This  lecture  presenta/on  complements  Khan’s  tutorials.  

1  

In  this  lecture  we  will  discuss  the  different  methods  to  measure  central  tendency  and  dispersion  in  a  sta/s/cal  sample.  

2  

Central  tendency  is  just  a  technical  way  of  saying,  what’s  typical  of  this  sample?  For  example,  out  of  all  Carlow  students,  which  gender  is  the  more  typical  one?  Male  or  female?  Out  of  all  the  products  listed  on  Amazon,  which  is  the  best  seller?  And  out  of  all  the  eBay  lis/ngs  of  “Tickle  Me  Elmo,”  which  price  is  the  most  common  one?  

3  

These  three  different  measures  are  discussed  in  detail  by  Khan  Academy.  Here  are  some  brief  summaries.  We  will  discuss  normal  distribu/on.  

One  key  idea  is  this:  If  the  sample  is  normally  distributed,  meaning  it  looks  like  a  symmetrical  bell  curve,  then  mean,  median  and  mode  will  be  the  same  number.  However,  if  the  sample  is  skewed  either  to  the  leS  or  to  the  right,  then  these  three  numbers  would  take  on  different  values.  

4  

Concepts  like  “mean”  and  “standard  devia/on”  are  really  based  on  the  theory  of  normal  curve.  

Note  it’s  a  theory,  a  conceptualiza/on  of  how  data  should  be  distributed  in  an  ideal  world.  

In  reality,  oSen  /mes  distribu/ons  are  not  perfectly  normal.  

Next  slide  is  an  example.  

Note  that  the  “mean”  =  the  50th  percen/le.  

5  

Look  at  this  distribu/on  of  salary  data.  It’s  heavy  on  the  leS  side,  with  a  long  skinny  tail  on  the  right.  

Definitely  not  symmetrical.  

6  

When  we  impose  the  normal  curve  on  top  of  the  salary  distribu/on,  we  see  that  the  normal  curve  only  captures  the  right  tail  well.  For  the  leS  tail,  the  normal  curve  doesn’t  describe  the  actual  distribu/on  very  well.  

This  is  because  the  salary  data  is  posi%vely  skewed.  

In  skewed  data,  “mode”  and  “median”  describe  the  central  tendency  be]er  than  the  “mean”.  

7  

In  addi/on  to  central  tendency,  we  also  need  a  way  to  describe  how  spread  out  the  distribu/on  is,  and  how  weird  a  case  is  (rela/ve  to  the  mean).  

When  a  case  is  very  close  to  the  mean,  we  have  an  average  joe.  When  a  case  is  far  off  from  the  mean  on  the  /p  of  a  long  tail,  we  have  a  weirdo!  

In  real  life,  we  oSen  discuss  dispersion  without  realizing  it.  For  example:  In  which  percen/le  is  my  child’s  height?  How  many  people  in  this  class  will  get  an  A?  Is  the  customer’s  credit  score  above  or  below  average?  By  how  much?  Is  a  dona/on  of  $30,000  pre]y  common  or  very  rare?  How  rare  is  it?  

This  slide  illustrates  the  distribu/on  of  total  purchase  aSer  a  customer  clicks  on  a  link.  Look  at  the  data,  the  mean,  the  distribu/on,  and  reflect  on  the  following  ques/ons:  

How  likely  would  an  average  customer  spend  $200  per  order?   Very  unlikely  –  it’s  at  the  end  of  the  curve  –  in  a  tail.  

How  about  $35?    Much  more  likely  –  it’s  the  average  order.  

In  what  percenEle  is  a  $67  order?   The  84th  -­‐  we  know  because  it’s  one  standard  deviaEon  (34%)  above  the  mean  (50%).  

The  next  slide  explains  what  a  standard  deviaEon  is.  

8  

Standard  devia/on  is  a  standardized  measure  of  dispersion.  It  tells  you  whether  the  distribu/on  is  short  and  fat  (with  a  big  standard  distribu/on)  or  tall  and  skinny  (with  a  small  standard  distribu/on).  

The  calcula/on  is  explained  well  by  Khan  (see  Khan’s  Academy  video  clips  linked  in  this  session).  

The  basic  idea  to  take  away  is:  The  standard  devia/on  tells  you,  on  average,  how  far  away  the  data  points  are  from  the  mean.  

For  example,  let’s  say  that  the  Steelers  have  an  average  score  of  25  per  game,  and  the  standard  devia/on  is  1.  Let’s  also  say  that  the  Greenbay  Packers  have  an  average  score  of  25  per  game,  and  a  standard  devia/on  of  7.  

In  this  example,  both  teams  are  comparable  in  terms  of  average  scores,  but  the  Steelers  have  a  much  smaller  standard  devia/on.  This  means  the  Steelers’  performance  is  pre]y  consistent  over  /me,  their  scores  may  be  above  or  below  25,  but  only  by  1-­‐2  points  on  average.  If  you  plot  their  scores  on  a  chart,  you  would  see  that  most  of  them  pack  around  25,  with  a  nice  narrow  distribu/on  that  peaks  around  25.  

In  contrast,  the  Packers  may  average  around  25,  but  their  performance  varies  widely  from  game  to  game.  One  day  they  may  score  18  (25-­‐7)  and  the  next  day  they  may  score  32  (25+7)  If  you  plot  their  widely  varied  scores  on  a  chart,  you  would  get  a  short  and  fat  distribu/on.  

(Go  Steelers  Go!)  

9  

What  are  prac/cal  ways  to  use  the  standard  devia/on?  With  a  normal  distribu/on,  the  mean  divides  it  up  evenly  in  the  middle.  The  por/on  below  the  mean  covers  50%  of  the  popula/on,  whereas  the  por/on  above  the  mean  also  covers  50%  of  the  popula/on.  

The  first  standard  devia/on  away  from  the  mean  covers  34%  of  the  distribu/on.    In  other  words,  1  standard  devia/on  above  the  mean  =  50%  +  34%  =  84%  =  84th  percen/le  

Let’s  say  that  the  average  weight  for  a  one  year  old  is  25  lbs,  with  a  standard  devia/on  of  2  lbs.  Connor  is  23  lbs.  That’s  1  standard  devia/on  below  the  mean.  In  other  words  he  is  50%-­‐34%  or  in  the16th  percen/le  of  the  popula/on  Nardia  is  27  lbs.  That’s  1  standard  devia/on  above  the  mean.  In  other  words  she  is  50%+34%  or  in  the  84th  percen/le  of  the  popula/on  

The  en/re  distribu/on  is  covered  by  roughly  6  standard  devia/ons  –  3  above  the  mean  and  3  below  the  mean  Hence  the  name  of  the  quality  management  program  “Six  Sigma”  

10  

More  examples:  

Given  a  mean  and  a  standard  devia/on  score,  you  have  a  pre]y  good  idea  of  what  the  distribu/on  is  like  –  is  it  fat  and  short,  or  tall  and  skinny?  

We  can  then  map  out  individual  scores  on  the  distribu/on  and  tell  the  average  joes  from  the  weirdos!    

11  

The  Z  score  is  the  number  of  standard  devia/ons  from  the  mean.    With  our  previous  example,  Connor  would  have  a  Z  score  of  nega/ve  1  (that  is  1  standard  devia/on  below  the  mean),  while  Nardia  has  a  Z  score  of  1  (that  is  1  standard  devia/on  above  the  mean).  

The  average  joes  would  have  close  to  zero  z  scores  (e.g.,  0.0006,  -­‐.0029)  Whereas  the  weirdos  have  extremely  large  or  small  z  scores  (e.g.,  3.07,  -­‐2.99)  

Again  -­‐  The  z  score  is  the  number  of  standard  devia/ons  that  a  data  point  is  away  from  the  mean.  Let's  say  that  the  average  weight  for  all  American  women  is  150  lbs,  and  the  standard  devia/on  is  20  lbs.  If  your  weight  is  130,  then  your  z  score  is    -­‐1,  because  you're  exactly  1  standard  devia/on  below  the  mean.  If  Peggy's  weight  is  170,  then  her  z  score  is  1,  because  she  is  exactly  1  standard  devia/on  above  the  mean.  

12  

Ques/ons?  Schedule  a  chat/phone  mee/ng  with  the  instructor  for  more  assistance  

13