Mca3 resol.cap5

Números complexos 5

Exercícios

1. a) (3,2)+(0,1)=(3+0,2+1)=(3,3)

b) (2,3)·(–1,4)=(2·(–1)–3·4,2·4+3·(–1))=(–14,5)

c) (2x– y, 6x+ 2y)+ (x– 2y, x)= (2x– y+ x– 2y,

6x+2y+x)=(3x–3y,7x+2y)

d) (–1,–1) · (– 4, 2)= ((–1) · (–4)– (–1) · 2, (–1) · 2+

+(–1)(–4))=(6,2)

e) (2,–3)–(–1,–2)=(2–(–1),(–3)–(–2))=(3,–1)

f ) (1,0)·(x,–y)=(1,x–0·(–y),1·(–y)+0·x)=(x,–y)

2. z1=(–2,1),z2=(0,–1)

z1+z2=(–2,1)+(0,–1)=(–2,0)

z1·z2=(–2,1)·(0,–1)=(–2·0–1·(–1),(–2)(–1)+1·0)=

=(1,2)

Im(z)

Re(z)

–1 N

1

2 Q

M

1–2 P

3. z1=(x,3)ez2=(2–y,y)

z2–z1=(5,–4)⇒ (2–y,y)–(x,3)=(5,–4)⇒

⇒ (2–y–x,y–3)=(5,4)⇒ 2–y–x=5

y–3=–4 ⇒

⇒ x=–2ey=–1

4. a) i54=i2=–1

b) i95=i3=i2·i=(–1)·i=–i

c)i161=i1=i

d) i200=i0=1

e)i1221=i1=i

f )i2022=i2=1

g) i13335=i3=i2·i=–i

h)i12784=i0=1

MCA3-ManualResoluções-2aProva.indd 90 13/05/10 04:33

5. a) i25·i18=i43=i3=i2·i=–i

b) (–2i)11=(–2)11·i11=–2048·i3=–2048(–i)=2048i

c) i79

i32 =i47=i3=–i

d) [(i2)20

]32

=[(i2)1]9=i18=i2=–1

e) i–98

i–34 =i–64=(i64)–1=(i0)–1=1

f ) i132+i61

i42 = i0+i1

i2= 1+i

–1=1–i.

6. i+i2+i3+i4=i–1–i+1=0

i=i5=i9=...=i49=ii2=i6=i10=...=i50=–1i3=i7=i11=...=i47=–ii4=i8=i12=...=i48=1

⇒

⇒(i+i2+i3+i4)=0

+(i5+i6+i7+i8)=0

+ ...+

+(i45+i46+i47+i48)=0

+ i49+i50=i–1

7. a) i i2 i3 i4

i5 i6 i7 i8

i9 i10 i11 i12

i13 i14 i15 i16

⇔

i –1 –i 1

i –1 –i 1

i –1 –i 1

i –1 –i 1

8. a) (3,–2)=3–2i

b) (–4,3)=–4+3i

c) 1–2i=(1,–2)

d) 5i=(0,5)

e) (0,4)=4i

f ) (4,0)=4

g) –3+i=(–3,1)

h) –5=(–5,0)

9. a)z=4+5i⇒Re(z)=4eIm(z)=5

b) z=3i+3⇒Re(z)=3eIm(z)=3

c) z=–

Oquadradonãoémágico,poisassomasdoselementos

dascolunasnãosãoiguais.

b) S=4i+4(–1)+4(–i)+4·1=0

14

+ 12

i⇒Re(z)=– 14

eIm(z)= 12

d) z=–7–i⇒Re(z)=–7eIm(z)=–1

| 1 |MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES 3

e) z= –2+5i3

=– 23

+ 53

i⇒

⇒Re(z)=– 23

eIm(z)= 53

f ) z=–i 3 ⇒ Re(z)=0eIm(z)=– 3

10.z=(1+2i)·(i–4)=i–4+2i2–8ii2=–1

z=–6–7i⇒

⇒ M=(–6,–7)

11.a) z=(m–3)+4iéimagináriopuro ⇔ Re(z)=m–3=

=0eIm(z)=4≠0⇔ m=3

b) z=–3+(m+3)iéreal⇔Im(z)=m+3=0⇔m=

=–3


12.- z=(1–p)+(p2–1)iéreal⇒Im(z)=p2–1=0⇒

⇒ p=–1oup=–1z≠0

p=–1

-- p=–1⇒z=1+1=2

13.z=(m2–25)+(m+5)i

a) zéimagináriopuro⇒

⇒Re(z)=m2–25=0⇒m=5oum=–5

e

Im(z)=m+5≠0⇒m≠–5

⇒m=5

b) m=5⇒z=(52–25)+(5+5)i⇒z=10i

14.z=(m2+1)+(m–1)iéimagináriopuro⇒

⇒Re(z)=m2–1=0(∃/m∈ℝeIm(z)=m–1≠0⇒m≠1

⇒∃/m∈ℝ

15.v=(–2–m)+3niéimagináriopuro⇒

(1)–2–m=0⇒m=–2e(2)3n≠0⇒n≠0

⇒

= – ≠

w= 4– (m2– 4)i é real⇒ m2– 4= 0⇒ m= 2 oum=–2(3)

Comom=–2satisfaz(1)e(3),entãom=–2.

Logo:m 2en 0

16.z=(3–x)+(x–1)i

a) Re(z)=2⇒ 3–x=2⇒x=1

b) Im(z)=–4⇒x+1=–4⇒x=–5

c) Re(z)>Im(z)⇒3–x>x+1⇒x<1

d) Im(z)<3⇒x+1<3⇒x<2

17.a) m+(n–1)i=–4+3i⇒m=–4en–1=3⇒ n=4

b) (n–2,m+5)=(3,–2)⇒n–2=3⇒n=5em+5=–2⇒m=–7

c)(m–3)=(n–2)i=5i⇒m–3=0⇒m=3en–2=5⇒n=7

d) (m–n+1)+(2m+n–4)i=0⇒

⇒ m–n+1=0e m=1en=22m+n–4=0

18.a) (2 – 3i) + (–1 + 2i) + (3 + 2i) = (2 – 1 + 3 ) +

+(–3+2+2)i=4+i

b) (–7+5i)–(3–2i)=–7+5i–3+2i=–10+7i

c) 2+(3–i)+(–1+2i)+i=2+3–i–1+2i+i=

=4+2i

d) 4i–(1–3i)–(–2+i)=4i–1+3i+2–i=1+6i

e) (–4+3i)+2i–(–3–i)=–4+3i+2i+3+i= –1+6i

f ) –1–(–2+i)+(5–i)–(3–7i)=–1+2–i+5–i–

–3+7i=3+5i

19.u=2+3i,v=–5iew=–1–2i

a) u+v+w=2+3i–5i–1–2i=1–4i

b) (u–i)+(v–w)=2+3i–i–5i+1+2i=3–i

c) v–w+u=–5i+1+2i+2+3i=3

20.a) z1=(–2,x)=–2+xi,comx∈ ℝez2=(y,–3)=

=y–3i,comy∈ ℝ

b) z1+z2=–4+2i⇒–2+xi+y–3i=–4+2i⇒

⇒(y–2)+(x–3)i=–4+2i⇒

⇒ y–2=–4

e x=5ey=–2x–3=2

21. u+v=2–5i(1)u–2v=–4+13(2)

| 2 |Capítulo 5 • Números complexos

Subtraindo-semembroamembro:(2)de(1),vem:3v=

=6–18i⇒v=2–6i(3).

Substituindo-se(3)em(1):u+2–6i=2–5i⇒u=i.

22.a) x2+100=0⇒x2=–100⇒ x=100·(–1)=

=100i2⇒x=10ioux=–10i

b) x2–6x+10=0∆=– 4=4i2

⇒ x = 6± 4i2

2 =6±2i

2 ⇒

⇒x=3+ioux=3– i


c) –x2+4x–29=0⇒ x2–4x+29=0

∆=–100=100i2⇒x=

= 4± 100i22

= 4±10i2

⇒x=2+5iou

x=2–5i

d) (x2+9)·(x2–1)=0⇒

⇒ x2+9=0⇒x2=–9=9i2⇒x=3ioux=–3iou

x2–1=0⇒x2=1⇒x=1oux=–1

23.x3–14x2+58x=0⇒x(x2–14x+58)=0⇒

⇒ (I)x=0ou(II)x2–14x+58=0

∆=–36nãoexistex∈ℝ

a) Universoℝ:S={0}

b) Universoℂ:

(I):0∈ℂ

(II):x2–14x+58=0⇒x=14± 36i22

=

= 14±6i2

⇒x=7+3ioux=7–3i

Logo:S={0,7+3i,7–3i}.

24.a) x4+5x2+6=0⇒(x2+2)(x2+3)=0⇒

⇒ x2=–2=2i2⇒ x=i 2 oux=–i 2oux2=–3=3i2⇒x=i 3 oux=–i 3

Logo:S={i 2 ,–i 2 ,i 3 ,–i 3 }

b)x4+3x2–4=0⇒(x2)2+3x2–4=0x2=y

y2+ +3y–4=0⇒y=1ouy=–4⇒

⇒ x2=1⇒x= 1oux=–1oux2=–4=4i2⇒x=2ioux=–2i

Logo:S={–1,1,–2i,2i}.

25.a)Fazendo-se –5+12i=x+yi,comx,y∈ℝ,vem: ( –5+12i)2=(x+yi)2⇒–5+12i=(x2–y2)+

+ 2xyi⇒ x2–y2=–5(1)2xy=12⇒y= 6

x (2)

Substituindo-se(2)em(1):x2– 36

x2=–5⇒

⇒(x2)2+5x2–36=0⇒x2=4oux2=–9(x∈ ℝ)⇒

⇒x=2oux=–2.

x=2 (2) y=3

x=–2 (2) y=–3 ⇒ –5+12i =

2+3i–2–3i

b) Fazendo-se 4i =x+yi,comx,y∈ℝ,vem:

( 4i)2=(x+yi)2⇒4i=(x2–y2)+2xyi⇒

⇒x2–y2=0(1)e2xy=4⇒ y= 2

x(2)

Substituindo-se(2)em(1):x2– 4x2

=0⇒x4–4=

=0⇒(x2–2)(x2+2)=0x∈ℝ

x2=2⇒x= 2

ou x=– 2

x= 2 (2) y= 2

x=– 2 ⇒y=– 2 ⇒ 4i = 2 +i 2

– 2 –i 2

c) Fazendo-se 4+3i=x+yi,comx,y∈ℝ,vem:

( 4+3i)2=(x+yi)2⇒4+3i=(x2–y2)+2xyi⇒

⇒ x2–y2=4(1)

2xy=3⇒ y= 32x

(2)

Substituindo-se(2)em(1):

x2– 94x2 =4⇒4(x2)2–16x2–9=0⇒x2= 18

4ou

x2=– 24

(x∈ ℝ)⇒x=3 22

oux=–3 22

x= 3 22

(2) y= 22

x= – 3 22

(2) y=– 22

⇒ 4+3i =

= 3 2

2+i 2

2

– 3 22

–i 22

d) Fazendo-se 1–i 3 =x+yi,comx,y∈ℝ,vem:

( 1–i 3 )2=(x+yi)2⇒ 1–i 3 =(x2– y2)+2xyi⇒

⇒ x2–y2=1(1)

2xy=– 3 ⇒x=– 32y

(2)



34y2–y2=1⇒4(y2)2+4y2–3=0⇒y2=– 6

4(y∈ ℝ)

ouy2= 24

⇒y= 22

ouy=– 22

y= 2

2 (2) x=– 6

2

y= – 22

(2) x= 62

⇒ 1–i 3 =

=– 6

2+ 2

2i

62

– 22

i


26.a) (2+5i)(1–i)=2–2i+5i–5i2=2+3i–5(–1)=7+3i

b) (4+3i)(–2+2i)=–8+8i–6i+6i2=–14+2i

c) (6–3i)(–3+6i)=–18+36i+9i–18i2=45i

d) (4+ i ) (2– i)+3– i=8–4i+2i– i2+3– i=

=12–3i

e) 4+3i+(1–2i)(3+i)=4+3i+3+i–6i–2i2=

=9–2i

f ) (–5i) (4 – 3i) (1 + 2i) = (–5i) (4 + 8i – 3i – 6i2) =

=(–5i)(10+5i)=–50i–25i2=25–50i

27.a) (1+i)·(1–i)=1–i2=2

b) (2–3i)2=4–12i+9i2=–5–12i

c) (4+i)2=16+8i+i2=15+8i

d) (–3–3i)2=[–(3+3i)]2=(3+3i)2=9+18i+9i2=18i

e) (4+4i)3=43+3·42·4i+3·4·(4i)2+(4i)3=64+

+192i+192i2+64i3=64+192i–192–64i=–128+

+128i

f ) (2+i)3=23+3·22·i+3·2·i2+i3=8+12i–6–i=

=2+11i

28.u=4–3i,v=–5iew=1+2i

u·v·w=(4–3i)·(–5i)(1+2i)=(4–3i)(–5i–10i2)=

=(4–3i)(–5i+10)=–20i+40+15i2–30i=25–50i

29. 3 ( 3 +i 3 ) 2=3( 3 +i 3 )2=3(3+6i+3i2)=

=3(6i)=18i

30.z1= 12

,3 = 12

+3i;z2=(2,–5)=2–5i

a) z1·z2= 12

+3i (2–5i)=1– 52

i+6i–15i2=16+

+ 72

·i

b) z22=(2–5i)2=4–20i+25i2=–21–20i

31.a) (1+i)5·(1–i)5=[(1+i)(1–i)]5=(1–i2)5=25=32

b) (1 – i)3 = (1 – i) (1 – i)2 = (1 – i) (1 – 2i + i2) =

=(1–i)(–2i)=–2i+2i2=–2–2i

c) (2+2i)4=[(2+2i)2]2=(4+8i+4i2)2=(8i)2=64i2=

=–64

32.z=(a+i)3,emquea∈ℝ

a) z=(a+1)3=a3+3a2i+3ai2+i3=(a3–3a)+(3a2–1)i

b) zéimagináriopuro⇒

⇒

a3–3a=0⇒a(a2–3)=0⇒ a=0,a= 3

oua=– 3 (1)e3a2–1≠0(2)

Comotodososvaloresdeaencontradosem(1)satisfa-

zem(2),então:a=0,a= 3 oua=– 3 .

33.- z=(x+3i)·(1–2i)=x–2xi+3i–6i2=(x+6)+

+(3–2x)i,comx∈

-- z∈⇒ 3–2x=0⇒x= 32

-- x= 32

⇒z= 32

+6⇒z=152

34.- z=(x+i)(x+2i)=x2+2xi+xi+2i2=(x2–2)+3xi,

comx∈

-- zéimagináriopuro⇒

x2–2=0⇒x= 2 oux=– 2 (1)e3x≠0(2)

⇒

Comotodososvaloresdexencontradosem(1)satisfa-

zem(2),entãox= 2 oux=– 2 .

-- Assim: x= 2 ⇒z=3 2 i

x=– 2 ⇒z=–3 2 i


35.u=–2+i⇒A=(–2,1)

v=1+5i⇒B=(1,5)

w=4+i⇒C=(4,1)

AABC= 12

·AC·BH= 12

·6·4=12

–2 0

Im (z)

Re (z)4

5

A C

B

1

H

36.z1=–1–3i,z2=2iez3=1–i

a) z1+z2=–1–3i+2i=1–3i–2i=1–5i

b) z2·z3=2i(1–i)=2i·(1+i)=2i+2i2=–2+2i

c) z1+z3=–1–3i+1–i=–1+3i+1–i=2i=–2i

d) Usandoaspropriedadesdoconjugado:

z2·z3=z2·z3=z2·z3=(–2i)·(1–i)=

=–2i+2i2=–2–2i

MCA3-ManualResoluções-2aProva.indd 94

13/05/10 04:33

37.P=(2,–3)⇒z1=2–3i;Q=(–1,2)⇒z2=–1+2i

a) z1=2+3i⇒afixo:(2,3)

b) z1·z2=(2–3i)(–1–2i)=–2–4i+3i+6i2=–8–i⇒

⇒afixo:(–8,–1)

c) (z1 · z2)2 = z21 · z2

2 = (2 + 3i)2 · (–1 + 2i)2 =

= (4+12i+9i2)(1–4i+4i2)=(–5+12i)(–3–4i)=

=15+20i–36i–48i2=63–16i⇒afixo:(63,–13)

38.a)Im(z)

Re(z)0

7P

P = (–4, 7) ⇒ P' = (4, 7)

–4 4

P'

b)

Im(z)

Re(z)0

7P

P = (–4, 7) ⇒ P' = (4, –7)

–4

–7

4

P'

c)Im(z)

Re(z)0

7P

P = (–4, 7) ⇒ P' = (–4, –7)

–4

–7P'

d) P=(–4,7)⇒z=–4+7i

zi=(–4+7i)·i=–4i+7i2=–7–4i⇒P'=(–7,–4)

39.Sejaz=a+bi,coma,b∈.

z–z=6i⇒(a+bi)–(a–bi)=6i⇒ 2bi=6i⇒

⇒b=3,∀a∈

Logo:z=a+3i,emquea∈.

40.Sejaz=a+bi,coma,b∈.

2·zi+3=2z–z+2i⇒2i(a–bi)+3=

= 2(a+bi)–(a–bi)+2i⇒

⇒ (2b+3)+2ai=a+(3b+2)i⇒

⇒ 2b+3=a2a=3b+2

⇒a=–5eb=–4

Logo:z=–5– 4i.


41.a)(z)2=z

Sejaz=a+bi,coma,b∈,temos:

(a–bi)2=(a+bi)2⇒a2–b2–2abi=a2–b2+2abi⇒

⇒(1)a2–b2=a2–b2⇒∀a,b,∈(2)–2ab=2ab⇒a·b=0⇒a=oub=0

De(1)e(2),conclui-sequea=0oub=0,ouseja:

zéumnúmerorealouumimagináriopuro.

b) z2=2·z·i

Sejaz=a+bi,emquea,b∈,temos:

z2=2·z·i⇒(a+bi)2=2i(a–bi)⇒

⇒a2–b2+2abi=2b+2ai⇒

⇒ a2–b2=2b(1)ab=a(2)

De(2):ab=a⇒a(b–1)=0⇒a=0oub=1

a=0 (1) –b2= 2b⇒b(b+2)=0⇒b=0oub=–2b=1⇒a2–1=2⇒a= 3 oua=– 3

Assimtemos:

a=b=0⇒z=0

a=0eb=–2⇒z=–2i

a= 3 eb=1⇒z= 3 +i

a=– 3 eb=1⇒z=– 3 +i

c) (z)2=–2i

Sejaz–a+bi,coma,b∈,temos:

(z)2=–2i⇒ (a–bi)2=–2i⇒a2–b2–2abi=–2i⇒

⇒ a2–b2=0(1)ab=1(2)


De(1):a2–b2=0⇒(a–b)·(a+b)=0⇒

⇒a=boua=–b

a=b (2) a2=1⇒a=b=1oua=b=–1

a=–b (2) –a2=1⇒a2=–1⇒ ∃/a,b∈

Assim:a=b=1⇒ z=1+ia=b=–1⇒z=–1–i

42.a) 3–7i3+4i

= (3–7i)(3–4i)(3+4i)(3–4i)

= 9–12i–21i+28i29–16i2

=

= –19–33i25

=– 1925 – 33

25 i

b) 1–2i2+i

= (1–2i)(2–i)(2+i)(2–i)

= 2–i–4i+2i24–i2

=–5i5

=– i

c) 13–i = 3+i

(3–i)(3+i) = 3+i9–i2 = 3

10+ 110·i

d) 2i1–i = 2i(1+i)

(1–i)(1+i) = 2i+2i21–i2 = –2+2i

2 =–1+i

e) 4+i4–i

= (4+i)2

(4–i)(4+i) = 16+8i+i2

16–i2 = 15+8i

17 =

= 1517

+ 817

i

f ) 65i

= 6·i5·i2

= 6i–5

=–65

i

43.a) z=1i

+ 11+i

= –ii(–i)

+ 1–i(1+i)(1–i) =–i+ 1–i

1–i2=

=–i+1–i2

= –2i+1–i2

=12

–32

i

b) z= 32+3i

– 2i3–2i

= 3(2–3i)4–9i2

– 2i(3+2i)9–4i2

=

= 6–9i–6i–4i213

= 1013

– 1513

i

c) z= 1+ii

– i1+i

= (1–i)(–i)i(–i)

– i(1–i)1–i2

= –i +

+i2– i+i22

=–2i–2–i–12

=–32

–32

i

d) z= 2–i3–i

+ 1–2i3+i

= (2–i)(3+i)+(1–2i)(3–i)(3–i)(3+i)

=

= 6–i–i2+3–7i+2i29–i2 = 4

5 – 45 i

e) z= (2–i)(4+3i)1–2i

= 8+6i–4i–3i21–2i

= 11–2i1–2i

=

=(11+2i)(1+2i)1–4i2 =11+22i+2i+4i2

5 = 75 + 24

5 i

f ) z = (1+i)2

1–i = 1+2i+i2

1–i = 2i

1–i = 2i(1+i)

12–i2 =

= –2+2i2

=–1+i

44.z=3–4i

a) 1z

= 13–4i

= 3+4i(3–4i)(3+4i)

= 3+4i9–16i2

= 325

+ 425

i

b) z1= 1z2 = 1

(3–4i)2 = 19–24i+16i2

= 1–7–24i

=

= –7+24i49–576i2

=– 7625

+ 24625

i=z1=– 7625

– 24625

i

c) 1zi

= 1(3–4i)·i

= 14+3i

= 4–3i16–9i2

= 425

– 325

i


45.z= 11+i

a) 1z

=1+i

b) z2= 1(1+i)2= 1

1+2i+i2= 1

2i= –i

2i(–i)=–1

2i⇒

⇒ Re(z2)=0eIm(z2)=–12

46.3+2iz

= 1 – i ⇒ z = 3+2i1–i

= (3+2i)(1+i)(1–i)(1+i)

=

= 3+3i+2i+2i21–i2

⇒z=12

+52

i

47.z= 2+i3–ai

= (2+i)(3+ai)9–a2i2

= 6+2ai+3i+ai29+a2

⇒

⇒z= 6–a9+a2 + 2a+3

9+a2 ·i

z:imagináriopuro⇒

⇒ (1) 6–a

9+a2 =0⇒a=6e(2)2a+3

9+a2 ≠0

Logo:a=6,poisestevalorsatisfazacondição(2).

