Libro de 6o 2016 Jorge Eliécer TORRES González

TEMÁTICAS DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS 2016 GRADO: 6º.CONTENIDO

LOS SISTEMAS NUMÉRICOS...............................................................................................1LOS NÚMEROS NATURALES...............................................................................................9LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES.............................................................................20SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES.........................................................................27MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.....................................................................32DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES.................................................................................38DIVISIBILIDAD..................................................................................................................43POTENCIACIÓN.................................................................................................................52APRENDAMOS QUE ES LA LÓGICA PROPOSICIONES...........................................................59TRABAJEMOS CON CONJUNTOS.........................................................................................75REALICEMOS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS................................................................81LA ESTADÍSTICA................................................................................................................86NÚMEROS FRACCIONARIOS................................................................................................95ESTUDIEMOS GEOMETRÍA..................................................................................................113MEDIR...............................................................................................................................125PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO................................................................................139SISTEMA MÉTRICO DECIMAL...............................................................................................143POLÍGONOS........................................................................................................................149CALCULO DE PORCENTAJES. SiUSO DE LA REGLA, COMPÁS, ESCUADRA Y TRANSPORTADOR PARA CONSTRUIR Y CLASIFICAR ÁNGULOS, FIGURAS PLANAS Y SÓLIDOS GEOMETRICOS. SIMOLDES PARA CONTRUIR SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS.SISTEMA DE UNIDADES.ECUACIONES.ESTUDIO E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.PROBABIBLIDAD

Clase No 1. Fecha: /__/__/___/ Tiempo previsto._______LOS SISTEMAS NUMÉRICOS

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TEMA No.Indicador de logro:ACTIVIDAD No 1. Trabajo individual. LecturaLOS INDÍGENAS TAMBIÉN CUENTANUna de las expresiones intelectuales más antiguas del hombre es la de contar y comparar el número de elementos de ciertas colecciones de objetos. Esta característica nos diferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido” para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos.Por otro lado la historia de la matemática nos enseña que cualquier grupo humano, llámese pueblo, civilización, tribu, etc., por más primitivo que sea posee sus propias palabras y símbolos, al igual que ciertas reglas de formación, para representar las ideas que sobre números ellos poseen. Así por ejemplo en nuestro país tribus como los Ticunas en el Amazonas, los Motilones en el Norte de Santander, poseen solo palabras para expresar los números, en cambio los Mayas en Centroamérica, además de palabras tienen símbolos para representar números. (Ver tabla de sistemas de numeración, Actividad 4).Con el transcurrir del tiempo se fueron estableciendo símbolos y reglas de formación y, fue así como a partir del siglo XVI, el sistema de numeración indo-arábigo o decimal terminó por imponerse en la mayoría de los países del mundo.El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India y la segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lo trajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera, a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. A este sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemas en otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan los computadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y 1. Y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.

+

0 1

0 0 1 1 1

10

* 0 1 0 0 0 1 1 1

Comenta la lectura con tus compañeros.ACTIVIDAD No 2. Trabajo en gruposRespondo las siguientes preguntas:1. ¿Has oído hablar o has visto números diferentes a los indo-arábigos? ¿Cómo se llaman? Escribe 5 de estos números.2. Ahora escribe estos 5 números en el sistema decimal. Compara sus escrituras y escribe tus conclusiones.3. ¿Qué diferencia y qué semejanza encuentras cuando lees lo siguiente: 3, tres, three, III?4. Considera el número 4838. De izquierda a derecha, ¿qué representa el primer 8, el 3? ¿y el último 8?5. ¿La expresión “valor posicional” te dice algo de matemáticas?• Comparemos las respuestas de cada uno: ¿Son iguales? ¿Difieren?• Aclaremos dudas.

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Clase No 2. Fecha: /__/__/___/ Tiempo previsto._______Indicador de logro:ACTIVIDAD 3. Trabajo en grupoTrabajemos con el Ábaco.El ábaco abierto es un instrumento de madera, muy sencillo en su forma y de fácil manejo, pero con el que se puede construir conocimiento matemático que nos interesa.

El Ábaco se utiliza para representar Números:Para representar números usando el ábaco, primero decidimos “de a cuánto vamos a contar”. Ejemplo: si decidimos que vamos a contar “de a diez”, esto significa que cada vez que se tenga 10 fichas en una varilla, éstas se pueden y deben reemplazar por una ficha colocada en la varilla siguiente trabajando de derecha a izquierda, es decir: 10 unidades.

10 fichas de la varilla 1 (figura de la izquierda) se reemplazan por 1 ficha de la segunda varilla (figura de la derecha)Ahora si decidimos contar “de a dos” tendríamos:

Si se desea representar 13 fichas en el ábaco y contar “de a diez” se procede así:

El número 328 en el ábaco se representa así:

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Si en cambio queremos contar “de a 2”, veamos cómo representamos 7 fichas.

Es decir, si contamos “de a 2”, 7 fichas se representan como 111, o sea, 111 = 1x22 + 1x21 + 1Comparemos 13 fichas representándolas en los casos anteriores. Hazlo en tu ábaco.13 = 1x10 + 3.13 = 1 1 0 1 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1x20, aquí decimos que es trece con base dos, y lo representamos como 11012.• Similarmente podemos contar “de a cinco” y para este caso 7 fichas se representan... Completa el gráfico, pero hazlo antes en tu ábaco.

Ahora usando tu ábaco, ¿cómo representarías el número 23 contando “de a ocho”?Analiza lo siguiente:La base de un sistema de numeración corresponde al número “de a cuántos vamos a contar”Si vamos a contar “de a ocho” la base es ocho, si en cambio vamos a contar“de a diez” la base es diez.En casos anteriores veíamos que:• Con base 10:328 = 3x102 + 2x101 + 813 = 1x101 + 3• Con base 2:1101 = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20

10 = 1x21 + 0x20

Las expresiones ubicadas a la derecha del signo = en las 4 expresiones anteriores son representaciones polinómica de esos números, es decir, se representa el mismo número pero de manera diferente algo así como cuando en vez de Santafé de Bogotá escribimos “la capital de Colombia”.Ahora considera el número 1101 con base 2. El primer 1 encontrado de izquierda a derecha representa 1x23 o sea ocho, el último 1 representa 1. ¿Qué representa el segundo 1?Luego dependiendo del lugar donde se encuentre el 1 en el número 1101, éste representa valores diferentes. Cuando esto sucede, se dice que el sistema de numeración hace uso del principio del “valor posicional”.¿Será que el sistema de numeración romano hace uso de este principio?

CONCLUYE:Un sistema de numeración es una colección de símbolos junto a unas reglas de formación de nuevos símbolos, los cuales nos sirven para representar números.ACTIVIDAD No 4. Trabajo grupal.Responde:1. ¿Por qué no usamos en nuestra cotidianidad el sistema con base 2 sabiendo que sólo usamos el 1 y el 0?2. ¿Cómo serán las tablas de multiplicar en el sistema binario?3. Efectúa 1111 + 1010 con base dos.4. Encuentra las expresiones polinómicas de dos números de dos cifras con base 4 y dos números de tres cifras con base 7.

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Clase No 3. Fecha: /__/__/___/ Tiempo previsto._______Sistemas de Numeración EscritosIndicador de logro:

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Clase No 4. Fecha: /__/__/___/ Tiempo previsto._______CONCEPTOS BASICOS DE LÓGICA. PROFESOR LIC. Jorge Torres G. Grado: 6º__TEMA NO 1. Proposiciones.Indicador de logro: Identifica y escribe proposiciones abiertas y cerradas.El ser humano tiene una valiosa posibilidad de poderse expresar y comunicar con los demás. Esta comunicación puede ser oral, escrita o figurada. Si lo hace oralmente, emplea el lenguaje hablado; si es escrita, usa símbolos; si es figurada utiliza señales convencionales. Estas formas facilitan la comunicación con otras personas y permite analizar y comprender los mensajes que recibimos. Los conceptos de lógica que estudiaremos en este capítulo serán de gran utilidad para aprender a utilizar símbolos convencionales y reglas que dan mayor claridad y precisión a la comunicación con lo cual desarrollaremos habilidades para descifrar mensajes y enriquecer nuestros conocimientos.Para realizar el estudio de la gramática, partimos esencialmente de la oración y sus clasificación (declarativas, interrogativas, exclamativas, etc.) Pero en matemáticas nos interesa estudiar las oraciones declarativas o enunciativas, las cuales nos permiten dar a conocer una información.¿Qué aprenderé?A realizar análisis de textos leídos en forma comprensiva.A identificar los objetos del entorno como elementos de un conjunto.¿Para qué me sirve lo aprendido?Para expresarte bien, sin ambigüedades.Para interpretar la realidad desde un lenguaje matemático.Diccionario matemáticoProposición u Oración gramatical: Conjunto de elementos lingüísticos que forman una unidad completa y con sentido.Sujeto: Persona, animal o cosa de quien se dice algo.Predicado: Lo que se dice o predica del sujeto.Proposición Lógica: Expresión con sentido completo de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera.Conectiva Lógica: Partícula de enlace entre proposiciones simples para una proposición compuesta.Definición: Enunciado claro y exacto que da el significado de una palabra o la naturaleza de un ser.Concepto: Pensamiento o idea formada después de examinadas las circunstancias.Símbolos:P, q, r, s,…: Letras con las cuales generalmente se representan las proposiciones lógicas.Λ: Conectiva lógica llamada conjunción, se lee “y”.˅: Conectiva lógica llamada disyunción, se lee “o”~: Negación, se lee “no es cierto que…”→: Conectiva lógica llamada implicación, se lee “si…entonces…”Ideas previas.Establecer diferencia entre oración gramatical y frase.Identificar los diferentes tipos de oraciones.Realizaremos una actividad de “libre expresión” y la efectuaremos a través de un dibujo.Cada alumno deberá tener una hoja de papel en blanco tamaño carta y lápices de colores.Cada alumno debe trazar un margen a 2,5cm de los borde de la hoja, escribir su nombre en la parte superior izquierda de la hoja y después dibujar lo que dese.Al terminar de dibujar, el grupo de estudiantes y el profesor seleccionarán los dibujos más creativos para felicitar a sus autores.Cada alumno debe describir su dibujo y basados en ella Seleccionar las oraciones más sencillas en su estructura gramatical. Para cada una de las oraciones seleccionadas determinar el sujeto, el predicado y

otros elementos gramaticales. ¿Qué significado tiene el sujeto de una oración?

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¿Qué significado tiene el predicado de una oración? ¿Qué significado tiene el verbo en una oración?Lee las siguientes oraciones:En la oración: “El día 7 de agosto de cada año se celebran las Ferias y Fiestas del pueblo.”El sustantivo es: las Ferias y Fiestas del pueblo.El sujeto implícito es: 7 de agosto.El predicado es: El día 7 de agosto de cada año se celebran.El verbo es: se celebran. Cuatro por siete es igual a cincuenta y tres. El Cuadrilátero tiene tres lados. Los lados de un triángulo isósceles miden lo mismo. Veintiuno no es un número primo. Rosalinda está durmiendo. Las vacas gruñen cuando están bravas.Las oraciones anteriores se caracterizan por que cumplen dos condiciones especiales: Tienen sentido completo. Pueden ser verdaderas o falsas según su contenido.Este tipo de oraciones reciben el nombre de proposiciones.Las proposiciones 1, 2 y 6 son falsas; la 3 y la 4 son verdaderas. Sin embargo la 5 depende de las circunstancias, pero es verdadera o falsa.Identifica proposiciones.De las siguientes oraciones, señala las que son proposiciones:1. ¿Qué hora es?2. ¡Buenas tardes!3. X + 12 = 23.4. Los animales son seres racionales.5. Tres puntos determinan un triángulo.6. Dos rectas paralelas no se cortan en punto.

Las oraciones 1 y 2 no son proposiciones, por cuanto no se les puede asignar un valor de verdad.La oración 3 no es una proposición, porque aunque tiene sentido, puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor que se le dé a x.La oración 4 es una proposición con valor de verdad único (falsa) Las oraciones 5 y 6 son proposiciones con valor de verdad único (verdadero

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SOLUCIÓN

Clase No 5. Fecha: /__/__/___/ Tiempo previsto._______CONCEPTOS BASICOS DE LÓGICA. PROFESOR LIC. Jorge Torres G. Grado: 6º__Indicadores de logro: Define y simboliza proposiciones simples.Define y simboliza proposiciones abiertas y cerradas.Proposiciones simples. Son las que no pueden descomponerse en otras proposiciones. Estas proposiciones no emplean conectivas lógicasNotación de Proposiciones.Las proposiciones se denotan o simbolizan con letras minúsculas, como: p, q, r,…, estas letras reciben el nombre de variables proposicionales.Para representar una proposición simbólicamente, procedemos así: Se escribe la variable proposicional, y a continuación dos puntos seguidos de la proposición dada.Ejemplo: Representar simbólicamente las proposiciones de los ejemplos anteriores.1. Veamos para el ejemplo 1, elegimos como variable proposicional a la letra “c”.2. Se escribe la variable proposicional , a continuación dos puntos seguidos de la

proposición dada, es decir: c : Cuatro por siete es igual a cincuenta y tres.Proposiciones abiertas y cerradas.Toda proposición simple puede ser cerrada o abierta.Proposición cerrada.No tiene términos variables o no determinados.Ejemplo: Albert Einstein inventó el telescopio.Proposición abierta.La expresión tiene términos variables o indeterminados.Ejemplo: _________es el título de una canción de Alfredo Gutiérrez.Una proposición abierta se puede transformar en cerrada si se reemplazan los términos variables por términos elegidos de un conjunto referencial U.Ejercita lo aprendido.

1. Escribe cinco proposiciones cerradas.2. Escribe cinco proposiciones abiertas.3. Determina si las proposiciones siguientes son abiertas o cerradas:4. Las proposiciones abiertas del ejercicio anterior conviértelas en proposiciones

cerradas y verdaderas.5. Escribe cuatro proposiciones abiertas, tal que sólo tengan una solo posibilidad de

ser cerrada y verdadera:6. Escribe cuatro proposiciones cerradas que no sean verdaderas.7. Relaciona, con una línea, cada expresión de la columna izquierda con una condición

de la columna de la derecha, de tal manera que se obtengan proposiciones verdaderas.

8. Transforma las proposiciones abiertas siguientes en proposiciones cerradas, escribiendo en los espacios en blanco elementos del conjunto de los números naturales N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…}.

9. Convierte las proposiciones cerradas siguientes en abiertas:

Firma del acudiente: ___________________________ Fecha: _______________

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CLASE No 6. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______________Indicador de logro:

Ahora usted haga lo mismo con los demás ejemplos.Ejercita.Lee las siguientes oraciones: ¿Qué día es hoy? Facilítame tu bolígrafo. ¡Despiértate! Por favor, bríndale una silla. Tal vez no vuelva. Ojalá este en casa.Para tener en cuenta:

El requisito para que una oración sea una proposición es que pueda, definitivamente, decirse si es verdadera o si es falsa. En algunos casos la verdad o falsedad de una proposición puede ser bien conocida. En otros se sabría después de verificarlo, para lo cual se requiere tiempo, que puede ser largo o corto.Como puedes observar en estas oraciones, no podemos afirmar que sean verdaderas o falsas. Esto nos dice, que no son proposiciones, son expresiones con sentidos más no tiene valor de verdad.

