Ktdd fg

KISMI DIFERANSIYELDENKLEMLER

DERS NOTLARI

Faruk Gungor

Dogus Universitesi

Matematik Bolumu

Icindekiler

1 Giris 31.1 Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Birinci Mertebe denklemler 112.1 Lineer denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Yuksek Boyutlu Lineer Denklemler . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Yontemi . . 29

1

2 Icindekiler

Bolum 1

Giris

1.1 Genel Bilgiler

u = u(x), x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn degiskenlerinin skaler bir fonksi-yonu olsun. Kısmi diferansiyel denklem (KDD), bagımsız degiskenlerin,fonksiyonun ve sonlu sayıda turevlerin

F (x, u, ux1 , . . . , uxn , ux1x1 , ux1x2 , . . .) = 0

biciminde bir bagıntıdır. Burada, F degiskenlerinin bilinen bir fonksiyo-nudur ve kısmi turevleri gostermek icin alt indis notasyonu kullanılmıstır.Ornegin,

∂u

∂x1

= ux1,∂2u

∂x21

= ux1x1 ,∂2u

∂x1x2

= ux1x2 . . .

Ozel olarak, iki degiskenli bir fonksiyon icin n = 2 ve (x, y) ∈ R2 dirve kısmi diferansiyel denklem su bicimde yazılabilir:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, uxxx, uxxy, . . . ) = 0.

Denklemin en yuksek kısmi turevinin mertebesine denklemin mer-tebesi denir. Eger F fonksiyonu u degiskenine ve bunun butun kısmiturevlerine gore lineer ise denkleme lineerdir denir. F en yuksek mer-tebeden turevlere gore lineer, ancak katsayıları bagımsız degiskenlerin,u’nun ve dusuk mertebe turevlerin fonksiyonları iseler, denklem ”kuazi-lineer” olarak adlandırılır. Butun turevlere gore lineer, katsayıları yal-nızca bagımsız degiskenlere baglı olan bir denkleme de yarı lineer denir.

3

4 Bolum 1. Giris

F ’nin en yuksek turevlerinden en az birisi lineer degilse, o zaman denk-leme ”lineer olmayan” denklem diyecegiz. Lineer bir denklem icinu = 0 sıfır cozumu bir cozum ise, buna ”homojen” denklem, degilse”homojen olmayan” denklemdir denir. Homojen denklemin cozumubir sabitle carpıldıgında yine cozum olur.

Iki degiskenli en genel 2. mertebe homojen lineer bir KDD

a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f(x, y)u = g(x, y)

biciminde yazılabilir. g = 0 ise denklem homojen olur. a = b = c = 0 ise1. mertebe genel lineer denklemi elde ederiz. Sonraki bolumlerde lineerdenklemleri incelerken operator yaklasımını kullanacagız. Bunun icin

∂x =∂

∂x, ∂y =

∂

∂y, ∂2

x =∂2

∂x2, ∂x∂y =

∂2

∂x∂y, ∂2

y =∂2

∂y2

kısmi turev operatorlerini tanımlayarak kısmi turevleri bunlarla ifadeedecegiz:

ux = ∂xu, uy = ∂yu, uxx = ∂2xu, uxy = ∂x∂yu, uyy = ∂2

yu.

Genel lineer denklemi bir L operatoru ile

Lu = (a∂2x + b∂x∂y + c∂2

y + d∂x + e∂y + f)u = g

biciminde ifade edebiliriz. Yuksek mertebeden lineer denklemler de ben-zer bicimde ifade edilebilir.

Iki degiskenli bir u fonksiyonu icin 2. mertebe genel kısmi denklemlerioperator sembolu ile ifade edelim:

F (x, y, u, ∂xu, ∂yu, ∂2x, ∂x∂yu, ∂2

yu) = 0.

Ornek 1.

2ux + 3uy = xy, birinci mertebe lineer homojen olmayan

ux + 2uy = u2, birinci mertebe kuazilineer

ux2 + uy

2 = f(x, y), birinci mertebe lineer olmayan

uxx + uyy = 0, ikinci mertebe lineer homojen

ut − uxx = xt, ikinci mertebe lineer homojen olmayan

uxxuyy − u2xy = f(x, y), ikinci mertebe lineer olmayan

1.1. Genel Bilgiler 5

Tanım 1. u’nun bagımsız degiskenlerinin bir D ⊂ Rn altkumesine kısıt-landıgını varsayalım, yani u : D → R olsun. m. mertebe bir kısmi di-feransiyel denklemin D bolgesi uzerindeki bir cozumu, diferansiyel denk-lemi D’nin butun ic noktalarında saglayan Cm sınıfından (m. turevlerivar ve surekli) bir fonksiyondur.

u = u(x, y, z) icin uxy = 0 denkelmini dusunelim. Denklemi bir kez y-degiskenine gore integre edildiginde integrasyon sabiti diger degiskenlerebaglı olacaktır, yani ux = F (x, z). x’e gore diger bir integrasyon ile u =f(x, z) + g(y, z) cozumunu buluruz. Burada f , F ’nin ters turevini (in-tegralini) gostermektedir. Bagımsız iki keyfi fonksiyona baglı bu cozumgenel cozumdur. Sıradan denklemlerin tersine, genel cozum keyfi sabitleryerine keyfi fonksiyonlar icerir. Genel olarak, n bagımsız degiskenli m.mertebe bir denklemin genel cozumu, n−1 degiskenli m tane fonksiyonlaifade edilir. Fakat bunun herzaman boyle olması gerekmez. Ornegin,u ∈ C1 fonksiyonu u2

x + u2y = 0 denklemini saglayan bir fonksiyon

ux = 0, uy = 0 olmasını gerektirir. Birinciden elde edilen u = A(y),ikincide yazılırsa A′(y) = 0 cıkar. u(x, y) = c = sabit olmalıdır. Yani,genel cozum keyfi fonksiyon icermez.

Buna ragmen, KDD icin asagıdaki ”genel cozum” tanımını benim-seyecegız.

Tanım 2. m. mertebe bir KDD’in genel cozumu m tane Cm sınıfındankeyfi fonksiyon iceren bir cozumdur ve bu fonksiyonların hic biri genelcozumu kaybetmeden yok edilemez veya birlestirilemez. Diger bir deyisle,keyfi fonksiyonların sayısını bunlardan birini yeni iki keyfi fonksiyonunherhangi bir birlesimi olarak degistirerek artıramayız.

Ornek 2.yux − 2yuy + u = 0

lineer denklemini dusunelim. Keyfi bir f ∈ C1 fonksiyonu icin cozumunu =

√yf(2x + y) oldugunu gosterin.

Cozum. Zincir kuralı ile ux = 2y1/2f ′ ve uy = 1/2y−1/2f + y−1/2f ′

turevleri hesaplanırsa

yux − 2yuy = −y1/2f = −u

oldugu gorulur. Bu cozumun genel cozum oldugu 2. bolumun sonuclarıkullanılarak gosterilebilir.

6 Bolum 1. Giris

Tersine, keyfi bir fonksiyona baglı verilen bir fonksiyonu genel cozumkabul eden KDD’i turetme ve yok etme yoluyla bulabilirz.