48.z= 2+mi1–i

= (2+mi)(1+i)(1–i)(1+i)

=2+2i+mi+mi21–i2

⇒

⇒z= 2–m2

+ 2+m2

·i(1)

-- z∈ℝ⇒ 2+m2

=0⇒m=–2

-- Substituindo-sem=–2em(1),obtém-sez=2.

49. (1+i)53

(1–i)51 = (1+i)51·(1+i)2

(1–i)51 = 1+i1–i

51

·(1+2i+i2)=

= (1+i)2

(1–i)(1+i)51

·(2i)= 2i1–i2

51

·(2i)=

= 2i2

51

·(2i)=i51·(2i)=i3·(2i)=2i4=2∈

50.a) z=2+i⇒|z|= 22+12 = 5

b) z=5i⇒|z|= 02+52 =5

c) z=–4+3i⇒|z|= (–4)2+32 =5

d) z=–4⇒ |z|=|–4|=4


e) z=–2 3 –2i⇒|z|= (–2 3 )2+(–2)2=4

f ) z=14–14⇒|z|= 14

2

+ – 14

2

= 24

51.|2+3i|= 4+9 = 13 ≅3,61; |3+ i|= 9+1 =

= 10 ≅3,16;|1|=1

|–2|=2;|4i|= 16 =4;|–12i|=14 =12

Logo,ocomplexoquetemomaiormóduloé4i.

52.a) z=(2–3i)·(4+6i)⇒|z|=|2–3i|·|4+6i|= 4+9·

· 16+36 = 13 · 52 =26

b) z= 3i1+i

⇒|z|=|3i|

|1+i|= 3

1+1= 3

2=3 2

2

c) z=2·i119=2i3=–2i⇒|z|=|–2|=2

d) z=2i(–1+2i)=–2i+4i2=–4–2i⇒

⇒|z|= 16+4=2 5

e) z=(4–4i)(1–i)=(4+4i)(1–i)⇒ |z|=|4+4i|·

·|1–i|= 16+16 · 1+1=4 2 · 2 =8

f ) z= 5i( 3 –i)(3+4i)

⇒ |z|=|5i|

| 3 –i||3+4i|=

= 53+1· 9+16

= 52·5

=12

53.u=2+i,v=3–2iew=i

v–u·w=3–2i–(2+i)i=3–2i–2i–i2=4–4i⇒

⇒|v–u·w|=|4–4i|= 16+16 =4 2

54.z1=x+3iez2=2+(x–1)i,comx∈

|z1|=|z2|⇒ x2+9= 4+(x–1)2⇒

⇒x2+9=4+x2–2x+1⇒x=–2

55.A=(3,1)⇒z1=3+i;B=(2,–2)⇒z2=2–2i

a) z1+ z2= (3+ i)+ (2– 2i)= 5– i⇒ |z1+ z2|=

= 25+1= 26

b) z1– z2= (3+ i)– (2– 2i)= 1+ 3i⇒ |z1– z2|=

= 1+9 = 10

c) z1 ·z2 =(3–i)(2+2i)=8+4i⇒|z1 ·z2 |= 64+16 =

=4 5


b) B={z ∈ℂ;|z–z|=4}

Sez=x+yi,comx,y∈ℝ,temos:

|z–z|=4⇒|x+yi–x+yi|=4⇒|2yi|=4⇒|yi|=2⇒

⇒|y|=2⇒y=2ouy=–2,∀x∈ℝIm(z)

Re(z)0

2 y = 2

y = –2–2

Im(z)

Re(z)O

56.a) A={z∈ℂ;|z|=0}

SeZ=x+yi,comx,y∈ℝ,temos:

|z|=0⇒ x2+y2=0⇒x2+y2=0⇒x=y=0

Logo:A={(0,0)}.

57.Paracadaitem,consideremosz=x+yi,comx,y∈ℝ.

a) A={z∈ℂ;|z|=10}

|z|=10⇒ x2+y2=10⇒x2+y2=102

Im(z)

Re(z)

10

10–10

–10

0

b) B={z∈ℂ;|z|<4}

|z|<4⇒ x2+y2<4⇒x2+y2<42

Im(z)

Re(z)

4

4–4

–4

0


c) D={z∈ℂ;|z|⩾2}

|z|>2⇒ x2+y2>2⇒x2+y2⩾22

Im(z)

Re(z)

2

2–2

–2

0

d) E={z∈ℂ;|z–1|=1}

|z–1|=1⇒|x+yi–1|=1⇒|(x–1)+yi)|=1⇒

⇒ (x–1)2+y2 =1⇒(x–1)2+y2=12

Im(z)

Re(z)210

e) F={z∈ℂ;|z+i|=2}

|z+i|=2⇒|x+yi+i|=2⇒|x+(y+1)i|=2⇒

⇒ x2+(y+1)2=2⇒x2+(y+1)2=22

Im(z)

Re(z)

2

–1

–3

0

f ) G={z∈ℂ;|z–1+2i|=2}

|z–1+2i|=2⇒|x+yi–1+2i|=2⇒|(x–1)+

+(y+2)i|=2⇒ (x–1)2+(y+2)2=2⇒(x–1)2+

+(y+2)2=22


Im(z)

Re(z)–1

–2

31

58.a) z= 3 +i⇒|z|= 3+1=2

cosθ= 32

senθ= 12

⇒0°<θ<90°

θ=30°

b) z=4 3 –4i⇒|z|= 16·3+16=8

cosθ= 4 38

= 32

senθ=– 48

=– 12

⇒270°<θ<360°

θ=360°–30°= =330°

c) z=–2+2i⇒|z|= 4+4=2 2

cosθ=– 22 2

=– 22

senθ= 22 2

= 22

⇒90°<θ<180°

θ=180°–45°= =135°

d) z=–2+2i 3 ⇒|z|= 4+4·3 =4

cosθ=– 24

=– 12

senθ= 2 34

= 32

⇒90°<θ<180°

θ=180°–60°= =120°

e) z=– 12

– 12

i⇒|z|= 14

+ 14

= 22

⇒180°<θ<270°

cosθ=– 1

2

22

=–2

2

senθ=– 1

2

22

=–2

2

θ=180°+45°

θ=225°

f ) z=2i

zéimagináriopuroeIm(z)>0⇒θ=90°

g) z=–3–3i 3 ⇒|z|= 9+9·3 =6

cosθ=– 36

=– 12

senθ= – 3 36

= – 32

⇒π<θ<

3π2

θ=π+π3

=

= 4π3

h) z= 2 +i 2 ⇒|z|= 2+2 =2

cosθ= 22

senθ= 22

⇒0<θ<

π2

θ= π4

i) z=–6

zéumnúmerorealeRe(z)<0⇒θ=π

j) z= 6 –i 2 ⇒|z|= 6+2 =2 2

cosθ= 6

2 2= 3

2

senθ=– 22 2

= – 12

⇒3π2 <θ<2π

θ=2π–π6

=11π6

k) z=– 22

+ 62

i⇒|z|=24

+ 64 = 2

cosθ=

– 22 2

=– 12

senθ=

62 2

= 32

⇒π2 <θ<π

θ=π–π3

= 2π3

l) z= – i4

zéimagináriopuroeIM(z)<0⇒θ= 3π2

9.P1∈ semieixorealpositivo ⇒ θ1=0°

Comoohexágonoéregular,cadaumdosarcosP1P2 ,P2P3 ,

P3P4 ,P4P5 ,P5P6 eP6P1 ,mede60°.

Logo:θ2=60°,θ3=120°,θ4=180°,θ5=240°eθ6=300°.

Im(z)

Re(z)P4

P5 P6

P1

P2P3

5



60.a) z=– 5 32

+ 52

i⇒ ρ= 25·34

+ 254

=5

cosθ=––5 325

=– 32

senθ=

52 5

= 12

⇒θ=150°

Logo:z=5(cos150°+isen150°).

b) z=– 2 –i 2 ⇒ ρ = 2+2 =2

cosθ=– 22

senθ= – 22

⇒θ=225°


c) z=2i⇒ρ = 2

zéimagináriopuroeIm(z)> 0 ⇒ θ = 90°Logo:z=2(cos90°+isen90).

d) z=1–i 3 ⇒ρ= 1+3 =2

cosθ= 12

senθ= 32

⇒θ=300°


e) z= 12

+i 32

⇒ρ= 14

+ 34

=1

cosθ= 12

senθ= 32

⇒θ=60°

Logo:z=cos60°+isen60°.

f ) z=–4⇒ρ=4

z∈ℝ eRe(z)<0⇒θ=πLogo:z=4(cosπ+isenπ).

g) z=3–3i⇒ρ= 9+9 =3 2

cosθ= 33 2

= 22

senθ= –33 2

= – 22

⇒θ= 7π4

Logo:z=3 2 (cos 7π4

+isen 7π4

).

h) z=(–5,5)=–5+5i⇒ ρ= 25+25 =5 2

cosθ= –55 2

= – 22

senθ= 55 2

= 22

⇒θ= 3π4

Logo:z=5 2 (cos 3π4

+isen 3π4

).

i) z=–i⇒ρ=1

zéimagináriopuroeIm(z)<0⇒θ= 3π2

.

Logo:z=cos 3π2

+isen 3π2

.

j) z= – 14

,– 34

=– 14

– 34

i⇒ρ= 116

+ 316

12

cosθ=–– 1

412

= – 12

senθ=– 3

412

= 32

⇒θ= 4π3

Logo:z= 12

cos 4π3

+isen 4π3

.

=


k) z=(1–i)2=1–2i+i2=–2i⇒ρ=2

zéimagináriopuroeIm(z)<0⇒θ= 3π2

Logo:z=2(cos 3π2

+isen 3π2

).

l) z=13⇒ρ=13

z∈ℝeRe(z)> 0⇒θ=0Logo:z=13(cos0+isen0).

61.- ρ1=3,θ1=90°⇒z1=3(cos90°+isen90°)

-- ρ2 = 3 + 2 = 5; θ2 = 180° – 30° = 150° ⇒

⇒ z2=5(cos150°+isen150°)

-- ρ3 = 3 + 2 = 5; θ3 = 270° + 45° = 315° ⇒

⇒z3=5(cos315°+isen315°)

Im(z)

Re(z)

P3

P1

P2

30°

45°

0 3

2


62.- z= i1+i + 1

i

a)- z= (1–i)i(1+i)(1– i)

+ (–i)i(– i)

= i–i21–i2

– i–i2

=

= i+1–2i2

= 12

– i2

-z2= 12

– i2

2

= 14

– i2

+ i24

= – i2

b) .z= 12

– i2

⇒ ρ = 14

+ 14

= 22

cosθ=–

122

2

= 22

senθ=– 1

22

2

= – 22

⇒θ=315°

Logo:z= 22

(cos315°+isen315°).

