Introductorio

Breve Introducción al Cálculo

Alvaro Miguel Naupay Gusukuma

29 de febrero de 2016

2

Índice general

Prefacio 5

1. Límites 71.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Idea intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Definición formal de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Derivada 232.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Definición formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Integral 333.1. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4 ÍNDICE GENERAL

PrefacioEste es un primer borrador de notas del curso introductorio dadas a los alumnos

ingresantes Universidad Nacional de Ingeniería de la Facultad de Ingeniería de Petró-leo.

Cualquier error y equivocación tipográfica por favor darlas a conocer.

5

6 Prefacio

Límites

CAPÍTULO 1

1.1. Introducción

La idea de límite fue motivada por tres grandes problemas

I. Hallar la recta tangente en un punto dado de una curva.

II. Hallar la velocidad de un objeto en un instante dado.

III. Hallar el área bajo una curva.

En este y en los otros capítulos trabajaremos con funciones de una sola variablef :R→R, funciones de variable real.

lımx→0

−→

1.2. Idea intuitiva

En la definición de límite utilizaremos la siguiente notación, lımx→c

f (x) que se lee,

límite de f (x) cuando x tiende a c.

Definición 1: Significado intuitivo de límite

Decir que lımx→c

f (x) = L ∈ R, significa que f (x) puede estar cerca de L

tanto como se quiera, siempre que x este lo suficientemente cerca perodiferente de c.

En esta definición, los valo-res que toma x cuando seaproxima a c, deben estar enel dominio de f , pero c no esnecesario que esté en el do-minio de f . Además el valorde L no es necesario que seencuentre en el rango de f .Al valor c se le llama punto lí-mite

se acerca a

acercándose a

acercándose al puntocon diferente de

cuando

7

8 Capítulo 1. Límites

EJEMPLO 1.1:

Sea la función constante f (x) = 1, determine lımx→2

f (x).

Solución : Cuando x está cerca de 2, f (x) es 1. Entonces escribimos

lımx→2

f (x) = lımx→2

1 = 1

�

EJEMPLO 1.2:

Determine lımx→3

(4x −5).

Solución : Cuando x está cerca de 3, 4x−5 está cerca de 4 ·3−5 = 7. Entonces escribi-mos

lımx→3

(4x −5) = 7

�

En general las ecuaciones lineales tienen este tipo de resultado como en el siguien-te ejemplo.

EJEMPLO 1.3:

Sea a,b,c ∈R, con a 6= 0, determine lımx→c

(ax +b).

Solución : Cuando x está cerca de c, ax +b está cerca de ac +b. Entonces escribimos

lımx→c

(ax +b) = ax +b

�

EJEMPLO 1.4:

Determine lımx→0

cos x.

Solución : Cuando x está cerca de 0, cos x está cerca de 0. Entonces escribimos

lımx→0

cos x = 1

�

EJEMPLO 1.5:

Encuentre lımx→3

x2 −x −6

x −3

Solución : Observemos quex2 −x −6

x −3no está definido en x = 3, en este caso tenemos

que eliminar la indeterminación con el uso del álgebra como sigue

lımx→3

x2 −x −6

x −3= lım

x→3

(x −3)(x +2)

(x −3)= lım

x→3

��(x −3)(x +2)

��(x −3)= lım

x→3(x +2) = 3+2 = 5

La simplificación de (x − 3) es lícita ya que x está cerca pero diferente de 3, por lo

1.2 Idea intuitiva 9

tanto(x −3)

(x −3)= 1. �

EJEMPLO 1.6:

Encontrar el límite de f (x) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como

f (x) ={

1 ; x 6= 20 ; x = 2

Solución : Como f (x) = 1 para todos los x diferentes de x = 2, podemos concluir queel límite es 1. Por lo tanto podemos escribir

lımx→2

f (x) = 1

�

Estudiemos la función f (x) = sen x

x, veamos entre que valores varía f (x) cuando x

se acerca a cero por la derecha pero veamos primero el siguiente gráfico.De los razonamiento geométricos pode-mos obtener este hecho. En la figura estárepresentada la circunferencia trigonomé-trica de radio 1 y con centro en el origen de

coordenadas. Sea el arco_

AC= x. EntoncesAB = sen x y AD = tan x.Pero, como se infiere de la figura (la longi-

tud del arco_

AC ) es mayor que el segmentoAB y menor que el segmento AD entonces

sen x <x < tan x = sen x

cos x

1 < x

sen x< 1

cos x

cos x <sen x

x< 1

Figura 1.1: Circunferencia trigonométrica

Esta desigualdad se cumple cuandoπ

2< x < 0.

La siguiente definición es referente a los límite laterales.

Definición 2: Límite por la derecha

Decir que lımx→c+

f (x) = D ∈ R significa f (x) puede estar cerca de D tanto

como se quiera siempre que x esté lo suficientemente cerca pero a laderecha y diferente de c.


Definición 3: Límite por la izquierda

Decir que lımx→c−

f (x) = I ∈ R significa f (x) puede estar cerca de I tanto

como se quiera siempre que x esté lo suficientemente cerca pero a laizquierda y diferente de c.

EJEMPLO 1.7:

Determine lımx→0+

sen x

x.

Solución : Por lo hecho anteriormente tenemos que

cos x < sen x

x< 1

cuandoπ

2< x < 0, luego como lım

x→0+cos x = 1, entonces

lımx→0+

cos x < lımx→0+

sen x

x< lım

x→0+1

1 < lımx→0+

sen x

x< 1

�

EJEMPLO 1.8:

Determine lımx→0−

sen x

x.