Ornek 3. u = xf(xy)+y2 fonksiyonu hangi denklemin genel cozumudur.

Cozum. Fonksiyon yalnızca bir keyfi fonksiyon icerdiginden saglanmasıgereken denklemin 1. mertebe olması beklenir.

ux = f(xy) + xyf ′(xy), uy = x2f ′(xy) + 2y

kısmi turevlerinden f ′ turevi yok edilirse

xux − yuy = xf − 2y2 = u− 3y2

lineer denklemi bulunur. Yukarıda f fonksiyonunu yok etmek icin cozumukullandık.

NOT. Ikinci bolumde, 1. mertebe degisken katsayılı yine lineer

a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = d(x, y)

denkleminin uygun bir degisken donusumu ile herzaman 1. mertebesıradan bir denkleme indirgenebilecegini gosterecegiz.

Genel cozumden keyfi fonksiyonun ozel bir secimi icin elde edilen bircozume ozel cozum denir. Uygulamlarda, dogal olarak diferansiyel denk-leme ek olarak yan kosullar (baslangıc ve sınır kosulları) eklenir. Boylekısıtlamalar altında butun cozumler ozel cozum olarak elde edilecektir.

Ornek 4. Yukarıdaki denklemin u(x, 1) = 4x2 kosulunu saglayan ozelcozumunu bulunuz.

Cozum. Kosuldan u(x, 1) = 4x2 = f(2x + 1) saglanmalıdır. Bu fonk-siyonel bagıntıdan f fonksiyonunu belirlemek icin r = 2x + 1 alıp, x’i rdegiskenine gore cozdukten sonra bu kosulda yazalım. f(r) = (r − 1)2

olmalıdır. O halde aranan ozel cozum, genel cozumde fnin bu degeriniyazarak u =

√y(2x + y − 1)2 olarak bulunur.

Genel cozumden keyfi fonksiyonu degistireek elde edilemeyen cozum-lere ”tekil cozum” denir.


Ornek 5. Lineer olmayan

u =1

2u2

x + 2xux + x2

denkleminin genel cozumunun

u = u(x, y) =1

2[(f(y))2 − x2] + xf(y), f ∈ C1

oldugunu gosteriniz. Denklemin, f(y) fonksiyonunun hic bir secimi ileelde edilemeyen bir cozumu (u = −x2) daha vardır. Bu tekil cozumdur.

Elemanter cozum yontemleri

Daha once kısmi diferansiyel denklemlerin genel cozumlerinin dogrudanintegrasyon ile nasıl cozulebildigini tartıstık. Denklemde bilinmeyen ufonksiyonu varsa bunu yapamayız. Yine de, eger KDD yalnızca bagımsızdegiskenlerinden birine gore kısmi turevleri iceriyorsa, boyle bir denklemesıradan (tek degiskenli) diferansiyel denklemler gibi bakılabilir. Integras-yon sırasında diger degiskenleri sabit tutacagımızdan integrasyon sabit-lerini, bu degiskenlerin keyfi fonksiyonları ile yerdegistirmeliyiz.

Ornek 6.uxx − y2u = xy2

denkleminin genel cozumunu bulunuz.

Cozum. KDD yalnızca x degiskenine gore tureve lineer olarak baglıoldugundan sıradan bir denklem olarak cozebiliriz. Once homojen denk-lemi cozelim. Karakteristik denklem λ2 − y2 = 0 dir. O halde homojencozum

uh = C1(y)exy + C2(y)e−xy

dir. Integrasyon sabitleri yerine y’nin keyfi fonksiyonları alınmıstır. Ozelcozumu ise up = −x dir. Genel cozum u = uh + up olarak elde edilir.

Ornek 7.uxy + 2uy = 4y

KDDnin genel cozumunu bulunuz.

8 Bolum 1. Giris

Cozum. Denklemi ∂y(ux + 2u) = 4y yazıp y’e gore integre edersek

ux + 2u = 2y2 + F (x)

sıradan denklemini elde ederiz (y sabit tutuluyor). Bu denklemi µ = e2x

carpanı ile carparak

∂x(e2xu) = e2x(2y2 + F (x))

tam denklemini ve integre ederek

u = y2 + f(x) + e−2xg(y) (1.1)

genel cozumunu buluruz. f(x) yeni bir keyfi fonksiyon (e2xF (x) fonksiyo-nunun integrali) olarak tanımlanmıstır. Bu cozumde y2 nin ozel cozume,diger iki terimin toplamının da homojen cozume karsı geldigine dikkatediniz. Ozel cozum keyfi fonksiyonların sıfır secimi ile elde edilir. Keyfifonksiyonların diger secimleri icin farklı ozel cozumler cıkarılabilir. Or-negin,

f(x) = e−2x, g(y) = y

secilirse ozel cozum

up = y2 + e−2x(y + 1)

olur. Buna karsılık genel cozum

u = y2 + e−2x(y + 1) + F (x) + e−2xG(y) (1.2)

dir. (1.1) ve (1.2) genel cozumleri gorunuste farklı oldugu halde birbirinedenk iki cozumdur.

NOT. Genel olarak

a(x, y)uxy + b(x, y)ux = c(x, y)

veya

a(x, y)uxy + b(x, y)uy = c(x, y)

denklemleri v = ux ve v = uy donusumleri ile 1. mertebe lineer denk-lemlere indirgenebilir.


Ornek 8. Sabit katsayılı

auxx + 2buxy + cuyy = 0

denkleminin katsayıları b2 − ac > 0 kosulunu saglasın. Denklemin u =F (rx + sy) biciminde genel cozumunu (keyfi F icin) arayınız.

Cozum. Onerilen cozum denklemi saglarsa, F ′′(ar2 + 2brs + cs2) = 0olmalıdır. Her F icin cozum olabilmesi icin r ve s, ar2 + 2brs + cs2 = 0denklemini saglaması gerekir. r veya s den birini sabit tutup digerinikokleri reel olan 2. derece bir denklemin iki koku olarak bulabiliriz.r = 1 icin, diger kokler s1 ve s2 ile gosterilirse genel cozum

u = f(x + s1y) + g(x + s2y)

biciminde elde edilmis olur.

NOT. Sabit katsayılı lineer denklemlerin cozumu yonteminden esinle-nerek u = erx+sy biciminde cozum aranırsa r, s sabitlerinin yine aynı2. derece denklemi saglaması gerektigini gorunuz. Bu durumda genelcozumu kaybetmis oluruz ve ozel cozumunu elde ederiz..

Alıstırmalar 2.1

1. Asagıdaki denklemleri sınıflandırınız.

a) ux + uy + sin u = 0

b) u2xx + u2

yy = 0

c) ux + euuy = y2

d) x2uxx − y2uyy − ux + uy = xy

2. Asagıdaki denklemlerin dogrudan dogruya integrasyonu ile genelcozumlerini elde ediniz.

a) uxyz = 0, u = u(x, y, z)

b) uxy = x2 − y2, u = u(x, y)

10 Bolum 1. Giris

c) uxyy = sin(x− y), u = u(x, y)

d) uyy = ex, u = u(x, y)

3. Asagıdaki denklemleri sıradan diferansiyel denklem olarak cozunuz.

a) xux − u = 1

b) uyy + 4u = 0

c) yuxy + 2ux = x

4.uxx − 3uxy + 2uyy = 0

denkleminin genel cozumunu yazınız.