- z2=– 12

·i⇒ρ= 12

- z2éimagináriopuroeIm(z)<0⇒θ=270°.

Logo:z2= 12

(cos270°+isen270°).

63.a) z=4(cos120°+isen120°)=4 – 12

+i 32

⇒

⇒z=–2+2i 3

b) z= 6 cos 4π3

+ i sen 4π3

=6 – 12

– i 34

⇒

⇒z=–3–3i 3

c) z=3(cos90°+isen90°)=3(0+i)⇒z=3i

d) z=cos 3π2

+isen 3π2

=0+i(–1)⇒z=–i

e) z = cos 210° + i sen 210° = – 32

+ i – 12

⇒

⇒z=– 32

– 12

i

f ) z=2(cos 5π6

+i·sen 5π6

)=2 – 32

+i· 12

⇒

⇒z=– 3 +i

g) z= 2 (cos135°+isen135°)= 2 – 22

+i· 22

⇒

⇒z=–1+i

h) z=3 cos 7π4

+i·sen 7π4

=3 22

+i – 22

⇒

⇒z=3 22

–3 22

·i

64.x,y∈ ℂ

a) x+ yi=–1–2i(·i)2xi+y=1+i

⇒+ xi–y=–i+22xi+y=1+i(1)

3xi=3⇒–x= 1i = –i

i(–i)⇒x=– i(2)


2(–i)i+y=1+i⇒y=–1+iAssim,temos:

- x=–i⇒ρ=1eθ= 3π2 ⇒x=cos 3π

2 +isen 3π2

- y=–1+i⇒ρ= 1+1 = 2

cosθ=– 12

= – 22

senθ= 12

= 22

⇒θ= 3π4

Logo:y= 2 (cos 3π4

+isen 3π4

).

b) 2x+yi=0(·i)xi+y=3–3i 3

⇒

⇒+ 2xi–y=0(1)xi+y=3–3i 3

3xi=3–3i 3 ⇒x= 1–i 3i

=– 3 –i(2)

MCA3-ManualResoluções-2aProva.indd 10013/05/10 04:33

De(1):y=2xi (2) 2i(– 3 –i)⇒y=2–2i 3

Assim,temos:

- x=– 3 –i⇒ρ= 3+1 =2

cosθ= – 32

senθ= – 12

⇒θ=210°

Logo:x=2(cos210°+isen210°).

- y=2–2i 3 ⇒ρ= 4+12=4

cosθ= 24 =

12

senθ= ––2 34

=– 32

⇒θ=300°


Logo:y=4(cos300°+isen300°).

65.M: imagem do complexo z = ρ [cos (180° – θ + i ·

·sen(180°–θ)]

Assim:z=ρ (–cosθ+isenθ)(1)

tgθ= 32

1+tg2θ=sec2θ⇒sec2θ=1+ 9

4 =134 ⇒cos2θ=

= 413

0<θ<90°cosθ=

213

(2)

tgθ=senθcosθ = 3

2 ⇒senθ= 32 · 2

13⇒senθ=

= 313

(3)

Substituindo-se(2)e(3)em(1),obtém-se:

z=ρ – 213

+ 313

i

Assim,demodogeral,aformaalgébricadeZédadapor:

z=– 2ρ13

+ 3ρ13

i

Logo,seρ= 13,obtém-sez=–2+3i,umapossível

formaalgébricadez.

Re(z)

Im(z)

O

M

θ

66.z=i21·i22·i23·...·i29=i21+22+...+29=i(21+29)

2 ·9 = i225=i

z=i=cos π2

+ isen π2

67.afixos:A(5,5),B(–5,5),C(–5,–5),D(5,–5)

Re(z)

Im(z)

0

B(–5,5)

–5

–5

A(5,5)5

5

π4

C(–5,–5) D(5,–5)

Assim:ρA=ρB=ρC=ρD= 25+25 =5 2 .

θA= π4

⇒ θB= π4

+ π2

= 3π4

,θC= π4

+ π=5π4

eθc=

= π4

+ 3π2

= 7π4

Logo:z=5 2 (cosθ+isenθ),comθ= π4

,3π4

,5π4

ou7π4

68.z1=6(cos240°+isen240°);z2=

=2 3 (cos30°+isen30°);z3=3(cos150°+isen150°)

a) z1·z2=6·2 3 [cos(240°+30°)+isen(240°+30°)]=

=12 3 (cos270°+isen270°)

b) z3·z2=3·2 3 [cos(150°+30°)+isen(150°+30°)]=

=6 3 (cos180°+isen180°)

c) z1·z2·z3=6·2 3 ·3·[cos(240°+30°+150°)+

+ i sen (240°+ 30°+ 150°)]= 36 3 (cos 420°+

+isen420°)=36 3 (cos60°+isen60°)

d) z1

z2

= 62 3

[cos (240°–30°)+ i sen (240°–30°)]=

= 3 (cos210°+isen210°)

e)z1

z3

= 63

[cos (240°–150°)+ i sen(240°–150°)]=

=2(cos90°+isen90°)

f )z2

z3

= 2 33

[cos(30°–150°)+isen(30°–150°)]=

= 2 33

[cos(–120°)+isen(–120°)]= 2 33

(cos240°+

+isen240°)

69.u=2 cos3π8

+ isen 3π8

ev= 2 cos11π8

+ isen11π8

a) u·v=2· 2 cos 3π8

+ 11π8

+isen 3π8

+ 11π8

=

=2 2 cos7π4

+ isen7π4

=2 2 22

–i 22

=

=2–2i

b) vu

= 22

cos 11π8

– 3π8

+ isen 11π8

– 3π8

=

= 22

(cosπ+isenπ)= 22

(–1+i·0)=– 22

c) u2=u·u=2·2· cos 3π8

+ 3π8

+isen 3π8

+ 3π8

=

= 4 cos 3π4

+ i sen 3π4

= 4 – 22

– i · 22

=

= –2 2 +2i 2



70.a) z1=4(cos120°+isen120°)

z1·z2=2(cos270°+isen270°)⇒

⇒z2= 2(cos270°+isen270°)4(cos120°+isen120°)

Logo:z2= 12

[cos(270°–120°)+isen(270°–120°)]⇒

⇒z2= 12

(cos150°+isen150°).

b) z2= 12

– 32

–i· 12

⇒z2=–3

4+ 1

4i

71.z=2(cos30°+isen30°)

a) z3=23(cos3·30°+isen3·30°)=8(cos90°+isen90°)=

=8(0+i·1)=8i

b) z6=26(cos6·30°+isen6·30°)=64(cos180°+isen180°)=

=64(–1+i·0)=–64

c) z10=210(cos10·30°+isen10·30°)=1024(cos300°+

+isen·300°)=1024 12

– i 32

=512–512i 3

72.z= 3 +i

a) z4= ( 3 + i)4= ( 3 )4+4( 3 )3 i+6 ( 3 )2 · i2+

+ 4 ( 3 ) i3+ i4= 9+ 12i 3 – 18– 4i 3 + 1=

=–8+8i 3

b) z= 3 +i=2(cos30°+isen30°)⇒

⇒z4=24(cos4·30°+isen4·30°)=16(cos120°+

+isen120°)=16 –12

+i·3

2=– 8+8i 3

73.a) z=– 6 –i 2 ⇒z=2 2 cos7π6

+ isen7π6

z10 = (– 6 – i 2 )10 = (2 2 )10 cos 10 · 76

π +

+ isen10·7π6

=215 cos35π3+isen35π

3 =

=215 cos5π3

+isen5π3

=215 12

–i·3

2=

=214–214i 3

b) z= 15

+ 15

i⇒z=2

5 cosπ

4+isenπ

4

z8= 15

+ 15

i8

= 2

5

8

cos8·π4

+isen8·π4

=

= 1658 (cos2π+isen2π)=16

58 (1+i·0)=1658

c) z=–4+4i 3 ⇒z=8(cos120°+isen120°)

z–6=(–4+4i 3 )–6=8–6(cos(–6)·120°+isen(–6)·

·120°)= 1218 (cos(–720°)+isen(–720°)= 1

218 (cos00+

+isen00)= 1218 (1+i·0)= 1

218

75.a) z0=i⇒ z0=cosπ2

+ isenπ2

Sejaz=ρ(cosθ+isenθ),talquez2=z0,ouseja,

z2=ρ2(cos2θ + isen2θ)=cosπ2

+isen π2

⇒

ρ2= 1 ⇒ ρ =1

2θ= π2

+ k:2π ⇒ θ = π4

+ kπ,k∈ℤ(*)⇒

Em(*),fazendo-sek=0,1,obtém-se:

θ1= π4

θ2= 5π4

Logo: i =

z1= cosπ

4 +isenπ

4 = 2

2 + 2

2i

z2=cos 5π4

+isen 5π4

=– 22

– 22

i

b) z0=–3⇒z0=3(cosπ+isenπ)

z=ρ(cosθ+isenθ)ez2=z0⇒

⇒ ρ2(cos2θ+isen2θ)=3(cosπ+isenπ)⇒


74. z = 32

– 12

i ou z = 1 cos – π6 + i sen –

π6

zn = 1n cos –nπ6 + i sen –n π

6 =

= cos –n π6

+ i sen –n π6

z45 = cos – 15π2

+ i sen – 15π2

= cos π2

+ i sen π2

= i

z50 = cos – 25π3

+ i sen – 25π3

= cos – π3

+ i sen – π3

=

= 12

– 32

i

z100 = (z50)2 = 12

– 32

i2

=

= 14

– 2 · 12

· 32

i + 32

i2

=

= 14

– 34

– 32

i = – 12

– 32

i


⇒ ρ2=3⇒ρ= 3

2θ=π+k·2π,k∈ℤ⇒θ =π2

+ kπ,k∈ℤ

Em(*),fazendo-sek=0,1,obtém-se:

θ1= π2

θ2= 3π2

Logo: –3=

z1= 3 cos π2

+isen π2

=

= 3 (0+i·1)=i 3

z2= 3 cos3π2

+isen3π2

=

3 [0+i(–1)]=–i 3

c) zo=– 14

i⇒zo= 14

cos 3π2

+isen 3π2

z=ρ(cosθ+isenθ)ez2=zo⇒

⇒ρ2(cos2θ+isen2θ)= 14

cos 3π2

+isen 3π2

⇒

⇒ ρ2= 1

4⇒ρ= 1

2

2θ= 3π2

+k·2π ⇒ θ = 3π4

+ kπ,k∈ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1,obtêm-se:θ1= 3π

4

θ2= 7π4

.

Logo: – 14

i=

z1= 12

cos 3π4

+isen 3π4

= 12

· – 22

+ i 22

=

=– 24

+ 24

·i

z2= 12

cos 7π4

+isen 7π4

= 12

· 22

– i 22

=

= 24

– 24

·i

76.a) z0=–2+2i 3 ⇒z0=4 cos2π3

+isen 2π3


⇒ ρ3(cos3θ+isen3θ)=4 cos2π3

+isen2π3

⇒

⇒ρ3= 4 ⇒ ρ =

32

3θ= 2π3

+ k·2π ⇒ θ = 2π9

+ k·2π3

,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1e2obtêm-se:θ1=2π9

,θ2=

∙8π9

eθ3=14π9

.