Ejercicios Propuestos

Argumentación!1. Sustenta por qué cada una de las siguientes oraciones son o no proposiciones. Prohibido conducir embriagado. Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados. Todo triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales. Silencio. Gracias. ¿De quién es el perro? El Sol es una estrella. Siempre aparece la misma cara de la Luna.2. Escribe cinco proposiciones verdaderas o cinco falsa que expresen conceptos

matemáticos.3. Escribe cinco oraciones que no sean proposiciones.4. Con base en la oración “…es un insecto”, construye cinco proposiciones falsas.5. Con base en la oración “… es un polígono”, construye cinco oraciones verdaderas.

Firma del acudiente: ______________________________ Fecha: _______________

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CLASE NO 7. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______________Valor de verdad de una proposición simple.Indicador de logro.Identifica y escribe proposiciones simples.Determina el valor de verdad de una proposición simple.Interpretación.Describe con tus palabras lo que entiendes por una proposición.Expresa por escrito las diferencias entre una oración y una proposiciónEjemplo: t: El triángulo tiene tres lados.s: El cangrejo es un ave.r: 8x3 = 24.v: Cundinamarca es un departamento de Colombia.c: El cuadrilátero tiene cuatro lados.Negación de una proposición.Para negar una proposición verdadera, se le coloca la palabra no a la proposición.La negación de una proposición verdadera es una falsedad y la negación de una proposición falsa es una verdad.Sea p: Dos es un número par. La negación de p se escribe así; ~p: Dos no es un número par.~p: No es cierto que dos sea un número par.~p: Dos es un número impar.~p: se lee “no p” “no es cierto que p…..”Tablas de verdad para las proposiciones simples.Si p: Cundinamarca es un departamento de Colombia. (v)~p: Cundinamarca no es un departamento de Colombia. (f)En una tabla de verdad quedarían presentados los valores de verdad de la proposición

p ~pv f f v

Si una proposición es verdadera, su negación es falsa.Si una proposición es falsa, su negación es verdadera. Autoevaluación¿Cómo te pareció la temática de la clase No 1?¿Cuál fue lo más difícil por comprender? ¿Por qué?¿Qué propones a tu profesor para mejorar las dificultades de comprensión?Actividades de afianzamiento y reflexión.Agregas más actividades

Firma del acudiente: __________________________Fecha: ____________

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CLASE NO 8. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ________________Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.Indicador de logro: Identifica los conectivos lógicos, y determina el valor de verdad de una proposición compuesta.En nuestra comunicación existen muchas proposiciones simples, las cuales pueden ser combinadas para formar nuevas proposiciones, y estas nuevas proposiciones que obtienen de la combinación de las proposiciones simples y los conectivos lógicos reciben el nombre de compuestas, y matemáticamente podemos decir que sólo existen cuatro combinaciones sencillas, que se obtiene de usar con las proposiciones los conectivos lógicos “y”, “o”, “si…entonces…” y “…si y sólo si…”. A continuación en la tabla siguiente se muestran los conectivos lógicos con sus respectivos nombres y símbolos.

Conectivo Nombre lógico Símbolo…y… Conjunción Λ…o… Disyunción ˅Si…

entonces…Implicación o condicional →

…si y sólo si…

Doble implicación o bicondicional

Los puntos suspensivos indican que allí van las proposiciones ¿Qué vas a aprender?A combinar dos proposiciones simples para formar una compuesta.¿Para qué te sirve?Para expresar ideas complejas con claridad.Para utilizar el lenguaje matemático en la comunicación.Ideas previas.Reconocer el concepto de conectivo como elemento que sire para reunir o cambiar.Identificar las proposiciones simples.Proposición Compuesta: es aquellas que resultan de la unión de dos o más proposiciones simples por medio de conectivos lógicos. (…y…,…o…, si….entonces…,…si y sólo si…)Lee las proposiciones w, q.W: Un ángulo agudo mide menos de 90o.Q: Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.A partir de las proposiciones simples w, q, y utilizando los conectivos lógicos se pueden formar las siguientes proposiciones compuestas.g:Un ángulo agudo mide menos de 90o y Un triángulo rectángulo tiene un ángulo rectog: w Λ q. h:Un ángulo agudo mide menos de 90o o Un triángulo rectángulo tiene un ángulo rectoh: w ˅ q.t: Si un ángulo agudo mide menos de 90o, entonces Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.t: w → q.u: Un ángulo agudo mide menos de 90o, si y sólo si Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto,u:w↔qEjercita lo aprendido.

I. Utilizando los conectivos lógicos y las variables proposicionales para cada proposición dada a continuación, representa las siguientes proposiciones compuestas.

1. El murciélago es un o un mamífero. 2. Andrea está bailando o está saltando.3. Iremos a playa si y sólo si ustedes pagan sus pasajes. 4. El perro no pertenece a la familia de los caninos y no es un cuadrúpedo y no salta.II. Observa las siguientes proposiciones simples:

p: Comprendí la lectura sobre las proposiciones. q: Estudié anoche para ganar el examen.

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t: Esta mañana fui al parque. u: Gané la evaluación de matemáticas.

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CLASE NO 9. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: __________Indicador de logro:

Valor de verdad de una proposición compuesta.De la misma manera que las proposiciones simples tienen un único valor de verdad, las proposiciones compuestas también, esto nos dice si las personas que las expresan están diciendo la verdad o mentira.Veamos más detalladamente la situación. Si p y q son dos proposiciones simples y deseamos combinarlas para formar una proposición compuesta, utilizando cualquiera de los conectivos lógicos. ¿Cuántas posibilidades hay para combinarlos valores de verdad de p y q?En este caso puede ocurrir que:

Para construir la tabla de verdad de una proposición compuesta hay que ubicar estas cuatro posibilidades.

p qV VV FF VF F

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del conectivo lógico que empleemos para combinarlas.CONJUNCIÓN (Λ)Angélica encuentra en una cartelera las condiciones para ingresar al equipo de baloncesto del colegio.

Estas condiciones en lógica forman una proposición compuesta formada por las proposiciones simples: p: saber jugar baloncesto.q: tener buen desempeño académico.El conectivo lógico utilizado en esta proposición es “y”, que recibe el nombre de conjunción y se representa por el signo: Λ.La proposición de la cartelera es una CONJUNCIÓN y se simbólicamente se escribe: p Λ q.En conclusión:Conjunción: es una proposición compuesta en la cual se usa “y” como conector entre las dos proposiciones simples. Si estas proposiciones son p y q, la conjunción se simboliza como: p Λ q.Ejemplo.1. Los ríos Magdalena y Atrato desembocan en el Océano Atlántico.

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Requisitos:“Saber jugar baloncesto y tener buen desempeño académico”

Las proposiciones simples que forman esta conjunción son:m: El río Magdalena desemboca en el Océano Atlántico.n: El río Atrato desemboca en el Océano Atlántico.Simbólicamente la conjunción dada se escribe así: m Λ n.2. Con las proposiciones:r: estudio matemática.S: estudio español.Se puede hacer la conjunción: r Λ s, que se escribe: “Estudio matemática y estudio

español”En el lenguaje cotidiano se acostumbra no repetir las palabras comunes de las oraciones

simples que forman la conjunción así: Estudio matemática y español.Y la negación: No estudio matemática y no estudio español.“y no se reemplaza “por ”ni”. Entonces quedaría así: No estudio matemática ni español.

Valor de verdad de una conjunción.El valor de verdad de una conjunción depende del valor de verdad de las proposiciones simples que la forman.Observe que ocurre con las siguientes situaciones:

1. p: Bogotá es la capital de Colombia (v).q: Bogotá es la capital de Cundinamarca (v).p Λ q: Bogotá es la capital de Colombia y de Cundinamarca (v).En este caso las dos proposiciones simples son verdaderas y la conjunción formada con ellas es verdadera.

2. q: Bogotá es capital de Cundinamarca (v).r: Bogotá es la capital de Antioquia. (f).q Λ r: Bogotá es capital de Cundinamarca y de Antioquia. (f).

3. n: La luna es de queso. (f).m: La leche es blanca. (v).n Λ m: La luna es de queso y la leche es blanca (F).

En los dos casos anteriores una proposición es verdadera y la otra falsa; la conjunción formada con ellas es falsa.

4. S: 2 + 8 = 15 (F).t: 3 x 5 + 2 = 19 (F).s Λ t: 2 + 8 = 15 y 3 x 5 + 2 = 19 (F).Las dos proposiciones s y t son falsas, la conjunción formada con ellas es falsa.Las cuatro posibilidades anteriores se resumen en la siguiente tabla, llamada tabla de verdad para la conjunción.

p q p Λ q

V V VV F FF V FF F F

“En conclusión podemos decir que: Una conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones simples que la conforman son verdaderas”.

Ejercita lo aprendido.1. Escriba con sus propias palabras la noción de “conjunción”2. Dadas las proposiciones simples:

r: 4 + 7 = 11.W: 8 – 2 = 5.

Escriba la proposición que representa la conjunción r Λ w. ¿Es verdadera o falsa la conjunción anterior?3. Dadas las proposiciones:

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p: estudio.q: apruebo

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CLASE NO 10. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_______________Indicador de logro:

La disyunción. Si Rosalinda, es la niña que desea ingresar al club de atletismo del colegió, encuentra las siguientes condiciones en cartelera:Requisitos: Tener una estatura hasta 1,65m o registrar una marca de 12 segundos en los 100 metros planos.Rosalinda comprende que las condiciones han cambiado; que ahora podrá inscribirse con una sola de las dos condiciones: “Tener una estatura hasta 1,65m” o “registrar una marca de 12 segundos en los 100 metros planos” o ambas condiciones, observemos que sucedió:En esta ocasión las proposiciones simples.q: Tener una estatura hasta 1,65m.r: registrar una marca de 12 segundos en los 100 metros planos.Se unieron por la cartelera es ahora una disyunción, que se representa por el signo: ˅.La proposición de la cartelera es ahora una disyunción y simbólicamente se escribe: q ˅ r.En conclusión:Disyunción es una proposición compuesta en la cual se emplea “o” como término de en lace de las proposiciones simples. Si estas son q y r, la disyunción se simboliza q ˅ r.Valor de verdad de la disyunción.El valor de verdad de una disyunción depende del valor de las proposiciones simples que la forman.Una disyunción es verdadera cuando por lo menos una de las dos proposiciones simples que la conforman es verdadera.

p q p ˅ qV V VV F VF V VF F F

En cada caso, subraya las proposiciones simples e indica los conectivos lógicos1. Un triángulo tiene tres ángulos interiores y tres vértices.2. 16 es múltiplo de 4 o 4 es divisor de 16.3. El agua es un mineral o es un compuesto químico.4. 2 es un número par o es divisor de 4.5. Un cuadrado es un rectángulo o un rectángulo es un cuadrado.6. Colombia es un país de América del sur Ecuador o es un país europeo.

Escribe tres proposiciones compuestas, utilizando los conectivos lógicos (o, y).En cada caso,, escribe dos números naturales que completen la proposición abierta:

1. __ es un número primo o par 2. __ es menor que 12 o es mayor que 8.3. __ es mayor que 0 o es múltiplo de 5.4. __ es menor que 99 o es número primo.4. Escriba la proposición indicada en cada literal:a. p Λ q: b. ~p ~q: c. ~p Λ ~ q: 5. Escribe tres ejemplos de proposiciones simples (p, q, r) y con ellas organice cinco

conjunciones diferentes.Combina estas proposiciones para formar las proposiciones compuestas que se representan a continuación:

1.p Λ q. 2. q ˅ t. 3. ~q Λ q. 4. p Λ q → u 5. ~p Λ ~q → ~u 6. t↔ u

EJERCITA LA APRENDIDO.

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La conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones simples son verdaderas.Determina si las proposiciones compuestas siguientes son verdaderas o falsas.1. Todo animal es mortal y la Tierra gira alrededor del Sol ___.2. Algunos animales son invertebrados y Gabriel García Márquez escribió 100 años de

soledad __.3. Un cuadrado tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos ___4. Un cuadrado es rectángulo y un rectángulo es paralelogramo ____La disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones simples son falsas, en los demás casos es verdadera.Determina si las proposiciones compuestas son verdaderas o falsas.1. Febrero tiene 30 días o Marzo tiene treinta un día ___2. Un rectángulo tiene todos sus lados de igual longitud o tiene todos sus ángulos

agudos___3. Un triángulo isósceles tiene tres ángulos agudos o sus lados tiene la misma medida__4. 33 es divisible por 2 o 33 es múltiplo de 2 __Escribe dos proposiciones que sean disyunción es verdaderas y dos que sean falsas.Escribe dos proposiciones que sean conjunciones verdaderas y dos falsas.Determina si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas:1. 5 < 8 y 5 > 2 __2. La capital de Perú es Quito y la capital de Colombia es Lima __3. Júpiter tiene nueve lunas y la Tierra tiene una luna __4. Brasil no limita con Colombia o Bolivia limita con Colombia __5. Cali es la capital de Colombia Y lima es la Capital de Perú ___6. Un número primo tiene dos divisores o 17 es un número primo __Pon a prueba tu creatividad.Con las proposiciones simples del ejercicio anterior, construir cinco proposiciones compuestas distintas a las ya elaboradas.Identifica las proposiciones simples que forman cada proposición compuesta.r: Si el Sol es una estrella, entonces la Luna es un satélite natural de la Tierra.s: El río Magdalena nace en el páramo de las Papas y desemboca en bocas de cenizas en

el departamento del Atlántico.u: Las vacaciones comienzan en noviembre o tengo que viajar al Rodadero.w: 24 es divisible por 3 si y sólo si 2 es un número par.

Firma del acudiente: ______________________________ Fecha: ______________

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CLASE NO 11. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_________Conjuntos y subconjuntos.Indicadores de logro: Nombra conjuntos por extensión y por comprensión.Identifica las relaciones de pertenencia e inclusión.Conjunto.Entendemos intuitivamente que un conjunto es la reunión o agrupación de objetos llamados elementos con un criterio que permite identificar cuando un objeto determinado pertenece o no a la agrupación o al conjunto. Se acostumbra designar los conjuntos con letras mayúsculas, en cambio los elementos que forman al conjunto por letras minúsculas. Por ejemplo, si queremos nombrar el conjunto de los números naturales pares lo podemos hacer con la letra P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,….}, el conjunto de los números naturales impares con la letra I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,…} y el conjunto de los números naturales lo hacemos usando la letra N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,…}. En este ejemplo podemos observar que el conjunto P y el con junto I están en el conjunto N, entonces P y I son subconjuntos de N.Pertenencia de un elemento a un conjunto.Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe x ϵ A. Si x no pertenece al conjunto a se escribe Determinación de conjuntosCuando se expresa un conjunto es importante determinarlo de tal forma que se pueda decir si un elemento le pertenece o no. Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:Por comprensión: Nombramos la propiedad común a todos los elementos. Por ejemplo, como B es el conjunto formado por todos los números primos menores que 18 se escribe, B = {x/x es un número primo menor que 18}. En donde el símbolo / se lee “tal que”.Por extensión: Se nombra uno o todos los elementos del conjunto separados por una coma, ubicados entre llaves. Por ejemplo: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}Representación gráfica de conjuntos.Para representar gráficamente un conjunto lo hacemos a través de un diagrama de Venn. En el caso de los conjuntos numéricos se pueden representar mediante un diagrama lineal. Por ejemplo, el conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…}


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CLASE NO 12. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________Indicador de logro:

¿Qué voy a aprender?A aplicar las operaciones básicas en la resolución de situaciones problemas planteadas.Hallar los múltiplos de un número natural.Hallar los divisores de un número natural.Comprender los criterios de divisibilidad.Rosalinda fue a un almacén a realizar la compra, ella llevó en efectivo $800.000.Observa la lista de precios que aparecen relacionados en la factura y determina si Rosalinda pudo pagar la cuenta.¿Con qué operaciones puedes verificar si el dinero que llevó le alcanzó?¿En qué fecha visitó Rosalinda el almacén?¿Cuánto dinero hubiera pagado Rosalinda por la compra de 1 docena de camisas y 1 docena de pantalones?En la caja registradora la cajera calcula el total de la compra, ¿y el dinero que le sobró a Rosalinda fue?