5. Asagıdaki fonksiyonları cozum kabul eden KDD leri cıkarınız.

a) u = f(x2 + y2)

b) u = xkf(y/x)

c) u = f(x + y) + g(x− y)

Bolum 2

Birinci Mertebe denklemler

2.1 Lineer denklemler

a, b, c katsayıları surekli olan

a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y), u = u(x, y) (2.1)

lineer denklemini dusunelim. a = 0 veya b = 0 oldugunda bu denk-lemi sıradan bir denklem gibi integre edebilecegimizi gorduk. Simdi,a2 + b2 > 0 oldugunu varsayacagız. Bu durumda, tersi alınabilir birkoordinat donusumu ile denklemdeki turevlerden birinin katsayısını sıfıryapan bir donusum aramayı deneyelim. Koordinat donusumu ve tersi

{ξ = ξ(x, y)η = η(x, y)

{x = x(ξ, η)y = y(ξ, η)

J(x, y) =∂(ξ, η)

∂(x, y)6= 0 (2.2)

olsun. Donusmus bagımlı degiskeni

w(ξ, η) = u(x, y) ≡ u(ξ(x, y), η(x, y))

ile gosterelim. Zincir kuralı ile

ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy

turevlerini denklemde yazıp duzenlersek yine aynı bicimde fakat kat-sayıları degismis

A(ξ, η)wξ + B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F (ξ, η)

11

12 Bolum 2. Birinci Mertebe denklemler

denklemini buluruz. Yeni A,B katsayıları

A = aξx + bξy, B = aηx + bηy

olur. C, F katsayıları ise c, f katsayılarının yeni koordinatlarla ifadeedilmis bicimidir. Simdi, A veya B katsayısını sıfır yapan bir ξ veyaη fonksiyonu arıyoruz.

Tanım 3. Uzerindeki her noktada tegeti V = (a, b) vektor alanı ilecakısan bir duzlem egriye kısmi denklemin bir karakteristik egrisi denir.Karakteristik egriler

y′ =b(x, y)

a(x, y), a 6= 0 (2.3)

denkleminin (karakterisitik denklem) bir parametreli

φ(x, y) = c = sabit

biciminde cozumleri (denklem genel olarak analitik cozulemez!) olarakbulunur. Karakteristiklerin grafigi (x, y(x, c)) noktalar kumesi ile verilir.

ξ = φ(x, y) olarak secilirse karakteristikler boyunca A = 0 olur. Ohalde uygun bir donusum

ξ = φ(x, y), η = η(x, y)

olabilir. Burada, η, J 6= 0 kosulu ile tamamen keyfi secilebilir. Boylece,(2.2) KDDini

B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F (ξ, η)

biciminde sıradan bir denkleme indirgemis oluruz. Bu denklemin cozumu(ξ degiskenini sabit tutarak integre ediyoruz) α1 ve α2 belirli fonsiyonlarıile

w = f(ξ)α1(ξ, η) + α2(ξ, η)

olur. Ters donusum ile (x, y) koordinatlarına donerek cozumun

u(x, y) = β1(x, y)f(ξ(x, y)) + β2(x, y)

biciminde ifadesini elde ederiz.

2.1. Lineer denklemler 13

NOT. Eger c = f = 0 ise denklem aux + buy = 0 olur. Bu ise u’nunV = (a, b) vektoru boyunca turevinin sıfır oldugunu soyler. Yani genelcozum φ(x, y) = c karakteristik egrileri uzerinde sabit kalır. Genel cozum,keyfi f ∈ C1 fonksiyonu icin u = f(φ(x, y)) olur.

c veya f sıfır degilse, cozum karakteristikler uzerinde sabit kalmaz veu’nun V yonundeki turevi, η yonundeki turevi ile orantılı olur.

Ornek 9.yux + xuy − u = (x + y)2


Cozum. y′ = b/a = x/y karakteristik denklemini xdx−ydy = 0 yazarakdegiskenlere ayırıp integre edersek x2 − y2 = c buluruz. Donusumu

ξ = x2 − y2, η = x + y

secelim. η’nın seciminde denklemin sag yanındaki terimi dikkate aldık.

ux = 2xwξ + wη, uy = −2ywξ + wη

turevleri denklemde konursa

ηwη − w = η2

sıradan denklemi bulunur. denklemi η2 ile bolup integre edelim

∂

∂η

(w

η

)= 1 ⇒ w = η2 + ηf(ξ).

(x, y) degiskenleri ile cozum

u = (x + y)2 + (x + y)f(x2 − y2)

olur.

Cauchy baslangıc deger problemi

Duzlemde bir γ = {(x, y) : y = y0(x)} ⊂ R2 egrisi verilsin. (2.1) denk-leminin bu egri uzerinde verilen u|γ = u0(x) degerlerini alan cozumununbulunması problemi bir baslangıc deger (veya Cauchy) problemidir. u0(x)


fonksiyonuna Cauchy veya baslangıc-deger datası (verisi) denir. Simdibu problemin cozulebilirligini inceleyelim. Aranan problemin cozumuS : u = ϕ(x, y) yuzeyi ile verilsin. Baslangıc kosul geometrik olarak,Γ = γ×{u0(x)} ⊂ R3 uzay egrisinin u = ϕ(x, y) yuzeyi uzerinde kalmasıdemektir. γ baslangıc egrisi Γ egrisinin u = 0 xy-duzlemine izdusumudur.Cauchy problemi, Γ egrisini iceren yuzeyin bulunmasına denk olur.

ux ve uy kısmi turevlerinin γ uzerindeki ux|γ, uy|γ degerlerini belir-lemeye calısalım. Bunun icin verilen KDD ile Baslangıc kosulu γ egrisiboyunca turetilirse

d

dxu|γ =

d

dxu(x, y0(x)) = ux|γ + uy|γ.y′0(x) = u′0(x)

bulunur. Verilen denklemin γ uzerinde degerlendirilmesinden

a(γ)ux|γ + b(γ)uy|γ + c(γ)u|γ = f(γ)

bagıntısı yazılabilir. Bu iki bagıntıdan ux|γ ve uy|γ degerlerinin tek olarakbelirlenebilmesi icin

∆ =

∣∣∣∣a(γ) b(γ)

1 y′0(x)

∣∣∣∣ 6= 0

determinant kosulunun saglanması gerekir. Bu kosul

y′0(x) 6= b(x, y0(x))

a(x, y0(x))(2.4)

olarak yazıldıgında, geometrik olarak γ baslangıc egrisinin hic bir yerdekarakteristiklere teget olmaması gerektigini ifade eder. Cauchy problemi-nin cozulebilmesi icin baslangıc egrisi karakteristik egrilerle cakısmamasıgerekir. (2.4) kosuluna karakteristik olmama kosulu denir.

