Upload
jmancisidor
View
1.728
Download
11
Embed Size (px)
DESCRIPTION
MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak
Citation preview
UD2: ANALISI MATEMATIKOAINTEGRAZIOA
BATXILERGO ZIENTIFIKO TEKNOLOGIKOAMATEMATIKA II
2
1 1. INTEGRAL MUGAGABEA.
1.1. Funtzio baten jatorrizkoa.
[a, b] tartean definituta dauden f(x) eta F(x) bi funtzio izanik, esango dugu F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizko funtzioa dela, baldin eta F(x)-ren deribatua f(x) bada tartean.
๐น (๐ฅ) f
๐๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐
๐๐๐ก๐๐๐๐๐ง๐๐๐
Demagun F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizkoa dela [a,b] tartean; f(x)-ren integral mugagabea deritzogu haren jatorrizko guztien multzoari, F(x) + K eta honela adierazten dugu:
โซ ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ=๐น (๐ฅ )+๐
2
1 1.2. Berealako integralak.
2
1
2
1 1.3. Integral mugagabeen propietateak.
[โซ ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ ]โฒ= ๐ (๐ฅ)
โซ [ ๐ (๐ฅ )+๐(๐ฅ )]๐๐ฅ=โซ ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ+โซ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ
โซ๐ ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ=๐โซ ๐ (๐ฅ )๐๐ฅ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.1. Deskonposizio bidezko integralak.
โซ โซ โซ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(
โซ (3 ๐ฅ2+4 ๐ฅโ2 ) โ๐๐ฅ=ยฟยฟ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.2. Ordezkapen metodoa.
โซ 2๐๐๐ฅ
๐ฅโ๐๐ฅ=ยฟ ยฟ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.3. Zatikako integrazio metodoa.
โซ๐ข โ๐๐ฃ=๐ข โ๐ฃโโซ๐ฃ โ๐๐ข
โซ๐ฅ sin๐ฅ ๐๐ฅ=ยฟยฟ
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
โซ ๐ (๐ฅ)๐ (๐ฅ)
๐๐ฅ=ยฟยฟ
โ P(x)-en maila โฅ Q(x)-en maila : bi polinomioen arteko zatiketa egiten da. โ P(x)-en maila < Q(x)-en maila: Q(x) faktoreetan deskonposatzen dugu ; aukera desberdinak lortu ditzakegu.
a) erro bakunak.
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
a) Erro bakunak:
b) Erro anizkoitzak:
c) Erro errealik gabeko faktoreak agertzen direnean:
d) Erro errealik gabeko faktoreak eta gainera izendatzailean polinomio bat agertzen denean;
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.5. Funtzio Trigonometrikoen integrazioa.
motatakoak:
a) m bakoitia eta n bikoitia; cosx=t ordezkapena egin
b) m bikoitia eta n bakoitia; sinx=t ordezkapena egin
c) m eta n bakoitiak; sinx=t edo cosx=t ordezkapenak egin daitezke
d) m eta n bikoitiak ; tanx=t ordezkapena egin. Kasu honetan;
, eta
Integrazioan funtzio trigonometriko generikoak ageri direnean:
,
1
2
3
4
2. INTEGRAL MUGATUA.
2.1. Kurba baten azpiko azalera.
[a,b] tartearen partizioa deritzogu honako hau betetzen duten zenbaki errealen multzo ordenatu eta finitoari:
= b
Weierstrass- en teorema:F(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean, tarte horretako bi puntutan f(x) funtzioak maximoa eta minimoa ditu.Tarte horretan funtzioak duen maximoari M deituko diogu eta minimoari, m
1
2
P partizioari lotutako f(x)-en goi-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
๐๐ ( ๐ ,๐ )=(๐ฅ1โ๐ฅ0 )๐ 1+ (๐ฅ2โ๐ฅ1)๐ 2+โฆ+(๐ฅ๐โ๐ฅ๐โ 1)๐๐
P partizioari lotutako f(x)-en behe-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
๐๐ ( ๐ ,๐ )=(๐ฅ1โ๐ฅ0 )๐1+(๐ฅ2โ๐ฅ1 )๐2+โฆ+ (๐ฅ๐โ๐ฅ๐โ1 )๐๐
1
2
[a,b] tartean jarraitua den f funtzio bat izanik, f-ren integral mugatua [a,b]-n deritzogu goi eta behe baturek biek duten limiteari, eta honela adierazten dugu:
โซ๐
๐
๐ (๐ฅ )๐๐ฅ= lim๐โโ
๐๐ ( ๐ ,๐ )=ยฟ lim๐โโ
๐๐ ( ๐ ,๐ ) ยฟ
1
2
2.2. Funtzio integrala.
F funtzioa [a,b] tartean integragarria bada, funtzioari, izanik, f(x)-en funtzio integrala [a,b]-n deitzen zaio.
Barrow-ren erregela:Izan bedi f(x) funtzioa jarraitua [a,b]-n, eta F(x), f(x)-en jatorrizkoa [a,b]-n. Orduan;
- F
Integral mugatuen propietateak:
F(x) [a,b] tartean definituta egonik eta izanik, orduan;
1
2
=
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua eta positiboa bada [a,b]-n;
F(x)-en grafikoak, x=a eta x=b zuzenen eta abzisa ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera adierazpen hinek emandakoa da:
๐ด=โซ๐
๐
๐ (๐ฅ )๐๐ฅ
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua, postiboa eta negatiboa bada [a,b]-n;
๐ด=โซ๐
๐
๐ (๐ฅ )๐๐ฅโโซ๐
๐
๐ (๐ฅ )๐๐ฅ+โซ๐
๐
๐ (๐ฅ )๐๐ฅ
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
f(x) eta g(x) funtzioa jarraituak, [a,b]-n;
๐ด=โซ๐
๐
[ ๐ (๐ฅ )โ๐ (๐ฅ ) ]๐๐ฅ+โซ๐
๐
[๐ (๐ฅ )โ ๐ (๐ฅ )]๐๐ฅ