Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular Para la Educacion

Universidad Fermin ToroVicerrectorado Academico

Facultad Ingenieria

• Integrales Definidas

• Integrantes:• Luis Alvarez C.I 25.144.393

• Profesor:• Domingo Mendez

• Seccion:• Saia A

Notacion Sigma

El sumatorio (o sumatoria) es un operador

matemático, representado por la letra griega sigma

mayúscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un

numero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos.

Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)

cuyos valores dependen de un ´ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´ındice

empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en

una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio

• Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xk".

Suma Superior o Inferior

•   Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x)  0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real. 

     Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación. 

     En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

•      Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

Integral Definida

• Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.     Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

Teorema del valor medio Para Integrales

• Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom   . ¿Cómo calculamos la

temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x)  x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

• Se propone calcular el valor promedio de la función y  f(x), a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud  x  . Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo

subintervalo, entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los ci viene dado por:

• Multiplicamos y dividimos por (b  a) y resulta:

Resultado:

Teorema Fundamental del Calculo:

• El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Sustitucion y cambio de variable:

• Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

• Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Ejemplo: