Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Determinan

Beny Nugraha, MT, M.Sc

10

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Ekspansi Kofaktor

• Jika sebuah matriks dengan orde n memiliki determinan, maka yang dimaksud dengan Minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

• Contoh: Jika terdapat matriks orde-4 sebagai berikut:

• Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan:

Ekspansi Kofaktor

• Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan:

• Sedangkan pengertian Kofaktor suatu unsur determinan aij adalah:

Ekspansi Kofaktor

• Contoh: Terdapat matriks berikut:

• Maka, Minor a32 adalah:

• Nilai dari Minor a32 adalah: 2.7 – 4.5 = -6

• Sedangkan Kofaktor a32 adalah: C32 = (-1)3+2 (-6) = 6

Teorema Laplace

• “Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”. Atau dengan kata lain:

• Di mana nilai i sembarang, Persamaan di atas disebut uraian baris ke-i (Ekspansi Baris).

• Di mana nilai j sembarang, Persamaan di atas disebut uraian kolom ke-j (Ekspansi Kolom).

Teorema Laplace

• Contoh: Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan Kofaktor:

• Jawab:Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. Maka:Minor a11:

Teorema Laplace

• Jawab:Minor a21:

Minor a31:

Kofaktornya:

Maka determinan A adalah:

Teorema Laplace

• Latihan:Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan Kofaktor:

Aturan Cramer

• Aturan Cramer dapat digunakan untuk menentukan solusi Sistem Persamaan Linear (SPL). Aturan Cramer berbunyi:

“Misalkan SPL dengan n persamaan dan n variabel dapat ditulis secara matriks Anxn Xnx1 = Bnx1 dan det(A) ≠ 0. Maka nilai dari

variabel xi dapat dihitung dengan rumus:

Di mana Ai adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti kolom-i dengan matriks kolom B.”

Aturan Cramer

• Contoh: Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer:2x1 + 3x2 + x3 = 13

-4x1 + 5x2 + 2x3 = 0

3x1 - 5x2 + 5x3 = 10

Jawab:

Aturan Cramer

• Sehingga:x1 = |A1|/|A| = 387/129 = 3

x2 = |A2|/|A| = 258/129 = 2

x3 = |A3|/|A| = 129/129 = 1

Aturan Cramer

• Latihan:Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer:

-x1 + 5x2 - 3x3 = 4

2x1 + 2x2 + 5x3 = 5

3x1 - 3x2 - 2x3 = 10

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc