Квадратни уравненияобобщение

Съдържание:

Квадратно уравнение – определение, класификация

Решаване на квадратно уравнение Теорема на Виет. Приложения Разлагане на квадратния тричлен на

множители Тест – проверка на знанията

Определение за квадратно уравнение:

Уравнение от вида ах2+bx+c=0, където а,b и с са реални числа и а≠0, х - неизвестна величина се нарича квадратно уравнение.

Числата а,b,c се наричат коефициенти на уравнението. Числото а – първи (старши, главен) коефициент, b – втори коефициент, с – свободен член.

Класификация

Квадратни уравнения

непълни

пълниaх2 + bx + c = 0

приведениx2 + px + q = 0

b = 0;ax2 + c = 0

c = 0; ax2 + bx = 0

b = 0; c = 0;ax2 = 0

Непълни квадратни уравнения:

( )

−=

==+=+=≠

a

bx

x

baxx

bxax

cb

0

0

,0

0;02

( )

−=

==+=+

3

4

0

043

,043 2

x

x

xx

xx

2

2

0; 0

0,

0,

0,

b c

axс

сx

ас

ако то няма корениа

с cако то x

а a

= ≠+ =

=−

− <

− > =± −

3

3

0155

4

082

2

2

2

2

±=

==−

−==+

x

x

x

x

x

0

,0

0

;0

2

==

==

x

ax

c

b

0

07 2

==

x

x

- няма корени

Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение

а

вх

2

−= а

Dвх

22,1

±−=

ах²+bх+с=0

Определяме коефициентите а,b,c

Aко D<0, то

Изчисляваме дискриминантата D = b2 – 4ac

Ако D=0, то

2 корeна

Ако D>0, то

1 коренУравнението няма реални

корени

а

Dвх

22,1

±−=а

вх

2

−=

Примери за решаване на квадратно уравнение по формула

Пример 1: 3х2 + 11х + 6 = 0 а = 3; b = 11; с = 6;

D = b2 – 4ac D = 112 – 4.3.6 = 49 > 0

→ уравнението има 2 корена

3

2

6

711

;36

7116

711

3.2

4911

2

1

2,1

−=+−=

−=−−=

±−=±−=

х

х

х

Примери за решаване на квадратно уравнение по формула

Пример 2 : 9х² - 6х + 1 = 0 а = 9; в = -11; с = 1

D = (-6)² - 4.9.1 = 36 – 36 = 0

D = 0 → уравнението има 1 корен.

Х=

Пример 3: -2х² + 3х – 5 = 0 а = -2; в = 3; с = -5.

D = 3² - 4.(-2).5 = 9 – 40 = -31 < 0

→ уравнението няма реални корени.

3

1

18

6

9.2

)6( ==−−

Ако x1 и x2 са корени

на x2 + px + q = 0, то

x1+x2=-p, x1x2=q.

Други съотношения между корените и коефициентите на приведеното квадратно уравнение x2 + px + q=0:

Ако x1 и x2 са корени

на ax 2 + bx +c = 0, то

x1+x2= - , x1x2=a

bа

с

( ) qpxxxx

xxxxxxxx

22

222

212

21

212221

21

22

21

−=−+=

=−++=+

Теорема на Виет

Приложение формулите на Виет

, xx

, xx

, x x

–

ac – bD

x – x

24

14

122

10096196

4

02414

21

21

21

2

2

=⋅=+

===

===+

,значи корените имат различни знаци

,значи по-големия по модул корен е отрицателен

Намираме корените :

10

49101432

0103

21

2

−=⋅=⋅⋅=

=+

xx

)(--D

x – x

321 −=+ xx

2;5 21 =−= xx

Разлагане на квадратния тричлен на множители

аx2 + bx + c =

a( x - x1 )( x – x2 )при D > 0

a( x – x1 )2

при D = 0Неразложим

при D < 0

Примери за разлагане на квадратен тричлен

х2 + 5х – 6 = 1.(х – (-6))(х – 1) = (х + 6)(х – 1)При D > 0 и х1 = -6; х2 = 1;

4х2 – 4х + 1 = 4(х - ½)2 = (2х – 1)2

При D = 0 и x1=½

x2 + 2x + 9 → неразложимПри D < 0

Тест – проверка на знанията

Ключ с верните отговори на теста

Вариант 1

1 – Г

2 – Г

3 – Г

4 – Б

5 – В

6 – Г

7 – В

Вариант 2

1 – В

2 – Б

3 – В

4 – Б

5 – Б

6 – Г

7 – Б

Квадратни уравненияобобщение

Изготвил :

Мариянка Балъкова –

учител по математика; В.Търново