua

Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai

kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri

berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil

dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil

menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan

pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksilogis hadir. Dalam upaya untuk

membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru

yang layak, tapi tidak menyadarinya.

Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der

Parallellinien di mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat

kelima. Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu

segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri). Dia

segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki

Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak

berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah

mencapai kontradiksi dengan asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa

jumlah sudut dalam segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan

dia untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari

imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh. Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam

semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.

Penciptaan non-Euclidean Geometri 

Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan

dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János

Bolyai dan Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada

geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri,

5

baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean

geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda,

bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia

tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean

dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua

Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai

berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui

penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini

adalah tugas untuk ilmu fisik.

Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan

bidang geometri Riemann , membahas khususnya ide-ide sekarang

disebut manifold , Riemannian metrik , dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak

terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik

Riemann pada bola unit dalamruang Euclidean . Yang paling sederhana ini disebut geometri

berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya

garis paralel.

Terminologi 

Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”.  Dia merujuk pada

karyanya sendiri yang hari ini kita sebutgeometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang

masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim.

Pada tahun 1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayleypada

tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena

itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat

panjang di bawah payung projective geometri . Klein bertanggung jawab untuk istilah

“hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah

istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan

saat ini dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau

“berbentuk bulat panjang”. Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar

geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu

lainnya, terutama yang paling matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering

diartikan tidak Euclidean.

Aksioma Dasar non-Euclidean Geometri 

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya,

sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya

6

mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai

aksioma. sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan

Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan

set yang berbeda dari istilah terdefinisimendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang

berbeda. Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara

dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair,

sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada

sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan

satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan

meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut . Sebagai

pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat

paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh

yang negasi . Meniadakanaksioma Playfair ‘s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk

(… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada

lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis

melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel

dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati

P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya,

hasil geometri hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti

paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak

melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten

aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini

mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda)

untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa

yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma

yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus

tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan. Beberapa

diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan

bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak

terbatas. Riemann ‘sgeometri eliptik muncul sebagai geometri paling alami memuaskan

aksioma ini.

7

Model non-Euclidean geometri 

Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri .

Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan

ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik.

Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.

Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “

Geometri Elliptic

Model sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran

besar “(seperti ekuator atau meridian didunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain

(disebut poin antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar

dari pesawat proyektif nyata . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik

metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model

pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut. Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk

setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan

berpotongan ℓ.

Geometri Hiperbolik 

Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap:

apakah model seperti itu ada untukgeometri hiperbolik ? Model untuk geometri

hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan

bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model

sebagian dariruang hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama,

mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan

ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik

adalahequiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya

jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri

Euclidean.) Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang

diketahui ℓ dan Titik, yang tidak pada ℓ, adatak terhingga banyak baris melalui A yang tidak

berpotongan ℓ. Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh

objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual

dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean

yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya

kecerdasan dari cara mereka diwakili.

8

Sifat Jarang

Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka

yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri

netral (juga disebut geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari

yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.

Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan,

kami juga memiliki berikut ini:

Sebuah segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut

keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang

tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat

panjang. Akibatnya, empat persegi panjanghanya ada dalam geometri Euclidean.

Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang

sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat

Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari

sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika

geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat

panjang.

Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri

hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika

geometri adalah berbentuk bulat panjang.Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° –

jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga

dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah

nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.

Hal Pentingnya : 

Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah

ilmu pengetahuan . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami,

Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model

matematika dari ruang . Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah

pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-

Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka

bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan elips.

Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas

matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan

manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis

9

pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika –

pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan.

Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi

juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam

matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.

Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris

Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan

yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s

Elemen . Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek

dari bermain, Euclid dan Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland .

10

KESIMPULAN

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya,

sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya

mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma.

Sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan

memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang

berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda.

Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan

kelima postulat Euclid, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair,

sementara Birkhoff, misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa "tidak ada

sepasang segitiga serupa tapi tidak kongruen." Dalam salah satu sistem, penghapusan satu

aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan

meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut. Sebagai pertama

28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel

atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya,

sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya

mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai

aksioma. sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan

Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan

set yang berbeda dari istilah terdefinisimendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang

berbeda. Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara

dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair,

sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada

sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan

satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan

meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut.

11

DAFTAR PUSTAKA

Diakses dari http://himmadika.fkip.uns.ac.id/sejarah-geometri-non-euclid/

Diakses darri http://matematikatopten.blogspot.co.id/2012/02/sejarah-geometri-non-euclid.html

12