Solución : Teniendo en cuenta el ejemplo anterior hacemos el cambio de variablex =−t , por lo cual, si x → 0−, x < 0 entonces −t < 0, t > 0, es decir t → 0+, luego

lımx→0−

sen x

x= lım

t→0+sen−t

−t= lım

t→0+−sen t

−t= lım

t→0+sen t

t= 1

�

EJEMPLO 1.9:

Determine lımx→2+

[[x]] y lımx→2−

[[x]].

Solución : Haciendo un gráfica de [[x]] al rededor del punto x = 2 nos damos cuentaque

lımx→2+

[[x]] = 2 y lımx→2−

[[x]] = 1

�

En este ejemplo podemos ver que los límites laterales no siempre son iguales, estomotiva el siguiente resultado.

Teorema 1:Diremos que el límite de una función existe si y sólo si los límites por laderecha y por la izquierda existen y son iguales.

1.2 Idea intuitiva 11

Al decir que existen nos referimos a que los valores límites son número reales.

EJEMPLO 1.10:

Determine lımx→0

sen x

x.

Solución : Como lımx→0+

sen x

x= 1 y lım

x→0−sen x

x= 1, entonces

lımx→0

sen x

x= 1

�

EJEMPLO 1.11:

Demostrar que lımx→0

|x|x

no existe.

Solución : Hallemos los límites laterales:Límite por la derecha, cuando x se acerca por la derecha a cero, tenemos que x > 0entonces |x| = x, luego

lımx→0+

|x|x

= lımx→0+

x

x= lım

x→0+1 = 1

Análogamente por la izquierda, cuando x se acerca por la izquierda a cero, tenemosque x < 0 entonces |x| = −x, luego

lımx→0−

|x|x

= lımx→0−

−x

x= lım

x→0+−1 =−1

Luego por el teorema 3 concluimos que lımx→0

|x|x

no existe.

�

EJEMPLO 1.12:

Sea la función f (x) ={

x +1 ; x ≥ 1x ; x < 1

. Determine los límites laterales al rededor del

punto 1.Solución : Cuando x se acerca por la izquierda a 1 tenemos que f (x) = x, luego

lımx→1−

x = 1 .

Análogamente, cuando x se acerca por la derecha a 1 tenemos que f (x) = x +1, luego

lımx→x+ x +1 = 2 .

�

EJERCICIOS


En los problemas del 1 al 12 determi-ne el límite.

1. lımx→2

x2 −4

x −2.

2. lımt→−7

t 2 +4t −21

t +7.

3. lımx→−1

x3 −4x2 +x +6

x +1.

4. lımx→0

x4 +2x3 −x2

x2.

5. lımt→−x

x2 − t 2

x + t.

6. lımx→3

x2 −9

x −3.

7. lımt→2

√(t +4)(t −2)4

(3t −6)2.

8. lımt→7+

√(t −7)3

t −7.

9. lımx→3

x4 −18x2 +81

(x −3)2.

10. lımu→1

(3u +4)(2u −2)3

(u −1)2.

11. lımh→0

(2+h)2 −4

h.

12. lımh→0

(x +h)2 −x2

h.

13. Bosqueje la gráfica de

f (x) =

−x si x < 0x si 0 ≤ x ≤ 1

1+x si x ≥ 1

Luego determine cada uno de los si-guientes o establezca que no existen.

(a) lımx→0

f (x)

(b) lımx→1

f (x)

(c) f (1)

(d) lımx→1+

f (x)

14. Bosqueje la grafica de f (x) = x − [[x]];luego encuentre cada uno de los si-guientes o establezca que no existen.

(a) f (0)

(b) lımx→0

f (x)

(c) lımx→0−

f (x)

(d) lımx→1/2

f (x)

15. Determine lımx→1

(x2 −1)

|x −1| o establezca

que no existe.

16. Determine lımx→0

(p

x +2−p2)

x.

17. Determine cada uno de los siguienteslímites o establezca que no existen.

(a) lımx→1

|x −1|x −1

(b) lımx→1−

|x −1|x −1

(c) lımx→1−

x2 −|x −1|−1

|x −1|(d) lım

x→1−

[1

x −1− 1

|x −1|]


(a) lımx→1+

px − [[x]]

(b) lımx→0+

[[1

x]]

(c) lımx→0+

x(−1)[[1/x]]

(d) lımx→0+

[[x]](−1)[[1/x]]


1.3 Valor absoluto 13

(a) lımx→0+

x[[1

x]]

(b) lımx→0+

x2[[1

x]]

(c) lımx→3−

([[x]]+ [[−x]])

(d) lımx→3+

([[x]]+ [[−x]])


(a) lımx→3

[[x]]

x

(b) lımx→0+

[[x]]

x

(c) lımx→1,8

[[x]]

(d) lımx→1,8

[[x]]

x

1.3. Valor absoluto

La interpretación geométrica de valor absoluto es la noción de distancia entre dospuntos de la línea recta.

EJEMPLO 1.13:

Sea ε (épsilo) una número positivo. Demuestre que

|x −2| < ε

5⇔ |5x −10| < ε .

En términos de distancia, esto dice que la distancia entre x y 2 es menor queε

5, si y

solo si la distancia entre 5x y 10 es menor que ε.Solución :

|x −2| < ε

5⇔ 5|x −2| < ε⇔|5||(x −2)| < ε⇔|5(x −2)| < ε⇔|5x −10| < ε

�

Ejercicios: En los siguientes problemas muestre que la implicación indicada es ver-dadera.

a. |x −3| < 0,5 ⇒|5x −15| < 2,5

b. |x −2| < 0,3 ⇒|4x +8| < 1,2

c. |x −2| < ε

6⇒|6x −12| < ε

d. |x +4| < ε

2⇒|2x +8| < ε


EJEMPLO 1.14:

Sea ε un número positivo. Encuentre un número positivo δ tal que

|x −3| < δ ⇒ |6x −18| < ε

Solución :

|6x −18|ε⇔|6(x −3)| < ε⇔ 6|x −3| < ε⇔|x −3| < ε

6

Por lo tato, elegimos δ= ε

6. Verificando que cumple lo pedido:

|x −3| < δ⇒|x −3| < ε

6⇒|6x −18| < ε

�

Ejercicios: En los siguiente problemas determine δ (dependiendo de ε) de modoque la implicación dada se verdadera.

a. |x −5| < δ⇒|3x −15| < εb. |x −2| < δ⇒|4x −8| < εc. |x +6| < δ⇒|6x +36| < εd. |x +5|δ⇒|5x +25| < ε

1.4. Definición formal de límite

El símbolo R+ representa los números reales positivos, además usaremos las si-guientes notaciones, sean ε ∈R+ y c ∈R,

I (c,ε) =]c −ε,c +ε[ (intervalo abierto)

I ′(c,ε) =]c −ε,c +ε[\{c} (intervalo reducido abierto)

Esto I (c,ε) se lee, intervalo abierto de centro c y radio ε. I ′(c,ε) se lee, intervalo reduci-do abierto de centro c y radio ε.

Definición 4: Punto de acumulación

Sea A ⊂ R, diremos que un punto c ∈ R es punto de acumulación de Acuando se cumple que

∀ε> 0, A∩ I ′(c,ε) 6= ;

1.4 Definición formal de límite 15

La notación ∀ε> 0 significa, para todo ε ∈R y positivo.En un lenguaje informal podemos decir que c ∈ R es un punto de acumulación de

A ⊂R si en todo intervalo abierto de centro c, pero sin el c, existen elementos de A.Usaremos la siguiente notación A′, que se lee A prima, para denotar el conjunto de

todos los puntos de acumulación del conjunto A.

EJEMPLO 1.15:

Muestre que 2 es un punto de acumulación del conjunto A =R\ {2}.Solución : Sea ε> 0 fijo pero arbitrario, entonces es claro que

A∩ I ′(2,ε) 6= ;

es verdadero. Como hemos elegido un ε cualquiera, entonces podemos decir que secumple ∀ε ∈R+. Por lo tanto 2 es un punto de acumulación de A. �

Sea X ⊂ R y el conjunto X ′, siempre se cumple que X ⊂ X ′, es decir el conjunto depuntos de acumulación siempre es mayor que el conjunto

A continuación daremos la definición formal de límite.Sea f : X → R una función con valores reales, definida en un subconjunto X ⊂ R.

(Se dice en este caso que f es una función real de una variable real).

Definición 5: Definición formal de límite

Sea f : X → R una función y c un punto de acumulación de X diremosque L ∈R es el límite de f cuando x tiende a c y escribiremos

lımx→c

f (x) = L

si y solo si

∀ε> 0,∃δ> 0; x ∈ X ∩ I ′(c,δ) ⇒ f (x) ∈ I (L,ε)

EJEMPLO 1.16:


x = 2 �

EJEMPLO 1.17:


(3x −7) = 5 �

EJEMPLO 1.18:


2x2 −3x −2

x −2= 5 �

EJEMPLO 1.19:

Sea 0 6= m ∈R y c ∈R , demuestre que lımx→c

(mx +b) = mc +b �


EJEMPLO 1.20:

Si c > 0 demuestre que lımx→c

px =p

c �

Teorema 2: Teorema del emparedado (Sandwich)

Sean f , g y h funciones que satisfacen f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) para toda xcercana a c, excepto posiblemente en c. Si lım

x→cf (x) = lım

x→ch(x) = L, en-

tonces lımx→c

g (x) = L.

EJEMPLO 1.21:

Determine lımx→0

(x sen

1

x

).

Solución : Como

∣∣∣∣sen1

x

∣∣∣∣≤ 1, luego

∣∣∣∣x sen1

x

∣∣∣∣= |x|∣∣∣∣sen

1

x

∣∣∣∣≤ |x|

esto es válido para todo x 6= 0. Por tanto

0 ≤∣∣∣∣x sen

1

x

∣∣∣∣≤ |x|

como lımx→0

|x| = 0 y aplicando el teorema del emparedado tenemos que

lımx→0

(x sen

1

x

)= 0

�

1.5. Álgebra de límites

Teorema 3: Teorema prinicipal de los límites

Sean n un entero positivo, k ∈ R una constante y f y g funciones quetengan límites en c. Entonces

1. lımx→c

k = k.

2. lımx→c

x = c.

3. lımx→c

k f (x) = k lımx→c

f (x).

4. lımx→c

[ f (x)± g (x)] = lımx→c

f (x)± lımx→c

g (x).

1.5 Álgebra de límites 17

5. lımx→c

[ f (x) · g (x)] = lımx→c

f (x) · lımx→c

g (x).

6. lımx→c

f (x)

g (x)=

lımx→c

f (x)

lımx→c

g (x), siempre que lım

x→cg (x) 6= 0.

7. lımx→c

[ f (x)]n =[

lımx→c

f (x)]n

.

8. lımx→c

n√

f (x) = n

√lımx→c

f (x), siempre que lımx→c

f (x) ≥ 0 cuando n seapar.

9. Si existen los límites finitos lımx→c

f (x) = A y lımx→c

g (x) = B entonces

lımx→c

f (x)g (x) = AB .