Logo:3–2+2i 3 =

=

z1=3

4 cos2π9

+ isen2π9

z2=3

4 cos8π9

+ isen8π9

z3=3

4 cos14π9

+ isen14π9

b) z0=–5–5i⇒z0=5 2 cos5π4

+isen5π4


⇒ ρ4(cos4θ+isen4θ)=5 2 cos5π4

+isen5π4

⇒

⇒ ρ4= 5 2 ⇒ ρ4 = 50⇒ρ=

850

4θ= 5π4

+ k·2π ⇒ θ = 5π16

+ k·π2

,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1,2e3,obtêm-se:θ1=5π16

,

θ2=13π16

,θ3=21π16

eθ4=29π16

.

Logo:4

–5– 5i =

=

z1= 8

50 cos5π16

+isen5π16

z2= 8

50 cos13π16

+isen13π16

z3= 8

50 cos21π16

+isen21π16

z4= 8

50 cos29π16

+isen29π16

c) z0=4 3 –4i⇒z0=8 cos11π6

+isen11 π6


⇒ ρ5(cos5θ+isen5θ)=8 cos11π6

+isen11π6

⇒

⇒ ρ5= 8⇒ρ = 5

8

5θ= 11π6

+ k·2π ⇒ θ = 11π30

+ k·2π5

,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1,2,3e4,obtêm-se:

θ1=11π30

,θ2=23π30

,θ3= 7π30

,θ4=47π30

eθ5=59π30

Logo:5

4 3 –4i =



=

z1= 5

8 cos11π30

+isen11π30

z2= 5

8 cos23π30

+isen23π30

z3= 5

8 cos 7π6

+isen 7π6

z4= 5

8 cos47π30

+isen47π30

z5= 5

8 cos59π30

+isen59π30

77.a) x4+16=0⇒x4=–16

x0=–16⇒x0=16(cosπ+isenπ)

x=ρ(cosθ+isenθ)ex4=x0⇒

⇒ ρ4(cos4θ+isenθ)=16(cosπ+isenπ)⇒

⇒ ρ4= 16⇒ρ =2

4θ= π + k·2π⇒ θ = π4

+ k·π2

,comk∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1,2e3,obtêm-se:θ1= π4

,

θ2=3π4

,θ3=5π4

eθ4=7π4

.

Logo:x=2(cosθ+isenθ),comθ= π4

,3π4

,5π4

ou

=7π4

,ouseja:

x= 2 +i 2 ,– 2 +i 2 ,– 2 –i 2 ou 2 –i 2 .

b) x4–2i=0⇒x4=2i

x0=2i⇒x0=2 cos π2

+isen π2


⇒ ρ4(cos4θ+isen4θ)=2 cos π2

+isen π2

⇒

⇒ ρ4= 2⇒ρ =

42

4θ= π2

+ k·2π⇒ θ = π8

+ kπ2

,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1,2e3,obtêm-se:θ1= π8

,

θ2=5π8

,θ3=9π8

eθ4=13π8

.

Logo:x= 4

2 (cosθ+isenθ),comθ= π8

,5π8

,9π8

ou13π8

.

c) x3–8 3 –8i=0⇒x3=8 3 –8i

x0=8 3 +8i⇒x0=16 cos π6

+isen π6



+isen π6

⇒

⇒ ρ3= 16⇒ρ =2

32

3θ= π6

+ k·2π ⇒ θ = π18

+ k·2π3

,k∈ ℤ(*)

Em(*), fazendo-sek=0,1e2,obtêm-se:θ1= π18

,

θ2=13π18

eθ3=25π18

.

Logo:x=23

2 (cosθ+isenθ),comθ= π18

,13π18

ou25π18

.

d) x3=(–1, 3 )=–1+i 3

x0=–1+i 3 ⇒ x0=2 cos2π3

+isen2π3

x=ρ(cosθ+isenθ)ex3=x0⇒ρ3(cos3θ+isen3θ)=

=2 cos2π3

+isen2π3

⇒

⇒ ρ3= 2⇒ρ = 3

2

3θ= 2π3

+ k·2π ⇒ θ = 2π9

+ k·2π3

,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1e2,obtêm-se:θ1=2π9

,θ2=

= 8π9

eθ3=14π9

.

Logo:x=3

2 (cosθ+isenθ),comθ=2π9

, 8π9

ou

14π9

.

e) x2= 12

,– 12

= 12

– 12

i

x0= 12

– 12

i= 22

cos7π4

+isen7π4

x=ρ(cosθ+isenθ)ex2=x0⇒ρ2(cos2θ+isen2θ)=

=2

2 cos7π

4+isen7π

4⇒

⇒ ρ2=

22

⇒ρ =4

82

2θ= 7π4

+ k·2π ⇒ θ = 7π8

+ kπ,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0e1,obtêm-se:θ1=7π8

eθ2=

=15π8

.

Logo:x=4

82

(cosθ+isenθ),comθ=7π8

ou15π8

.



78.Dadoz=4i

a) z=4i⇒z=4 cos π2

+isen π2

z1=ρ cosθ+isenθ ez21=z⇒


+isen π2

⇒

⇒ ρ2= 4⇒ρ = 2

2θ= π2

+ k·2π ⇒ θ = π4

+ kπ,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0e1,obtêm-se:θ1=π4

eθ2=

=5π4

Logo:z1= 4i=2 cos π

4+isen π

4

2 cos π4

+isen π4

Re(z)

Im(z)

0

P1

2

2

π4

P2

b) P1P2=2ρ=2·2=4

79.zA=2(cos60°+isen60°)=2 12

+i· 32

=1+i 3

zB=2(cos180°+isen180°)=2(–1+i·0)=–2

zc=2(cos300°+isen300°)=2 12

–i· 32

=1–i 3

B

C

A

Im(z)

Re(z)

2

260°

0

80.Umadasraízesquartasde–8+8i 3 éz1=2(cos30°+

+isen30°).

-- Todas as raízes quartas de–8+ 8i 3 têm mesmo

módulo⇒ρ1=ρ2=ρ3=ρ4.

-- OsargumentosdasraízesquartasformamumaP.A.

derazão360°4

=90°.

Logo:z1=2(cos30°+isen30°)=2 32

+i· 12

= 3 +i

z2=2(cos120°+isen120°)=2 –12

+i· 32

=–1+i 3

z3=2(cos210°+isen210°)=2 – 32

–i· 12

=– 3 –i

z4=2(cos300°+isen300°)=2 12

–i· 32

=1–i 3

81.cos72°+isen72°éraizdaequaçãox5+k=0⇒

⇒(cos72°+isen72°)5+k=0⇒

⇒ (cos360°+isen360°)+k=0⇒

⇒k=–cos0°–i·sen0°⇒k=–1

⇒k=cos180°+isen180°

x=ρ(cosθ+isenθ)ex3=k⇒

⇒p3(cos3θ+isen3θ)=cos180°+isen180°⇒

⇒ρ3= 1⇒ρ =1

3θ= 180°+ k·360° ⇒ θ = 60° + k·120°,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1e2,obtêm-se:θ1=60°,θ2=

=180°eθ3=300°.

Logo:3

k =cos60°+isen60°=1

2+i 3

2cos180°+isen180°= 1

cos300°+isen300°=–

12

i 32

(–1,0) 1

,

Im(z)

Re(z)0

32

12

, –32

12

82.A=(–1,0):imagemdez1=–1(raizsextadez)

a) z1= 6

z ⇒z=z61=(–1)6⇒z=1

b) z1=–1=cos180°+isen180°

-- ρ1=1⇒ρ2=ρ3=ρ4=ρ5=ρ6=1

-- osargumentosprincipaisde6

z formamumaP.A.

derazão360°6

=60°,ouseja:


–


θ1=180°⇒

θ2=θ1–3·60°=0°

θ3=θ1–2·60°=60°

θ4=θ1–1·60°=120°

θ5=θ1+1·60°=240°

θ6=θ1+2·60°=300°

Logo:z1=cos180°+isen180°=–1

z2=cos0°+isen0°=1

z3=cos60°+isen60°=12

+i 32

z4=cos120°+isen120°=–12

+i 32

z5=cos240°+isen240°=–12

–i 32

z6=cos300°+isen300°=12

–i 32

83.3 1 =?

-- z0=1⇒z0=cos0°+isen0°

z=ρ(cosθ+isenθ)ez3=z0⇒ρ3(cos3θ–isen3θ)=

=cos0°+isen0°⇒

⇒ρ3= 1⇒ρ =1

3θ= 0° + k·360° ⇒ θ = k · 120°,k∈ ℤ(*)

Em(*),fazendo-sek=0,1e2,obtêm-se:θ1=0°,θ2=

=120°eθ3=240°.

Logo:3

1 =

z1=cos0°+isen0°=1z2=cos120°+isen120°=–1

2+i 3

2

z3=cos240°+isen240°=– 12

–i 32

AP1P2P3= 1

2(P2P3)·(HP1)= 1

2· 2· 3

2· 3

2⇒

⇒AP1P2P3= 3 3

4

0H

Im(z)

Re(z)P1 (1, 0)

P2 ,–12

32

P3 ,– –12

32


Exercícios complementares

1. a) A = 10Σ

n = 0 in = (i0 + i1 + i2 + i3) + (i4 + i5 + i6 + i7)

= 0= 0

+

+ i8 + i9 + i10 = i0 + i1 + i2 = 1 + i – 1 = i

P.A.

b) A = i · i2 · i3 · ... · i19 · i20 = i1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = i(1 + 20)

2 · 20

=

= i210 = i2 = –1

2. a) n: no. natural par ⇒ n = 2p, p ∈ ℕ

A = in + i2n + i3n + i4n = i2p + i4p + i6p + i8p = (i2)p +

+ (i4)p + (i2)p · (i4)p + (i4)2p = (–1)p + 1p + (–1)p · 12p +

+ 12p ⇒

⇒ A = 2 · (–1)p + 2 ⇒ A = 2 + 2 = 4, se p é par

–2 + 2 = 0, se p é ímpar

b) n: no. inteiro ⇒

(1) n = 4k

(2) n = 4k + 1

(3) n = 4k + 2

(4) n = 4k + 3

, ∀k ∈ ℤ, ou seja,

A = in + i–n = in + 1in

(1): n = 4k ⇒ in = i4k = (i4)k = 1k = 1 ⇒ A = 1 + 11 = 2

(2): n = 4k + 1 ⇒ in = i4k + 1 = i4k · i = i ⇒ A = i + 1i =

= i + (–i)i(–i)