¿Qué debo saber?Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales.Resolver situaciones problemas propuestas de la vida diaria, en los que se aplican las operaciones básicas con números naturales.A plantear y resolver diferentes situaciones problemas de la vida cotidiana mediante modelos matemáticos.Identificar los números primos y los compuestos.Descomponer números naturales compuestos en sus factores primos.Hallar el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de un número natural.Hallar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales.

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INVERSIONES ANGÉLICANIT: 754.657.576 – 3CALLE 15 No 68 – 54

RESOLUCIÓN No: 44700013324534FACTURA DE VENTA

20 /01/ 2016 10:04:52 A.M.CANTIDAD ARTICULO VALOR /

ARTÍCULO1 CAMISA $47.9003 PANTALÓN $90.9992 CINTURON $12.0001 CAMISETA $30.0002 PAR DE

MEDIAS$ 8.000

2 PAR DEZAPATOS

$120.000

1 SOMBRERO $235.000SUBTOTALEFECTIVO $800.000CAMBIO

Atendida por Andrea Torres Quant

Mil gracias por su compra

¿Para qué me sirve lo aprendido?Para realizar cálculos sencillos que me permitan mejorara mi desempeño en el quehacer cotidiano.Para controlar mis gasto y saber invertirPara saber economizar y ahorrar.Para identificar cantidades cuadradas y cúbicas.


CLASE NO 13. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________Indicador de logro:

NÚMEROS NATURALES.Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.Es todo número que pertenece a la serie N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,….} formada por todos los números que, a partir del cero (o ausencia de elemento), el uno inicia y sin término medio.

Por convención de notación, podemos afirmar que los números naturales se utilizan para contar objetos, y el cero puede considerarse como el número que corresponde a la ausencia de objetos.Entonces el conjunto de los números naturales puede presentarse de dos maneras distintas dependiendo del área de la ciencia.Definición sin el cero: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,….}, o definición con el cero N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,….}, donde la N de natural se suele escribir en “negrita”A través de la historia, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península Ibérica, pero no se consideraba un número natural. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales, y otras, como la teoría de la computación.En la actualidad ambos convenios se aceptan.Pero para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se le llama conjunto de los enteros positivos y se le denota cómo N+. También se utiliza N - {0}.Cuando el cero no se le considera un número natural, justifica la divisibilidad y teoría de números, al conjunto de los naturales con el cero se le llama conjunto de los números cardinales y se denota como N0.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES.Los números naturales están totalmente ordenados.La relación de orden ≤se pude redefinir así: a≤bsi y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a≤b, entonces se cumple:a + c ≤b+c; a x c ≤b xc.Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado.

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a ¿b .En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠0, entonces encontramos dos números naturales q y r, denominados cociente y residuo respectivamente, tales que: a = (b x q) + r y r¿b.Otras propiedades más complejas de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.USO DE LOS NÚMEROS NATURALES.Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentales:Para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos).

18

Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N x N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N x N: (a, b) ~ (c, d) si y sólo si a + d = b + c.

Firma del acudiente: ______________________________Fecha: ______________

CLASE No 14. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.Indicador de logro:OBJETIVOS:Repasar los términos y algoritmos de las cuatro operaciones básicas.Leer y aproximar cantidades en operaciones con miles de millones.Adición o suma de números naturales.Desde hace siglos, el carbón ha sido muy importante para todas las sociedades. En la matemática las operaciones básicas también hacen posible cálculos difíciles. Todas las operaciones básicas se basan en los números arábigos, es decir, en el sistema de numeración creado por los árabes.Para sumar números naturales, se coloca cada sumando debajo del otro, según la columna de posición.Se suman las cifras de derecha a izquierda, observa el ejemplo del gráfico

La producción mundial de carbón en 2008 fue de 5.845.000.000 toneladas, que se lee así: cinco mil ochocientos cuarenta y cinco millones de toneladas. En el siguiente cuadro está la producción de los principales países extractores de carbón en ese año.Lea el cuadro y complételo, escribiendo en letras las toneladas de carbón.Luego sumen y coloquen el total.Producción en 2008 ToneladasSuráfrica 236.000.000Indonesia 246.000.000Polonia 84.000.000Colombia 79.000.000Federación Rusa 247.000.000República Popular de China 2.760.000.000Estado Unidos 1.007.000.000Kazajstán 104.000.000India 489.000.000Australia 325.000.000Resto del mundo 267.000.000TOTAL

Ordene y escriba los países extractores de carbón, de mayor a menor producción:Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.RESUELVE PROBLEMAS USANDO LA MULTIPLICACIÓN.1. En la clase de matemáticas María José resolvió la siguiente multiplicación.

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2. Yeisón colecciona caramelos con la foto de jugadores de los equipos que participan en el campeonato Colombiano de futbol, los cuales los está pegando en un cuaderno de cien hojas. Si pega en cada hoja 10 caramelos y lleva 23 hojas llenas. ¿Cuántos caramelos ha pegado? Y ¿Cuántos caramelos le faltan?

Firma del acudiente: ______________________________ Fecha: ______________CLASE No 15. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________Indicador de logro:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN O SUMA.La adición o suma de números naturales cumple con las siguientes propiedades:

Propiedades EjemplosClausurativa. La adición de dos números naturales es un número natural.

Si 23 ϵN y 9ϵN, entonces 23 + 9 = 32, y 32 ϵN.

Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado o suma

84 + 20 = 20 + 84104 = 104

Asociativa. Para sumar tres o más números naturales, se pueden agrupar de diferente manera y la suma no cambia, esto quiere decir que no existe una manera específica para agrupar los sumandos, ya que puedes hacerlo de la manera que tú quieras.

Primera forma de agrupar los sumandos:3 + 9 + 7 = (3 + 9) + 7 = 12 + 7 = 19.Segunda forma de agrupar los sumandos:3 + 9 + 7 = 3 + (9 + 7) = 3 + 16 = 19.Tercera forma de agrupar los sumandos:3 + 9 + 7 = (3 + 7) + 9 = 10 + 9 = 19.

Modulativa. En esta operación existe el elemento neutro o módulo, el cual es el cero.La adición de un número natural con cero, es igual al mismo número natural.

34 + 0 = 34.45 + 0 = 45.

EJERCITA LO APRENDIDO.Resuelve las adiciones siguientes aplicando las propiedades de la adición.1. 23 + 14 = __ 2. 45 + __ = 453. 53 + 20 = 20 + __ = __4. 12 + 16 + 20 = __ + ( + ) = 12 + __ = ___5. 3.459 + 2.345 = _____6. 87.654 + 0 = ________7. 3546 + 1.234 + 4.621 = ______ + ( + ) = ______ + ______ = _______8. 4.678 + ______ = 2456 + _____ = ________9. (9 + 5 + 3 ) + 4 =10. 54 + (8 + 9 +4) =11. 145 + (24 + 32 + 18) =12. (6 + 5) + (7 + 9) =13. (19 + 5) + (12 +2)=14. (18 + 17+ 13) + (12 + 20 + 14) =15. 245 + ( 123 + 45) + (25 + 27) + 21 =16. 300 + (5 + 2) + 240 + (24 + 12) =17. (17 + 15) + (13 + 14) + (19 + 6) (27 + 23) + (32 + 15) =18. Pedro tiene 243 boliches, José le regaló 123. ¿Cuál es el total de boliches que tiene Pedro?

20

María José resolvió mal la multiplicación.Revisa el procedimiento y señala el error que ella cometió.Desarrolla la multiplicación e indica el resultado correcto

19. José tiene 14 años, al intercambiar las cifras del número de años que tiene José, se obtiene la edad de Alberto, quien duplica la edad de José más 13 años. ¿Cuál es la edad de Alberto? y ¿Cuánto suman las dos edades?

20. Andrea compró un libro de religión en $28.950. Si dos veces lo que le costó el libro de religión más $4.500, le cuesta el libro de matemáticas. ¿Cuál es el valor del libro de matemáticas? Y ¿Cuánto costaron los dos libro?

21. Una pera cuesta $500, una manzana cuesta la mitad de lo que cuesta la pera más $150. Con la compra de 12 manzanas, ¿cuántas peras puedes comprar? ¿Cuánto cuesta una manzana y dos peras?

22. En una jarra se vierten 6litros de leches. Si la Jarra se llena con 20 vasos de leche, y un vaso equivale a dos tazas de leche. ¿Con cuántas tazas de leche se llena esa misma jarra?


CLASE NO 16. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:__________Indicador de logro:SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES.Los términos de la resta o sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia.1. Resuelve las siguientes operaciones.

1. Encuentra el término que falta en cada caso para que el resultado sea correcto.

Resuelve problemas: Usa la adición y la sustracción.2. Realiza las siguientes adiciones

3. El fin de mes Mariana realizó las compras que aparecen relacionadas en la siguiente factura:

Resuelve problemas: Usa la adición y la sustracción.El fin de mes Mariana realizó las compras que aparecen relacionadas en la siguiente factura: Le sobraron $144,809.02, ¿cuánto dinero llevaba Mariana para sus compras? ¿Es suficiente saber cuánto costó el pantalón y la blusa para responder la pregunta anterior? ¿Cuánto dinero de más costó la blusa en comparación con la camiseta? ¿Con la cantidad de dinero invertida en las blusas cuántas medias puede comprar Mariana? ¿qué cantidad de dinero tenía Mariana?Escribe una pregunta en tu cuaderno, usando la información de la factura, y respóndela


RESOLUCIÓN No: 44700013324534

21

CANTIDAD ARTÍCULO VALOR POR UNIDAD

2 BLUSAS $65.4002 PANTALÓN $86.5992 CINTURON $10.5002 CAMISETA $37.0002 PAR DE

MEDIAS$ 7.500

2 PARES DE ZAPATOS

$90.500

1 SOMBRERO $150.000 SUBTOTALEFECTIVO $CAMBIO

Atendida por Andrea Torres QuantMil gracias por su compra

4. Jorge decidió ir de compras, y adquirió los siguientes artículos:Una maleta, dos cobijas, un abrigo de cuero, dos jean y un par de botas de cuero.La cajera le entrego la siguiente factura:


RESOLUCIÓN No: 44700013324534 FACTURA DE VENTA

10 OCT 2015 10:04:52 A.M.Cantid

adArticulo Precio por unidad

1 Maleta $170.5002 Cobijas $ 42.500 1 Abrigo de

cuero$365.780

2 Jean $132.0001 Par de botas

de cuero$215.000

SubtotalEfectivoCambio $49.800

Rosalinda por Andrea Torres Quant Mil gracias por su compra

Después de cancelar la cuenta, la cajera le devolvió $49.800. ¿Qué cantidad de dinero le entrego Alfredo a la cajera?Termine de llenar los espacios en blanco de la factura.¿Con la compra del abrigo cuántas cobijas compraría?¿Qué pregunta se puede formular al resolver la siguiente operación? $365.780 – $264.000.¿Qué pregunta se puede formular al resolver la siguiente operación?$215.000 + $170.500.5. Andrea tiene $18.000 menos que Angélica. Si Angélica tiene $39.200, ¿Cuánto dinero tiene Andrea?6. Antonio y José reunieron $234.210 para comprarle un regalo a su papá el día de su cumpleaños.

Si Antonio aportó $173,000, ¿cuánto aportó José?7. En una competencia automovilística participó cierto número de pilotos. En la primera vuelta

salieron 112 autos, en la segunda vuelta 117 autos y en la tercera 105 autos, ¿cuántos pilotos participaron en la competencia?

8. 60 – (7 + 8 +4) =9. 155 –(18 +82) =

22

10. 350 – (143 + 112) =11. 432 – (288 + 180) =


CLASE NO17. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:___________Indicador de logro:LA MULTIPLICACIÓN.La multiplicación de números naturales es una forma abreviada de adicionar varias veces sumandos iguales.Los términos de la multiplicación son los factores y el producto Observe los ejemplos resueltos a continuación:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN.

Propiedades EjemplosClausurativa. El producto de dos números naturales es un número natural.

Si 23 ϵN y 9ϵN, entonces 23 x 9 = 207, y 207ϵN.

Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto

84 x 2 = 2 x 84168 = 168

Asociativa. Para multiplicar tres o más números naturales, se pueden agrupar de diferente manera y el producto no cambia, esto quiere decir que no existe una manera específica para agrupar los factores, ya que puedes hacerlo de la manera que tú quieras.

Primera forma de agrupar los sumandos:3 x 9 x 7 = (3 x 9) x 7 = 27 x 7 =189.Segunda forma de agrupar los sumandos:3 x 9 x 7 = 3 x (9 x 7) = 3 x 63 =189.Tercera forma de agrupar los sumandos:3 x 9 x 7 = (3 x 7) x 9 = 21 + 9 = 189.

Modulativa. En la multiplicación de números naturales existe el elemento neutro o módulo, y en esta operación es el 1.La multiplicación de un número natural por 1, da como resultado el mismo número natural.

34 x 1 = 34.45 x 1 = 45.

ANULATIVA. El producto de cualquier número natural por cero es cero.

234 x 0 = 00 x 125 = 0

23

Distributiva. Para multiplicar un número natural por una adición de números naturales, se multiplica el factor por cada sumando. Luego, se suman los productos obtenidos.

3 x (8 + 12) = 3 x 8 + 3 x 12 = 24 + 36 = 60.


CLASE No18. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________Indicador de logro:MÚLTIPLOS Y DIVISORESAlgunos de los múltiplos de 3 son 9, 12, 15, 18 y 21. Se llama múltiplo de un número a aquel que obtenemos al multiplicar ese número por otro cualquiera.A su vez, 1 es divisor de 5 porque 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; 2 es divisor de 8 porque 8 = 2 + 2 + 2 + 2; 3 es divisor de 6 porque 6 = 3 + 3.Se llama divisor de un número a aquel que divide exactamente a ese número o cuando está contenido exactamente en otro.REPASEMOS LOS NÚMEROS ROMANOSEl carbón es un recurso natural no renovable, a partir del cual los seres humanos han creado numerosos usos. También los números son una creación del ser humano.Los romanos crearon un sistema de numeración que utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:I ----para el 1V -----para el 5X -----para el 10L -----para el 50C-----para el 100D -----para el 500M ----para el 1.000Para señalar los siglos, se utilizan con frecuencia los números romanos. Complete los siguientes números.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I II V VIII IX X11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

XIV

XVII XX


24

CLASE No19. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________NÚMEROS FRACCIONARIOSIndicador de logro:Los fraccionarios son muy útiles en los negocios, por lo cual conviene manejarlos bien.Cuando se dice que las personas valoran más las comidas naturales se está hablando de fracciones.Una fracción común consta de dos números naturales separados por una raya horizontal: el numerador (arriba) y el denominador (abajo).