EJEMPLO 1.22:

Determine lımx→3

2x4

Solución :lımx→3

2x4 = 2 lımx→3

x4 = 2[

lımx→3

x]4 = 2[3]4 = 162

�

EJEMPLO 1.23:

Determine lımx→3

x2 −9

x2 −3x.

Solución : Aquí cuando x → 3 el numerador y el denominador se hacen cero, esto se

suele llamar una indeterminación de la forma0

0.

lımx→3

x2 −9

x2 −3x= lım

x→3

(x −3)(x +3)

x(x −3)= lım

x→3

(x +3)

x=

lımx→3

(x +3)

lımx→3

x= 2

�

EJEMPLO 1.24:

Determine lımx→1

x3 −x2 −x +1

x3 +x2 −x −1.

Solución : Aquí también hay la indeterminación0

0.

lımx→1

x3 −x2 −x +1

x3 +x2 −x −1= lım

x→1

x2(x −1)− (x −1)

x2(x +1)− (x +1)=

= lımx→1

(x −1)(x2 −1)

(x +1)(x2 −1)= lım

x→1

x −1

x +1=

lımx→1

(x −1)

lımx→1

(x +1)= 0

2= 0


�

EJEMPLO 1.25:

Determine lımx→0

px +4−2

x.

Solución : Multiplicamos el numerador y el denominador porp

x +4+2, luego

lımx→0

(p

x +4−2)(p

x +4+2)

x(p

x +4+2)= lım

x→0

x +4−4

x(p

x +4+2)=

= lımx→0

1px +4+2

=lımx→0

1

lımx→0

(p

x +4+2)= 1

4.

�

EJEMPLO 1.26:

Determine lımx→0

5√

(1+x)3 −1

x.

Solución : Haciendo 1+x = y5, entonces

lımx→0

5√

(1+x)3 −1

x= lım

x→1

y3 −1

y5 −1=

= y2 + y +1

y4 + y3 + y2 +1= 3

5

�

EJEMPLO 1.27:

Sea m ∈R\ {0}, determine lımx→0

sen(mx)

x.

Solución : Tenemos

lımx→0

sen(mx)

x= lım

x→0

m · sen(mx)

mx= m lım

x→0

sen(mx)

mx= m .

�

EJEMPLO 1.28:

Determine lımx→0

1−cos x

x.

Solución : Multiplicamos en el denominador y el numerador por 1+cos x, esto nos da

lımx→0

1−cos x

x= lım

x→0

(1−cos x)(1+cos x)

x(1+cos x)= lım

x→0

1−cos2 x

x(1+cos x)

= lımx→0

sen2 x

x(1+cos x)


=(lımx→0

sen x

x

) lımx→0

sen x

lımx→0

(1+cos x)= 1 · 0

2= 0

�

EJEMPLO 1.29:

Determine lımx→0

sen4x

tan x.

Solución : Tenemos que

lımx→0

sen4x

tan x= lım

x→0

4sen4x

4xsen x

x cos x

=4 lım

x→0

sen4x

4x(lımx→0

sen x

x

)(lımx→0

1

cos x

) = 4

1 ·1= 4

�

EJEMPLO 1.30:

Determine lımx→0

cos2 x −cos2x

x2.

Solución :

lımx→0

cos2 x −cos2x

x2= lım

x→0

sen2 x

x2=

(sen x

x

)2= 1

�

EJEMPLO 1.31:

Determine lımx→0

1−cos5x

x2

Solución : Recuerde que sen2(α

2

)= 1−cosα

2�

EJEMPLO 1.32:

Determine lımx→∞

1

x.

Solución :

lımx→∞

1

x= 0

�

EJEMPLO 1.33:


x3 +2x2 +3x +4

4x3 +3x2 +2x +1.

Solución : Es una indeterminación de la forma∞∞ . Dividimos por x3 el denominador


y numerador

lımx→∞

x3 +2x2 +3x +4

4x3 +3x2 +2x +1= lım

x→∞

1+ 2

x+ 3

x2+ 4

x3

4+ 3

x+ 2

x2+ 1

x3

= 1

4

�

EJEMPLO 1.34:


3x4 −2px8 +3x +4

.

Solución : Dividimos por x4

lımx→∞

3x4 −2px8 +3x +4

= lımx→∞

3− 2

x4√1+ 3

x7+ 4

x8

= 3

1= 3

�

EJEMPLO 1.35:


(px2 +8x +3−p

x2 +4x +3).

Solución : Aquí tenemos la indeterminación de la forma ∞−∞. Multiplicamos y di-vidimos la expresión dada por

px2 +8x +3+p

x2 +4x +3

lımx→∞

(√x2 +8x +3−

√x2 +4x +3

)= lım

x→∞

(px2 +8x +3−p

x2 +4x +3)(p

x2 +8x +3+px2 +4x +3

)(p

x2 +8x +3+px2 +4x +3

)= lım

x→∞x2 +8x +3−x2 −4x −3(px2 +8x +3+p

x2 +4x +3)

= lımx→∞

4x(px2 +8x +3+p

x2 +4x +3)

= lımx→∞

4(√1+ 8

x+ 3

x2+

√1+ 4

x+ 3

x2

) = 4

2= 2

�

EJEMPLO 1.36:

Determine lımx→0

p1+x −1

3p

1+x −1.


Solución : Haciendo 1+x = t 6, tenemos

lımx→0

p1+x −1

3p

1+x −1= lım

t→1

y3 −1

y2 −1= lım

t→1

y2 + y +1

y +1= 3

2

�

EJEMPLO 1.37:

Determine lımx→0

(sen(2x)

x

)1+x

.

