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RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS USANDO
LAS LEYES DE SENO Y COSENO
UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS
G.FG.11.5.1J. Pomales CeL
Introducción• No todos los triángulos
poseen un ángulo recto (90º)
• Aquellos triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama:
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS• Your subtopic goes here
Ninguno de ellos posee ángulos rectos
¿Qué es resolver triángulos?
• Calcular la medida de todos sus lados y ángulos.
• Anteriormente utilizamos SOHCAHTOA cuando eran triángulos rectángulos.
• Ahora utilizaremos la ley de senos y cosenos para resolver cualquier tipo de triángulos.
LEY DE LOS SENOS
¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la
relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemosángulo-lado-ángulo (ALA)
ángulo-ángulo-lado (AAL)
lado-lado-ángulo (LLA)
¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la
relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
c
Csen
b
Bsen
a
Asen
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Esta ley se puede utilizar de esta forma y ofrece el mismo resultado final
• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
54
126180
)7254(180
A
A
AEstrategia de solución
Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta)
Luego los otros lados utilizando la ley de los senos.
Cuidado: No siempre el ángulo que falta será igual a uno de los que aparezca en el triángulo
Ejemplo 1 para ALA
• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
x
xsen
sen
senxsensen
x
sen
Csen
c
Asen
a
63.17
)54(
)72(15
)54()72(157254
15
=54º
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solución
Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de los senos.
• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
y
ysen
sen
senysensen
y
sen
Bsen
b
Asen
a
15
)54 (
)54 (15
)54 ()54 (1554 54
15
=54ºx ≈
17.63 m
Ejemplo 1 para ALA
Estrategia de solución
Ahora calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:
Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó.
Para el caso AAL se puede trabajar de forma similar a ALA.
=54ºx ≈
17.63 m
y = 15 m
Ejemplo 1 para ALA
• Resuelve el triángulo de la derecha:
24
47
)123 (23
47
)123 (23
) (47)123 (23
123
47
23
1 sensen
sensen
sensen
sensen
sen
a
sen
b
Estrategia de solución
Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos
Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.
Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
Ejemplo 2 para LLA
47 cm23 cm
c
• Resuelve el triángulo de la derecha:
ccm
csen
sen
sencsensen
c
sen
sen
c
sen
a
31123
)33 (47
)123 ()33 (4733 123
47
Estrategia de solución
Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.
Ejemplo 2 para LLA
47 cm23 cm
33
147180
)12324(180
180
Por último, buscamos el lado que falta por la ley de senos.
c
Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
Estrategia de solución:
Como nos dan la medida de un lado
deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos
y encontrar d.
Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
1.14
9.165180
)3.1246.41(180
)(180
C
C
C
BAC
Ahora usamos la ley de senos para
encontrar d
Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
125
m
d
dsen
sen
sendsensen
d
sen
Asen
a
Csen
c
66.3401.14
)6.41(125
)1.14()6.41(1256.411.14
125
El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.
14.1º
LEY DE LOS
COSENOS
¿Qué establece la ley de los cosenos?• Cuando no se tiene entre
los datos un par de elementos opuestos la ley de senos no es suficiente.
• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos
lado-ángulo-lado (LAL)
lado-lado-lado (LLL)
¿Qué establece la ley de los cosenos?
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo.
Estrategia para resolver casos LAL con ley de cosenos
Paso Encuentre Método
1 El lado opuesto al ángulo dado
Ley de cosenos
2 Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados dados; siempre será agudo)
Ley de senos
3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos
• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b.
Ejemplo 4 para LAL
cmb
b
Baccab
Baccab
96.5
4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(
cos2
cos2
22
22
222
• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar .Puesto que el lado c es más corto que el lado a, debe ser agudo.
Ejemplo 4 para LAL
44.35
96.5
)4.32(45.6
)(
)()(
1
sensen
b
sencsen
sencsenb
sen
b
sen
c
• Resuelve el triángulo de la derecha
Paso 3: Calcular el tercer ángulo
Ejemplo 4 para LAL
16.112
)44.354.32(180
)(180
Estrategia para resolver casos LLL con ley de cosenosPaso Encuentre Método
1 El ángulo opuesto al lado más largo (hay que tener cuidado si el ángulo es obtuso)
Ley de cosenos
2 De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos
3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos
• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo , que está opuesto al lado más largo.
Ejemplo 5 para LLL
49.100
)8.17)(3.27(2
)8.17()3.27()2.35(cos
cos2
cos2
cos2
2221
222
222
222
ab
bac
abbac
abbac
• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β.Calculemos α.
Ejemplo 5 para LLL
69.49
2.35
)49100(3.27
)(
)()(
1
.sen sen
c
senasen
senasencsen
c
sen
a
• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β.
Ejemplo 5 para LLL
82.29
)69.4949.100(180
)(180
Referencia• PRECÁLCULO,
FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
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