Квадратна функция. Графика на квадратна функция

ХХ

УУ

00х

у

1. Функцията от вида y = ax2 +bx + c , където a, b, c са дадени (известни) числа и а ≠ 0 се нарича квадратна функция.Дефиниционното и множество се състои от всички реални числа, т. е.

2. Изразът ax2 +bx + c се нарича квадратен тричлен.

Определение

x R

Квадратна функцияГрафиката на

квадратната функции е парабола с връх в точка с координати (х;у), където

х = -b/2a;y=(b2-4ac)/4a

ХХ

УУ

00х

у

Графиката на у=x2x y =

x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

у = kх2 – квадратна функция, - графиката е парабола - (0;0) – връх на параболата - ос у – ос на симетрия - при k > 0 k < 0

отворена отворена

нагоре надолу

Свойства на у=kx2

у = 2х2

у = 0,5х2

х -2

-1

0 1 2

у 8 2 0 2 8

х -2 -1 0 1 2

у 2 0,5

0 0,5

2

Примери:

1. DМ (-∞;+∞)2. у = 0 при х = 03. непрекъсната4. уmin = 0, уmax = не същ.5. намалява при х є (-∞;0], нараства при хє [0; +∞)6. ограничена отдолу, неограничена отгоре7. Област на стойностите y є [0; +∞)8. у > 0 при х є (-∞; 0) U (0;+∞), у < 0 не съществува

Свойства на y=kx2 при k>0

Свойства на у = kх2 при k < 0

1. DM = (-∞; +∞)

2. у = 0 при х = 0

3. Непрекъсната

4. Уmin = не същ., уmax = 0

5. нараства при х є (-∞; 0],

намалява при х є [0; +∞)

6.Ограничена отгоре, не ограничена отдолу

7. Област на стойностите y є (-∞; 0]

8. У < 0 при х є (-∞; 0) U (0; +∞), у >0 не съществува

Задача. Решете уравнението:- х2 = 2х - 3

Ще решим задачата конструктивно. Тъй като у = - х2 е квадратна функция, то графиката е парабола, отворена надолу (k = - 1)

у = 2х – 3 е линейна функция, графиката на която е права.

Построяваме двете графики и търсим общите им решения.

Отговор: х = - 3; х = 1

2y ax bx c Пълната квадратна функция има вида:

Графиката и е парабола, с върха надолу при a>0 и върха нагоре, при a<0.

a>0 a<0

Ако 0, квадратната функция ( )

расте при   ; и намалява 2

при ;2

a f x

bx

a

bx

a

Ако 0, квадратната функция ( )

расте при   ; и намалява 2

при ;2

a f x

bx

a

bx

a

2xy 2)4( xy 2)3( 2 xy

X

Y

Отговорете на въпросите:

1. Колко графики на квадратни функции са изобразени?

2. Координати на върха на зелената парабола?

3. Оста на синята парабола?

4. Определете знака на коефициента а?

Посочете уравнението на всяка от функциите:

2)1( xy2( 4) 2y x

22xy

1)4( 2 xy

2)5( 2 xy22 16 32y x x

1)1( 2 xy2)1( xy

Установете съответствието между графиките и функциите:

Установете съответствието:

12 xxy

xxy 2

32 xxy

Задача: Постройте графиките на функциите:

12 xyxxy 22

2)1( xy

132 xxy2xy

2)1( xy

21 xy

12 xy

xxy 22

2)1( xy

132 xxy

2xy

2)1( xy

21 xy

Задача: Постройте графиките на функциите самостоятелно:

2)1( xy

xxy 22

122 xxy

22 2 хy

12 2 хymax 1у

min 2у

Задача: Определете най-голямата и най-малката стойност на функциите

Отг.

Отг.

20 3-3 -2 -1

-1

1

2

3

x

y

1

?

Задача: На коя графика съответства функцията: y=(x+3)2-1