TEORÍA DE GRAFOS

Expositores:Ivan Eduardo Alarcón Candia

Raúl F. Mateus

PROLOG

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTININGENIERÍA DE SISTEMAS

FACULTAD ABIERTA Y A DISTANCIABOGOTÁ

2012

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

SISTEMA MATEMÁTICO ABSTRACTO

CONJUNTO DE LÍNEAS Y PUNTOS

COLECCIÓN DE UN CONJUNTO DE VÉRTICES Y DE ARCOS

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

VERTICESVERTICES ARISTASARISTAS

Unidades Fundamentales que forman los grafos.

Son los nodos o puntos que forman los grafos.

V

Conjunto de pares de Vértices.

Indican que nodos están relacionados.

V1 V2

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

Representación Gráfica

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1TIPOS DE

GRAFO NO DIRIGIDO:GRAFO NO DIRIGIDO: Sus lados no están orientados. (No se usan flechas). Es decir que A= (V1,V2) = (V2,V1).

GRAFO DIRIGIDOS:GRAFO DIRIGIDOS: Sus lados están orientados. (Se usan flechas). Es decir que A= (V1,V2) ≠ (V2,V1).

GRAFO NO SIMPLE: GRAFO NO SIMPLE: Grafo no dirigido que tiene lazos y lados paralelos.

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1TIPOS DE

GRAFO PONDERADO: GRAFO PONDERADO: Es aquel donde se presentan los pesos de las aristas. Es posible determinar la longitud de una ruta a través de la suma de todos los pesos de las aristas.

GRAFO SIMPLE: GRAFO SIMPLE: No tiene aristas paralelas. No tiene aristas dirigidas. No tiene lazos.

GRAFO COMPLETO: GRAFO COMPLETO: Es aquel grafo con n vértices en las que existe una arista entre cada par de vértices.

GRAFO DE SIMILITUD: GRAFO DE SIMILITUD: Son aquellos grafos de los que se pueden derivar subgrafos.

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1TIPOS DE

v5

v2

v1 v3

v4

v1

v2

v3

v4

v2

v1

v3

v2

v1

v3 v4

v52

1

3

4

11

2

v1

v2 v3

v2

v3 v4

v1 v2

v3

v1

No Dirigido Dirigido No Simple

Ponderado Completo De Similitud

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

V6

V2 V3

V5

V1 V4

Grados de un Vértice

Llamamos grado o valencia de un vértice al número de aristas que inciden en él.

V1=2 V2=2

V3=3 V4=2

V5=3 V6=3

V7=2 V8=0

V7

Lazo

V8 Vértice Aislado

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

V6

V2 V3

V5

V1 V4

Camino

Es una sucesión donde se alternan vértices y aristas, comenzando y terminando con vértices y en el que cada arista es incidente con los dos vértices que la preceden y la siguen.

V1,V2,V3,V4

V1,V2,V5,V4

V1,V6,V5,V4

** ** ** **

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

Ciclo

Es un camino en el que sus extremos coinciden.

El ciclo será simple si no hay, además del primero y el último, ningún otro vértice repetido

V2 V3

V1 V4

V5

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

CICLO EULERCICLO EULERSe trata de recorrer todas las aristas sin repetirlas.

Es posible repetir vértices

V6

V2 V3

V5

V1 V4 V1,V2,V6,V3,V2,V5,V3,V4,

V5,V6,V1

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

CICLO HAMILTONCICLO HAMILTONSe trata de recorrer todos los

vértices sin repetirlos excepto el Vi y Vf que deben ser el mismo.

V6

V2 V3

V5

V1 V4 V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

MATRIZ DE ADYACENCIA: Matriz CuadradaMATRIZ DE ADYACENCIA: Matriz Cuadrada

Si hay una arista entre un Vx y un Vy, entonces el elemento de mxy es 1, de lo contrario es 0

V1

V3

V2 V1 V2 V3

V1

V2

V3

2 1 1

1 0 2

1 2 0

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

MATRIZ DE INCIDENCIA:MATRIZ DE INCIDENCIA:

Indica la relación de las aristas. Está formada por A(aristas) por V(vértices). (1- Conectado) (0- en otro caso No Conectado)

V1

V3

V2A2A1

A3 A4

A5

A1 A2 A3 A4 A5

V1V1

V2V2

V3V3

1 1 0 0 1

0 1 1 1 0

0 0 1 1 1

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

ALGORITMO DE DIJKSTRA: ALGORITMO DE DIJKSTRA:

Sirve para encontrar los caminos de costo mínimo que parten de un vértice dado y terminan en cada uno de los demás vértices del grafo.

En La primera etapa se determina el costo del camino mínimo que parte de un vértice y termina en cada uno de los demás elementos del grafo. La segunda etapa almacena la secuencia de vértices que conforman dicho camino.

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1

EJEMPLO ALGORITMO DE DIJKSTRA: EJEMPLO ALGORITMO DE DIJKSTRA:

V1

V2 V3

V5

V4

V7

V6

1810

6

3 20

5

38

10

•Determinar el costo del camino mínimo para ir del vértice V1 al vértice V7.

Solución:Solución:

V1,V2 = 10V2,V3 = 6V3,V4 = 3V4,V7 = 2

Costo mínimo = 21

2

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1SIMULADORES DE

G R A F O S

V2V2

V4V4V3V3

V1V1SIMULADORES DE

G R A F O S

APLICACION DE

V1

V3

V2

V4

V5

V6

V7

V8

V9

V10V11

V12

Grafo Grafo aplicado aplicado al al proyecto: proyecto:

G R A F O S

APLICACION DE

Grafo Grafo aplicado a aplicado a metros metros con varias con varias líneas: líneas:

G R A F O S

APLICACION DE Grafo Grafo

aplicado a aplicado a Contabilidad: Contabilidad:

G R A F O S

APLICACION DE Grafo Grafo

aplicado a aplicado a Activos FijosActivos Fijos