Identidades Trigonometricas

Alvaro Naupay Gusukuma

19 Noviembre 2014

1.- Verificar las siguientes igualdades:

a.- sen4 θ + cos4 θ = 1− 2 sen2 θ cos2 θ

b.- sen6 θ + cos6 θ = 1− 3 sen2 θ cos2 θ

c.- tan θ + cot θ = sec θ csc θ

d.- sec2 θ + csc2 θ = sec2 θ csc2 θ

2.- Demostrar la siguiente igualdad

sec θ(1− sen2 θ) csc θ = cot θ

3.- Demostrar la siguiente igualdad

sec2 θ + tan2 θ = sec4 θ − tan4 θ

4.- Reducir la expresion

M = sen4 θ − cos4 θ + 2 cos2 θ

5.- Simplificar

E =1 + cos x

senx− senx

1− cosx

Problemas condicionales

Son aquellos que dado una o varias condicio-nes se pide hallar una relacion en terminos delas condiciones dadas.

6.- Si senx+ cosx =1

2hallar

senx cosx

Problemas de eliminacion de

angulos

Son aquellos que consiste en eliminar las ex-presiones trigonometricas y hallar una expresionalgebraica que no contiene variables angulares(medida de angulos).

7.- Hallar una relacion entre a y b a partir de:

senx = a

cosx = b

8.- Calcular la relacion entre a y b; si:

a = tan θ + cot θ

b = sec θ + csc θ

Ejercicios

9.- Simplificar:

K = tanx(1 + cos x)− sen2 x cscx

A) tanx B) 2 tanx

C) cosx D) 2 cosx

E) senx

10.- Reducir:

E = senx(cscx senx)+cosx(secx+cosx)+1

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

11.- Reducir:

M = (3 sen x+ cosx)2 + (senx− 3 cosx)2

A) 3 B) 4

C) 5 D) 9

E) 10

1

12.- Hallar n en la igualdad:

sen4 x− cos4 x = 1 + n cos2 x

A) − 1 B) − 2

C) − 3 D) − 4

E) − 5

13.- Siendo: tanx+ cotx = 3. Calcule:

G = tan3 x+ cot3 x

A) 27 B) 15

C) 17 D) 18

E) 21

14.- Si: senx− cosx =

√2

3. Calcular:

K = sen6 x+ cos6 x

A)7

6B)

5

12

C)3

4D)

11

12

E)7

12

15.- Simplificar:

K =sen4 x+ cos4 x+ 3

sen6 x+ cos6 x+ 5

A)3

2B)

1

6

C)4

3D)

2

3

E)1

3

16.- Reducir:

E = (secx cscx− cotx) cscx

A) 1 B) senx

C) cosx D) secx

E) cscx

17.- Para que valor de k se cumple:

secx− cosx

cscx− senx= tank x

A) − 2 B) 2

C) − 3 D) 3

E) 1

18.- Hallar z en la siguiente expresion:

tan2 x− sen2 x = z sen2 x

A) 2 sen2 x B) 0

C) tanx D) tan2 x

E) 3 sec2 x

19.- Si x es un angulo del primer cuadrante quesatisface la ecuacion:

1√3

tanx+√

3 cotx = 2

Entonces, el valor de senx es:

A)1

2B)

√2

2

C)1√3

D)

√3

2

E)

√2√3

20.- Sea α un angulo del tercer cuadrante indicarla alternativa correcta al simplificar:

E = 1 + (√

1− sen2 α) cosα

A) cos2 α B) − sen2 α

C) 1 + cos2 α D) 2 + sen2 α

E) sen2 α

2

21.- Siendo:

(tan θ cotφ+ tanφ sec θ)2 = 4 tan θ sec θ .

Hallar: csc2 φ− csc θ

A) 1 B) − 1

C) 2 D) − 2

E) − 3

Sugerencia: Si tenemos que (a+ b)2 = 4abesto se cumple entonces podemos afirmarque a = b.

22.- Siendo: m tan θ + n sec θ = 1. Hallar:

L =sec θ − ntan θ +m

A) sen θ B) cos θ

C) tan θ D) cot θ

E) sec θ

Sugerencia: sec2 θ − tan2 θ = 1

23.- Si x ∈ IC y ademas

√1 + sen x−

√1− senx =

1√2.

Entonces calcule:

L =√

1 + sen x+√

1− senx

A)

√7

2B)

3

2

√2

C)

√14

4D)

√7

4

E)

√14

2

Sugerencia: (a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)

24.- Si se cumple que:

sec5 x csc2 x+ csc5 x = csc5 x sec2 x+ sec5 x .

Entonces el valor de:

M = tan7 x+ cot7 x

A) 3 B) 8

C) 64 D) 32

E) 2

Sugerencia: Factorizar sec5 x y csc5 x

25.- Hallar M para que la siguiente igualdad secumple.

2 senx cosx

senx+ cosx+ 1= senx+ cosx+M

A) − 1 B) − 2

C) 1 D) 2

E) 3

Sugerencia: Recuerde que(senx+ cosx)2 = 1 + 2 senx cosx

3