Cuando se dice que el intermediario se puede quedar hasta con 23

del valor de las ganancias de los productos agropecuarios, quiere decir que si la ganancia es de $300 se quedará con $200; si es de $3.000 se quedará con $2.000; sin es de $300.000 se quedará con $200.000, y así sucesivamente.Repasemos algunos tipos de fracciones:

Una fracción propia es aquella en la cual el numerador es menor que el denominador, como en, por lo tanto las fracciones son menores que la unidad.ACTIVIDAD EN CLASE. FECHA: ______________________No. 1.1º Para cada fracción escribe otra equivalente:

a. 53

= ❑❑; b. 32=❑

❑; c. 74=❑

❑ ; d. 97=❑

❑ ; e. 68=❑

❑.

2º completa la siguiente frase:a. Fracciones equivalentes son los números que ___________________ fracción de la unidad.b. Dos números fraccionarios son equivalentes sí sus _____________ cruzados son ___________c. Para verificar numéricamente si dos números fraccionarios son equivalentes se

___________ el ______________ del fraccionarios por el _____________ del segundo fraccionario y el ________________ del primero por el _________________ del segundo.

3º Verificar si los siguientes par de fracciones son equivalentes:

a. 12y 24;b . 2

4y 36;c . 35y 3660;d . 3

4y 67;e . 813y 815; f . 83y 166

4º. Colorea la cantidad de partes de cada figura que corresponda al número mixta dado.

25

5º Escribe f si es falso o v si es verdadero entre los paréntesis:

a. 32=23

( ); b. 54=1 14

( ); c. 72=3 27

( ); d. 1 25=75

( ); e. 86=45

( ); f 39= 412

( ).

6º Coloca el número que falta, para que las igualdades sean verdaderas:

a. 92=4❑

2; b. 5

3=() 2

3; c. 7

2=3 1❑; d. 9 1

2=❑2;e . 41

7=5❑

❑ ; f . 539

=5❑❑.

Una fracción mixta es aquella que tiene un número natural y una fracción, como en 113

.

Una fracción impropia es aquella en la cual el numerador es mayor que el denominador,

como 64

en este caso, en el que la fracción es mayor que 1, necesita ser transformada a

una fracción mixta.Para ello, se hace la división del numerador entre el denominador. El resto pasa a ser el numerador y el denominador se mantiene igual.

Ejemplo: Una fracción aparente o igual a la unidad, es aquella en la cual el numerador es igual al denominador. Éstas siempre se convierten en el número natural 1.

Ejemplo 55=1


CLASE No 20. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:___________

Indicador de logro:

ACTIVIDAD EN CLASE. FECHA: ______________________No. 2.1º Escribe f si la expresión es falsa o v si es verdadera:

a. ❑❑>1.( );b .❑❑<❑

❑();c .❑❑<❑❑() ;d .❑❑>❑

❑(); e .❑❑>❑❑() ; f .❑❑<❑

❑() .

2º Realiza las siguientes adiciones de números fraccionarios homogéneos:a. 235 + 14

5;b . 17

9+ 199;c . 15

8+ 108;d . 27

7+ 337;e . 81

2+ 192; f . 112

3+ 1083

3º Realiza las siguientes adiciones de números fraccionarios heterogéneos:

a. 47 + 132;b . 22

9+ 175; c . 43

6+ 184; d . 32

10+ 423; e . 121

14+ 2216; f . 61

8+ 2517

ACTIVIDAD EN CLASE. FECHA: ______________________No. 3.Ejercita lo aprendidoUbique en el cuadro las fracciones dadas según corresponda:14, 12, 87, 33, 38, 42, 34, 164, 92

Fracción propia Fracción impropia Fracción igual a la unidad

26


CLASE No 21. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:______________Indicador de logro:SUMA Y RESTA DE FRACCIONESRecordemos:

¿Si a 28

de un área cultivada se le aumenta 18

más, cuánto es en total el área cultivada?

Esta es una suma fácil porque las fracciones tienen el mismo denominador.En la suma o resta de fracciones, si éstas tienen el mismo denominador, hablamos deFracciones homogéneas. En este caso, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador

28

+ 18=38

ACTIVIDAD EN CLASE. FECHA: ______________________No. 4.

Adicionar:

1) 34+ 14 2). 25+

75 3). 72+

32 4). 23+

83 5). 32+

52+72

27

6). 72+14+15 7). 94 + 2

3+ 15 8¿ .

75+ 29+ 46 9). 127 + 2

3+ 1712 10). 254 + 16

9+197

11. ( 184 + 159 )+( 1311+ 95 ) 12. ( 1520+ 2117 )+( 24

13+ 2511

).

ACTIVIDAD EN CLASE. FECHA: ______________________No. 5.

Efectuar las sustracciones siguientes:

1. 34−14

2. 38−28

3. 72−32

4. ( 72−12 )−52 5. ( 94−24 )−14 6. ( 1285 −20

3 )−17127( 179 − 4

6 )−135 8. ( 133 −64 )−35 9. ( 3423−76 )−25 10. ( 145 −8

3 )−14Si las fracciones que se suman o se restan tienen diferente denominador, decimos que son fracciones heterogéneas.


CLASE No22. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ________Indicador de logro:Problemas propuestos.Resuelve los problemas siguientes:1. Rosa compró 1

2m de tela azul a $3.500 el metro y 15

4m de tela de distintos colores a $4.000

el metro. Pagó con un billete de $20.000. a) ¿Cuánto le devolvieron de dinero?b) ¿Cuánto costó 1

2mde telaazul?

c) ¿Cuánto costó los 154mde tela de distintos colores?

2. Cuando Alex tenía 4 años, su estatura era 3234cm. Y ha crecido 252

5cm . ¿Cuál es la estatura de

Alex?3. En un almacén se está rebajando un cuarto del precio del artículo. Si un radio cuesta $17.500.

¿Cuál es el precio del radio, con rebaja?

28

4. En la ferretería han vendido 152m de alambre y luego vendieron 7

2mmás . Si el metro de alambre

cuesta $450, ¿Cuánto ha recibido el dueño de la ferretería por la venta?5. Angélica mide 341

2cm . Y Ricardo 655

4cm . ¿Cuál es la diferencia de sus estaturas?

6. Un vendedor de frutas comienza el día con 4 docenas de naranjas. Vende primero 52

de docenas,

luego 43

de docenas. ¿Cuántas naranjas le quedan al vendedor?

7. Andrea reparte el dinero que le sobró de una compra realizada en el supermercado. 13

le dio a su

hermana, 14

a su tía, 14

a su mamá 19

a su papá y el resto lo ahorró. Si ella gana $380.000, ¿cuánto ahorró?

8. Si el piso del salón de clase es un rectángulo de 272m de largo y 14

3m de ancho, ¿cuál es el

perímetro del salón?(Recuerda que el perímetro es igual a la suma de los lados).

9. Si tengo $78,¿Cuánto me falta para tener $1?

10.Debo $183 y pago $4227

. ¿Cuánto dinero me falta pagar?

11. Una calle tiene 50 23m. De longitud y otra 45 5

8m . ¿Cuántos metros tienen las dos calles? ,

¿Cuántos metros le falta a cada una de ellas para tener una longitud de 80m?12. Un hombre vende 1

3 de su finca, alquila 1

8 del resto y lo que sobra lo cultiva de maíz. ¿Qué

porción de la finca cultiva de maíz?

¿Cómo sumar 29

+ 7?

Para sumar o restar fracciones con números enteros, estos enteros se transforman a una fracción impropia, sabiendo que equivalen a tener el 1 como denominador. Por Ejemplo, 7 = 7

1 Entonces:

Como quedan fracciones con distinto denominador, se hace lo siguiente:1. Se multiplican denominadores.2. Se multiplican cruzados los denominadores y numeradores.3. Se suman los resultados de los numeradores.

29+ 71=2+63

9=659

De igual manera se hace con la resta. Por ejemplo, si vamos a hacer la siguiente resta21−13

1. Se multiplican denominadores.2. Se multiplican cruzados los denominadores y numeradores.3. Se restan los resultados de los numeradores.

29

21−13 = 6−13

=53 .

Firma del acudiente: __________________________ Fecha: ______________

CLASE No 23. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______________Indicador de logro:

Ejercita lo aprendidoResuelve en tu cuaderno:

a . 37+2 b. 6

4+3 c. 8

9+4 d. 10

4+7 e. 15

6+5 f. 23

2+17 g. 20

7−3 h. 14

3−4

i. 185

−12 j. 238

−5 k. 172

+3 l. 198

+4. ll. 159

+19 m. 237

−3 n. 348

−3 ñ..

5310

−4

Multiplicación de fraccionarios

En un municipio se avanzó en el fortalecimiento de 13

de las cadenas productivas. Si se quiere

aumentar el triple de ese tercio, entonces: 13x3=1

3x 31=33=1

Por lo tanto, al aumentar el triple se fortalecen todas las cadenas de ese municipio.Para multiplicar fraccionarios, de igual o diferente denominador, se deben multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Por ejemplo: si se quiere aumentar la mitad de1

3 : 13x 12=13de 12=16

Ejercita lo aprendido: Encuentre los números que faltan en las multiplicaciones de fraccionarios:

a. 32x 4❑= ❑

14 b. 4

7x 7❑=❑

21 c. ❑

9x 8❑=48

63

Por último, para multiplicar una fracción por un número entero, se procede de forma similar a la suma de fracciones.Supongamos que en un trabajo una persona dedica 2

5de su tiempo. Se decide que ese trabajo se

aumentará 3 veces más y la persona se pregunta si le alcanzará el tiempo.

30

Tenemos 25

x 3 o viceversa.

Observe la gráfica y deduzca la respuesta.El entero se vuelve fracción. El numero entero pasa a ser el numerador y el ( 3

❑ ) denominador será siempre 1. ( 3

1 )

Luego, se multiplican los numeradores y los denominadores.25x3=2

5x 31=65=1 15

Respuesta: No le alcanzará el tiempo, pues se necesitará su tiempo completo más del de otra persona.


CLASE No24. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _______________DIVISIÓN DE FRACCIONESIndicador de logro:

Dividir dos fracciones también es fácil. El numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda fracción.58÷ 16=5 x 61x 8

=308

Ejercita lo aprendido.Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Multiplica: a. 6 x 12

b. 55x 5 c. 3

8x 8.

2. Descubre el número que falta: a. 2

7x 72

b. 65x❑❑= 6

20 c. 5

15x❑❑=15

15 d. 5

42x 1❑=❑

7Ejercita lo aprendido:Divide las fracciones siguientes:

a. 95÷ 27=b . 6

8÷ 54=c . 17

4÷ 1113

=d . 1921÷ 167

=¿

Repasar las operaciones básicas con fraccionarios. Realice en el cuaderno las siguientes operaciones de fraccionarios:

a. 35+ 92

b. 54+ 174c . 238

−147d . 2512

− 612e . 156x 89f . 1123x 1025

g . 4524÷ 69h . 2324÷ 47

31


CLASE No25. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______________Indicador de logro:

FRACCIONES DECIMALESLa matemática nos puede ayudar a organizar la información que sirve para comprender un problema tan grave como la violencia intrafamiliar.Recordemos el dato: en Colombia, de cada 100 mujeres, 39 manifiestan haber recibido maltrato físico de su esposo o compañero. Este es un porcentaje, es decir, un tanto por ciento. El tanto por ciento es 39 y se escribe: 39%. A su vez, todo porcentaje es una fracción decimal, en este caso es igual a. (39) x ( 1

100¿= 39100

=0,39.Recuerde que las fracciones decimales son aquellas en las que el denominador es la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1000 o más.Números primos y compuestos¿Cada uno de los siguientes números se puede dividir en 2 mitades iguales?2, 4, 6, 8, 10, 3, 5, 7, 11, 13En el caso de 2, 4, 6, 8 y 10, cada uno se puede dividir por varios números.Se llama número compuesto a cualquier número que tiene más de dos divisores.Por ejemplo, el 4 se puede dividir por 4, 2 y 1.En el caso de 3, 5, 7, 11 y 13, cada uno sólo se puede dividir por sí mismo y por 1. Los números que cumplen esta propiedad es un número primo.Se llama número primo a cualquier número entero mayor que 1 que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Por ejemplo, el 13 sólo se puede dividir por 13 y 1.Revise las definiciones y responda:El único número primo par es el 2, ¿por qué?El número 1 no es ni primo ni compuesto, ¿por qué?Al frente de las siguientes afirmaciones escriba dos ejemplos de cada una:EjemplosUn número es divisible por 2 cuando su última cifra es 0, 2, 4, 6, 8.Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

32

Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.30 667. Diferenciar números primos y compuestos. 8. Hallar el Mínimo Común Múltiplo.9. Hallar el Máximo Común Divisor.


CLASE No26. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ___________MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)Indicador de logro:

El múltiplo de un número es aquel que obtenemos al multiplicar ese número por otro cualquiera.Si tenemos los múltiplos de dos números, al menor que sea múltiplo de esos dos se lo llama Mínimo Común Múltiplo. Se representa con las letras MCM.Veamos la tabla del 3 y la del 4:

33

3 ,6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60.4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60.Los múltiplos comunes de 3 y 4 son: 12, 24, 36, 48, 60. El Mínimo Común Múltiplo es 12.Para encontrar el M.C.M. DE 4, 14 y 7, primero se descomponen en factores primos y se continúa hasta que el cociente de cada número sea 1.

Esta es una división inexacta.En la división es importante saber por cuáles números se puede dividir con exactitud.Aunque, en general, un divisor es una cantidad por la cual habrá de dividirse otra, se dice que un número es divisor de otro si lo divide exactamente, es decir, si el residuo es cero.Si tenemos los divisores exactos de dos números, el mayor número que sea divisor de los dos se llama Máximo Común Divisor y se representa con las letras MCD.

Lea el ejemplo y halle los restantes MCD:

El MCD también se puede calcular usando la descomposición en números primos, es decir, descomponiéndolos hasta que se obtengan números que sólo tengan dos divisores: el 1 y el mismo número.

Primero se hace la descomposición sólo con los números primos comunes a todos.Después se multiplican los factores primos comunes para obtener el MCD.

Halle el MCD de:

34

Firma del acudiente: _____________________________Fecha: ______________

CLASE No27. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _____________

GANADERÍA Y MATEMÁTICASIndicador de logro:

Analicemos cómo las matemáticas nos ayudan a comprender la realidad.En Colombia la actividad ganadera de carne y leche representa en total el 67% del sector pecuario.La importancia de esta actividad se puede valorar matemáticamente con una.Amplificación: la producción ganadera en Colombia tiene un valor tres veces mayor que el valor de la caficultura.Además, el valor de la producción ganadera es superior al valor de la producción de todos los cultivos permanentes y transitorios que produce el país.La ganadería ha sido desde siempre el principal producto de la actividad pecuaria nacional y ahora supera 2 veces y media a la avicultura (carne y huevos).De la ganadería se desprenden una serie de actividades industriales, como la matanza de ganado, la preparación y conservación de carnes, la producción y el desarrollo de industrias del cuero, de fabricación de calzado y de prendas de vestir.Estas actividades generan miles de empleos de forma directa.

1. Revisar el estado y las proyecciones de la cadena de bovinos. ¿Cuáles son sus conclusiones sobre el estado y las proyecciones de la cadena de bovinos?:

35

2. Analizar matemáticamente la cadena de los bovinos. Teniendo en cuenta las gráficas estudiadas en la sesión, responda:¿Qué porcentaje de la producción pecuaria aporta el sector ganadero?¿Cuánto dinero aporta la preparación de carne a la cadena de bovinos?3. Hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de:a. 7 y 9b. 3, 5 y 14c. 15, 25, 10d. 4, 12, 14, 7, 9 y 54. Hallar el Máximo Común Divisor. Encuentre el MCD:

Firma del acudiente: _____________________________Fecha: ______________

CLASE No28. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: __________Indicador de logro:Diferencia entre plan de vida, plan de ordenamiento y plan de desarrollo.Valora los planes de vida personales y familiares.Comprende la regla de tres directa e inversa.Resuelve problemas mediante regla de tres simple directa e inversa.Recoge información mediante una entrevista. Identificar reglas básicas para tomar apuntes.Produce una resolución.PLANES DE VIDA PARA MANEJAR EL CAMBIO

Antes de hacer la lectura, responda las siguientes preguntas:1. ¿Cuál es su plan de vida?2. ¿Qué está haciendo para hacer realidad sus sueños?

FRACCIONES EQUIVALENTES: Amplificación y Simplificación.Parte fundamental del plan de vida de todos los colombianos es una buena salud.Sin embargo, se calcula que la atención en salud cubre a 50 de cada 100 personas.Si queremos ampliar esta cifra diríamos que cubre a 500 de cada 1.000 personas, a5.000 de cada 10.000, a 50.000 de cada 100.000, y así sucesivamente.Las fracciones también son equivalentes porque se mantiene la relación entre el numerador y el denominador.A continuación dibuje las gráficas de tortas correspondientes a las tres fracciones.

A continuación dibuje las gráficas de tortas correspondientes a las tres fracciones anteriores:

36

Las fracciones 13, 26, 39

también son equivalentes porque se

mantiene la relación entre el numerador y el denominador

Si alguien afirma que tiene un plan para realizar un proyecto que cubra una tercera parte (13

) de las familias del municipio y

después ampliamos esa fracción a dos sexta partes (26

), matemáticamente hablamos de amplificación. 1 de 3 partes es

equivalente a 2 de 6 partes para el contrarios, si (26

) se reduce a (13

) hablamos de simplificación. 2 de 6 partes que se

Resuelve:

Amplié varias veces esta fracción: 24=❑

❑=❑❑=❑

❑

Simplifique varias veces esta fracción: 98140

=❑❑=❑

❑=❑❑


CLASE No29. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______Indicador de logro:INICIACIÓN A LA REGLA DE TRESObserve esta secuencia de números: 2, 4, 8, 16, 32.Aquí hay una relación de proporción entre los números, pues estos se van duplicando: de 2 a 4, de 4 a 8, de 8 a16, de 16 a 32.En aritmética y geometría, el concepto de proporción se refiere a una relación especial entre un conjunto de números o cantidades.Miremos el siguiente problema:

En este caso se presentan una situación de proporción entre 4 números y se trata de una relación multiplicativa.Sabemos que la educación de un joven en un año (primer número) vale $980,000 (segundo número). Sabemos que necesitamos multiplicar por 5 su valor (tercer número) para averiguar cuánto vale la educación de 5 jóvenes (cuarto número desconocido).En casos como este, se trata de encontrar el cuarto número, que es proporcional a los números dados.Los problemas en los cuales hay una relación proporcional se resuelven mediante la regla de tres simple, llamada así porque se conocen tres valores o cantidades y se busca el restante.Al frente de estos ejemplos, organice los datos de la manera aprendida y encuentre la respuesta. Plantee otro ejemplo:1. Si un padre de familia pide prestados 3 millones de pesos y paga intereses anuales de 900.000,

¿qué intereses anuales debe pagar por 6 millones?

37

Si la educación de un niño en un año cuesta $980,000, ¿Cuánto valdrá la de 5 niños?1----------$980,0005----------- x

2. Si una alcaldía, dentro de su plan de ordenamiento territorial, invierte 50 millones para impulsar 10 proyectos productivos comunitarios, ¿cuántos proyectos productivos comunitarios se podrían impulsar con 100 millones?

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTAAnalicemos ahora casos matemáticos de ordenamiento territorial.Si una alcaldía estima que la recuperación de una cuenca vale 14 millones de pesos, ¿cuánto dinero necesita para recuperar siete cuencas?Aquí también se conocen tres valores y se debe encontrar el restante. Esto es posible porque hay una relación proporcional.En este caso las cantidades son directamente proporcionales, ya que a menor cantidad de cuencas corresponde una menor inversión y si aumenta el número de cuencas, aumenta el dinero que se debe invertir en su recuperación.

Se conocen tres valores y se busca el restante. En este caso, el problema se resuelve fácilmente con una multiplicación: 7x 14 = 98 millones.El problema podría haberse planteado de manera más difícil. Por ejemplo. Si se sabe queReforestar 7 cuencas costó $98 millones, ¿Cuánto vale recuperara una cuenca?Nuevamente se conocen tres valores y se busca el restante.En este caso, necesitamos conocer el valor de la unidad.

Cuenca Valor7 $98millones

1 x

Respuesta: recuperar una cuenca cuesta 12 millones de pesos.El procedimiento que seguimos fue:1. Multiplicar los dos números que ya conocemos y que se encuentran en diagonal.2. Dividir el resultado por el número restante.Ejercita lo aprendido.Resuelva estos problemas:Se calcula que con 15 millones pueden crearse 10 viveros de reforestación.¿Cuántos viveros podrían funcionar si se consigue un apoyo de 25 millones?Si una empresa comunitaria de desplazados vende 80 bultos de su producción a $ 5.440.000, ¿a qué precio venderá 40 bultos?


38

7 Cuencas -------$98millones1 Cuentas-------- x. X =$ 98000000×1

7=$1,4000,000

Cuenca Valor1 14

Millones7 x

CLASE No30. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO:_____________REGLA DE TRES SIMPLE INVERSAIndicador de logro:

1. Define el concepto de producción sostenible.2. Examina las posibilidades de la lombricultura.3. Hace un balance de las alternativas de producción sostenible.4. Calcula proporciones y porcentajes mediante regla de tres simple.5. Resuelve problemas de regla de tres compuesta, directa e inversa

Miremos el siguiente problema:Si en invierno un auto tarda 2 horas en recorrer un camino destapado a una velocidad de 10 km/h (kilómetros por hora), ¿cuánto tardará en realizar ese mismo recorrido a 20 km/h?• Dejar espacios para completar apuntes que no se alcanzan a tomar.• Ayudarse con abreviaturas y símbolos. Ejemplos: + o - (más o menos), = (igual), x q (por qué), etc.• Cuando finalice la reunión, pasar los apuntes y completarlos.

Km/h horas 20 2

50 x

10 Km/h ------------2horas Entonces: x = (20km 7h)×2h10 km /h

=

40Kmh

h

10Km/h=4h simplificando las

unidades de Km/h20 Km/h ------------ x

Ejercita lo aprendido.

39

Se conocen tres valores y se busca el restante. Pero en este caso, las cantidades son inversamente proporcionales: a mayor velocidad menor tiempo.

Ahora resuelva los siguientes problemas:Si una lancha, con una velocidad de 85 km/h tarda 4 horas en realizar un recorrido, ¿cuánto tardará si va a 54 km/h?Si un carro tarda 7 horas en un recorrido, a una velocidad de 106 km/h, ¿qué velocidad lleva si tarda 14 horas?Comprender la regla de tres directa e inversa. Escriba Verdadero o Falso según corresponda:La regla de tres directa consiste en una proporción entre cuatro números, uno de los cuales es desconocido. ( )Si una cantidad aumenta la otra también. ( )En la regla de tres inversa hay una proporción entre un conjunto de números. ( )Si una cantidad aumenta la otra disminuye.( )En la regla de tres directa, a partir de tres valores o cantidades, se halla un cuarto valor. ( )Resolver problemas mediante regla de tres simple directa e inversa.Resuelve:

6. Si una persona vende 20 kilos de tomate a $3.800, ¿a qué precio venderá 6 kilos de tomate?7. Gastando $42.000 al día, a una persona le alcanza el dinero para 44 días. Si sólo le interesa

tener dinero para 28 días, ¿cuánto se puede gastar cada día?


CLASE No31. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _____________Indicador de logro:

CÁLCULO DE PORCENTAJESEl porcentaje es un número asociado a una razón, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:

El símbolo del porcentaje. % y, operando:

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

640 unidades en total.El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay

40

150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 % resultando una proporción mayor en el segundo país.

En una vereda tienen 2.500 Ha. de reserva forestal. En este momento 1.000 Ha. están protegidas. ¿Qué porcentaje de Ha. se han logrado proteger?La palabra porcentaje o tanto por ciento significa qué tanto de cada 100.El cálculo del porcentaje de una cantidad se hace mediante la regla de tres simple directa.

Ha %2.500 1001.000 x

Para calcular el porcentaje (%), decimos: si 2.500 Ha. es el cien por ciento (100%), ¿Qué porcentajeserá1.000 Ha?Respuesta: el porcentaje de hectáreas que se ha logrado proteger es el 40%.Ejercita lo aprendido.Resuelve:1. En una asociación comunitaria disponen de 80 millones. Deciden que 16 de éstos se van a dedicar

a impulsar la comercialización. ¿Qué porcentaje del total de recursos se van a destinar a la comercialización?

2. Se tienen 4.000 plantas en un vivero y 3.250 ya están listas para ser trasplantadas. ¿Qué % se trasplantará?

CLASE No32. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ___________Indicador de logro:

REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTAEn la regla de tres simple se conocen tres de las cantidades y se averigua una cuarta desconocida, estableciendo relaciones entre las cantidades o magnitudes conocidas.Cuando hay un mayor número de cantidades o magnitudes se aplica la regla de tres compuesta.Recuerden que en matemática se habla de problemas compuestos cuando se requiere más de una operación para resolverlos.Leamos el siguiente problema:En 5 semanas, 3 trabajadores pueden aislar 18 fuentes de agua. ¿Cuántas fuentes de agua podrán aislar 5 trabajadores en 6 semanas?En este caso, tenemos tres variables (trabajadores, semanas y fuentes de agua).Si hay más trabajadores se aislarán más fuentes de agua, lo que también sucederá si se trabaja durante más semanas.

Trabajadores

Semanas Fuentes

41

Para calcular el porcentaje (%), decimos:Si 2,500Ha es el cien por ciento (100%),

¿Qué porcentaje serán 1.000Ha?

3 5 185 6 ?

Resolvamos este problema por pasos, aplicando la regla de tres simple directa.Primer pasoRegla de tres simple directaSi 3 trabajadores aíslan 18 fuentes de agua en 5 semanas, ¿cuántas fuentes aíslan 5 trabajadores trabajando las mismas 5 semanas?Segundo pasoRegla de tres simple directa Si 5 trabajadores aíslan 30 fuentes en 5 semanas. ¿Cuántas aíslan esos5 trabajadores en 6 semanas?

Respuesta: en 6 semanas, 5 trabajadores aíslan 36 fuentes de agua.Observen que si una magnitud aumenta la otra también y si una disminuye con la otra sucede lo mismo. Es una relación directamente proporcional.Por eso, en este caso hablamos de regla de tres compuesta directa.Siga los pasos anteriores para resolver el siguiente problema con regla de tres compuesta directa:Si en 3 quemas en 2 potreros se destruyen 5 fuentes de agua, ¿cuántas fuentes se destruyen en 6 quemas en 5 potreros?

CLASE No33. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ____________REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSAIndicador de logro:En la regla de tres compuesta directa, a un aumento de una cantidad corresponde un aumento en otra. Y si una cantidad disminuye la otra también.Veamos el caso contrario. En la regla de tres compuestas inversa, a un aumento en una cantidad corresponde una disminución en otra. Y a una disminución en una cantidad corresponde un aumento en otra.Veamos este ejemplo:3 bombas, trabajando 4 horas diarias, llenan un estanque en 2 días. ¿Cuánto tardarán en llenarlo 2 bombas trabajando 12 horas diarias?

Bombas Horas por días

Días

3 4 22 12 x

También podemos resolver este problema en dos pasos, utilizando la regla de tres simple inversa.Primer pasoRegla de tres simple inversa. Si 3 bombas, trabajando 4 horas diarias, llenan el estanque en 2 días, ¿cuánto tardarán 2 bombas trabajando la misma cantidad de horas diarias?Segundo paso

42

Regla de tres simple inversaSi esas 2 bombas tardan 3 días en llenar el estanque, trabajando 4 horas diarias, ¿cuántos días tardarán si trabajan 12 horas diarias?

Respuesta: 2 bombas, trabajando 12 horas diarias, tardarán 1 día en llenar el estanque.Resuelva, escribiendo los pasos del ejemplo anterior:Si en 3 jornadas de 5 horas diarias se siembran cercas vivas en 3 lotes, ¿cuántos lotes se siembran con cercas vivas en 5 jornadas de 4 horas diarias?

Jornada

Horas

Lotes

Para 4 horas diarias

Para 5 jornada

3 5 35 4 ?

Ejercita lo aprendido.Calcular proporciones y porcentajes mediante regla de tres simple.Resuelva:Una escuela decide que de sus 140niños, 35 participarán en proyectos escolares de agricultura ecológica, ¿qué porcentaje del total de niños van a participar en los proyectos?En un municipio que se quiere certificar como ecológico, se ha logrado que 1.400 de sus 2.500 agricultores usen abonos orgánicos. ¿Qué porcentaje de agricultores aún no usan los abonos orgánicos?Resolver problemas de regla de tres compuesta directa e inversa.Resuelvan los siguientes problemas de regla de tres:1. Tres motobombas trabajando 2 horas diarias, riegan un potrero en 3 días.¿Cuánto tardarán en regarlo 2 bombas trabajando 4 horas diarias?2. En 3 semanas, 5 trabajadores pueden aislar 12 fuentes de agua. ¿Cuántas podrán aislar 7

trabajadores en 8 semanas?Si en 3 jornadas de 5 horas diarias se siembran cercas vivas en 3 lotes, ¿cuántos lotes se siembran con cercas vivas en 5 jornadas de 4 horas diarias?Reflexionar sobre la agroindustria.Valorar alternativas de cadenas asociativas y agroindustria para pequeños productores.Ejercita lo aprendido.Resolver problemas con regla de tres compuesta mixta.1. Cálculo de porcentajes

CLASE No34. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _________REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.Indicador de logro:Algunos problemas son de regla de tres simple directa y otros son de regla de tres simple inversa. Trabajemos la combinación de las dos.Miremos el siguiente ejemplo:El dueño de una fábrica de chocolate ha calculado que para producir 630 cajas, 8 operarios tardan 7 días. Si 2 operarios no pueden trabajar (con lo que quedan sólo6), ¿cuántos días tardarán para hacer 810 cajas de chocolate?Cajas Operarios Días630 8 7810 6 ?

43

Para producir más chocolate tardarán más días (directa), pero menos operarios tardarán más días (inversa). Es, por lo tanto, una regla de tres compuesta mixta.Las dos operaciones con regla de tres simple serían:Primera parte: Regla de tres

directaSegunda parte: Regla de tres

directaCajas Días630 ------- 77 x810

630=9

810 ____ x810 cajas se producen en9 días con 7 operarios.

Operarios Días8 ----------- 96 ----------- xx=9 x8

6=12

Con 6 operarios, 810 cajas se Producen en 12 días.

Veamos otro ejemplo:Para construir la pared de un galpón de 12 m. de largo y 5 m. de alto se necesitan 400 ladrillos. ¿Qué altura tendrá la pared si tú viera 4 m. de largo y se cuenta con 200 ladrillos?Ladrillo Largo Alto400 12m 5m200 4m ?m Primera regla de tres simple directa:Si se necesitan 400 ladrillos para construir una pared de 12 metros de largo por 5metros de alto, ¿qué altura tendrá una pared del mismo largo si se cuenta con 200 ladrillos?

Ladrillos Alto400 5m200 x

X = 200×5400

Segunda regla de tres simple inversa.Si con 200 ladrillos se construye una pared de 2,5m de altura y 12 m de largo. ¿Qué altura tendrá la pared si su largo es de 4m y se cuenta con la misma cantidad de ladrillos?

Largo Alto12m 2,5

m4m x

X = 12m×2,5m4m=30m

4=7,5m

Respuesta: con 200 ladrillos se construirán 7,5m Calcular proporciones y porcentajes mediante regla de tres mixta.Ejercita lo aprendidoResuelva:

44

CLASE No35. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: __________ESTADÍSTICAIndicador de logro:¿Qué vas a aprender?A recolectar y organizar datos.A determinar la información que se necesita para analizar un problema.¿Para qué te sirve?Para estudiar situaciones de la vida diarias.Para hacer más fácil el análisis de datos.Para representar gráficamente una situación dada.¿Ideas previas?Realizar conteos con números naturales.Conocer las relaciones de orden en los números naturales.¿Qué trata la estadística?Trata de la teoría y aplicación de métodos para coleccionar datos, organizarlos, analizarlos y hacer deducciones a partir de ellos.La estructura de los datos se puede representar mediante tablas de números ordenados o representaciones gráficas.¿Qué estudia la estadística?Estudia sucesos pasados y analiza la probabilidad de que ocurran en el futuro con base en la forma como estos se presentan.¿En qué consiste la recolección de datos?Es el proceso de la toma de la información que se va a procesar y analizar.¿Qué es un dato? Es un resultado numérico, alfabético o alfanumérico que se obtiene de una medición o encuesta.¿Qué es una variable?Es una cantidad que cambia.¿Cómo están clasificadas las variables?En ordenadas y no ordenadas.Las variables ordenadas son la que toman únicamente valores numéricos, como el peso, la estatura, el tamaño, la calificación y también se les llama variables escalares.Las variables que carecen de valores numéricos se llaman variables no escalares, por ejemplo, cuando nace una persona se le cataloga como hombre o mujer, como esta clasificación no se basa en ninguna medida numérica se dice que el sexo, el estado civil de una persona son una variables no escalares.Las Variables ordenadas también pueden ser no escalares.Las variables escalares se les da el nombre de variables discretas.La nota de un examen es una variable ordenada, escalar y continua ya que la nota puede ser 4,93.

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Cuando la medida de un atributo no cambia se tiene una constante, el nivel de sexto grado escolar es una constante.¿Qué es un valor?Es una cantidad numérica que se le asigna a una variable.¿Qué es una población o universo?Es el conjunto del cual se toma la información que necesitamos estudiar.¿Qué es el muestreo?Es el método que enseña las técnicas que deben orientar la recolección de información. ¿Qué es una muestra?Es un subconjunto de la población en estudio, cuál debe recogerse al azar para que sea confiable, es decir que las conclusiones que deduzcan de su estudio estén muy cerca de la realidad.¿Cómo se clasifican los datos?En grupos homogéneas, es decir que los datos que conforman a los grupos de datos reúnan ciertas características similares. Se construyen tablas de datos organizadas para comparar y registrar estos datos en tablas o gráficos.¿Qué es una tabla?Es un cuadro de números que facilita la lectura de datos. En ellas se presentan los datos en forma organizada, existen varios procedimientos, tales como tablas o dibujos. Los dibujos pueden ser gráficos, diagramas, etc.¿Qué es conteo?Es la enumeración de objetos o datos de una colección.¿Qué es la frecuencia?

CLASE No36. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ____________Indicadores de logro:¿A qué se denominan tablas de frecuencias?Son aquellas en las que se ordenan los datos de acuerdo con las veces que se repite cada valor en la muestra tomada. Para que estas tablas sean más comprensibles se utilizan los gráficos donde se destacan algunos hechos en forma más clara. Estos deben ser simples y prácticos. Ejemplo. En una prueba de matemáticas, aplicada a 30 alumnos, se obtuvieron las siguientes notas: 3,5 3,5 4,0 4,0 2,0, 4,0 4,5 3,5 4,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,5 2,0 3,5 3,5 4,5 4,0 4,5 4,5 5,0 4,0 5,0 4,0 4,0 5,0 4,0 4,0 3,0

Observa cómo debería quedar la tabla.

De esta clase de tabla se puede obtener:FRECUENCIA ABSOLUTA: Es el número de veces en que se repite cada dato. Aquí la frecuencia absoluta de la calificación 3,5 es 6, la frecuencia absoluta de la calificación 4,0 es 10, la frecuencia absoluta de la calificación 4,5 es 4 y la de la calificación 5,0 es 3.LA MODA: Es el dato que más veces se repite, es decir, el de mayor frecuencia absoluta. La moda de esta distribución de datos es 4,0; pues es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta.

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Organizamos los datos en una tabla de frecuencia; esta tabla tiene las siguientes columnas: La columna de la nota, la columna del conteo y la columna de la frecuencia absoluta.1º Se toman los valores y ser ordenan de menor a mayor en la primera columna de la tabla siguiente.2º Escribir en la segunda columna el número de veces que cada valor se repite

FRECUENCIA RELATIVA. Es la frecuencia de cada dato en relación con el total de datos de la muestra. Casi siempre se expresa en forma de fracción, decimal o de porcentaje. En la tabla anterior, la frecuencia relativa de la calificación 4,5 es 4/30 o 0,13333; en forma de porcentaje sería 13% (trece por ciento). Este mismo análisis se puede hacer para las demás notas y dar esta información en una tabla de frecuencias un poco más completa que la tabla anterior.

NOTA

FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVAFRACCIÓ

NDECIMA

LPORCENTAJE %

2,0 2 2/30 0,066 6,63,0 5 5/30 0,166 16,63,5 6 6/30 0,2 204,0 10 10/30 0,333 33,34,5 4 4/30 0.13 1335,0 3 3/30 0.1 10

CLASE No37. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ____________SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. Indicador de logro:

Estudia individualmenteSi descomponemos en sus raíces griegas la palabra geometría obtenemos: geo: tierra y metrón: medida. Éste parece ser el significado práctico primitivo de geometría como lo atestiguan civilizaciones antiguas como la egipcia.A pesar de que con el tiempo, la geometría dejó de ser sólo medida, ésta actividad siguió siendo importante, ¿y es que quién no ha tomado o estimado medidas alguna vez en su vida? Es así que el medir y estimar se convierten en actividades valiosas en la vida diaria de cada uno.Como veíamos anteriormente, para medir se hace necesario seleccionar y unificar unidades de medidas con el fin de facilitar la comunicación y entendimiento entre los hombres.Esto lo entendieron muy bien los miembros de la Asamblea Nacional Constituyente, creada en 1790 como uno de los resultados de la Revolución Francesa, y delegaron en la Academia de Ciencias de París el nombramiento de una comisión encargada de:1) Adoptar una medida de longitud de carácter internacional, tomada del globo terrestre, en forma

tal que no cambiara con el tiempo.Así nació el metro que es la diez millonésima parte de un cuadrante (cuarta parte) de un meridiano terrestre, y se halla representado por una barra de platino e Iridio la cual se encuentra en Sevres cerca de París.2) Derivar las unidades de área, volumen y peso de esa unidad de longitud.Ejemplo: m2, m, litros, kilogramos, etcétera.3) Construir unidades mayores y menores de cada unidad basadas en el sistema de numeración decimal.Ejemplo: decámetros, kilómetros, centímetros, etcétera.Así nació el Sistema Métrico Decimal como un aporte más de la Revolución Francesa al mundo. Pero a pesar de que se trató de universalizar este sistema, países como Inglaterra y Estados Unidos usan el llamado Sistema Inglés cuya unidad principal de longitud es el pie, y aunque ha habido interés de adoptar el sistema métrico, no han tenido éxito.Además de las unidades que componen el sistema métrico decimal, en algunas regiones del país se usan medidas como el jeme, el palmo, brazada etcétera.• Averigua si en tu región usan algunas medidas diferentes a las derivadas del metro.• Tantea en metros:a) El ancho del salón de clases.b) El ancho y largo del tablero de clases.c) La distancia de la puerta del salón a la puerta de la escuela en línea recta y siguiendo un camino normal.El sistema de medidas, llamado sistema métrico decimal porque es un conjunto de medidas.Se le llama métrico, porque la unidad fundamental es el metro.

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Decimal, porque estas medidas aumentan o disminuyen de diez en diez.Existen unidades de medidas mayores que el metro y se llaman múltiplos del metro y sirven para tomar medidas mayores que el metro. También existen medidas más pequeñas que el metro llamadas submúltiplos del metro. Los múltiplos del metro son: Decámetro = 10m, Hectómetro = 100m, Kilómetro= 1,000m, Miriámetro = 10,000m.Los submúltiplos del metro son: decímetro = 1/10m, centímetro = 1/100m, milímetro = 1/1,000m.Trabajo individualLos múltiplos y Submúltiplos del MetroComo existen en el universo distancias que para representarlas en metros se necesita de muchas cifras, entonces se usaron unas unidades que son múltiplos del metro para las grandes distancias, y para los muy pequeños los submúltiplos de él.¡RECUERDA QUE!Para la longitud las principales unidades de medida del sistema métrico decimal con sus respectivas equivalencias son:Un metro = 10 decímetros = 100centímetros = 1,000milímetros.Un decímetro = 10 centímetros = 100milímetros.Un centímetro = 10 milímetros.Lo anterior lo podemos expresar en el siguiente cuadro:

Múltiplos del metro

Submúltiplos

1Km = 1,000m. 1m = 1,000mm.1Hm = 100m. 1m = 100cm.1Dm = 10m. 1m = 10dm.

Cada una de las medidas anteriores pueden expresarse siempre en términos de la unidad principal, así:

Múltiplos del metro Unidad fundamental o patrón

Submúltiplos del metro

Km Hm Dm m dm cm mm1,000

m100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

103m 102m 101m 100m 10-1m 10-2m 10-3m

También podemos expresar estas medidas en otros equivalentes, así:1dm = una décima parte del metro, 1cm = una centésima parte del metro, 1mm = una milésima parte del metro.De igual forma: 1m = una décima parte de un Dm, 1m = una centésima parte de un Hm y 1m = una milésima parte de 1Km.Ahora responde en tu cuaderno:Observa: 10 dm equivalen a 1 metro.100 cm equivalen a 1 metro.1.000 mm equivalen a 1 metro.• ¿1 dm a cuántos cm equivale?• ¿Cuántos mm tiene un cm?REGLAS PARA CONVERTIR UNIDADES DE LONGITUD.1º. Para transformar unidades de longitud de orden mayor a otras unidades de orden menor, se multiplica el número de unidades por la unidad seguida de tantos ceros como unidades de medidas haya inmediatamente después de la unidad dada hasta la unidad a la cual se quiere reducir.2º Para reducir medidas de longitud decimales de unidad menor a unidad mayor, se divide el número de unidades dadas entre la unidad seguida de tantos ceros como unidades haya desde la unidad inmediatamente superior a la dada hasta la unidad a la que queremos reducir.Observa el procedimiento siguiente:Convertir 5Km a dm.Solución: Según la tabla debo desplazarme cuatro lugares a la derecha del Km, lo que indica que debo multiplicar por 10,000 es decir:

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Km

Hm Dm m dm cm

mm

Que 104 = 10x10x10x10 = 10,000. Si 1km = 10,000m, entonces 5Km = 20,000dm.También podemos hacerlo así: 5Kmx10,000dm

1Km=50,000dm . Observa que la unidad de orden

superior (Km9 desaparece y el resultado queda expresado en la unidad de orden inferior (dm). Entonces el factor de conversión para pasar de Km a dm es 10,000dm/1Km.Convertir 14Hm a mm.También vamos a la tabla y el procedimiento es el mismo, pero el factor de conversión en este caso sería: 100,000/1Hm, entonces 14Hm x (100,000mm

1Hm=1,400.000mm. .

Convertir 120cm a Dm. En este caso debo tener en cuenta que debo desplazarme a la izquierda de la tabla tres lugares, esto me indica que el factor de conversión según la regla sería: 1Dm

1,000cm.

Luego 120cm x ( 1Dm1,000 cm

¿=0.12Dm.Es decirmultiplico por laun idad superior y divido por su equivalente en la unidad inferior.Conclusión:Para convertir una unidad de orden superior a una unidad de orden inferior, se utiliza el siguiente operador o factor de conversión: (equivalentes a las unidades de orden inferior/ la unidad de orden superior). Y para convertir una unidad de orden inferior a una de orden superior se utiliza el siguiente operador o factor de conversión. (Unidades de orden superior/ equivalente a la unidad de orden inferior)

EJERCICIOS:1. Halla usando la cinta métrica en cm las dimensiones de tu cuaderno y de tu cintura.2. ¿Qué es más grande: 0,085 m o 985 cm? ¿Cuánto?3. Halla usando la cinta métrica en mm el grosor del cuaderno de matemáticas.4. Expresa en 2 múltiplos y 2 submúltiplos del metro, 13,5 m.5. Discute con tus compañeros la siguiente situación: En ciertas fiestas la gente acostumbra a echar voladores. Si estamos lejos de donde estalla un volador, primero vemos el humo del estallido y después oímos el estallido del trueno.¿Por qué esta diferencia no se percibe cuando estamos cerca del hecho?Recuerda: Velocidad del sonido 340 m por segundo y velocidad de la luz 300.000 Km por segundo.¿En qué otros fenómenos ocurren este hecho?6. Como las distancias espaciales son extremadamente grandes, los astrónomos crearon una unidad especial llamada el año luz la cual equivale a la distancia que recorre la luz en un año.Expresa esta distancia en m, en dm y en Hm.7. No es raro escuchar en los almacenes de telas expresiones como: deme un cuarto de seda blanca, deme tres metros y medio de paño y otros de este estilo.Expresa las medidas anteriores en m, dm y cm.8. ¿Si una persona compra 15 cuartos de tela, cuántos m compró?9. En los reinados se ha oído o leído la expresión: 90-60-90, ¿Qué significará?10. ¿En este país, o en tu región cuándo una persona se considera alta?Discútelo con tus compañeros.11. ¿Qué significa la expresión “Con la vara que midiereis serás medido”?12. ¿Cuándo un discurso se considera kilométrico?13. Estima en kilómetros la distancia, en línea recta y siguiendo tu camino habitual, que hay de tu casa a tu escuela.ENTÉRATEGran parte de la información que circula por el mundo se transmite a través de la lengua inglesa y si esa información se origina en Inglaterra o en Estados Unidos, entonces las medidas vienen en unidades del sistema inglés.Por eso es importante conocer las equivalencias entre los dos sistemas:

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1 pie equivale a 0,3048 m1 pulgada equivale a 2,54 cm1 milla equivale a 1.608 m1 pie tiene 12 pulgadasResponde:1. ¿Cuántos pies hay en un metro?2. ¿Cuántas millas hay en un Km?3. Si encuentras escrito u oyes que una persona mide 5 y 11, eso significa que tiene 5 pies y 11 pulgadas de estatura.¿Cuál será su estatura en m?4. Estima tu altura, tu brazo, tu cintura y las dimensiones de tu cuaderno en pies.5. Estima en millas la distancia de tu casa a tu escuela.6. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto: 8 pies o 2 m?7. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto: 1

100mm o 0,001 pulgada?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.


