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MÉTODO SIMPLEX
• Procedimiento general para resolver problemas de programación
lineal.
• Desarrollado por George Dantzig en 1947.
• Es un procedimiento algebraico aunque sus conceptos
fundamentales son geométricos.
• Está basado en un algoritmo o series de pasos donde se evalúan
los criterios de Optimalidad y Factibilidad
• Se pueden usar con 2 o más variables de decisión.
Función Objetivo:
Max Z = 5X1 + 4X2
Restricciones:
MÉTODO SIMPLEX
Restricciones:
1. 6X1 + 4X2 <= 24
2. X1 + 2X2 <= 6
3. -X1 + X2 <= 1
4. X2 <= 2
5. X1 ,X2 >= 0
Pasos:
1. Transformar la función Z y las restricciones a igualdades e
introducir las variables de holgura o de exceso de acuerdo al
caso de la restricción, estas variables también denominadas no
básicas se determinan en función del número de restricciones
MÉTODO SIMPLEX
básicas se determinan en función del número de restricciones
presentes en el modelo:
• En el caso de las restricciones si son <= se convierten en =
pero se introducen variables de holgura o variables básicas
con signo positivo
• En el caso de las restricciones si son >= se convierten en =
Pasos:
• pero se introducen variables de exceso o variables básicas
con signo negativo
En nuestro ejemplo base este paso queda de la siguiente forma
Z - 5X - 4X + 0X + 0X + 0X + 0X = 0
MÉTODO SIMPLEX
Z - 5X1 - 4X2+ 0X3+ 0X4+ 0X5+ 0X6= 0
6X1 + 4X2+X3+ 0X4+ 0X5 + 0X6 = 24
X1 + 2X2+0X3+ X4+ 0X5 + 0X6 = 6
-X1 + X2+0X3+ 0X4+ X5 + 0X6 = 1
0X1+X2+0X3+ 0X4+ 0X5 + X6 = 2
X1,X2,X3,X4,X5,X6 >= 0
Pasos:
2. Construir la tabla original de partida del Método Simplex
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z
X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3
Variables no básicas (ceros) (X1 y X2)
Variables básicas (X3,X4 ,X5, X6)
X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4
X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:
3. Identificar que Variable sale y cual entra utilizando los
criterios de optimalidad y de factibilidad respectivamente
• Criterio de Optimalidad: Si el problema es de
Maximización la variable no básica que entra es la que
MÉTODO SIMPLEX
Maximización la variable no básica que entra es la que
tiene el coeficiente más negativo en el renglón Z, si el
problema es Minimización la variable no básica que
entra es la que tiene el coeficiente más positivo en el
renglón Z. En el caso de que hubiese empates se rompen
en forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en
Pasos:
• la que todos los coeficientes de las variables no básicas
son positivas (si el problema es Maximización) o son
positivas (si el problema es Minimización).
Criterio de Factibilidad: Independientemente si el
MÉTODO SIMPLEX
• Criterio de Factibilidad: Independientemente si el
problema es de maximización y minimización, la variable
de salida es la variable básica asociada con la mínima
razón no negativa (con denominador estrictamente
positivo). Los empates se rompen en forma arbitraria.
Pasos:
En nuestro ejemplo base este paso queda de la siguiente forma
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z
X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3
X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4
X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:
Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna
X1 por ser la variable que entra en este momento por tanto
MÉTODO SIMPLEX
Básicas Solución X1 Nueva Solución
X3 24 6 4
6
24 = 6
X4 6 1 6
1
6 =
X5 1 -1 1
1
1 −=−
X6 2 0 ∞=0
2
Pasos:
En función de este cálculo se desecha los valores negativos y los
indeterminados por no cumplir el criterio de factibilidad, por tanto
queda X3 con 3 y X4 con 6 para aplicar dicho criterio, por tanto se
toma X3 con 3 por ser el valor más pequeño.
MÉTODO SIMPLEX
Columna Pivote (X1) Variable que entra (X1) Fila Pivote (X3) Variable que sale (X3) Elemento
Pivote: 6
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z
X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3
X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4
X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:
Iteración # 1:
Aplicando el Método de Gauss – Jordan para obtener la nueva
solución básica
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z
X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1
X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4
X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:
Iteración # 1:
Nueva Fila Pivote (NFP) X1 = Fila Pivote X3 / Elemento Pivote
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X1 0/6 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4
Pasos:
Nueva Z = Z Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna Pivote
X1)
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
Z
anterior
1 -5 -4 0 0 0 0 0
anterior
NFP X1 0*5 1*5 (2/3) *5 (1/6)*5 0*5 0*5 0*5 4*5
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
Z
anterior
1 -5 -4 0 0 0 0 0
+
NFP X1 0 5 10/3 5/6 0 0 0 20
Nueva Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
Pasos:
Nueva X4 = X4 Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X1 )
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X4
anterior
0 1 2 0 1 0 0 6
NFP X1 0*-1 1*-1 (2/3) *-1 (1/6)*-1 0*-1 0*-1 0*-1 4*-1
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X4
anterior
0 1 2 0 1 0 0 6
+
NFP X1 0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4
Nueva
X4
0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
Pasos:
Nueva X5 = X5 Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X1)
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X5
anterior
0 -1 1 0 0 1 0 1
NFP X1 0*1 1*1 (2/3) *1 (1/6)*1 0*1 0*1 0*1 4*1
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X5
anterior
0 -1 1 0 0 1 0 1
+
NFP X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4
Nueva
X5
0 0 5/3 1/6 0 1 0 5
Pasos:
Nueva X6 = X6 Anterior + (NFP X1* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X1 )
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X6
anterior
0 0 1 0 0 0 0 2
NFP X1 0*0 1*0 (2/3) *0 (1/6)*0 0*0 0*0 0*0 4*0
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X6
anterior
0 0 1 0 0 0 0 2
+
NFP X1 0 0 0 0 0 0 0 0
Nueva
X6
0 0 1 0 0 0 0 2
Pasos:
Iteración # 2: Aplicando los criterios de optimalidad y factibilidad
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z
X 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1
X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4
X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:
Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna
X2 por ser la variable que entra en este momento por tanto
MÉTODO SIMPLEX
Básicas Solución X2 Nueva Solución
X1 4 2/3
62
12
3
21
4
==
3
X4 2 4/3
5,14
6
3
41
2
==
X5 5 5/3
35
15
3
51
5
==
X6 2 1 2
1
2 =
Pasos:
En función de este cálculo queda X4 con 1,5 por ser el valor más
pequeño.
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z
X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1
Columna Pivote (X2) Variable que entra (X2) Fila Pivote (X4) Variable
que sale (X4) Elemento Pivote: 4/3
X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1
X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4
X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5
X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6
Pasos:MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z
X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1
X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2 X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2
X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5
X6 0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2 X6
Pasos:
Nueva Fila Pivote (NFP) X2 = Fila Pivote X4 / Elemento Pivote
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X2
1
0
1
0
3
4
6
1−
1
1
1
0
1
0
1
2
3
41
3
41
3
43
3
46
3
41
3
41
3
41
3
41
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2
Pasos:
Nueva Z = Z Anterior + (NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna Pivote
X2)
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
Z
anterior
1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
NFP X2 0* 2/3 0* 2/3 1* 2/3 -1/8* 2/3 3/4* 2/3 0* 2/3 0* 2/3 3/2* 2/3
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
Z
anterior
1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
+
NFP X2 0 0 2/3 -1/12 1/2 0 0 1
Nueva Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21
Pasos:
Nueva X1 = X1 Anterior + ((NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X2)
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X1
anterior
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4
NFP X2 0* -2/3 0* -2/3 1* -2/3 -1/8* -2/3 3/4* -2/3 0* -2/3 0* -2/3 3/2* -2/3
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X1
anterior
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4
+
NFP X2 0 0 -2/3 1/12 -1/2 0 0 -1
Nueva
X1
0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3
Pasos:
Nueva X5 = X5 Anterior + (NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X2)
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X5
anterior
0 0 5/3 1/6 0 1 0 1
NFP X 0* -5/3 0* -5/3 1* -5/3 -1/8* -5/3 3/4* -5/3 0* -5/3 0* -5/3 3/2* -5/3NFP X2 0* -5/3 0* -5/3 1* -5/3 -1/8* -5/3 3/4* -5/3 0* -5/3 0* -5/3 3/2* -5/3
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X5
anterior
0 0 5/3 1/6 0 1 0 5
+
NFP X2 0 0 -5/3 5/24 -5/4 0 0 -5/2
Nueva
X5
0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2
Pasos:
Nueva X6 = X6 Anterior + (NFP X2* (-)Coeficiente de la Columna
Pivote X2 )
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X6
anterior
0 0 1 0 0 0 0 2
NFP X2 0* -1 0* -1 1* -1 -1/8* -1 3/4* -1 0* -1 0* -1 3/2* -1
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución
X6
anterior
0 0 1 0 0 0 0 2
+
NFP X2 0 0 -1 1/8 -3/4 0 0 -3/2
Nueva
X6
0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2
Pasos:
Como no hay más valores negativos o en otras palabras hay
solamente valores positivos en la fila de Z se detiene el algoritmo
simplex quedando Z con 21, X1 con 3 y X2 con 1,5.
MÉTODO SIMPLEX
Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón
Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z
X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1
X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2
X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5
X6 0 0 0 1/8 -3/4 0 0 1/2 X6