L-systems

L-systems

και υλοποίηση στο scratch

Ναστάκου Μαρία

Διπλωματική εργασία

Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Πλατής

2

Πίστευε ότι η διαδικασία ανάπτυξης των φυτών βασίζεται στη γεωμετρία των fractals και για να μελετήσει τη μορφή τους στράφηκε σ΄ ένα μαθηματικό εργαλείο που ονομάζεται L-system

L-systems – είδος fractals

Ναστάκου Μαρία * L- systems * Μάιος 2013

Mandelbrot

Τα Fractals είναι γεωμετρικά σχήματα που περιγράφουν τους σχηματισμούς της φύσης

και παρουσιάζουν εντυπωσιακά χαρακτηριστικά: o πολυπλοκότηταo αισθητικότητα o αυτοομοιότηταo διάσταση μικρότερη του 2 (ή ανάμεσα στο 2 και 3 – καμπύλη επιφάνεια )

Prusinkiewicz

3

Τα L-systems για πρώτη φορά παρουσιάστηκαν το 1968 από τον Aristid Lindenmayer 1925-1989) σαν μια μαθηματική θεωρία της ανάπτυξης των φυτών, που χρησιμοποιήθηκε για να μοντελοποιήσει

o τη διαδικασία ανάπτυξης των φυτώνo τη μορφολογία μεγάλης ποικιλίας οργανισμών, αλλά καιανόργανες μορφές όπως κρύσταλλοι ή άλλες φυσικές μορφές

Lindenmayer-1968


Πολύπλοκες δομές διακλάδωσης

Ανώτερα φυτά

πολυκύτταροι

4

Κεντρική έννοια των L-systems είναι η έννοια της επανεγγραφής. τεχνική με βάση την οποία καθορίζονται σύνθετα αντικείμενα με διαδοχική αντικατάσταση μερών από ένα απλό αρχικό αντικείμενο χρησιμοποιώντας ένα σύνολο κανόνων επανεγγραφής ή αναπαραγωγής. Η επανεγγραφή μπορεί να γίνει αναδρομικά

L-systems & αυτοομοιότητα

τα L-systems είναι βασικά αναδρομικές διαδικασίες


υποκατάσταση συμβόλων από σύμβολα

γραφική αναπαράσταση των συμβολοσειρών.

5

Τα L-systems είναι τώρα κοινώς γνωστά ως παραμετρικά συστήματα που ορίζονται από μια πλειάδα:

G = (V, ω, P),όπου:

o V (το αλφάβητο) είναι ένα σύνολο συμβόλων που περιέχουν στοιχεία τα οποία μπορούν ν’ αντικατασταθούν (μεταβλητές)o ω (αξίωμα) είναι μια σειρά συμβόλων από το V που ορίζει την αρχική κατάσταση του συστήματος.o P είναι το σύνολο κανόνων παραγωγής που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο οι μεταβλητές μπορούν ν’ αντικατασταθούν με συνδυασμό των σταθερών και άλλων μεταβλητών.

Γραμματική

τερματικά σύμβολα

μη τερματικά σύμβολα

αξίωμα

κανόνες παραγωγής


6

Χαρακτηριστικό γνώρισμα των L-systems είναι η ταυτόχρονη εφαρμογή των κανόνων που τα διακρίνει από μια τυπική γλώσσα που παράγεται από μια τυπική γραμματική.

Γραμματική

Έτσι τα L-systems δεν είναι γλώσσα αλλά αυστηρά υποσύνολα γλωσσών


Οι λέξεις κτίζονται αναδρομικά εφαρμόζοντας τους κανόνες παραγωγής σε κάθε επανάληψη για να σχηματίσουν μεγαλύτερες και πολυπλοκότερες: o Αξίωμα (αρχική συμβολοσειρά)o κανόνες για κάθε μη τερματικό σύμβολο --- νέα μεγαλύτερη συμβολοσειρά o επανάληψη όσες φορές ορίσουμε εμείς---τελική συμβολοσειρά (l-system.

7

Τα L-systems επεκτείνουν συμβολοσειρές (strings) και η επέκταση αυτή βασίζεται σε ντετερμινιστικούς κανόνες(προβλέψιμο το αποτέλεσμα).

Η διαδικασία της επανεγγραφής αρχίζει από ένα αρχικό string.

κάθε εμφάνιση του συμβόλου Α στη τρέχουσα συμβολοσειρά αντικαθίσταται από το ΑΒ …

Γενικό παράδειγμα


8

L-system «χελώνα» Ένα απλό L-system ονομαζόμενο «χελώνα» (ή αντίστοιχα γάτα του scratch, χρησιμοποιείται για τη γεωμετρική απεικόνιση δομών

Η χελώνα(η ο γάτος για το scratch με τις εντολές της πένας) είναι ένα εργαλείο ζωγραφικής για τη γεωμετρική ερμηνεία μιας παραγόμενης συμβολοσειράς(string)

Καθώς διαβάζεται η συμβολοσειρά η χελώνα εκτελεί συγκεκριμένες εντολές για ορισμένα σύμβολα και αλλάζει τη θέση-κατάστασή της. Κάθε μετακίνηση ορίζεται με πέντε θεμελιώδη σύμβολα που είναι τα F,+,-,[,]. F σημαίνει «κινήσου προς τα εμπρός».

+ σημαίνει «στρίψε προς τα δεξιά κατά μια συγκεκριμένη γωνία »

- σημαίνει «στρίψε προς τα αριστερά κατά μια συγκεκριμένη γωνία »

[ σημαίνει «θυμήσου αυτό το σημείο-τοποθεσία»

] σημαίνει «επέστρεψε στο σημείο της μνήμης


9Ναστάκου Μαρία * L- systems * Μάιος 2013

παραδείγματα L-systems

Peano Hilbert

Levy Koch

sierpinski Dragon


Ειδικά παραδείγματα L-systems

Tiling: είναι η κάλυψη ενός επιπέδου με πλακάκια χωρίς επικαλύψεις και κενά. Μπορούν να εκφραστούν ως L-systems αφού παράγονται με αναδρομικές διαδικασίες :Επανάληψη περιοδικά ή απεριοδικά μιας ομάδας πρωτότυπων πλακών (prototiles).

Δομές διακλάδωσης: Τα χρησιμοποιούμε για να προσομοιώσουμε την ανάπτυξη φυτών και δέντρων. Χρησιμοποιούμε τις αγκύλες ως σύμβολα οριοθέτησης των κλάδων. (bracketed L-Systems)

11

Είδη L-systems Τα L-systems είναι ντετερμινιστικά συστήματα.H προσθήκη βελτιώσεων είχε σαν αποτέλεσμα διαφορετικά είδη:

o Πρότυπα (εφαρμόζεται ένας κανόνας για κάθε μη τερματικό σύμβολο)Π.χ.καμπύλη του «von Koch»

o Στοχαστικά (για κάθε μη τερματικό σύμβολο χρησιμοποιούμε 2 ή περισσότερους κανόνες με πιθανότητες) – επιλέγονται με βάση κάποια παράμετρο βαρύτητας


variables :

F

constants :

+ − [ ]

start: F++F++F

rules: F→ F-F++F-Fangle : 60°

a=a+b κανόνας 1a 50% πιθανότητα

a=a-bb κανόνας 1b 50% πιθανότητα

b=aFa-a κανόνας 2a 30% πιθανότητα

b=aFFba κανόνας 2b 70% πιθανότητα

12

oΠαραμετρικά : (είναι ο συνδυασμός των αριθμητικών παραμέτρων και των συμβόλων)κάθε σύμβολο έχει μια λίστα από παραμέτρους που σχετίζονται με αυτό. Ένα σύμβολο σε συνδυασμό με τη λίστα παραμέτρων του ονομάζεται module και μια συμβολοσειρά είναι μια σειρά από modules.(π.χ. a(0,1)

[b(0,0)]a(1,2))

a(x,y) : x = 0 → a(1, y+1)b(2,3) κανόνας παραγωγής (ο κανόνας εφαρμόζεται όταν ικανοποιείται ο όρος x = 0)

Στο τμήμα τροποποίησης του κανόνα παραγωγής οι παράμετροι καθώς και ολόκληρα τα modules μπορεί να επηρεαστούν.

Το module b(x,y) προστίθεται στη συμβολοσειρά με αρχικές παραμέτρους (2,3). Επίσης οι παράμετροι του ήδη υπάρχοντος module έχουν τροποποιηθεί σύμφωνα με το κανόνα παραγωγής

a(0,2) → a(1,3)b(2,3)

Είδη L-systems


13

o Χρονικά (οι κανόνες εξαρτώνται από μεταβλητές χρόνου όπως επαναλήψεις, βρόγχοι, ηλικία κ.λ.π.)


a , b μη τερματικά σύμβολα+ , - , F τερματικά σύμβολαa το αξίωμαa = a+b κανόνας που ισχύει στη 1η

επανάληψηa = ab κανόνας που ισχύει στη 2η επανάληψηa = a[+b] κανόνας που ισχύει στη 3η επανάληψηa = ab κανόνας που ισχύει στη 4η επανάληψηb=aFb-a κανόνας που ισχύει για όλες τις επαναλήψεις

Είδη L-systems o Εξαρτώμενα από τα συμφραζόμενα (οι κανόνες επιλέγονται ανάλογα με τους γείτονες του ενεργού συμβόλου)a , b μη τερματικά

σύμβολα+ , - , F τερματικά

σύμβολαa το αξίωμαa(>null or [ or ]) = a+b κανόνας 1aa (>+)= a[+b] κανόνας 1ba (>F)= ab κανόνας 1ca (>b)= null κανόνας 1db=aFa-a κανόνας 2

14

Το scratch είναι μια δυναμική γλώσσα προγραμματισμού που δημιουργήθηκε από το MIT Media Lab (ερευνητικό εργαστήριο) που προσφέρει ένα μαθησιακό περιβάλλον και καθιστά εύκολη τη κατασκευή:

Προγραμματισμός με το Scratch

o Αλληλεπιδραστικών ιστοριώνo Παιχνιδιώνo Animations (κινούμενα σχέδια)o Simulations (προσομοιώσεων)o Ψηφιακή τέχνη

Το scratch ανήκει στη κατηγορία των ανοικτών μικρόκοσμων στους οποίους υπάρχουν οντότητες και με αυτές ο χρήστης δημιουργεί αντικείμενα


15

Το καινοτόμο στη γλώσσα scratch είναι ότι για να γράψουμε ένα πρόγραμμα

o Δεν πληκτρολογούμε το κώδικαo Η γλώσσα δομείται όπως ένα πάζλo Σύρουμε έτοιμες τις εντολές

Προγραμματισμός με το Scratch


16

Το scratch μπορεί να συνδράμει σημαντικά στην υποβοήθηση της εκπαίδευσης και κυρίως για τη πληροφορική, τα Μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες.

o Είναι μια πρακτική μάθησης μέσω σχεδιασμού oΠροσφέρει ευκαιρίες ομαδοσυνεργατικής μάθησης.

o Ευκολία δημοσίευσης και διαμοιρασμού των έργων στο διαδίκτυο

…δημιουργική

εκπαιδευτική συναλλαγή


17

o την οπτικοποίηση φυσικών φαινομένων- μεγεθών (π.χ. ανάκλαση ,κάτοπτρο , υδροστατική πίεση κύκλος του νερού)

o δυνατότητα εμφάνισης διασυνδεδεμένων πολλαπλών αναπαραστάσεων

o άμεσος χειρισμός των εικονικών αντικειμένων

Στην εκπαιδευτική διαδικασία π.χ. στις φυσικές επιστήμες βοηθά για:


http://scratch.mit.edu/projects/marynasta/806989




http://scratch.mit.edu/projects/dapontes/785831


18

o Να δημιουργήσει συλλογές έργων όπως:

• geography

Στην εκπαιδευτική διαδικασία

• Best of Geometry

• Math projects

• Physics Lab at Scratch

• Optics for Education

• Cellular Automaton and L-System


http://scratch.mit.edu/users/showgalleries/407266

http://scratch.mit.edu/galleries/view/23072








http://scratch.mit.edu/users/showgalleries/407266
















19

o Συμμετέχουν σε συζητήσεις (forum) και ανταλλάσσουν εμπειρίες και έργα με συναδέλφους.

o μπορούν να εντοπίσουν και άλλους εκπαιδευτικούς που χρησιμοποιούν το scratch από τη περιοχή τους αλλά και από όλο τον κόσμο.

o Να ενημερωθούν για διάφορες εκδηλώσεις ή πηγές σχετικά με το scratch

Το scratched είναι ένας ιστότοπος που έχουν δημιουργήσει οι άνθρωποι του scratch ειδικά για τους εκπαιδευτικούς.


http://scratched.media.mit.edu/

20

Scratch 2.0

o Μπορείς να δημιουργήσεις νέα blocks-εντολέςo backup (αποθήκευση sprites και blocks)o cloud data : με τη χρήση μεταβλητών δημιουργείς δεδομένα στα οποία μπορούν να έχουν πρόσβαση όλα τα μέλη o κλωνοποίηση να δημιουργείς πολλά αντίγραφα ενός και μόνο scripto να χρησιμοποιήσεις τη web-camera για την ανίχνευση κινήσεων σώματος

Είναι η νέα έκδοση του scratch που μπορείς να προγραμματίζεις onlineΜε επιπλέον χρήσιμα χαρακτηριστικά:


http://beta.scratch.mit.edu/projects/10082487/





21

kinect2scratch … επιτρέπει δεδομένα από

το Microsoft Kinect controller να σταλούν στο scratch (γλώσσα προγραμματισμού για

παιδιά)Ο καθένας δλδ μπορεί να γράφει προγράμματα με

έλεγχο κίνησης με χρήση χειρονομιών φτιάχνεις παιχνίδια και γενικά

κάνεις άλματα στη διασκέδαση

και στη μάθηση

kinect2scratch


http://scratch.saorog.com/


Υλοποίηση στο scratch Για τη σχεδίαση της τρέχουσας γενιάςo τρεις λίστες(d, x, y)o ένα δείκτη j που δείχνει στη συμβολοσειρά (τρέχουσα γενιά)o c είναι το γράμμα που δείχνει το jΓια τη παραγωγή της επόμενης γενιάς ορίζουμε σαν γενιά τη προηγούμενη γενιάo δείκτης i που δείχνει στη συμβολοσειρά (προηγούμενη γενιά)

23

variables : FConstants + − [ ]start : F+F-Frules : F→ F+F-Fangle : 120°


καλοκαίρι-Tetragon curve

Μέλος της οικογένειας των αυτοπαρόμοιων fractal curves που μπορούμε να προσεγγίσουμε με αναδρομικές μεθόδους όπως τα L-systems





Φθινόπωρο- δομή διακλάδωσης

variables : F

constants : + − [ ]

start : F

rules : F→ FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]

angle : 22.5°


variables :

F

constants :

+ − [ ]

start: F++F++F

rules: F→ F-F++F-Fangle : 60°

Χειμώνας – koch curve

Πρότυπο L-system

26

variables : F

constants : + − [ ]

start : [F]

rules : F→ F[+F][-F] , F→ F[+FL][-FL][FL]

angle : 30°


Άνοιξη – tree

Στη τελευταία επανάληψη παραγωγής της τελευταίας γενιάς εφαρμόζεται ο δεύτερος κανόνας που δημιουργεί και το ενδιάμεσο κλαδί αλλά και την αποτύπωση των φύλλων

27

variables : F

constants : + −

start : F-F-F

rules : F→ F-F+F+F-F

angle : 120°


Sierpinski – triangle

Μέλος της οικογένειας των αυτοπαρόμοιων fractal curves που μπορούμε να προσεγγίσουμε με αναδρομικές μεθόδους όπως τα L-systemshttp://scratch.mit.edu/projects/marynasta/

2808241



28

variables : F,Χ

constants : + −

start : F-F-F

rules : F→ F-F+F+F-F, X→FF

angle : 120°


Sierpinski – version2





Sierpinski – scratch 2.0

χρήση κατάλληλου νέου block-εντολής

που είναι μια εντολή αναδρομής




30

variables : F,angle

constants : + , − , [ , ]

start : [F]

rules : F→ F[+FL][-FL]

angle : μεταβλητή


Real-olive tree

Η γωνία διακλάδωσης αλλάζει σε κάθε επανάληψη . Ενώ σε κάθε διακλάδωση είναι διαφορετικό το πάχος κάθε κλάδου




31

variables : F

constants : + , − , [ , ]

start : - F-

rules : F→ F+F-F-F+F-F

Angle : 90

Direction : 72


Περιοδικό tiling

Περιοδικού τύπου επικάλυψη που λαμβάνεται με τη μετατόπιση των πρωτότυπων πλακιδίων κατά ορισμένη απόσταση και κατεύθυνση.





32

Star_in_star

variables : F

constants : + , − , [ , ]

start : F

rules : F→ [F[+F][-F]F[++F][--F]], F→ FF

Angle : 90o





Απεριοδικό tiling

Χρησιμοποιούνται 4 διαφορετικές ενδυμασίες για τη κάλυψη της επιφάνειας με αποτύπωση (σφραγίδα)o αυτοπαρόμοιοo πενταπλή συμμετρία o συμμετρία ανάκλασης