CLASE No38. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _______

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA.EXPLOREMOS EL ESPACIO QUE NOS RODEA.La Geometría es una de las ramas de las matemáticas que más se ha distinguido por la claridad de sus enunciados y la sencillez de sus métodos. Es por ello que la Geometría ofrece al alumno una visualización clara del método científico a diferencia de otras ramas de la matemática. Una de las tareas fundamentales de la Geometría Euclidiana es la de enseñar al alumno a razonar de manera lógica. Es decir, enseña al alumno a demostrar sus afirmaciones partiendo de conceptos no definidos y de un conjunto de enunciados ya establecidos con anterioridad (algunos de los cuales se aceptan sin prueba alguna). La Geometría por su sencillez y belleza hace menos arduo el proceso de aprendizaje de los razonamientos inductivo y deductivo. Desde los tiempos de Euclides los resultados geométricos se obtenían mediante un proceso lógico (demostración) partiendo de enunciados (axiomas) que se denominan evidentes y que no requerían de demostración alguna. En este libro el lector encontrara tanto una exposición rigurosa del pensamiento lógico como resultados y ejemplos donde se puede omitir el rigor y usar solamente la intuición. No cabe duda que el segundo libro más leído en el mundo después de la Biblia ha sido el libro de los Elementos escrito por Euclides alrededor del año 300 a. c. En su tratado, Euclides recopiló aquellos resultados geométricos descubiertos hasta su época que consideró importantes y los ordenó en un Sistema Axiomático. Es decir fueron escritos de tal forma que se deducen de manera lógica a partir de cinco postulados cuya veracidad es evidente. Pero una persona con conocimientos modernos de lógica formal que lea los Elementos se dará cuenta que no es clara la intención deductiva de Euclides (el artículo [a-Seid] ofrece una buena discusión en este sentido), como ejemplo de esto se puede mencionar que la construcción que yace en la primera Proposición de su tratado no se puede justificar usando los cinco postulados que propuso como axiomas. Pero esto quizá se debió a que en aquella época aún no se formalizaba profundamente el método axiomático. La axiomatización de la geometría culmino con la obra de D. Hilbert titulada “Grundlagen der Geometrie” publicada en 1899. Existen una gran cantidad de libros de texto de Geometría escritos en varios idiomas y en distintas épocas. Pero en castellano, los libros que se han escrito o traducido son muy pocos. En mi opinión ninguno de los libros que se usan en los cursos de Geometría contiene resultados recientes y demostraciones modernas de algunos de los teoremas

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clásicos. Tampoco ninguno de los libros contiene una información completa acerca de cada uno de los temas tradicionales. Hay que ser conscientes que es imposible ser exhaustivo en Geometría ya que hay una cantidad enorme de resultados acumulados por más de 2000 años, y diariamente se descubren otros tantos más. Se podrían escribir más de cien volúmenes y aun así no cubrir todos los resultados geométricos. El proyecto de este libro empezó como un mero pasatiempo, pues en mis ratos libres me dedico a leer artículos de Geometría y a resolver problemas de algunas revistas periódicas o de algunos libros de texto en el área. Considero que un buen libro de Geometría es aquel que puede motivar al alumno a descubrir resultados por si mismo. La Geometría es una de las ramas de las matemáticas más excitante y en donde toda persona puede desbordar su imaginación. Con este libro se pretende dar gusto a mucha gente que le atraiga la Geometría. En particular, aquellos a quien les agrada el formalismo y también aquellos que disfrutan los retos de resolver problemas no triviales. Espero que el contenido axiomático de este libro ayude al lector no experto en matemáticas a darse una idea del método axiomático. Pues una de las metas principales en este libro es la de introducir los axiomas fundamentales de la Planimetría, pues en muchos libros de geometría no se contemplan la mayoría de ellos o solo se mencionan de manera implícita. Mediante dichos axiomas daremos un desarrollo lógico de los teoremas fundamentales de la Planimetría.

Una Introduccion a la Geometria Euclidiana del PlanoGarcía-Ferreira Salvador.

Actividad. No 1.Lectura para discutir en grupo.Desde tiempos muy antiguos el hombre ha sentido necesidad por conocer y tener explicaciones racionales acerca de su medio ambiente y de los diferentes fenómenos que a diario suceden en él.En la búsqueda de este conocimiento la geometría juega un papel esencial ya que permite entre otras cosas solucionar problemas que tienen que ver con ubicaciones en el espacio, mediciones de objetos, eventos y fenómenos, apreciar las bellezas de la naturaleza y las obras diseñadas o construidas por el hombre además de ser un componente muy importante en la cultura de un pueblo.Así tenemos que algunos hombres a través de la historia se han dedicado a descubrir, crear, relacionar, ampliar y aplicar los conocimientos geométricos presentes en su época.Dentro de estos hombres de ciencia podemos destacar a los griegos: Thales de Mileto, Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría, quienes vivieron entre los siglos VI y III. a. c e iniciaron el estudio sistemático riguroso y deductivo de la geometría, a diferencia de los conocimientos geométricos de otras civilizaciones como la babilónica con los cuales sólo se solucionaban problemas de tipo práctico y muy particulares.Otros científicos a pesar de no haber contribuido con significativos aportes al desarrollo de la geometría, sí fueron grandes propulsores de ésta. Así, tenemos el gran filósofo griego Platón (429-348 a.C.) quien en sus famosos Diálogos resaltó la importancia de la matemática y en especial de la geometría: “Nadie que ignore la geometría puede pasar” decía un letrero a la entrada de la Academia de Atenas, sitio de reunión de filósofos y eruditos griegos de la época.Actividad en grupo 2. Para discutir en grupo1. ¿Cuáles creen ustedes que fueron los primeros conocimientos geométricos que manejó el hombre? ¿Dónde se manifestaron?2. ¿Qué elementos geométricos aparecen en nuestro medio ambiente y vida cotidiana?3. ¿Qué significado encontramos a las afirmaciones “ser un hombre recto”, “tener posiciones verticales”?

Actividad individual 3. Analiza lo siguiente:Si observamos la punta del lápiz, un semáforo, los ojos de una res, las pecas o lunares de una persona, la esquina de un cubo, tenemos buenos ejemplos de lo que es punto.Sin embargo la idea de punto es abstracta y se llega incluso al caso de considerarlo como un término indefinido aun sabiendo que todos tenemos una idea más o menos clara de lo que es el punto.

Observa los siguientes gráficos:

ACTIVIDAD PARA DISCUTIR EN GRUPO.

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Eso que estamos pensando en este momento acerca de lo que es punto, es lo que es el punto.• Observa los siguientes gráficos:• Relaciona el concepto de punto con cada una de ellos.• Ahora, toma tu lápiz y regla, coloca 2 puntos diferentes en el papel. ¿Cuántas rectas pasan por estos dos puntos?• Si nos dan un solo punto, ¿cuántas rectas pasan por él?CONCLUYE• Una figura geométrica es un conjunto de puntos.• Por dos puntos diferentes A y B pasa una y solamente una recta.

Notación: AB

1. Describe 4 situaciones físicas donde haya rectas.2. Explique ¿Por qué por dos puntos diferentes no puede pasar más de una recta?3. ¿Cuántas puntos tiene una recta?4. Dibuja una recta y algunos puntos que pertenecen a ella, ¿cuántas formas diferentes de notación de la recta puedes encontrar?

5. Usa una regla y dibuja cinco rectas que pasen por un mismo punto.6. ¿Qué nombre reciben estas rectas?7. Dibuja tres puntos diferentes, que estén sobre una misma recta.

“Si dos o más puntos pertenecen a una misma recta, los puntos se dice que son colineales. En caso contrario se dice que son no colineales”

Los puntos A, B, C, D, E son colineales.

Los puntos P, Q, R no son colineales.

Responde:1. Dados 2 puntos diferentes, ¿qué se puede afirmar de ellos?2. Dados 5 o más puntos, ¿qué sucederá con respecto a la colinealidad?3. Explica con palabras qué significa que los puntos A, B y C son no colineales.

La semirrecta y el segmento.La línea recta tiene infinitos puntos y es continua en el trazo.Construya con una regla una recta y un dibuja un punto que pertenezca a esa recta.Construye con una regla una semirrecta y un punto inicial.Si el punto inicial es A y el punto final es B. Explica porque AB ≠ BA.Observa la siguiente recta, y haz una lista de todas las semirrectas diferentes que podemos construir con punto inicial A, B, C.

Dibuja una recta con una regla, ubica 2 puntos sobre ella y colorea el trozo de recta que se forman con los dos puntos de color rojo.

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Este pedazo de recta resaltado se llama “segmento” y cómo puedes observar es un conjunto de puntos, luego es también una figura geométrica.

Un segmento es un subconjunto de una recta el cual esta formado por dos puntos llamados extremos y todos los puntos de la recta que están entre los dos puntos.

Notación: AB. Y se lee segmento AB.Ejercita lo aprendido.• Dibuja con una regla dos segmentos tales que:1. Su intersección sea un punto.2. Su intersección sea más de un punto.3. Su intersección sea vacío.4. Su unión sea una letra mayúscula del alfabeto.5. Pinta una estrella usando únicamente segmentos.


CLASE No39. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ______Indicador de logro:¿Qué es el plano?La palabra plano, al igual que punto y recta, representa un conjunto de puntos.¿Pero qué tipo de conjunto de puntos?Veamos:• Observa el piso y las paredes del salón.• Ahora imagina un libro con cubierta dura o la superficie del agua contenida en un platón y en estado de quietud total o una lámina de madera colocada sobre una mesa.Lo común de todas estas situaciones es un pedazo de plano. Eso es: lo que estás pensando formado por dicho conjunto de puntos es lo que se llama plano, teniendo en cuenta que el pedazo de plano se extiende en todas direcciones y así este plano no tiene centro y es ilimitado.• Ahora en tu cuaderno pinta objetos con superficies planas y no planas.“Así como dos puntos diferentes determinan una recta, tres puntos diferentes no colineales determinan un plano, es decir existe un único plano que contiene los tres puntos.”Representación del plano:Para representar un plano en una hoja de papel o en cualquier superficie plana, se acostumbra a pintar una figura como la siguiente:

Plano a.¿Qué relación hay entre un plano y una recta, sabiendo que la recta tiene dos de sus puntos en el plano? Sugerencia: Trabaja varios casos y trata de sacar una conclusión.

Ejercita lo aprendido.• ¿Por qué será que los fotógrafos y topógrafos usan un objeto de tres patas para colocar sus instrumentos y no un objeto de cuatro patas?• ¿Por qué la mayoría de las mesas tienen cuatro patas y no tres?• ¿Dada una recta, cuántos planos contienen la recta?• Los planos α, β, λ, contienen la recta AB. Hay muchos más.INFÓRMATEComo una recta contiene al menos dos puntos diferentes, entonces dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, va a existir un único plano que contiene la recta y el punto dado.

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A propósito de este hecho, trata de hacer un modelo real que lo ejemplifique; (materiales: hilo para la recta, punta de un lápiz para el punto y una hoja de papel para el plano).

Una recta AB y un punto que no pertenece a ella P, determina un plano α.• Ahora piensa en la recta determinada por la unión de la pared y el piso, y un punto que puede ser la punta de la nariz de un compañero tuyo.• Una vez ubicada la recta y el punto trata de representarte mentalmente el plano que contiene la recta y el punto.• Ahora con las paredes del salón de clase, selecciona 2 planos, observa y responde:¿Cuál será la intersección de esos 2 planos?• Identifica casos similares.“Si dos planos diferentes se intersectan, entonces la intersección es una recta, A propósito de este hecho, elabora un modelo en papel”

A propósito de este hecho, elabora un modelo en papel o cartulina para mostrarlo.• Toma dos pedazos de hilo, cabuya o bejuco. Con ellos representa dos rectas diferentes que se intersecten.¿Será que bajo estas condiciones siempre existirá un plano que las contenga?

“Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces existe un único plano que lo contiene.”Para pensar:• ¿Por qué será que los fotógrafos y topógrafos usan un objeto de tres patas para colocar sus instrumentos y no un objeto de cuatro patas?• ¿Por qué la mayoría de las mesas tienen cuatro patas y no tres?• ¿Dada una recta, cuántos planos contienen la recta?

Los planos α, β, λ, contienen la recta AB. Hay muchos más.DESAFÍO1. Considera tres planos diferentes. Describe con tus propias palabras lo que constituye la intersección de los tres planos.Sugerencias: Analiza diferentes casos y elabora gráficos o modelos en papel para representar los diferentes y así las conclusiones serán más fáciles de obtener.2. ¿Qué figura se obtendrá de la intersección de la superficie de un balón con un plano?INFÓRMATEObserva los siguientes objetos y responde:

¿En qué partes de estos objetos hay pedazos de planos? Las otras partes corresponden a superficies curvas las cuales abundan en la naturaleza.

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• Da ejemplos de objetos con superficies curvas.ENTERATE!Como una recta contiene al menos dos puntos diferentes, entonces dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, va a existir un único plano que contiene la recta y el punto dado.A propósito de este hecho, trata de hacer un modelo real que lo ejemplifique; (materiales: hilo para la recta, punta de un lápiz para el punto y una hoja de papel para el plano).

Una recta AB y un punto que no pertenece a ella P, determina un plano α.• Ahora piensa en la recta determinada por la unión de la pared y el piso, y un punto que puede ser la punta de la nariz de un compañero tuyo.• Una vez ubicada la recta y el punto trata de representarte mentalmente el plano que contiene la recta y el punto.• Ahora con las paredes del salón de clase, selecciona 2 planos, observa y responde:¿Cuál será la intersección de esos 2 planos?• Trata casos similares.

“Si dos planos diferentes se intersectan, entonces la intersección es una recta”

A propósito de este hecho, elabora un modelo en papel o cartulina para mostrarlo.• Toma dos pedazos de hilo, cabuya o bejuco. Con ellos representa dos rectas diferentes que se intersecten.¿Será que bajo estas condiciones siempre existirá un plano que las contenga?

“Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces existe un único plano que lo contiene”.


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CLASE No40. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ________DIVISIÓN DEL PLANOIndicador de logro:Si trazamos una recta l en un plano 1, es fácil observar que:

Los puntos del plano que no están en la recta forman 2 conjuntos S1 y S2 tales que:S1 y S2 son disyuntos, es decir no tienen puntos en común.Si A ϵ S1 y B ϵ S2 entonces AB Ո l ≠ ϕ, es decir AB intersecta la recta l.Los conjuntos S1 y S2 se llaman semiplanos y la recta l se llama la frontera.Concluye:1. ¿Si C ϵ S1 y D ϵ S2, entonces?2. ¿Si M ϵ l y N ϵ S2, qué puedes afirmar de MN?

Firma del acudiente: ______________________________Fecha: ______________

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CLASE No41. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _________¿Qué es medir?Indicador de logro:Cuando vamos al mercado podemos observar y tomar parte en diversas y variadas actividades que involucran conocimientos matemáticos.Por ejemplo: Pedro compra 5 libras de plátano verde en un puesto y 8 libras de plátano verde en otro puesto y los reúne.Del nuevo conjunto podemos concluir:1. Los plátanos siguen siendo verdes, es decir, la propiedad de ser verdes no cambió.2. Ahora el peso de todos los plátanos es de 13 libras, es decir, el peso cambió con respecto al peso de cada conjunto inicial.3. El número de plátanos del nuevo conjunto se aumentó con respecto del número de plátanos de cada uno de los primeros conjuntos.Como se puede observar, al reunir los dos conjuntos, hubo propiedades que no cambiaron, el caso del color verde; y otras que sí, como el peso y el número de plátanos. A éstas últimas se les llama propiedades medibles y como se ve, se pueden representar mediante números (13 libras); a las primeras se les llama propiedades no medibles.