Solución : Como

lımx→0

(sen(2x)

x

)= 2 y lım

x→0(x +1) = 1

entonces tenemos que

lımx→0

(sen(2x)

x

)1+x

= 21 = 2

�

EJEMPLO 1.38:

Si lımx→0

(1+x)1/x = e. Determine lımx→0

(1+ x

2

)1/xen función de e.

Solución : Haciendox

2= t entonces

1

x= 1

2t, luego

lımx→0

(1+ x

2

)1/x= lım

t→0(1+ t )1/(2t ) = lım

t→0

((1+ t )1/t)1/2 =

(lımt→0

(1+ t )1/t)1/2 =p

e

�

Teorema 4: Composición de límites

Sean X ,Y ⊂ R, f : X → R, g : Y → R con f (X ) ⊂ Y . Sean a un punto deacumulación de X además b es punto de acumulación de Y y pertenecea Y . Si lım

x→af (x) = b y lım

t→bg (t ) = c entonces lım

x→ag ( f (x)) = c, siempre que

c = g (b).

EJEMPLO 1.39:

Determine lımx→0

ln(1+x)

x.

Solución : Tenemos

lımx→0

ln(1+x)

x= lım

x→0

(ln(1+x)1/x)= ln

[lımx→0

(1+x)1/x]= lne = 1 .

Observe que g (t ) = ln t y f (x) = (1+x)1/x

�


EJEMPLO 1.40:

Sea la función f (x) = x2 y g (t ) = f (x + t )− f (x)

t, determine lım

t→og (t )

Solución :

lımt→0

(x + t )2 −x2

t= lım

t→0

(x + t −x)(x + t +x)

t= lım

t→0

t (2x + t )

t= 2x

�

EJEMPLO 1.41:

Sea f : I →R dos veces derivable en el punto a interior al intervalo I . �

1.6. Recta tangente a una curva

EJEMPLO 1.42:

Hallar la pendiente de la recta tangente a la función f (x) = x2 en el punto x = 1Solución : �

Derivada

CAPÍTULO 2

2.1. Motivación

La derivada nace del afán por resolver dos problemas importantes dentro de la his-toria matemática

El problema de la tangente a una curva.

El problema de hallar máximos y mínimos de una función

Definición 1: Definición geométrica de la derivada

Sea f : X →R una función continua. La derivada de la función f respec-to de la variable x ∈ X y evaluada en el punto a ∈ X ∩ X ′, que se denotacomo f ′(a), es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en elpunto (a, f (a)).

2.2. Definición formal

Esta definición se propone en base a la definición geométrica.

Definición 2: Derivada

Sean X ⊂ R, f : X → R y a es un punto de acumulación de X que perte-nece a X (a ∈ X ∩X ′).Diremos que f es derivable en el punto a cuando exista el límite

f ′(a) = lımx→a

f (x)− f (a)

x −a= L = lım

∆x→0

∆ f

∆x= d f (a)

d x

donde L ∈R.

Donde ∆ f se lee variación de f y ∆x se lee variación de x. La notación f ′(a) se leederivada de la función f respecto de la variable x y evaluada en el punto a, la notación

alterna de f ′(a) esd f (a)

d x.

23

24 Capítulo 2. Derivada

Esta definición se puede escribir de otra manera haciendo t = x −a, luego el límitese convierte en

f ′(a) = lımt→0

f (a + t )− f (a)

t

o de manera general para un x ∈ X ∩X ′ cualquiera tenemos

f ′(x) = lımt→0

f (x + t )− f (x)

t= d f

d x

EJEMPLO 2.1:

Sea f (x) = k, donde k ∈R es una constante real. Determine f ′(x).Solución : �

EJEMPLO 2.2:

Sea f (x) = x, la función identidad. Determine f ′(x).Solución : �

Antes de realizar el siguiente ejemplo recordemos que

(a +b)n =n∑

i=0

(n

i

)an−i bi

EJEMPLO 2.3:

Sea f (x) = xn, donde n es un entero positivo. Determine f ′(x).Solución : �

Teorema 1: Reglas de Derivadas

Sean f , g : X →R derivables en el punto x ∈ X ∩X ′. Entonces f ±g , f ·g

yf

g(caso g (x) 6= 0) son derivable en ese mismo punto. Se tiene

( f ± g )′(x) = f ′(x)± g ′(x)

( f · g )′(x) = f ′(x) · g (x)± f (x) · g ′(x)(f

g

)′(x) = f ′(x) · g (x)− f (x) · g ′(x)

g 2(x)

Corolario 1:

Sea c ∈R entonces (c · f ′) = c · f ′. Si f (x) 6= 0 entonces

(1

f

)′(x) = − f ′(x)

f 2(x)

EJEMPLO 2.4:

Encuentre las derivadas de 5x2 +7x −6 y 4x6 −3x5 −10x2 +5x +6Solución : �

2.2 Definición formal 25

EJEMPLO 2.5:

Sean g (x) = x, h(x) = 1+2x y f (x) = g (x) ·h(x). Determine f ′(x).Solución : �

EJEMPLO 2.6:

Determine la derivada de (3x2 +5)(2x4 −x).Solución : �

EJEMPLO 2.7:

Determine la derivada de(3x −5)

x2 +7Solución : �

Una notación alterna que se utiliza para representa f ′(x) es

f ′(x) = d f

d x

donded f

d xse lee, derivada de la función f respecto de la variable x.

EJEMPLO 2.8:

Sea f (x) = 2

x4 +1+ 3

x. Determine

d f

d x.

