1v1.0

BÀI 5PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

2v1.0

1. Khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm củaphương trình.

2. Các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tíchphân riêng, bài toán Cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2.

3. Cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2.

LÝ THUYẾT

3v1.0

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình ?xy ' 2y

2

3

2

4

a. y 4x

b. y x

c. y x 4

d. y Cx , C const

VÍ DỤ 1

4v1.0

Hướng dẫn: Xem mục 5.1.1.3 (tr.96)

VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

5v1.0

Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng.

2 2

3 2 3

2 2

4 3 4

y 4x y' 8x xy' 8x 2y

y x y' 3x xy' 3x 2y

y x 4 y' 2x xy' 2x 2y

y Cx y' 4Cx xy' 4Cx 2y

VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình ?xy ' 2y

2

3

2

4

a. y 4x

b. y x

c. y x 4

d. y Cx , C const

6v1.0

Hàm số là nghiệm của phương trình nào trong các phương trìnhsau đây?

xy xe

x

x

x

x

a. y' y e

b. y' y e

c. y' y e

d. y' y e

VÍ DỤ 2

7v1.0

Hàm số là nghiệm của phương trình nào trong các phương trìnhsau đây?

xy xe

x

x

x

x

a. y' y e

b. y' y e

c. y' y e

d. y' y e

Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đó thỏa mãn phương trình nào.

VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

x x x

x x x x

x x x x x

y xe y ' e xe

y ' y e xe xe e y ' y e xe xe e 2xe

8v1.0

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình ?y '' y 0

2

x

a. y sin x b. y sin x cos x

c. y sin x 2cos x

d. y e

VÍ DỤ 3

9v1.0

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình ?y '' y 0

2

x

a. y sin x b. y sin x cos x

c. y sin x 2cos x

d. y e

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

10v1.0

Phương trình là phương trình loại nào?2x dx sin y.dy

a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.

VÍ DỤ 4

11v1.0

Hướng dẫn: Xem dạng của các Phương trình vi phân cấp 1

VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

12v1.0

Phương trình là phương trình loại nào?2x dx sin y.dy

a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.

VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

Chú ý: Thông thường ta phải biến đổi một vài bước, mới ra được dạng của Phương trình vi phân.

13v1.0

Phương trình là phương trình loại nào?2 2xydx (1 x )(1 y )dy 0

a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.

VÍ DỤ 5

14v1.0

Phương trình là phương trình loại nào?2 2xydx (1 x )(1 y )dy 0

a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.

VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

2 2

2

2

xydx (1 x )(1 y )dy 0

x (1 y )dx dy1 x y

15v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

y(x) xu(x) y yy ' tgx x

u(x)

a. xu' tgu

b. xu' cotgu

c. x 2ux u' tgu

d. x 2ux u' cotgu

VÍ DỤ 6

16v1.0

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Hướng dẫn:

• Xác định dạng của phương trình. Lưu ý:

• Xem cách giải của dạng phương trình đó.

dy duy ' , u 'dx dx

17v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

y(x) xu(x) y yy ' tgx x

u(x)

a. xu' tgu

b. xu' cotgu

c. x 2ux u' tgu

d. x 2ux u' cotgu

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Đặt y(x) = xu(x) → y’ = u +xu’Phương trình trở thành:u + xu’ – u = tgu ↔ xu’ = tgu

Chú ý: Nhiều khi phải biến đổi một số bước, mới đưa được về phương trình vi phân thuần nhất.

18v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình

trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

y(x) xu(x) yxy ' y x tgx

u(x)

a. xu' tgu b. xu' cotgu

c. x 2ux u' tgu

d. x 2ux u' cotgu

VÍ DỤ 7

19v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình

trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

y(x) xu(x) yxy ' y x tgx

u(x)

Hướng dẫn: Lưu ý

a. xu' tgu b. xu' cotgu

c. x 2ux u' tgu

d. x 2ux u' cotgu

y y yxy ' y x tg y ' tgx x x

VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

20v1.0

Tìm tất cả các nghiệm có dạngcủa phương trình

2y Ax Bx C (A 0) 2(x 1)y '' 2y 0

2

2

2

2

a. y A(x 1), A 0

b. y A(x 1), A 0

c. y A(x x 1), A 0

d. y A(x x 1), A 0

VÍ DỤ 8

21v1.0

Hướng dẫn:Xem lại hướng dẫn của ví dụ 1.Lần lượt tính y’, y” rồi thay vào phương trình. Ta được một hệ của A, B, C.

2

2

2

2

a. y A(x 1), A 0

b. y A(x 1), A 0

c. y A(x x 1), A 0

d. y A(x x 1), A 0

VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

Nhận xét:Sai lầm thường gặp: Tính y’, y” sai hoặc rút gọn phương trình để đồng nhất hệ số không đúng. Việc giải hệ phương trình nên sử dụng máy tính để tránh sai sót.

22v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 6y ' 8y 0

2x 4x1 2

2x1 2

4x 2x1 2

4x1 2

a. y C C e e

b. y e C cos4x C sin4x

c. y C e C e

d. y e C cos2x C sin2x

VÍ DỤ 9

23v1.0

Hướng dẫn: Xem mục 5.3.3.1

VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

24v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 6y ' 8y 0

2x 4x1 2

2x1 2

4x 2x1 2

4x1 2

a. y C C e e

b. y e C cos4x C sin4x

c. y C e C e

d. y e C cos2x C sin2x

VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

Nhận xét:Sai lầm thường gặp: Sai công thức nghiệm.

25v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 2y ' 0

2x1 2

x 2 x 21 2

2x1 2

1 2

a. y C Ce

b. y Ce Ce

c. y C C x e

d. y C cos2x C sin2x

VÍ DỤ 10

26v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 2y ' 0

2x1 2

x 2 x 21 2

2x1 2

1 2

a. y C Ce

b. y Ce Ce

c. y C C x e

d. y C cos2x C sin2x

VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

27v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 4y ' 4y 0

2x1 2

2x1 2

2x1 2

2 2x1 2

a. y Ce C

b. y e (C cos2x C sin2x)

c. y (C C x)e

d. y (C x C x )e

VÍ DỤ 11

28v1.0

Nghiệm tổng quát của phương trình là:y '' 4y ' 4y 0

2x1 2

2x1 2

2x1 2

2 2x1 2

a. y Ce C

b. y e (C cos2x C sin2x)

c. y (C C x)e

d. y (C x C x )e

VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

29v1.0

Câu 1: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 phụ thuộc vào mấy hằng số? Trả lời: Phụ thuộc vào 2 hằng số.

Câu 2: Phương trình có là phương trình vi phântoàn phần không?

2 y y(3x e )dx xe dy 0

Trả lời: Có, vì 2 y / y / yy x(3x e ) (xe ) e

CÂU HỎI THƯỜNG GẶP