“Medir es asignar números a las propiedades medibles de los cuerpos de acuerdo con un patrón preestablecido,

es decir se compara la propiedad con una unidad seleccionada de antemano”Trabajo individual.Selecciona 3 objetos diferentes. Hállales propiedades que sean medibles y que no lo sean. Selecciona una propiedad medible que sea común (si es posible) y observa cómo es el cambio al considerar el conjunto formado por los tres objetos.• Haz lo mismo con una propiedad no medible.• ¿Qué sucede si alguien te dice, cuánto mide tal o cual cosa?• ¿Qué haces tú para resolver este problema?Al resolver las preguntas anteriores tú tomaste 2 puntos del espacio, observaste el instrumento de medida y dijiste: mide tanto.Matemáticamente hablando sucedió lo siguiente:Hace mucho tiempo se seleccionaron 2 puntos del espacio y a este par de puntos se les asignó el número 1 y se les llamó el par unidad (esto determina la graduación del instrumento).Ahora si se toman los 2 puntos extremos del segmento que se va medir, se lee el instrumento y la medida queda hallada.

“Es decir, medir linealmente es asignar un número a cada par de puntos del espacio, este número está determinado por el par unidad seleccionado con anterioridad.”

Para el caso de un segmento, sus extremos son dos puntos del espacio, luego podemos asignarle un número a este par de puntos y este número se llama la longitud del segmento o también la distancia entre esos dos puntos.• Analiza el siguiente ejemplo: AB segmento determinado por A y B.

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AB es la longitud de AB es decir AB está dado por un número el cual depende del par unidad relacionado con anterioridad.Observemos que AB ≠ AB.

Firma del acudiente: ______________________________ Fecha: ______________CLASE No 42. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _______Utiliza tu propia unidad de medida:Indicador de logro:Selecciona dos puntos del espacio, ese es tu par unidad.• Bautízalo con el nombre que quieras. Ahora consigue un pedazo de alambre o algo por el estilo tan largo como la distancia que hay entre sus puntos relacionados.A continuación halla AB sabiendo que:• A es el extremo superior izquierdo de la raya de tu cuaderno y B el inferior derecho.• A es tu corona y B la planta de tus pies.A el punto donde estás y B el punto donde está el profesor.• Compara tus respuestas con las de algunos de tus compañeros.¿Por qué algunas son diferentes a las tuyas?• Selecciona una unidad común para que la comunicación sea más fácil.Ahora mide de nuevo y observa si hubo o no cambio en tus medidas.• A continuación tantea, usando tu unidad, el ancho del tablero y las dimensiones de la mesa del comedor de tu casa. Comparte esta experiencia con tus compañeros.


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CLASE No 43. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ________Como medir ángulos.Recuerda que una figura geométrica es un conjunto de puntos.Ahora consideremos la figura formada por dos semirrectas que tienen un punto inicial común. Esta tiene un nombre muy especial: ÁNGULO.Gráficamente un ángulo es una figura como la siguiente.

El punto inicial común se llama vértice del ángulo y los lados del ángulo son semirrectas. Observa que estos se extienden indefinidamente.Notación de ángulos:

Ángulo ABC Ángulo B Ángulo aEjercita lo aprendido:Para cada caso pinta 2 ángulos tales que:• Su intersección sea un punto, 2 puntos, 3 puntos, 4 puntos, e infinitos puntos o ningún punto.• Su unión sean 2 rectas.El interior de un ángulo:En el cuaderno sobre el ángulo MON, raya con lápiz a color lo que creas que es el interior de este ángulo. Ponte de acuerdo con tus compañeros respecto al tema.

Actividad individual:• Dado el ángulo MON, con un color azul colócale el semiplano determinado por ON que contiene el punto M; con un color azul colorea el semiplano determinado por OM que contiene el punto N.• El conjunto de puntos que sean rojos y azules a la vez se llama el interior del ángulo MON.Observa que los lados del ángulo no pertenecen a su interior.


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CLASE No 44. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _________Medida angular.Indicador de logro:Así como a cada persona se le asigna un número llamado “la edad de”, a cada ángulo se le asigna un número llamado “la medida en grados de”. Este número varía entre 0 y 180º.Ejemplo:

Medida en grados de ABC = 50º. Medida en grado de XYZ = 135º.Por comodidad, en vez de medida en grados de ABC se escribe: m <ABC.Para asignarle a un ángulo el número correspondiente a su medida se usa un instrumento llamado el transportador, es un instrumento como el que aparece en la figura

Ejercita lo aprendido.Con ayuda del transportador mide los siguientes ángulos.

Ahora compara tus respuestas con las de tus compañeros y decidan cuál es la que más se aproxima a la verdad.• Dibuja ángulos que midan 30º, 54º, 85º, 90º, 120º, 145º, 170º.• Dibuja ángulos que midan lo mismo que el punto anterior y que tengan un lado como el siguiente

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Nombra todos los ángulos de la figura y mídelos.

Con tu cuerpo, haz movimientos que correspondan a ángulos que midan 45º, 90º, 135º y 180º.• ¿Si nuestra unidad de medida angular fuese un cuarto de vuelta (rotando el cuerpo), cuánto mediría un ángulo recto?, ¿un ángulo llano?, ¿un ángulo de 135º?


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CLASE No 45. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _______Bisectriz de un ángulo.Indicador de logro:La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene punto inicial en el vértice del ángulo, pertenece al interior del ángulo y forma con los lados del ángulo, 2 ángulos que tienen igual medida.

m < ABD = m < BDC, BD bisectriz del < ABC.• ¿Cómo trazar la bisectriz de un ángulo?Para trazar la bisectriz de un ángulo existen 2 procedimientos:1. Usando el transportador.2. Con regla y compás.• Mide el ángulo dado, luego con el mismo transportador construye un ángulo cuya medida sea la mitad del ángulo dado y tenga un lado en él como base y el otro esté en el interior del ángulo dado. Este último lado construido es la bisectriz del ángulo.• Proceso: Haciendo centro en B trazo un arco DE.Ahora haciendo centro en D trazo un pedazo de arco punteado y con el mismo radio; haciendo centro en E trazootro arco punteado en forma tal que corte al anterior (ver figura) y así obtener el punto F.

Ahora se une B con F y BF es la bisectriz del < ABC.


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CLASE No 46. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ________CLASES DE ÁNGULOIndicador de logro:Así como tomamos la edad de una persona para clasificarla en niño, joven, adulto o viejo, podemos tomar la medida de los ángulos para clasificarlos.Es así que si la medida de un ángulo es: 90º se llama recto mayor de 90º, obtuso menor de 90º, agudo.180º se llama llano• Clasifica todos los ángulos graficados en la actividad No. 3Pares de ángulos:• Observa la figura anterior.• Ahora busca entre ellos 2 ángulos que cumplan los siguientes requisitos:1) Tengan un lado en común y2) sus interiores no se intersectan.Si un par de ángulos cumplen 2 condiciones anteriores se dice que son adyacentes.• Ahora pinta 2 ángulos cuya suma de sus medidas sea 180ºy otro par de ángulos cuya suma de sus medidas sea 90º.A los primeros se les llama ángulos suplementarios y a los últimos complementarios.Ejercicios:• Pinta un par de ángulos suplementarios que sean adyacentes.• Lo mismo que el anterior pero complementarios.• ¿Si un ángulo mide 65º, cuánto mide su suplementario y su complementario?• ¿Si un ángulo mide xº, cuánto mide su suplementario y su complementario?• ¿Es posible que el complemento y el suplemento de un ángulo sean iguales.ENTÉRATE!A partir de la figura formada por dos rectas que se cruzan, escribe pares de ángulos que no sean adyacentes. (Excluye los ángulos llanos).

A estos pares de ángulos se les llama opuestos por el vértice y tienen igual medida porque tienen el mismo suplemento.Así: el suplemento del < BEA es el < AEC y el suplemento del < DEC es el < AEC.Ejercicios. En tu cuaderno:1. A partir de los siguientes ángulos construye sus ángulos opuestos.

2. Considera la siguiente figura y nombra los pares de ángulos opuestos.

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3. En la figura anterior: ¿Cuáles ángulos son suplementarios? ¿Cuáles ángulos son adyacentes?

Firma del acudiente: _____________________________Fecha: __________CLASE No 47. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: ___________Indicador de logro:CONGRUENCIAAsí como entre personas, conjuntos u objetos existen relaciones, entre segmentos también las hay.

“Si dos segmentos miden lo mismo, entonces los dos segmentos se dice que son congruentes”Es decir si AB = CD, entonces AB se dice que es congruente con CD y se simboliza como AB = CD.

Ejemplo:

Entonces, AB = CD.Considera la relación “ser congruente con” entre segmentos. ¿Es esta relación de equivalencia?Recuerda que una relación es de equivalencia si ésta es reflexiva, simétrica y transitiva.Ahora, si a cambio de segmentos consideramos ángulos, en estos también podemos definir la relación de congruencia.“Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida”Si m < ABC = m < MNO entonces < ABC es congruente con < MNO y en este caso se escribe < ABC < MNO.De acuerdo con lo anterior, qué podemos decir de:• ¿Los ángulos rectos?• ¿Los ángulos tienen el mismo complemento?• ¿Un ángulo que mide 75º y el suplemento de un ángulo que mide 105º?


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CLASE No 48. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _______PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMOIndicador de logro:En tu cuaderno:• Pinta un ángulo recto.• Ahora pinta 2 rectas que contengan a los lados de este ángulo.A estas 2 últimas rectas se les llama rectas perpendiculares.

Sea < ABC dado, rectas L1 y L2 rectas dibujadas.L1 es perpendicular a L2, simbólicamente .Para realizar en grupo.1. Describamos, grafiquemos y mostremos, objetos del mundo real donde hayan rectas perpendiculares.2. Pidámosle al compañero que pinte, en una hoja en blanco, una recta y un punto que bien puede o no, pertenecer a la recta.Ahora a mano limpia o alzada (sin ningún instrumento) tracemos una recta que sea perpendicular a la recta dada y pase por el punto dado.3. En una hoja en blanco tracemos una recta y un punto que no pertenece a la recta, ahora con una regla graduada busquemos un punto de la recta en forma tal que la distancia de este punto al punto dado sea la más pequeña (mínima).¿Cómo resultó el segmento que une estos dos puntos con respecto a la recta?Concluyamos:Para medir la distancia de un punto a una recta se toma el segmento que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada, la longitud de este segmento es la distancia requerida.4. Dada una recta y un punto que pertenece a la recta, ¿cuántas rectas pasan por el punto y son perpendiculares a la recta dada?Sugerencia: En el espacio estira y templa un pedazo de pita o cabuya para representar la recta. Luego toma (marca) un punto sobre esta recta y resuelve el problema. Recuerda que una cosa es trabajar en una hoja de papel y otra cosa es trabajar en el espacio.PARA LOS PILOSOS• Consulta qué es una recta vertical.Para Trabajar individualmenteEn una hoja de papel pinta 2 rectas cualesquiera y contesta:• ¿Se intersectan estas dos rectas bien sea en la hoja o fuera de ella? (no olvides que las rectas se prolongan en ambas direcciones todo cuanto queramos, es decir hasta el infinito).• Si tu respuesta es positiva, pinta otras dos rectas en forma tal que no se intersectan ni en el infinito.• Ahora da ejemplos de tu espacio cotidiano en donde encuentres rectas que por más que se prolonguen no se encuentren.

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Concluyamos:Dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano y no tienen puntos en común.Notación: Si L1 y L2 son dos rectas paralelas entonces ello se representa así: L1 || L2.Responde en tu cuaderno:• ¿Cuándo dos rectas no son paralelas?• ¿Por qué una figura como la que se muestra a continuación no representa unas rectas paralelas?

Trabajo en grupo• Con dos pedazos de hilo, cabuya o alambre representa dos rectas que a pesar de no tener puntos en común no sean paralelas.* El “ser paralelas” entre rectas se puede considerar como una relación. ¿Es esta relación de equivalencia? (Una recta se considera paralela a sí misma).* En el plano, ¿qué sucede si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta?* Busca a tu alrededor ejemplos reales que se ajusten al ejercicio anterior.* Conformen grupos de a tres estudiantes y analicen para al final concretar y acordar cuál será el significado de las siguientes expresiones:a. Dos segmentos son paralelos.b. Un segmento es paralelo a una recta.c. Dos semirrectas son paralelas.d. Tener vidas paralelas.


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CLASE No 49. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _____________________POLÍGONOS.Indicador de logro.Analiza lo siguiente:Un polígono es una figura bidimensional cerrada formada por la unión de segmentos tales que ningún par de ellos se entrecruza y es Cooplanares.Los segmentos se llaman lados y el punto donde se intersectan dos segmentos de llama vértice. El número de lados determina el nombre del polígono así:

Responde:• ¿Qué relación existe entre el número de lados y el número de vértices de un polígono?• Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno, pintando el polígono y midiendo sus ángulos.

ENTÉRATEEl segmento que une 2 vértices no consecutivos de un polígono se llama diagonal.• Pinta un pentágono y traza todas sus diagonales.• Pinta un nonágono. Elige un vértice, ¿cuántas diagonales puedes trazar partiendo de ese vértice? Repite el ejercicio con un triángulo y con un hexágono.


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CLASE No 50. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _____Los triángulos.Indicador de logro:Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud de sus lados o con la medida de sus ángulos.Un triángulo se llama:• Isósceles si tiene 2 lados congruentes.• Equilátero si tiene 3 lados congruentes.• Escaleno si sus 3 lados tienen diferente medida.• Acutángulo si sus 3 ángulos son agudos.• Rectángulo si tiene un ángulo recto.• Obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.Ejemplo:

Contesta:• De los triángulos anteriores, ¿cuáles son acutángulos?• Mide los ángulos de cada uno de los triángulos anteriores y suma las tres medidas. ¿Qué puedes concluir?• ¿Será que un triángulo equilátero es isósceles?


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CLASE No 51. FECHA: /__/__/___/ TIEMPO PREVISTO: _________Los cuadriláteros.Indicador de logro:Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos, entonces el cuadrilátero se dice que es un trapecio.

ENTÉRATESi el par de los lados paralelos de un trapecio es congruente, entonces el trapecio se dice que es un paralelogramo, o lo que es lo mismo: un paralelogramo es un cuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes.En tu cuaderno:• Pinta un par de segmentos que sean congruentes y paralelos.Ahora completa el cuadrilátero. ¿Qué puedes decir de estos 2 nuevos lados?• Pinta un paralelogramo con un ángulo recto. ¿Qué figura obtuviste?Esta nueva figura se llama rectángulo.Pinta un rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes. ¿Qué figura obtuviste?Esta nueva figura se llama cuadrado.• ¿Cuáles son las características que determinan que un cuadrilátero sea rombo?• Pinta un rectángulo y trázale las diagonales. ¿Qué puedes concluir?• Pinta un paralelogramo que no sea rectángulo y trázale las diagonales.¿Se te cumple la condición del ejercicio anterior en este caso?CONCLUYAMOS


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Libro de 6o 2016 Jorge Eliécer TORRES González