Solución : �

EJEMPLO 2.9:

Sea f (x) = x−n donde n ∈N. Determined f

d xSolución : �

EJEMPLO 2.10:

Determine la derivada de sen x.Solución : �

EJEMPLO 2.11:

Determine la derivada de cos x.Solución : �

EJEMPLO 2.12:

Determine la derivada de 3sen x −2cos x.Solución : �

EJEMPLO 2.13:

Determine la derivada de f (x) = tan x.Solución : �


EJEMPLO 2.14:

Determine la derivada de f (x) = cot x.Solución : �

EJEMPLO 2.15:

Determine la derivada de f (x) = loga x. Que sucede cuando a = e, donde e es la cons-tante de Euler.Solución :

f ′(x) = lımt→0

loga(x + t )− loga x

t= lım

t→0

loga

(x + t

x

)t

= lımt→0

1

tloga

(1+ t

x

)= lım

t→0

1

x

x

tloga

(1+ t

x

)

= 1

xlımt→0

loga

(1+ t

x

)x

t = 1

xloga e

�

Teorema 2: Regla de la cadena.

Sean f : X → R, g : Y → R, f (X ) ⊂ Y , x ∈ X ∩ X ′, y = f (x) ∈ Y ∩Y ′. Seexisten f ′(x) y g ′(y) entonces g ◦ f : X →R e derivable en el punto x y secumple además

(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x) .

EJEMPLO 2.16:

Sea h(x) = sen(x2), determine h′(x).Solución : Denotemos g (y) = sen y y f (x) = x2 de esto (g ◦ f )(x) = h(x). Luego hacien-do y = f (x) = x2 y aplicando la regla de la cadena tenemos

h′(x) = (g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x) = cos y ·2x

pero como y = x2 finalmente tenemos que h′(x) = cos x2 ·2x, reordenando

h′(x) = 2x cos x2

�

EJEMPLO 2.17:

Sea f (x) = (ln x)3, determine f ′(x).Solución : �

EJEMPLO 2.18:

Sea f (x) = sen[(ln x)3], determine f ′(x).Solución : �


EJEMPLO 2.19:

Determine la derivada de f (x) = tanp

x.Solución : �

EJEMPLO 2.20:

Determine la derivada de f (x) = ln |x|.Solución : Si x > 0 entonces f ′(x) = 1

x.

Si x < 0 entonces f (x) = ln(−x), luego

f ′(x) = 1

−x(−x)′ = 1

−x(−1) = 1

x

�

EJEMPLO 2.21:

Determine la derivada de f (x) = ax , donde a > 0.Solución : Aplicando logaritmo neperiano tenemos

ln( f (x)) = ln(ax)

ln( f (x)) = x ln a

Derivando en ambos miembros

1

f (x)f ′(x) = ln a

f ′(x) = f (x) ln a

f ′(x) = ax ln a

�

EJEMPLO 2.22:

Determine la derivada de f (x) = ex2.

Solución : �

EJEMPLO 2.23:

Sean u, v e y funciones de variable x, y = uv . Determine y ′ en función de u y v y susderivadas.Solución : Tomemos logaritmos de la función y :

ln y = v lnu

Derivando respecto a x en la igualdad obtenida, tenemos:

1

yy ′ = v ′ lnu + v

1

uu′


de donde

y ′ = y

(v ′ lnu + v

u′

u

).

Introduciendo la expresión y = uv , obtenemos:

y ′ = uv v ′ lnu + vuv−1u′ .

�

EJEMPLO 2.24:

Determine la derivada de f (x) = xx .Solución : �

EJEMPLO 2.25:

Determine la derivada de f (x) = (sen x)x2.

Solución : �

EJEMPLO 2.26:

Determine la derivada de la función f (x) = (x +1)2p

x −1

(x +4)3ex .

Solución : Tomando logaritmos, encontramos:

ln f (x) = 2ln(x +1)+ 1

2ln(x −1)−3ln(x +4)−x .

Derivemos ambos miembros de la igualdad:

f ′(x)

f (x)= 2

x +1+ 1

2(x −1)− 3

x +4−1 .

Multiplicando por f (x) y reemplazando el valor de f (x), obtenemos

f ′(x) = (x +1)2p

x −1

(x +4)3ex

[2

x +1+ 1

2(x −1)− 3

x +4−1

].

�

Corolario 2: Derivada de una función inversa

Sea f : X → Y ⊂R una función que posee inversa g = f −1 : Y → X ⊂R. Sif es derivable en el punto x ∈ X ∩X ′ y g es continua en el punto y = f (x)entonces g es derivable en el punto y si y solamente si, f ′(x) 6= 0. En casoafirmativo tenemos que

g ′(y) = 1

f ′(x)

Note en el teorema que desde el momento que f tiene inversa significa que esta esuna biyección.


EJEMPLO 2.27:

Determine la derivada de g (y) = arcsen y .Solución : Tenemos que f (x) = sen x es la inversa de g , es decir g = f −1. Luego hacien-do y = f (x) = sen x, teniendo en cuenta que trabajamos con los x’s tales que f ′(x) 6= 0,entonces podemos escribir

(arcsen y)′ = 1

(sen x)′= 1

cos x= 1p

1− sen2 x

pero no olvidemos que y = sen x, entonces

(arcsen y)′ = 1√1− y2

esto es válido siempre que y 6= 1. �

EJEMPLO 2.28:

Determine la derivada de g (y) = arccos y .Solución : �

EJEMPLO 2.29:

Determine la derivada de g (y) = arctan y .Solución : Tenemos que f (x) = tan x es la inversa de g , es decir g = f −1. Luego hacien-do y = f (x) = tan x, teniendo en cuenta que trabajamos con los x’s tales que f ′(x) 6= 0,entonces podemos escribir

(arctan y)′ = 1

(tan x)′= 1

1

cos2 x

= 1

cos2 x + sen2 x

cos2 x

= 1

1+ tan2 x

pero no olvidemos que y = tan x, entonces

(arctan y)′ = 1

1+ y2

�

EJEMPLO 2.30:

Determine la derivada de g (y) = arcsec y .Solución : �

EJEMPLO 2.31:

Determine la derivada de g (y) = arccsc y .Solución : �


EJEMPLO 2.32:

Sea f : I →R una función definida en un intervalo en el cual a es un punto interior. Sif es derivable en el punto a entonces demuestre que

lımt→0

f (a + t )− f (a − t )

2t= f ′(a)

Solución : En el límite sumamos y restamos f (a) y ordenamos convenientemente,con lo que tenemos

lımt→0

f (a + t )− f (a − t )

2t= 1

2

[lımt→0

f (a + t )− f (a)− ( f (a − t )− f (a))

t

]= 1

2

[lımt→0

f (a + t )− f (a)

t− lım

t→0

f (a − t )− f (a)

t

]haciendo el cambio de variable a − t = a +h, entonces t =−h, luego cuando t tiendea cero h también tiende a cero, reemplazando t =−h en el segundo límite tenemos

= 1

2

[lımt→0

f (a + t )− f (a)

t− lım

h→0

f (a +h)− f (a)

−h

]= 1

2

[lımt→0

f (a + t )− f (a)

t+ lım

h→0

f (a +h)− f (a)

h

]ahora aplicando la definición formal de derivada finalmente tenemos

lımt→0

f (a + t )− f (a − t )

2t= 1

2

[f ′(a)+ f ′(a)

]= f ′(a).

�

EJEMPLO 2.33:

Sea f : I →R dos veces derivable en el punto a interior al intervalo I . Demuestre que

f ′′(a) = lımh→0

f (a +2h)−2 f (a +h)+ f (a)

h2

Solución : De la definición formal de derivada tenemos

f ′(a) = lımt→0

f (a + t )− f (a)

t(∗)

luego la segunda derivada sería

f ′′(a) = (f ′(a)

)′ = lımh→0

f ′(a +h)− f ′(a)

h(∗∗)

además notemos que f ′(a +h) = lımt→0

f (a +h + t )− f (a + t )

t, luego reemplazando esto


y (∗) en (∗∗) tenemos

f ′′(a) = lımh→0

lımt→0

f (a +h + t )− f (a + t )

t− lım

t→0

f (a + t )− f (a)

th

usando álgebra de límites tenemos

f ′′(a) = lımh→0

lımt→0

f (a +h + t )− f (a + t )− f (a + t )+ f (a)

th

= lımh→0

lımt→0

f (a +h + t )− f (a + t )− f (a + t )+ f (a)

t ·h

como h y t tienden a cero, es decir tienen el mismo punto límite, entonces podemosreemplazar t = h y poner un solo límite con lo que finalmente tenemos

f ′′(a) = lımh→0

f (a +h +h)− f (a +h)− f (a +h)+ f (a)

h ·h

f ′′(a) = lımh→0

f (a +2h)−2 f (a +h)+ f (a)

h2

�


Integral

CAPÍTULO 3

3.1. Integral indefinida

Definición 1: Primitiva o antiderivada

Se dice que una función F es una antiderivada de una función f sobrealgún intervalo I si

F ′(x) = f (x) ∀x ∈ I .

EJEMPLO 3.1:

Determine la antiderivada de f (x) = cos x.Solución : La antiderivada de f (x) es F (x) = sen x, ya que F ′(x) = cos x. �

Note que en el ejemplo anterior también F1(x) = sen x +π y F2(x) = sen x +3π tam-bién son antiderivadas de f (x).

El siguiente teorema nos dice que cualquier antiderivada de f debe ser de la formaG(x) = F (x)+C ; es decir, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir a lomás en una constnate. Por lo tanto, F (x)+C es la antiderivada general de f (x).

Teorema 1: Las antiderivadas difieren en una constante

Si G ′(X ) = F ′(x) para todo x en algún intervalo [a,b], entonces

G(x) = F (x)+C

para todo x en el intervalo.

Teniendo en cuenta este teorema podemos dar la siguiente definición.

Definición 2: Integral indefinida

Sean f (x) y F (x) funciones tal que f (x) = F ′(x). Entonces∫f (x) d x = F (x)+C

donde C ∈R es una constante.

Donde∫

f (x) d x se lee, integral de f (x) respecto de la variable x. Además a C se le

33

34 Capítulo 3. Integral

llama constante de integración. También note que F (x)+C es la antiderivada generalde f (x).

A continuación damos una tabla con las principales integrales.

Fórmulas de diferenciación Fórmulas de integración

1.d

d xx = 1

∫d x = x +C

2.d

d x

xn+1

n +1= xn (n 6= −1)

∫xn d x = xn+1

n +1+C

3.1 Integral indefinida 35

3.d

d xln |x| = 1

x

∫1

xd x = ln |x|+C

4.d

d xsen x = cos x

∫cos x d x = sen x +C

5.d

d xcos x =−sen x

∫sen x d x =−cos x +C

6.d

d xtan x = sec2 x

∫sec2 x d x = tan x +C

7.d

d xcot x =−csc2 x

∫csc2 x d x =−cot x +C

8.d

d xsec x = sec x tan x

∫sec x tan x d x = sec x +C

9.d

d xcsc x =−csc x cot x

∫csc x cot x d x =−csc x +C

10.d

d xarcsen x = 1p

1−x2

∫1p

1−x2d x = arcsen x +C

11.d

d xarctan x = 1

1+x2

∫1

1+x2d x = arctan x +C

12.d

d xarcsec x = 1

|x|px2 −1

∫1

xp

x2 −1d x = arcsec |x|+C

13.d

d xbx = bx(lnb)

∫bx d x = bx

lnb+C

14.d

d xex = ex

∫ex d x = ex +C

15.d

d xsenh x = cosh x

∫cosh x d x = senh x +C

16.d

d xcosh x = senh x

∫senh x d x = cosh x +C


EJEMPLO 3.2:

Evalúe∫

1

a +xd x y

∫1

a −xd x, donde a ∈R.

Solución : �

EJEMPLO 3.3:

Hallar las siguientes integrales∫1

x5d x y

∫ px d x

Solución : Teniendo presente la tabla∫1

x5d x =

∫x−5 d x = x−5+1

−5+1+C =−x−4

4+C

Análogamente ∫ px d x =

∫x1/2 d x = x1/2+1

1

2+1

+C = 2

3x3/2 +C

�

Teorema 2: Propiedades de la integral indefinida

Sea F ′(x) = f (x) y G ′(x) = g (x). Entonces

a)∫

k f (x) d x = k∫

f (x) d x = kF (x)+C , donde k es cualquier cons-

tante,

b)∫ [

f (x)± g (x)]

d x =∫

f (x) d x ±∫

g (x) d x = F (x)±G(x)+C .

EJEMPLO 3.4:

Determine las siguientes integrales∫(3x2 +4x) d x

∫(x3/2 −3x +14) d x

∫ (1

x2+p

x

)d x

Solución : �

En las siguientes integrales hay que hacer cambio de variable

EJEMPLO 3.5:

Evalúe ∫(x4 +3x)30(4x3 +3) d x

∫sen10 x cos x d x

Solución : �

Después de estos ejemplos podemos enunciar el siguiente teorema

3.1 Integral indefinida 37

Teorema 3: Regla generalizada de la potencia

Sean g una función drivable y r un número racional diferente de −1.Entonces ∫ [

g (x)]r

g ′(x) d x =[g (x)

]r+1

r +1+C

EJEMPLO 3.6:

Evalúe ∫(x3 +6x)5(6x2 +12) d x

∫(x2 +4)10x d x

Solución : �

EJEMPLO 3.7:

Calcule la integral∫

1

a2 +x2d x donde a ∈R

Solución : �

EJEMPLO 3.8:

Evalúe∫

1

a2 −x2d x, donde a ∈R.

Solución : Note que1

a2 −x2= 1

2a

(1

a +x+ 1

a −x

)�

EJEMPLO 3.9:

Calcule∫

1

x2 −x4d x.

Solución : ∫1

x2 −x4d x =

∫1

x2(1−x2)d x =

∫ (1

x2+ 1

1−x2

)d x

=∫

1

x2+

∫1

1−x2d x d x =−1

x+ 1

2ln

∣∣∣∣1+x

1−x

∣∣∣∣+C

�

Veamos integrales de la forma∫

1

ax2 +bx + cd x, la idea para resolver este tipo de

integrales es llevarlas a la forma de∫

1

x2 ± c2d x

EJEMPLO 3.10:

Calcular la integral∫

1

2x2 +8x +20d x.

Solución : Completando cuadrados

I =∫

1

2x2 +8x +20d x = 1

2

∫1

x2 +4x +10d x = 1

2

∫1

x2 +4x +4+10−4d x


= 1

2

∫1

(x +2)2 +6d x

Hacemos el cambio de variable x+2 = t , d x = d t , luego reemplazando en la expresiónanterior tenemos

I = 1

2

∫1

t 2 +6d t = 1

2

1p6

arctantp6+C

pero como t = x +2 tenemos finalmente que

I = 1

2p

6arctan

x +2p6

+C

�

EJEMPLO 3.11:

Calcular la integral∫

xp1+x2/3

d x

Sugerencia: Hacer el cambio de variablep

1+x2/3 = tSolución : �

3.2. Integral definida

Definición 3: Integral definida

Si f es continua en todos los puntos de [a,b] y F es cualquier antideri-vada de f entonces

b∫a

f (x) d x = F (b)−F (a)

Teorema 4: Cambio de variables en integrales definidas

Si g ′ es continua en el intervalo [a,b] y si f es continua en el rango de g ,entonces

b∫a

f (g (x)) · g ′(x) d x =g (b)∫

g (a)

f (u) du

donde u = g (x) y du = g ′(x)d x

Teorema 5:Sea f continua en un intervalo simétrico [−a, a] con 0 < a ∈R.

3.3 Aplicaciones de la integral 39

(a) Si f es par,

a∫−a

f (x) d x = 2

a∫0

f (x) d x.

(b) Si f es impar,

a∫−a

f (x) d x = 0.

3.3. Aplicaciones de la integral

Definición 4: Área bajo una curva

Si f es una función continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y f (x) ≥ 0para toda x en el intervalo, entonces el área A bajo la gráfica sobre [a,b]es

A =b∫

a

f (x) d x .

EJEMPLO 3.12:

contenidos... �

Definición 5: Área entre curvas

Si f y g son continuas y f (x) ≥ g (x) en todo [a,b], el área de la regiónentre las curvas f y g de a hasta b es la integral

Área =b∫

a

[ f (x)− g (x)] d x .

EJEMPLO 3.13:

contenidos... �

Education

Introductorio