= i – i = 0

(3): n = 4k + 2 ⇒ in = i4k + 2 = i4k · i2 = –1 ⇒ A = –1 +

+ 1–1

= –2

(4): n = 4k + 3 ⇒ in = i4k + 3 = i4k · i3 = –i ⇒ A = –i + 1–i

=

= –i + i(–i)i

= –i + i = 0

Logo: A = 2, 0 ou –2

3. ΔAPB equilátero a > 0⇒ h = PH = 2a 3

2 = a 3

b

A H Baa

60°

2a 2a

P

AAPB = 36 3



12

⋅ 2a ⋅ a 3 = 36 3

a = 6e

b = a 3 = 6 3

Assim: z = a + bi ⇒ z = 6 + 6i 3

Logo: z2 = (6 + 6i 3 )2 = 36 + 36i2 ⋅ 3 + 72i 3 ⇒

⇒ z2 = –72 + 72i 3

4. A = {x ∈ ℤ; |x| < 5} = {x ∈ ℤ; –5 < x < 5} = {–4, –3, –2, ..., 4} ⇒ ⇒ n(A) = 9Seja z ∈ A, z = (a, b).a) a ∈ A e b ∈ A ⇒ (a, b) ∈ (A × A) ⇒ no. de pares (a, b)

é n(A × A) = n(A) · n(A) = 9 · 9 = 81

b) (a, b) é imaginário puro ⇒ a= 0 e b ≠ 0 ⇒ ⇒ (0, b) ∈ {0} × A* no. de pares (0, b), com b ≠ 0, é n({0} × A*) = 1 · n(A*) = 8

c) z · z = 20 ⇒ (a + bi) · (a – bi) = 20 ⇒ a2 + b2 = 20 ⇒ ⇒ b = ± 20 – a2 ⇒

a, b ∈ A

⇒

a = –4 ⇒ b = –2 ou b = 2 ⇒ z = –4 – 2i ou z = –4 + 2i

a = –2 ⇒ b = –4 ou b = 4 ⇒ z = –2 – 4i ou z = –2 + 4i

a = 2 ⇒ b = –4 ou b = 4 ⇒ z = 2 – 4i ou z = 2 + 4i

a = 4 ⇒ b = –2 ou b = 2 ⇒ z = 4 – 2i ou z = 4 + 2i

5. Seja z = a + bi, com a, b ∈ ℝ.(z)2 + iz = –2 ⇒ (a – bi)2 + i(a + bi) = –2 ⇒ a2 – b2 – 2abi + + ai – b = –2 ⇒ a2 – b2 – b + (a – 2ab)i = –2 ⇒

⇒ a2 – b2 – b = –2 (1)

– 2ab = 0 ⇒ a (1 – 2b) = 0 ⇒ a = 0 ou b = a 12

(2)

Assim, de (2):

a = 0 ⇒(1)

b2 + b – 2 = 0 ⇒ b = –2 b = 1

b =

ou

12

⇒(1)

a2 = –2 + 14

+ 12

⇒ a2 = – 54

⇒ ∃/ ∈ ℝa

Logo: z = i ou z = – 2i.

6. Seja z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, temos:

u + v + z = (1 + 2i) + (3 + 4i) +(a + bi) =

= (a + 4) + (b + 6)i ∈ ℝ (1)

u · v · z = (1 + 2i) · (3 + 4i) · (a + bi) =

= (–5 + 10i) · (a + bi) = (–5a – 10b) +

+ (10a – 5b)i ∈ ℝ (2)

De (1): b = –6De (2): 10a – 5b = 0

⇒ a = – 3

Logo: z = –3 – 6i.

7. z = 3 + i2 + xi

, com x ∈ ℝ

z = (3 + i) · (2 – xi)(2 + xi) · (2 – xi)

= 6 + x4 + x2 + 2 – 3x

4 + x2 · i

a) Re(z) = 1 ⇒ 6 + x4 + x2 = 1 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ou

x = –1

b) Im(z) = 0 ⇒ 2 – 3x4 + x2 = 0 ⇒ 2 – 3x = 0 ⇒ x = 2

3

c) Re(z) = Im(z) ⇒ 6 + x4 + x2 = 2 – 3x

4 + x2 ⇒ 6 + x = 2 – 3x ⇒

⇒ x = –1

8. A = 5 – xi5x – 9i

, x ∈ ℝ

A = (5 – xi) · (5x + 9i)(5x – 9i) · (5x + 9i)

= 34x25x2 + 81

+ 5x2 – 4525x2 + 81

· i

A • ∈ ℝ ⇒ 5x2 – 4525x2 + 81

= 0 ⇒ 5x2 – 45 = 0 ⇒ x = 3

ou x = –3

• x = 3 ⇒ A = 34 · 325 · 9 + 81

= 13

ou

x = –3 ⇒ A = 34 · (–3)25 · 9 + 81

= – 13

9. a) OB = r = 3; BH = 2

△OHB retângulo ⇒ OH2 + 22 = 32 ⇒ OH = 5

Logo:

A(–3, 0) ⇒ zA = –3

B( 5 , 2) ⇒ zB = 5 + 2i

C( 5 , –2) ⇒ zC = 5 – 2i

b) D = –3 0 1

5 2 1

5 –2 1

= –12 – 4 5

AABC = 12

· |D| ⇒ AABC = 12

· (12 + 4 5 ) = 6 + 2 5

Re(z)

Im(z)

A

B

C

O

2

H



10. Seja z = x + yi, com x, y ∈ ℝ, temos:

z + z = 4

z · z = 13 ⇒

2x = 4 ⇒ x = 2

x2 + y2 = 13 ⇒

⇒ 4 + y2 = 13 ⇒ y = –3 ou y = 3

Assim: zA = 2 – 3i ⇒ A = (2, –3); zB = 2 + 3i ⇒ B = (2, 3);

O = (0, 0)

AABO = 12

· AB · OH = 12

· 6 · 2 = 6

–3

3

2

H

Im(z)

Re(z)

B(2, 3)

A(2, –3)

0

11. Seja z = x + yi, com x, y ∈ ℝ, temos:

|z + z| = 6

z · z = 10 ⇒ |2x| = 6 ⇒ x = –3 ou x = 3

x2 + y2 = 10 (*)

x = –3 ⇒ y2 = 1 ⇒ y = –1 ou y = 1x = 3 ⇒ y2 = 1 ⇒ y = –1 ou y = 1

⇒

⇒ A(–3, –1); B(–3, 1),C(3, 1) e D(3, –1)

a) 2p = 2 · BC + 2 · AB = 2 · 6 + 2 · 2 = 16

b) AABCD = AD · AB = 6 · 2 = 12

B

A

C

D

Im(z)

Re(z)

1

–1

–3 3

12. S = {z ∈ ℂ; |z – (2 + 4i)| = 2}

Se z = x + yi, com x, y ∈ ℝ, temos:

|z – (2 + 4i)| = 2 ⇒ |(x – 2) + (y – 4)i| = 2 ⇒

⇒ (x – 2)2 + (y – 4)2 = 2

(x – 2)2 + (y – 4)2 = 4

C

Im(z)

Re(z)

4 2

20

13. w = 4 + 2i; z = 3a + 4ai, em que a ∈ ℝ*+

h• : altura do △ABC ⇒ h = |z| = 9a2 + 16a2 = 25a2 ⇒

⇒a > 0

h = 5a

b • = Re (z · w)

z · w = (4 + 2i) · (3a + 4ai) ⇒ z = 4a + 22ai ⇒ b = 4a

A• ABC = 1

2 · b · h = 90 cm2 ⇒ 1

2 · 4a · 5a = 90 ⇒

a > 0 a = 3 cm

14. z1 = ρ1(cos θ1 + i sen θ1) e z2 = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2), com

0 < θ1; θ2 < 90°

z• 1 · z2 = 80(cos 16° + i sen 16°)10 ⇒ z1 · z2 = 80 · (cos 160° +

+ i sen 160°) ⇒ (1) ρ1 · ρ2 = 80

(2) θ1 + θ2 = 160° + k1 · 360°

z2

z1

• = 4(cos 8° + i sen 8°)5 ⇒ z2

z1

= 4(cos 40° + i sen 40°) ⇒

⇒ (3)

ρ2

ρ1

= 4

(4) θ2 – θ1 = 40° + k2 · 360°

De (1) e (3) obtêm-se: ρ1 = 2 5 e ρ2 = 8 5 .

De (2) e (4) obtêm-se: (θ1 = 60° e θ2 = 100°) ou

(θ1 = 240° e θ2 = 280°).

Logo: z1 = 2 5 (cos 60° + i sen 60°) e

z2 = 8 5 (cos 100° + i sen 100°)

ou

z1 = 2 5 (cos 240° + i sen 240°) e

z2 = 8 5 (cos 280° + i sen 280°)

15. P: imagem de z1 ⇒ z1 = ρ1(cos 30° + i sen 30°)

Q: imagem de z2 ⇒ z2 = ρ2(cos 120° + i sen 120°)

PQ = 20; ρ1 = 2ρ2

△POQ retângulo ⇒ 4ρ2

2 + ρ22 = 20 ⇒ ρ2 = 2 ⇒

⇒ ρ1 = 4



Assim: z1 · z2 = ρ1 · ρ2 (cos (30° + 120°) + i sen (30° + 120°) =

= 8 · (cos 150° + sen 150°) (f. trigonométrica)

e

f. algébrica: z1 · z2 = 8 – 3

2 = i · 1

2 = –4 3 + 4i

Re(z)

Im(z)

O

PQ

30°

ρ2 ρ1

16. a) 1 + i = 2 (cos 45° + i sen 45°)

x1 + y1i = (1 + i)9 = ( 2)9 (cos 405° + i sen 405°) =

= 16 2 (cos 45° + i sen 45°) = 16 2 2

2 + i ·

22

x1 + y1 · i = 16 + 16i

Logo: P' = (x1, y1) = (16, 16).

b) A distância de P à origem é igual ao módulo de x1 +

+ y1i, ou seja, d = 16 2.

17. Seja z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, temos:

i · z + 2 · z + 1 – i = 0 ⇒ i(a + bi) + 2(a – bi) + 1 – i = 0 ⇒

⇒(2a – b + 1) + (a – 2b – 1) i = 0 ⇒

⇒ 2a – b + 1 = 0a – 2b – 1 = 0

⇒ a = b = –1

Assim: z = –1 – i ⇒ z = 2 cos 5π4

+ i sen 5π4

⇒

⇒ z1004 = ( 2)1004 · (cos 1255π + i sen 1255π)

z1004 = z502 (cos π + i sen π) = –2502

18. a) I. 3 – i = 2 cos 11π6

+ i sen 11π6

z1 = ( 3 – i)n ⇒ z1 = 2n cos n · 11π6

+ i sen n · 11π6

z1 ∈ ℝ ⇒ sen n · 11π6

= 0 ⇒ n · 11π6

= k · π, k ∈ ℤ ⇒

⇒ k = 116

n ∈ ℤ e n ∈ ℤ*+

Assim, n = 6.

II. –2 3 – 2i = 4 cos 7π6

+ i sen 7π6

z2 = (–2 3 – 2i)n ⇒ z2 = 4n cos n · 7π6

+ i sen n · 7π6

z2 é imaginário puro ⇒ cos n · 7π6

= 0 ⇒ n · 7π6

= π2

+

+ kπ, k ∈ ℤ ⇒ k = 7n – 36

∈ ℤ e n ∈ ℤ*+

Como 7n – 3 deve ser múltiplo de 6, então n = 3.

b) n = 6 ⇒ z1 = 26(cos 11π + i sen 11π) = 64 (–1 + i · 0) ⇒

⇒ z1 = –64

n = 3 ⇒ z2 = 43 cos 7π2

+ i sen 7π2

= 64 (0 + i (–1)) ⇒

⇒ z2 = –64i

19. a) q e r: quociente e resto da divisão de N por 4

N = 4q + r ⇒0 ⩽ r < 4

iN = –1 ⇒ i4q + r = –1 ⇒

⇒ i4q · ir = –1 ⇒ (i2)2q · ir = – 1 ⇒ (–1)2q · ir = –1 ⇒

⇒ ir = –1 ⇒0 ⩽ r < 4

r = 2

b) z = 2 cos π3

+ i sen π3

w = r(cos θ + i sen θ) ⇒ w = r(cos θ – i sen θ) ⇒0 ⩽ θ < 2π

⇒ w = r[cos (2π – θ) + i sen (2π – θ)]

⇒ z · w = 1 ⇒ z · w = 1(cos 2π + i sen 2π) ⇒

⇒ 2r = 1 ⇒ r = 1

2π3

+ (2π – θ) = 2π ⇒ θ = π3

20. a) z = (1 + i)80 – (1 – i)84

i96

1 + i = 2 cos π4

+ i sen π4

⇒

⇒ (1 + i)80 = 240(cos 0 + i sen 0) = 240

1 –i = 2 cos 7π4

+ i sen 7π4

⇒

⇒ (1 – i)84 = 242 (cos π + i sen π) = –242

i96 = i0 = 1

Logo: z = 240 + 242

1 = 240 (1 + 22) = 5 · 240

b) z = (1 + i 3)5

(1 – i 3 )4



1 + i 3 = 2 cos π3

+ i sen π3

⇒ (1 + i 3)5 =

= 25 cos 5π3

+ i sen 5π3

1 – i 3 = 2 cos 5π3

+ i sen 5π3

(1 – i 3)4 = 24 cos 20π3

+ i sen 20π3

=

= 24 cos 2π3

+ i sen 2π3

Logo: z = 25

24 cos 5π3

– 2π3

+ i sen 5π3

– 2π3

=

= 2(cos π + i sen π) = –2

21. a) A(0, –2), afixo de z = –2i ⇒ os demais vértices são:

B(2, 0), C(0, 2) e D(–2, 0)

b) AAOB = 12

· 2 · 2 = 2 ⇒ AABCD = 4 · AAOB = 8

c) (x – 2i)(x + 2i)(x – 2)(x + 2) = 0 ⇒ (x2 + 4)(x2 – 4) =0 ⇒

⇒ x4 – 16 = 0

C

C

Im(z)

Re(z)

B–2 2

2

A–2

0

22. (x15 – 1) · (x12 – 1) = 0 ⇒ (1) x15 – 1 = 0 ou (2) x12 – 1 = 0

Sejam S1: conjunto solução de (1)S2: conjunto solução de (2)

temos: S = S1 ∙ S2 ⇒ n(S) = n(S1) + n(S2) – n(S1 ∙ S2) =

= 15 + 12 – n(S1 ∙ S2) ⇒

⇒ n(S) = 27 – n(S1 ∙ S2) (*)

soluções comuns

(1) x = ρ1(cos θ1 + i sen θ1)

x15 = 1 ⇒ ρ115(cos 15θ1 + i sen 15θ1) = 1 (cos 0 + i sen 0) ⇒

⇒ ρ1

15 = 1 ⇒ ρ1 = 1

θ1 = k1 · 2π

15 , k1 ∈ ℤ

Assim:

x = cos k1 · 2π

15 + i sen k1 · 2π

15 , com k1 = 0, 1, 2, ..., 14.

(2) x = ρ2(cos θ2 + i sen θ2)

x12 = 1 ⇒ ρ112(cos 12θ2 + i sen 12θ2) = 1 (cos 0 + i sen 0) ⇒

⇒ ρ1

12 = 1 ⇒ ρ2 = 1

θ2 = k2 · 2π

12 , k2 ∈ ℤ

Assim:

x = cos k2 · π

6 + i sen k2 · π

6 , com k2 = 0, 1, 2, ..., 11.

As soluções comuns de (1) e (2) são obtidas nos seguintes

casos:

k1 = k2 = 0 ⇒ θ1 = θ2 = 0k1 = 5 e k2 = 4 ⇒ θ1 = θ2 =

2π3

k1 = 10 e k3 = 8 ⇒ θ1 = θ2 = 4π3

Logo, n(S1 ∙ S2) = 3 ⇒(*)

n(S) = 27 – 3 = 24.

23. comprimento do arco (u. c.)

ângulo central (rad)

4π 2ππ3

α ⇒ α = π6 rad

Assim, temos:

P1: afixo de z1 ⇒ z1 = 2 · cos 11π

6 + i sen 11π

6 = 3 – i ⇒ ⇒ z1 = 3 + i

P2: afixo de z2 ⇒ z2 = 2 · cos π2 + i sen

π2 = 2 ⇒ z2

5 = 32

P3: afixo de z3 ⇒ z3 = 2 · cos 7π6 + i sen

7π6 = – 3 – i

|z1 + z25 + z3| = | 3 + i + 32 – 3 – i| = 32

P3 P1

P2

Im(z)

Re(z)2α–2 0



24. w = – 3

2 – i

2

3

= cos 7π6 + i sen

7π6

3

= cos 7π2 +

+ i sen 7π2 ⇒ w = –i ⇒ w12 = 1

Seja v = ρ(cos θ + i sen θ), tal que v4 = 1, temos:

ρ4 (cos 4θ + i sen 4θ) = 1(cos 0 + i sen 0) ⇒

⇒ ρ4 = 1 ⇒ ρ = 14θ = k · 2π ⇒ θ =

kπ2 , k ∈ ℤ (*)

Em (*), fazendo-se k = 0, 1, 2 e 3, obtêm-se θ1 = 0,

θ2 = π2 , θ3 = π, θ4 =

3π2 .

Logo:

v1 = cos 0 + i sen 0 = 1

v2 = cos π2 + i sen

π2 = i

v3 = cos π + i sen π = –1

v4 = cos 3π2 + i sen

3π2 = –i

25. a) ρ2 = ρ4 = ρ5 = ρ7 = 1

θ1 = π8

⇒ θ2 = 3 · π8

= 3π8

; θ4 = 7 · π8

= 7π8

; θ5 =

= 9 · π8

= 9π8

; θ7 = 13 · π8

= 13π8

b) r = 2π8

= π4

c) m(P1OP8) = 2 · π8 = π4

AP1OP8 = 1

2 · 1 · 1 · sen π4 =

= 12 ·

22 =

24

Aoctógono = 8 · AP1OP8 = 8 · 2

4 = 2 2

π8

P8

P1

1

O

1

π8

Desafio

Como em cada metade da peça do dominó a quantidade x de

pontos marcados é tal que 0 x 6, então os padrões esta-

belecidos obedecem ao sistema de numeração de base 7.Assim, temos:

na parte superior•no. de pontos:

6 + 2⇒ 1

8 – 7

– 1⇒ 0

+ 2⇒ 2 – 1⇒ 1

+ 2⇒ 3 – 1⇒ 2

na parte inferior•no. de pontos:

4 + 1⇒ 5

+ 2⇒ 07 – 7

+ 3⇒ 3

+ 4⇒ 07 – 7

+ 5⇒ 5

+ 6⇒ 411 – 7

Logo: ?

?=

Testes

1. (a b)(c d) (2 i i 3)(1 i 3 2i)− − = + − + + − + =

5( 2 3i) 10 15i= − + = − +

Resposta: c.

2. z x 2i= +

2 2 2z x 2 2 2 x 4 8= + = ⇒ + =2x 4 x 2⇒ = ⇒ =− (x é real negativo)

Logo, z 2 2i= − + ⇒2 2z ( 2 2i) 4 8i 4 8i⇒ = − + = − − = −

Resposta: b.

3. a, b, c: números inteiros positivos (*)

c = (a + bi)2 – 14i ⇒ c = a2 + b2i2 + 2abi – 14i ⇒

⇒ c = a2 – b2 + (2ab – 14)i ⇒

⇒ 2ab – 14 = 0 (1)ec = a2 – b2, com a2 > b2 (2)

De (1): a · b = 7 (* )

(2)⇒ a = 7 e b = 1

Logo, de (2): c = 72 – 12 = 48

Resposta: a.

4. (a 3) (b 2)i 2b (a 2)i− + + = + −

a 3 2b a 2b 32b 3 b 4

b 2 a 2 a b 4

b 1 a 5

− = ⇒ = + ⇒ + = + ⇒+ = − ⇒ = +

⇒ = ⇒ =

Logo, z 5 i e z 5 i= + = −

Resposta: a.

5. z a bi e z a bi= + = −

2z z 2z 3 3i+ − = +


MCA1-Resoluc�o�es-Mercado.indd 148 9/2/10 10:48:13 AM

22 2

2 2

2 2

a b a bi 2(a bi) 3 3i

a b a bi 2a 2bi 3 3i

(a b a) 3bi 3 3i

+ + + − − = +

+ + + − + = +

+ − + = +

= ⇒ = + − = ⇒ − − = ⇒

=± + ±⇒ = =

= −

2 2 2

1

2

3b 3 b 1e a b a 3 a a 2 0

a 21 1 8 1 3a

a 12 2

Logo, = = ⇒ = + = − = ⇒a 2 e b 1 z 2 i e a 1e b 1

z 1 i.⇒ =− +

{ }S 2 i, 1 i= + − +

Resposta: d.

( )

6. z é tal que: 3z + 2z = 10 + 5i (1)

Seja z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, e temos em (1):

3(a + bi) + 2(a – bi) = 10 + 5i ⇒ 5a + bi = 10 + 5i ⇒

⇒ 5a = 10 ⇒ a = 2b = 5

Assim: z = 2 + 5i

Logo: z ⋅ z = (2 + 5i)(2 – 5i) = 4 – 25i2 = 29

Resposta: b.

7. z a bi= + w 6 3i= +wz (6 3i)(a bi) 6a 6bi 3ai 3b= + + = + + − =

(6a 3b) (3a 6b)i= − + +

wz (6a 3b) (3a 6b)i= − − +

wz wz 5 0 (6a 3b) (3a 6b)i+ − = ⇒ − + + +(6a 3b) (3a 6b)i 5 0+ − − + − = ⇒

2(6a 3b) 5 0 12a 6b 5 0⇒ − − = ⇒ − − = que é

uma equação de reta.

Resposta: b.

8. z a bi= + e z a bi= −

iz 2z (1 i) 0− + + =

i(a bi) 2(a bi) 1 i 0+ − − + + =ai b 2a 2bi 1 i 0− − + + + =( b 2a 1) (a 2b 1)i 0− − + + + + =

b 2a 1 0 ( 2)

2b a 1 0

2b 4a 2 0( )

2b a 1 0

3a 3 0 a 1 b 2 1 0 b 1

− − + = × + + =− − + =

+ + + =− + = ⇒ = ⇒− − + = ⇒ = −

Logo, z 1 i= −

Resposta: e.

9. z = a + bi1 + i

, com a, b ∈ℝ

|z| • = 1 ⇒ a + bi1 + i

= 1 ⇒ |a + bi||1 + i|

=1 ⇒ a2 + b2

1 + i = 1 ⇒

⇒ a2 + b2 = 2 ⇒ a2 + b2 = 2 (1)

z • = a + bi1 + i

= (a + bi) (1 – i)(1 + i) (1 – i)

= a – ai + bi – bi21 – i2

=

= a + b2

+ (b – a)i2

Re(z) = 2 · Im(z) ⇒ a + b2

= 2(b – a)2

⇒

⇒ a + b = 2b – 2a ⇒ b = 3a (2)

Substituindo (2) em (1), vem:

a2 + 9a2 = 2 ⇒ a = 5

5 ⇒

(2) b = 3

55

Logo: a · b = 5

5 · 3

55

= 35

Resposta: d.

11. Sabe que para n n 1 n 2 n 3n , i i i i 0+ + +∈ + + + =

Logo, 2 3 22 21 22 2v i i i i i i i i i 1e= + + + + = + = + = −

2 3 78 77 78 2w i i i i i i i i i 1= + + + + = + = + = −

Assim, 2v w (i 1) 1 2i 1 2i⋅ = − = − − + = −

Resposta: d.

12. z a bi e z a bi= + = −

z 5z 12 16i+ = − − a bi 5(a bi) 12 16i+ + − = − −6a 4bi 12 16i 6a 12− = − − ⇒ = − ⇒

a 2 e 4b 16 b 4⇒ =− − = − ⇒ =

Logo, z 2 4i= − +

2 2z ( 2) 4 20 2 5= − + = =

Resposta: b.

10.

Logo, 917062007 3i i i= = −

Resposta: b.

917 062 007 4

11 229 265501

37

10

26

22

20

007

3



13.2

3 2

2(1 i) 2(1 2i 1) 4iz

(1 i) (1 i) (1 i) (1 2i 1)(1 i)

+ + −= = = =

− − − − − −

2

4i 4i 2i(1 i) 2(i 1)1 i

2i 2i 2(1 i) (1 i)(1 i) 2

− − − += = = = = − −

− − + + −

Resposta: d.

15. 2 2 2x 2ax a b 0− + + =

± − + ± −= = =

= +±=

= −

2 2 2 2

1

2

2a 4a 4(a b ) 2a 4bx

2 2z a bi2a 2biz a bi2

2 2 2 2 2 21 2z z a b a b 2 a b+ = + + + = +

Resposta: c.

16. z x yi= +

z i x (y 1)i+ = + +

z 2 (x 2) yi+ = + +2 2 2 2z i z 2 x (y 1) (x 2) y+ = + ⇒ + + = + + ⇒

2 2 2 2x y 2y 1 x 2x 4 y⇒ + + + = + + + ⇒

2y 2x 3 0 (x,y)⇒ − − = ⇒ percorrem uma reta.

Resposta: d.

17. 6 2 31 3i (1 3i)(1 2i)z (1 i) [(1 i) ]

1 2i (1 2i)(1 2i)

+ + += + − = + − =

− − +

+ + − −= + − − = + − =

+= − + = − +

3 31 2i 3i 6 5i 5(1 2i 1) ( 2i)

1 4 5i 1 8i 1 9i

Logo, 2 2z ( 1) 9 82 9,06= − + = ≅

Resposta: e. 14. Sejam P1, P2, P3 e P4 as imagens de z, –z, z e –z, respecti-

vamente.

Se z = a + bi, em que a, b ∈ ℝ, e temos: P1 = (a, b),

P2 = (–a, –b), P3 = (a, –b) e P4 = (–a, b), com a > b.

P• 1P2P3P4 é um retângulo ⇒

⇒ A = (2a) (2b)2p = 2 · (2a) + 2 · (2b) = 4a + 4b

P4 P1(a, b)bIm(z)

a–a Re(z)

–bP2 P3

A = 24 ⇒ 4ab = 24 ⇒ ab = 6

2p = 20 ⇒ 4a + 4b = 20 ⇒ a + b = 5 ⇒a > b

a = 3

e b = 2 ⇒ z = 3 + 2i

Resposta: e.

18. P1 = (2, 2): imagem de z1 = 2 + 2iλ: circunferência de raio r = 13 e centro C = (k, 0), com k > 0

P1 ∈ λ ⇒ d2CP1

= r2 ⇒ (k – 2)2 + 4 = 13 ⇒ (k – 2)2 = 9 ℝ

⇒ > 0

⇒ k = 5

Assim, a equação de λ é (x – 5)2 + y2 = 13 (1)

Se P = (x, y) é a imagem de z = x + yi, temos:

z – 5 = x – 5 + yi ⇒ |z – 5| = (x – 5)2 + y2 (2)

Substituindo (1) em (2): |z – 5| = 13

Resposta: b.

19. z1 = 2 + i ⇒ A = (2, 1)

z2 = –4 + i ⇒ B = (–4, 1)

z3 = bi ⇒ C = (0, b), com b < 0

AB = 6 e h = 1 + |b|

AABC = 12 ⇒ 12

· 6 · (1 + |b|) = 12 ⇒ 1 + |b| = 4 ⇒

⇒ |b| = 3 b⇒ < 0

b = –3

Im(z)

1B A

b C

0 Re(z)2–4

Resposta: c.

20.801801 801

8011 i (1 i)(1 i) 2i( i)

1 i (1 i)(1 i) 2

− − − − = = = − = + + − 1( i) i= − = −

Resposta: b.

21. z = 1 + i91 + i27

20

= 1 + i1 + i3

20

= 1 + i1 + i

20

= (1 + i) (1 + i)(1 – i) (1 + i)

20

=



= 1 + 2i + i1 – i2

20

= 2i2

20

= i20 = i0 = 1

Resposta: a.

Os afixos são tais que 22. Re(z) 0 e z 1.≥ ≤

Resposta: e.

23. Ao dividirmos 1 i 3− ⋅ por 1 i,− + obtemos como

quociente ( 1 3) i ( 3 1)

z2 2

− − ⋅ −= +

Note que o módulo de z vale 2

Seu argumento principal θ é tal que

( 6 2)sen

4

−θ = e

( 2 6 )cos

4

− −θ =

Como ( 6 2)

sen 15 sen(45 30 ) ,4

−° = °− ° =

concluímos que θ pertence ao segundo quadrante;

180 15 165θ = °− ° = °

Em radianos, 11

12

πθ =

Resposta: e

24. z 8 4i 4(2 i)= − = −

3 3 2 2w 2 cos i sen 2 i

4 4 2 2

π π = + = − + =

2 2 i= − +

w 2 2 i 2 (1 i)= − − = − +

z 4(2 i) 2 2 (2 i)(1 i)

w (1 i)(1 i)2(1 i)

− − − −= = =

+ −− +

2 2(2 3i 1)2 (1 3i)

1 1

− − −= = − −

+

Resposta: e.

25. • z = cos θ – i sen θ ⇒ z = cos (–θ) + i sen (–θ)i = cos π

2 + i sen π

2

Assim: z · i = cos π2

– θ + i sen π2

– θ .

0 • < θ < π2

⇒x(–1)

– π2

< –θ < 0 ⇒π2

0 < π2

– θ < π2

⇒

⇒ π2

– θ ∈ 1o. quadrante.

Como π2

– θ = arg zi, então a imagem de zi pertence

ao 1o. quadrante.

Resposta: a.

26. z = 3 + i ⇒ z = 2 · cos π6

+ i sen π6

w = r · (cos θ + i sen θ) ⇒

⇒ w = r(cos θ – i sen θ) = r[cos(–θ) + i sen(–θ)]

Assim: z · w = 2r cos π6

– θ + i sen π6

– θ

z · w = 1 ⇒

⇒ 2r = 1

r ⇒= |w|

2 · |w| = 1 ⇒ |w| = 12

π6

– θ = k · 2π, k ∈ ℤ ⇒ θ = π6

– k · 2π 0 ⩽ θ

⇒< 2π

θ = π6

Resposta: c.

27. 3z cos 3 i sen 36 6

π π = ⋅ + ⋅ =

cos i sen i2 2

π π= + =

6z cos 6 i sen 66 6

π π = ⋅ + ⋅ = cos i sen 1= π+ π = −

π π = ⋅ + ⋅ = 12z cos 12 i sen 12

6 6

= π+ π =cos2 i sen2 1

+ + = − + =3 6 12z z z i 1 1 i

Resposta: d.

28. (z – 2)4 = –4 ⇒ z – 2 = 4

–4 ⇒ z = 2 + 4

–4

Calculando 4

–4 , obtêm-se:

w1 = 2 cos π4

+ i sen π4

= 1 + i

w2 = 2 cos 3π4

+ i sen 3π4

= –1 + i

w3 = 2 cos 5π4

+ i sen 5π4

= –1 – i

w4 = 2 cos 7π4

+ i sen 7π4

= 1 – i



Como z = 2 + 4

–4 , então zm = 2 + wm, em que

m = 1, 2, 3 e 4.

Assim, obtemos: z1 = 3 + i, z2 = 1 + i, z3 = 1 – i e z4 =

= 3 – i, cujas respectivas imagens são: P1(3, 1), P2(1, 1), P3(1, –1)

e P4(3, –1).

Logo: P1P2P3P4 é um retângulo cuja área é A = 2 · 2 = 4.

Im(z)

0 1

1

–1

3

P2 P1

P3 P4

Re(z)

Resposta: e.

29. ρA = 2 e θA = 60º

A é imagem de zA = 2(cos 60º + i sen 60º)

B, C e D: demais vértices do quadrado ⇒

⇒ ρB = ρC = ρD = 2 e θB = 60º + 90º = 150ºθC = 150º + 90º = 240ºθD = 240º + 90º = 330º

⇒

⇒ zB = 2(cos 150º + i sen 150º) ⇒ zB = – 3 + izC = 2(cos 240º + i sen 240º) ⇒ zC = –1 –i 3 zD = 2(cos 330º + i sen 330º) ⇒ zD = 3 – i

Resposta: e.

30. z1 = – 3 + i ⇒ ρ1 = 2 e θ1 = 150º

P1: extremidade do ponteiro dos minutos (imagem de z1)

P1

0 2

2 150°

Re(z)

Im(z)

Como, a cada hora, P1 dá uma volta completa sobre a

circunferência, temos:

60 min 360º 5 min x

giro de P1

⇒ x = 560

· 360º = 30º

Ao girar 30º no sentido horário, P1 passa a ser imagem do

complexo z, no qual ρ = 2 e θ = arg z = 150º – 30º = 120º.

Logo: z = 2(cos 120º + i sen 120º) ⇒ z = –1 + i 3.

Resposta: c.

31. z = 11 + i cotg x

= 1 – i cotg x(1 + i cotg x) (1 – i cotg x)

=

= 1 – i cotg x1 + cotg2 x

= 1 – i cotg xcossec2 x

= 1cossec2 x

– cotg xcossec2 x

· i =

= sen2 x – i · (sen x) · (cos x)

Logo: |z| = sen4 x + (sen2 x) (cos2 x) =

= sen2 x (sen2 x + cos2 x) = sen2 x = |sen x| =1

Resposta: e.


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