Eger γ karakteristik bir egri ise Cauchy probleminin cozumunun olupolmadıgını merak ediyor olabilirsiniz. Bu durumda, u0(x) baslangıc datasıkeyfi olarak verilemez. u0(x)’in ancak ozel secimi icin cozum mumkunolabilir. u0(x), Γ egrisi karakteristik ailenin bir uyesi olacak secilirsecozum vardır ancak tek olamaz. Problemin sonsuz cozumu vardır.

Simdi bu tartıstıklarımızı orneklerle acıklayalım.

Ornek 10. Bir onceki ornekteki denklemin y = 0 dogrusu uzerinde u =2x2 degerlerini alan cozumunu belirleyiniz.


Cozum. γ = {(x, y) : y = 0} egrisi (x-ekseni) bir karakteristik ol-madıgından yalnızca bir cozum vardır. Verilen kosullardan

u(x, 0) = u0(x) = 2x2 = x2 + xf(x2)

veya f(x2) = x bagıntısı elde edilir. f(x) =√

x olmalıdır. Sonuc olarakozel cozum

u = (x + y)2 + (x + y)√

x2 − y2

dir.

Ornek 11. Aynı KDD’in u|x=y = u0(x) yan kosulunu saglayan cozumunuirdeleyiniz.

Cozum. Cozulebilirlik (sonsuz sayıda cozum) icin

u0(x) = 4x2 + 2f(0)x

baslangıc kosulundan belirli bir K sabiti icin Cauchy datasının

u0(x) = 2Kx + 4x2

olarak secilmesi gerekir. Diger bir deyisle u0’ın bir karakteristik uzerindekidegeri verilmelidir. K = f(0) kosulunu saglayan butun f keyfi fonksi-yonları denklemin cozumlerini uretecektir. Ornegin, u0(x) = 4x2 ise,f(0) = 0 saglayan fonksiyonlardan bir kacı f1(x) = sin x, f2(x) = x,f3(x) = 1− ex alınabilir. Bunlara karsı gelen cozumler

u1(x, y) = (x + y)2 + (x + y) sin(x2 − y2),

u2(x, y) = (x + y)2 + (x + y)(x2 − y2),

u3(x, y) = (x + y)2 + (x + y)[1− exp (x2 − y2)].

Onceki ornekte secilen u0(x) = 2x2 icin hic bir cozum olmadıgı acıktır.

Ornek 12.a(x, y)ux + b(x, y)by = 0

denkleminde katsayılar ax + by = a kosulunu sagladıgına gore genelcozumunu bulunuz.


Karakteristik denklem

dx

a=

dy

b, bdx− ady = 0

biciminde yazılabilir. Bu denklemin x’e baglı bir µ(x) integrasyon carpanıvardır. Gercekten, verilen kosuldan

µ′(x)

µ(x)=

by + ax

−a= −1,

integre edilirse µ(x) = e−x carpanı bulunur. O halde, bir φ(x, y) icin

dφ(x, y) = e−x(bdx− ady) = 0

olmalıdır.φx = be−x, φy = −ae−x

esitliklerinden integrasyonla, ornegin birinciden baslayarak

φ =

∫be−xdx + C(y),

ikincide kullanarak

φy =

∫bye

−xdx + C ′(y) = −∫

(ax − a)e−xdx + C ′(y)

= −∫

(ae−x)xdx + C ′(y) = −ae−x

den C ′(y) = 0 bulunur. Yani,

φ =

∫be−xdx = c1

birinci integrali bulunur, genel cozum de keyfi bir F icin u = F (φ) ol-malıdır.

NOT. µ(x, y) fonksiyonu P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 denkleminin birintegrasyonu carpanı ise

(µP )y = (µQ)x


tamlık kosulu saglanmalıdır. Bu kosul acık olarak yazıldıgında 1. mer-tebeden lineer

Qµx − Pµy = µ(Py −Qx)

KDDinin bir cozumunu (genel cozum gereksiz) bulmaya indirgenir. Bununicin

dx

Q=

dy

−P=

dµ

µ(Py −Qx)

karakteristik denklemlerinin µ fonksiyonuna baglı bir integralini bulmakyeterli olacaktır.

Ornek 13.(y3 − 2x2y)dx + (2xy2 − x3)dy = 0

denkleminin bir integrasyon carpanını bulunuz.

Cozum.dx

2xy2 − x3=

−dy

y3 − 2x2y=

dµ

µ(x2 + y2)

denklemlerinden ilk ikisinden elde edilebilecek integre edilebilen bir oransonuncuya esitlenirse

ydx + xdy

xy(x2 + y2)=

dµ

µ(x2 + y2)

veyad(xy)

xy=

dµ

µ

ve integre edilirse µ1(x, y) = xy (integrasyon sabitine gerek yok) carpanıbulunur. Diger bagımsız bir carpan

xdx− ydy

x4 − y4= − dµ

µ(x2 + y2)⇒ d(x2 − y2)

x2 − y2+ 2

dµ

µ

tam denklemindenµ2(x, y) = (x2 − y2)−1/2

olarak bulunur. Genel cozum denklemi integre etmeden Euler teoreminikullanarak yazılabilir:

µ1

µ2

= sabit ⇒ x2y2(x2 − y2) = C.


Parametrik bicimde cozumler

Cauchy probleminin baslangıc kosulunun parametrik olarak verildiginivarsayalım ve asagıdaki problemi dusunelim:

(I)

{aux + buy + cu = f,

u|γ = u0(s), γ = (x0(s), y0(s)).(2.5)

(2.3) karakteristik denklemini t ile parametreleyip

dx

a=

dy

b= dt (2.6)

biciminde yazabiliriz. Karakteristik denklemi asagıdaki denklem sistemiolarak yazalım:

dx

dt= x(t) = a(x(t), y(t)),

dy

dt= y(t) = a(x(t), y(t)). (2.7)

Bu sistemin en azından bir t = 0 komsulugunda cozumu vardır. Karak-teristik egrileri verecek olan bu egrileri (V = (a, b) vektor alanının integ-ral egrileri)

χ0 = (x(t), y(t)) (2.8)

ile gosterelim. Parametrik baslangıc kosulu u(x0(s), y0(s)) = u0(s) yazıla-bilir. Simdi u cozum (integral) yuzeyinin χ0 = (x(t), y(t)) karakteristikegrileri boyunca u(t) = u(x(t), y(t)) degerinin t degiskenine gore (zaman)degisimine bakalım:

d

dtu(x(t), y(t)) = u(t) = ux(χ0)x(t) + uy(χ0)y(t) = aux + buy.

Yukarıda karakteristik denklemleri kullandık. Ayrıca KDDden

u(t) = f(x(t), y(t))− c(x(t), y(t))u(t) (2.9)

yazılabilir. χ0 uzerinde u(x, y) cozum yuzeyinin degerleri sıradan 1. mer-tebe lineer bir diferansiyel denklem cozulerek u(0) degeri biliniyorkenbelirlenebilir.

Buradan cıkarılabilecek sonuc, (2.7) ve (2.9) sisteminin cozumu olanχ = (x(t), y(t), u(t)) egrilerinin (xy-duzlemi uzerine izdusumu (x(t), y(t))karakteristik egrileri verir) integral yuzeyi uzerinde kaldıgıdır. Bu gercege


dayanarak Γ = (x0(s), y0(s), u0(s)) uzay egrisinden gecen karakteristikegrilerin duzgun bir birlesimi ile yuzeyin iki (s, t) parametrelerine baglıcozumunu parametrik olarak insaa edebiliriz. Bunu yapmak icin, s’ninher degeri icin Γ’egrisini en cok bir noktada kesen ve kesisim noktasındategetleri birbirine paralel olmayan χ : (x(s, t), y(s, t), u(s, t)) egrileri bu-lunmalıdır. Bu egrileri ((2.7) ve (2.9)) sıradan denklem sisteminin

x(s, 0) = x0(s), y(s, 0) = y0(s), u(s, 0) = u0(s)

baslangıc kosullarını saglayan cozumleri olarak alabiliriz. Bu ise cozumyuzeyinin parametrik denklemleridir. (s, t) parametreleri degisirken bunoktalar xyu-uzayının yuzey uzerinde kalan noktalarını uretecektir. Co-zumun parametrik olmayan bicimi x = x(s, t), y = y(s, t) denklemlerin-den t ve s nin degerlerini x ve y turunden cozebilmemiz gerekir. Bununmumkun olabilmesi icin ters fonksiyon teoremine gore

J(s, t) =∂(x, y)

∂(s, t)= xsyt − xtys 6= 0

olması gerekir. γ = (x0(s), y0(s)) baslangıc egrisi uzerinde

J |γ = J(s, 0) = x′0(s)a(x(s), y(s))− y′0(s)a(x(s), y(s)) 6= 0

veyax′0(s)b(s)

6= y′0(s)b(s)

kosulu saglanır. Bu ise, baslangıc egrisinin karakteristik olmaması kosu-luna denktir.

Katsayıların ve baslangıc degerlerinin surekliliginden yeterince kucukt degerleri icin (yani, en azından γ egrisinin yakın bir komsulugunda)J(s, t) 6= 0 varsayabiliriz.

Yukarıdaki kosul altında cozulebildigi (en azından ilke olarak) varsa-yılan s = S(x, y), t = T (x, y) fonksiyonları u = u(s, t) de konursa cozumu(integral yuzeyi) acık olarak u = u(T (x, y), S(x, y)) = ϕ(x, y) bicimindebulmus oluruz.

Bu yaklasım lineer denklemin Cauchy problemi icin ”karakteristik-ler” yontemi olarak bilinir. Bu yonteminin oldukca genel oldugu kuazili-neer ve hatta lineer olmayan denklemler icin tanımlanmıs baslangıc degerproblemlerinin cozumune genisletilebilecegini birazdan gorecegiz.


Ornek 14. {yux + xuy − u = (x + y)2,

u(s, 0) = 2s2(2.10)

Cauchy problemini karakteristikler yontemi ile bulunuz.

Cozum. χ karakteristiklerinin denklem sistemi

x = y, y = x, u = u + (x + y)2.

Ilk iki deneklem u(t) den bagımsız oldugundan once (x(t), y(t)) egrilerinibuluruz. Denklem sistemini

(xy

)=

(0 11 0

) (xy

)

biciminde sabit katsayılı lineer denklem sistemi olarak cozebiliriz. Digerbir yol 1. denklemi t’ye gore turetip y turevini yok ederek x(t)−x(t) = 0skaler denkleminin cozumunden sabit s icin

x(s, t) = C1(s) cosh t + C2(s) sinh t

elde ederiz. 2. denklemi kullanarak

y(s, t) = C1(s) sinh t + C2(s) cosh t

buluruz. Karakteristiklerin baslangıc egrisinden gecmesi gerektigi kosulundanC1 ve C2 integrasyon sabitlerini belirleyebiliriz.

x(s, 0) = x0(s) = s, y(s, 0) = 0

kosullarındanC1(s) = s, C2(s) = 0

olmalıdır. χ karakteristiklerinin

(x(s, t), y(s, t)) = (s cosh t, s sinh t)

izdusumlerini 3. denklemde yazarak

u(t)− u(t) = (x + y)2 = (x(s, t) + y(s, t))2 = s2e2t

2.2. Yuksek Boyutlu Lineer Denklemler 21

buluruz ki cozumu (sabit s icin)

u(s, t) = s2e2t + C3(s)et

dir. u0(s) = u(s, 0) = 2s2 kosulundan C3(s) = s2 cıkar. Parametrikcozum

((x(s, t), y(s, t), u(s, t)) = (s cosh t, s sinh t, s2(et + e2t))

olarak yazılabilir. (x+y)2 = s2e2t ve x2−y2 = s2 oldugu dikkate alınırsau(s, t) den (s, t) parametrelerini x, y turunden ifade ederek

u(x, y) = (x + y)2 + (x + y)√

x2 − y2

acık cozumunu bulmus oluruz.

2.2 Yuksek Boyutlu Lineer Denklemler

F (x, y, z) fonksiyonu icin

a(x, y, z)Fx + b(x, y, z)Fy + c(x, y, z)Fz + d(x, y, z)F = h(x, y, z) (2.11)

denklemini dusunelim. a, b, c, d, h, C1 sınıfından fonksiyonlardır. Denk-lemin (x, y(x), z(x)) karakteristik egrileri

y′(x) =b(x, y, z)

a(x, y, z), z′(x) =

c(x, y, z)

a(x, y, z), a(x, y, z) 6= 0 (2.12)

karakteristik denklem sisteminin cozumu olarak tanımlanır. Geometrikolarak, bu uzay egrilerinin her noktada V = (a, b, c) vektor alanınınateget oldugu anlasılır. Sistemin cozumu iki integrasyon sabitine (c1, c2)baglı olan genel cozumu y = y(x, c1, c2), z = z(x, c1, c2) bicimindedir. Buegrilerin c1, c2 sabitlerine gore tek olarak cozulebildigi varsayımı ile

u(x, y, z) = c1, v(x, y, z) = c2

yazılabilsin. Karakteristik egriler iki parametreli u = c1 ve v = c2 yuzeyailelerinin arakesit egrileri olarak elde edilir. Karakteristikler bu fonksi-yonlar uzerinde sabit degerler alır.


Simdi, asagıdaki tersinir donusum ile KDDin sıradan bir lineer denk-leme donustugunu gorelim

ξ = u(x, y, z), η = v(x, y, z), ζ = z.

Bu donusum altında yeni bagımlı degisken G(ξ, η, ζ) = F (x, y, z) olsun.Zincir kuralı ile

aFx + bFy + cFz = (aux + buy + cuz)Gξ + (avx + bvy + cvz)Gη + cGζ

elde edilir.u(x, y, z) = c1 yuzeyi uzerinde bir (x0, y0, z0) noktasından gecen karak-

teristik boyunca

0 =d

dxu(x, y, z) = ux + uyy

′ + uzz′ =

1

a(aux + buy + cuz)

ve benzer bicimde avx + bvy + cvz = 0 oldugundan aFx + bFy + cFz

teriminin yeni koordinatlarda ifadesi C(ξ, η, ζ)Gζ olacaktır. Ilk denklemise

C(ξ, η, ζ)Gζ + D(ξ, η, ζ)G = H(ξ, η, ζ)

sıradan denklemine donusur. Bir baska deyisle, ξ ve η sabit tutuldugundave ζ degisirken, karakteristik koordinatlar elde edilecek bicimde koor-dinatları degistirsek, ilk KDD ζ bagımsız degiskenine gore sıradan birdenkleme indirgenir.

Bu lineer denklemin ξ, η degiskenleri sabit tutularak integrasyonun-dan elde edilecek cozum

G = α(ξ, η, ζ)f(ξ, η) + β(ξ, η, ζ)

biciminde olur. Burada, α ve β belirli fonksiyonlar, f ∈ C1 keyfi in-tegrasyon fonksiyonudur. (x, y, z) degiskenlerine geri donerek aranancozumu F = α(x, y, z)f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) + β(x, y, z) biciminde eldeederiz.

d = h = 0 ozel durumunda Gζ = 0 denkleminin integrasyonundangenel cozum F = f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) olarak yazılabilir ve karakteris-tikler uzerinde sabit degerler alır.

Yukarıda verilen yonteminde uygulanabilirliginde bazı teknik gucluk-ler cıkabilir. Bunlardan biri karakteristik sistemin genel olarak (y(x), z(x))


cozumunun bulanamayacagı gercegidir. Bu cozum bulunsa bile ters do-nusumu iyi tanımlı olmayabilir veya bu donusumu bulmak cok guc ola-bilir. Yine de, cozumun bulunması icin karakteristiklerin acık ifadesin-den cok, donusumu verecek olan karakteristikler uzerinde sabit kalanyuzeylerin bulunması onem tasır. Bu amacla, cogunlukla, karakteristiksistemi

dx

a=

dy

b=

dz

c(2.13)

biciminde yazıp, sistemin bazı tekniklerle birbirinden bagımsız iki (ϕ, ψ)integralini (integral tabanı) arayacagız. Bunun icin rank(∇ϕ,∇ψ) = 2kosulu saglanmalıdır.

Tanım 4. (2.13) sisteminin bir cozumu uzerinde sabit kalan bir I(x, y, z)fonksiyonuna sistemin bir ilk integrali (veya hareket sabiti) adı verilir.

Ilk integral tanımından

0 =d

dxI = ∇I · (a, b, c) = (aIx + bIy + cIz)

elde edilir. Yani I, aux + buy + cuz = 0 homojen lineer denklemini saglar.Bu gozlem, karakteristik sistemin cozumleri ile karsı gelen homohen KD-Din cozumlerinin yakından iliskili oldugunu gostermektedir.

I1 ve I2 iki bagımsız ilk integral, yani ∇I1 ve ∇I2 vektorleri paraleldegilse, keyfi F C1-fonksiyonu icin F (I1, I2) fonsiyonu da bir ilk integ-raldir. Bunun icin

∇F = FI1∇I1 + FI1∇I1

bagıntısından

∇F.(a, b, c) = FI1∇I1.(a, b, c) + FI2∇I2.(a, b, c) ≡ 0

oldugunu gormek yeterlidir. Yukarıda, I1 ve I2 fonksiyonlarının ilk integ-raller oldugu gercegini kullandık. Buna gore, u = F (I1, I2) fonksiyonu

a(x, y, z)ux + b(x, y, z)uy + c(x, y, z)uz = 0

denkleminin genel cozumu olur.Bir integrali bulmak icin uygulanabilecek bir yol sistemdeki oran-

lara esit yeni oranlara esitleyerek integre edilebilen birlesimler aramaktır.Daha kesin bir deyisle, belirli P,Q, R fonksiyonları icin

Pdx + Qdy + Rdz

aP + bQ + cR=

dx

a=

dy

b=

dz

c


yazılabilir (neden?). Simdi P1, Q1, R1, P2, Q2, R2 fonksiyonlarını oyle be-lirleyelim ki

P1dx + Q1dy + R1dz = dϕ, P2dx + Q2dy + R2dz = dψ

olsun ve bilinen µ1, µ2 sabitleri icin

aP1 + bQ1 + cR1 = µ1ϕ, aP2 + bQ2 + cR2 = µ2ψ

yazılabilsin. Bu durumdadϕ

µ1ϕ=

dψ

µ2ψ

integre edilebilir (tam) bir denklemin integrasyonu ile birinci integralbulunabilir.

Eger ozel olarak aP1 + bQ1 + cR1 = 0 veya aP2 + bQ2 + cR2 = 0 isedϕ(x, y, z) = 0 veya dψ = 0 olur ve bir ilk integral ϕ(x, y, z) = sabit yada ψ(x, y, z) = sabit olarak hemen elde edilmis olur.

Ornek 15.

Fx + Fy + Fz + F = 0

denkleminin z = 0 duzlemi uzerinde F (x, y, 0) = x2 + y2 yan kosulunusaglayan cozumunu bulunuz.

Cozum. Denklem sabit katsayılı oldugu icin

dx

1=

dy

1=

dz

1

karakteristik denklemlerinin integrasyonu kolayca yapılabilir ve iki bagımsızintegral:

u = x− z = c1, v = y − z = c2.

ξ = x− z, η = y − z, ζ = z donusumu denklemi

Gζ + G = 0

denklemine indirger. Cozumu

G = e−ζf(ξ, η)


veya ilk degiskenlerle yazıldıgında

F = e−zf(x− z, y − z)

genel cozumunu verir. Yan kosulu kullanarak F (x, y, 0) = x2 + y2 =f(x, y) buluruz. Aranan cozum

F = e−z[(x− z)2 + (y − z)2]

olarak elde edilir.

Ornek 16.

(y − x)Fx + (z − x)Fy + (x− y)Fz = 0, F (x, y, 0) = xy

problemini cozunuz.

Cozum.dx

y − z=

dy

z − z=

dz

x− y

karakteristik denklemlerinin iki bagımsız ilk integrali

dx + dy + dz

0=

dx

y − z,

xdx + ydy + zdz

0=

dx

y − z

esitliklerinden elde edilen

d(x + y + z) = 0, d(x2 + y2 + z2) = 0

tam denklemlerinin integrasyonundan

u = x + y + z = c1, v = x2 + y2 + z2 = c2

olarak elde edilir.

ξ = x + y + z, η = x2 + y2 + z2, ζ = z

donusumuyle KDD, Gζ = 0 sıradan denklemine ve integrali G = f(ξ, η)veya F (x, y, z) = f(x + y + z, x2 + y2 + z2) genel cozumune goturur.Iki degiskenli f keyfi fonksiyonunu belirlemek icin verilen yan kosulukullanırız:

F (x, y, 0) = xy = f(x + y, x2 + y2).


f ’i belirleyecek olan bu fonksiyonel bagıntıyı cozmek icin r = x + y, s =x2 + y2 yazıp, x, y degiskenlerini r, s degiskenlerine gore ifade ederiz.

(x + y)2 = r2 = s + 2xy

den f(r, s) = xy = (r2 − s)/2 bulunmus olur. Cozum,

F =1

2[(x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2)] = xy + yz + xz

olur.

Ornek 17.

xFx + yFy + zFz − 2F = 0, F (x, y, y) = y2

problemini cozunuz.

Cozum. Genel cozumdx

x=

dy

y=

dz

z

karakteristik sistemiin integrasyonundan bulunacak olan

y

x= c1,

z

x= c2

integralleri kullanarak

ξ = y/x, η = z/x, ζ = z

donusumunden sonraGζ − 2G = 0

indirgenmis denklemi bulunur. Bunun cozumu ilk koordinatlarda verilenKDDin

F = z2f(y

x,z

x)

biciminde cozumunu verir. Yan kosuldan

F (x, y, y) = y2 = y2f(y

x,y

x), ⇒ f(r, r) = 1

elde edilir. Bu kosul dısında f keyfi kalır. Yani, denklemin sonsuz sayıdacozumu vardır. Yan kosul z = y duzlemi uzerinde verilmistir ve c1 =


c2 = 1 icin elde edilen (t, t, t) karakteristik dogrusu bu duzlem uzerindekalmaktadır. Dahası, bu duzlem bir parametreli (c1 = c2) karakteristikdogruların birlesimidir.

f1(r, s) = cos(r−s), f2(r, s) = 2(r/s)2−1 secimleri (digerleri arasından)f(r, r) = 1 kosulunu saglar ve karsı gelen cozumler

F1 = z2 cos(y − z

x

), F2 = 2y2 − z2

olur.

Ornek 18.(y + x)Fx + (y − x)Fy + Fz = 0

denkleminin karakteristiklerini bulun ve genel cozumunu elde edin.

Cozum.dx

y + x=

dy

y − x=

dz

1

karakteristik sisteminde z degiskenine bir parametre olarak bakıp

x′(z) = x(z) + y(z), y′(z) = y(z)− x(z)

sistemini cozelim. Lineer sistemler icin bilinen yontemler kullanılabilir.Burada farklı bir yol izleyecegiz. Birinci denklemi turetip, her iki denk-lemi de kullanarak yalnızca x(z) degiskenine gore

x′′(z)− 2x′(z) + 2x(z) = 0

denklemini cıkarabiliriz. y(z)’nin de aynı denklemi sagladıgı gorulebilir.Sabit katsayılı lineer denklemin karakteristik denklemi λ2 − 2λ + 2 =(λ− 1)2 + 1 = 0 olur. Kokleri λ1,2 = 1± i, karsı gelen cozum

x(z) = ez(c1 cos z + c2 sin z)

dir. Birinci denklemden turev alarak

y(z) = x′(z)− x(z) = ez(−c1 sin z + c2 cos z)

buluruz. Basitlestirmek icin

c1 = α sin β, c2 = α cos β


tanımlanırsa

x(z) = αez sin(z + β), y(z) = αez cos(z + β)

karakteristikleri bulunur. Uygun bir donusum bulabilmek icin bu ikibagıntıdan α, β parametrelerine gore cozelim. Kareleri alınır toplanırsave oranlanırsa

ξ = e−z√

x2 + y2 = α, η = arctan(x/y)− z = β

ilk integralleri bulunur. Ikinci integralin η = z + arctan(y/x) yazılabile-cegine dikkat edin. Genel cozum bu yuzeyler uzerinde sabit kalır ve keyfif ∈ C1 fonksiyonu ile F = f(ξ, η) biciminde yazılabilir.

2. yol: Denklemi (r, θ) kutupsal koordinatlarına donustururelim.

xFx + yFy = rFr, yFx − xFy = −Fθ

donusum formulleri ile denklem yeni F (r, θ, z) fonksiyonuna gore

rFr − Fθ + Fz = 0

olarak yazılabilir. Karakteristik sistem

dr

r=

dθ

−1=

dz

1.

Bu sistemin iki bagımsız integrali

re−z = α, θ + z = β

olarak alınabilir. Genel cozum,

F = f(re−z, θ + z)

olacaktır. (x, y) koordinatlarına geri donusum bu cozumun (sabit farkıyla)yukarıda bulunan cozume denk oldugunu gostermektedir.

Alıstırmalar

Asagıdaki problemleri cozunuz.

6. a) x(y−x)Fx + y(z−x)Fy + z(x− y)Fz = 0, F (x, y, 1) = x+ y

b) xFx + yFy + (x2 + y2)Fz = 0, F (x, y, 0) = x + y

c) 2xzFx + xyzFy + Fz = 0, F (x, y, 0) = cos(x + y)


2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Yontemi

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) (2.14)

kuazilineer denkleminin genel cozumu karsı gelen karakateristik sisteminiki bagımsız ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integralinden (∇ϕ ve ∇ψ hicbiryerde paralel degil) genel cozum elde edilebilir.

a ve b katsayıları u’ya baglı degilse bu denklem yarı lineer olur. Yarılineer bir denklemin bir integrali u’dan bagımsız olacagı icin boyle den-klemlerin genel cozumlerini tipik olarak (her zaman olmasa bile) acıkbicimde elde etmek mumkun olacaktır.

Teorem 1. ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) karakateristik sistemin iki bagımsızintegrali ve F = F (h, k) bir C1 fonksiyonu olsun. Eger,

Fhϕu + Fkψu 6= 0,

iseF (φ(x, y, u), ψ(x, y, u)) = 0

bagıntısı (2.14) denkleminin kapalı bicimde genel cozumunu tanımlar.Kanıt: Biliyoruz ki, ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integraller ise

w = w(x, y, u) = F (φ(x, y, u), ψ(x, y, u))

fonksiyonu da bir ilk integraldir ve hipotezden wu 6= 0 oldugundan, ucboyutlu lineer homojen

a(x, y, u)wx + b(x, y, u)wy + c(x, y, u)wu = 0 (2.15)

denkleminin genel cozumudur. Ayrıca,

w(x, y, u) = 0

denklemi kapalı olarak (2.14) denkleminin u = u(x, y) integarl yuzeyinitanımlar. Bunu icin, kapalı fonksiyon teoreminden

ux = −wx

wu

, uy = −wy

wu

turevlerini (2.14) denkleminde yazarak (2.15) denklemine varıldıgını go-rebiliriz.


Kuazilineer bir denklemle verilmis bir Cauchy datasını saglayan prob-lemin cozumu icin ((tek olmayan) cozum varsa) Lagrange yontemiyle eldeedilen genel cozum kullanılabilir. Bu tur Cauchy problemini cozmek icinkarakteristikler yontemini (geometrik yorumu var) kullanmak cogu za-man daha elverisli olabilir. Ancak bu yontemle cozum parametrik olarakkapalı bicimde bulunur ve yalnızca bazı ozel durumlarda parametreleryok edilerek cozumun acık formda bir ifadesi yazılabilir.

Verilen bir egri uzerinde kalan cozumu genel cozumden soyle cıkara-biliriz.

Γ = {u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0}egrisi (u = 0 ve v = 0 yuzeylerinin arakesiti) verilsin. Γ egrisinin(x(s), y(s), u(s)) ile parametrelendigini varsaylım. Γ egrisi w(x, y, u) = 0integral yuzeyi uzerinde kalıyorsa her s icin w(x(s), y(s), u(s)) ≡ 0 sag-lanmalıdır. Bu yuzeyi belirlemek icin Γ uzerinde yazılan

ϕ(x(s), y(s), u(s)) = c1, ψ(x(s), y(s), u(s)) = c2

ilk integralleri arasında s yok edilerek F (c1, c2) = belirlenir.Parametrizasyon kullanmadan da dogrudan

ϕ(x, y, u) = c1, ψ(x, y, u) = c2, u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0

dort denklem arasından (x, y, u) degiskenleri yok edilerek de yukarıdakibagıntı bulunabilirdi.

Ornek 19.yuux + xuuy = xy

denklemininu|x2+y2=1 = 2xy

kosulunu saglayan cozumunu bulunuz.

Cozum.dx

yu=

dy

xu=

du

xy

karakteristik denklem sisteminden ilk iki orandan x2−y2 = c1 integralinibuluruz. Diger integral

xdx + ydy

2xyu=

du

xy⇒ 1

2d(x2 + y2) = 2udu


denkleminden x2 + y2 − 2u2 = c2 dir. Genel cozum

F (x2 − y2, x2 + y2 − 2u2) = 0

bagıntısı ile verilir. Integrallerden biri u’dan bagımsız oldugu icin, is-tenirse u cozumu acık olarak x, y degiskenlerinin fonksiyonu olarak herC1 keyfi f fonksiyonu icin

2u2 = x2 + y2 + f(x2 − y2)

ile ifade edilebilir. Verilen kosulu saglayan cozumu bulmak icin F keyfifonksiyonunu belirlememiz gerekir. Bunu yapmak icin cozumu yeni birg(r2) = f(r) keyfi fonksiyonu kullanarak

2u2 = x2 + y2 + g((x2 − y2)2)

biciminde yazarak baslayalım ve (x2−y2)2 = (x2+y2)2−4x2y2 ozdesliginidikkate alarak verilen kosulu uygulayalım:

2u2 = 1 + g(1− u2).

Bu bagıntıdan, g’yi belirlemek icin r = 1− u2 yazılırsa g(r) = 1− 2r vef(r) = 1− 2r2 bulunur. Buna gore cozum

2u2 = x2 + y2 − 2(x2 − y2)2 + 1

olur.Simdi parametrik cozum:Baslangıc kosulunun bir s parametresi ile bir gosterilimini

Γ : x(s) = cos s, y(s) = sin s, u(s) = 2x(s)y(s) = sin 2s

yazalım. Γ egrisinden gecen yuzeyi bulmak istiyoruz. Γ’nın bilesenlerini

x2 − y2 = c1, x2 + y2 − 2u2 = c2

integrallerininde yazıp, s’yi yok edersek belirlinmis F (c1, c2) = 0 bagıntısınıbuluruz ki bu aranan cozumu verir. Burada

x2 − y2 = cos 2s = c1, x2 + y2 − 2u2 = 1− 2 sin2 2s = c2


bagıntılarından parametreyi kolayca yok edebiliriz ve

c2 = 1− 2(1− cos2 2s) = 2c21 − 1

buluruz. Ozetlersek, iki degiskenli keyfi fonksiyon F (c1, c2) = c2 − 2c21 +

1 = 0 olmalıdır, cozum ise

x2 + y2 − 2u2 = 2(x2 − y2)2 − 1

ya da u2’ye gore cozerek

u2 =1

2[(x2 + y2)(1− 2(x2 + y2)) + 8x2y2 + 1]

biciminde yazılabilir. Bu cozumde x2 + y2 = 1 yazıldıgında u2 = 4x2y2

oldugu, yani yan kosulun saglandıgı hemen goruluyor.Diger ucuncu bir yol,

x2 + y2 = 1, u = 2xy, x2 − y2 = c1, x2 + y2 − 2u2 = c2

bagıntıları arasında x, y, u yok edilerek F (c1, c2) = 0 bagıntısını bul-maktır. Birinci ve dorduncu esitliklerden 1 − u2 = c2

1 ve ilk ucundenc21 = (x2 − y2)2 = (x2 + y2)2 − 4x2y2 = 1 − u2 bulunur. Son olarak bu

ikisinden u’yu yok ederek yine aynı F (c1, c2) = 0 bagıntısı bulunur.

Ornek 20. Asagıdaki baslangıc-deger probleminin cozulebilirligini ince-leyiniz:

uux + yuy = xy = ax, u = bx.

Cozum.dx

u=

dy

y=

du

x

karakteristik denklemlerinden elde edilen

d(x + u)

x + u=−d(x− u)

x− u=

dy

y, udu− xdx = 0

tam denklemlerden integre ederek bir integral tabanı (bagımsız inte-graller)

x + u

y= c1, u2 − x2 = c2


veyax + u

y= c1, (u− x)y = c2

olarak bulunur. Genel cozum surekli turetilebilir keyfi bir F fonksiyonuicin

F

(y(u− x),

x + u

y

)= 0

biciminde yazılabilir. Baslangıc kosulundan, x’i parametre alarak

F

(a(b− 1)x2,

b + 1

a

)= 0

veya birinci degiskene gore cozerek keyfi bir h icin a(b−1)x2 = h((b+1)/a)saglanması gerekir. Bu bagıntının her x icin saglanması ancak b = 1icin mumkun olur. Buna karsılık, cozum h(2/a) = 0 kosulu altında tekolamaz. Ornegin, a = 1 olsun ve h(x) = x − 2 (h(2) = 0 kosulunusaglayan saglayan bir secim) icin bir cozum

y(u− x) =x + u

y− 2

bagıntısından u icin cozulurse

u =xy2 + x− 2y

y2 − 1

olarak bulunur. Siz diger bir kac cozumu yazınız.

Kuazi lineer denklemler ozel olarak lineer denkemleri de icerir. Simdibu yontemi asagıdaki lineer denklemi cozmek icin uygulayalım.

Ornek 21.

yux + xuy − u = (x + y)2


dx

y=

dy

x=

du

u + (x + y)2


karakteristik sistemin iki bagımsız ilk integralini bulacagız. Birinci inte-gral φ(x, y) = x2−y2 = c1 olarak hemen bulunur. Ikinci integrali bulmakicin

d(x + y)

x + y=

du

u + (x + y)2

denklemini integre edelim. x + y = z olsun.

du

dz=

1

z(u + z2)

lineer denkleminin cozumunden

u

z=

u

x + y= (x + y) + c2

bulunur. Yani ikinci bagımsız integral

ψ(x, y, u) =u

x + y− (x + y)

olur. Genel cozum ise φ = f(φ), acık olarak

u(x, y) = (x + y)2 + (x + y)f(x2 − y2)

biciminde olmalıdır.Aynı denklemin genel cozumunu karakteristik koordinatlara gecerek

daha once bulmustuk.

Education

Ktdd fg