MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADOMÉTODO GENERAL EJEMPLO1) QUITAMOS PARÉNTESIS ( si los hay)

2) QUITAMOS DENOMINADORES (si los hay)

3) LLEVAMOS A UN LADO TODOS LOS TÉRMINOS EN X Y AL OTRO LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES

18x+9=4x-1818x-4x=-18-914x=-27

4) DESPEJAMOS X: EL COEFICIENTE DE X PASA AL OTRO LADO DIVIDIENDO.

x=

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOMÉTODOS EJEMPLOECUACIÓN COMPLETA:ax2 + bx + c=0APLICAMOS LA EXPRESIÓN

x2 +3x-10=0

x1=-5 x2=2

ECUACION INCOMPLETA SIN TÉRMINO INDEPENDIENTEax2+bx=0Sacamos factor común de x e igualamos a cero los dos factoresx(ax+b)=0x=0 ax+b=0

2x2+3x=0

x(2x+3)=0x1=0 2x+3=0 x2=-3/2

ECUACIONES INCOMPLETAS SIN TÉRMINO EN Xax2+c=0Despejamos x2 y obtenemos la raíces positiva y negativa del valor obtenido

10x2-250=0x2=250/10=25

3. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

MÉTODO EJEMPLOECUACIONES BICUADRADASax4 + bx2 + c=0Hacemos cambio de variable: x2=t; x4=t2

Resolvemos la ecuación de segundo grado así obtenida

Obtenemos el valor de x sacando la raíz positiva y negativa de cada uno de los valores de t obtenidos

-2=0t2+t-2=0Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemost1=1 t2=-2

x= ; x1=1 x2=-1

x= No tiene solución para este valor de t.

OTRAS ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A 2

Igualamos a cero y factorizamos el polinomio obtenido por el método de Ruffini para obtener las raíces (soluciones) de la ecuación

Las posibles raíces enteras del polinomio son 1 4 1 -6 1 1 5 6 . 1 5 6 0 -2 -2 -6 1 3 0 -3 -3 1 0Por lo que las soluciones son: x1=1; x2=-2 y x3=-3

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Se recomienda, salvo excepciones utilizar el método de reducción MÉTODO EJEMPLOREDUCCIÓNEscogemos la incógnita que queremos eliminar.Multiplicamos respectivamente cada ecuación por el coeficiente de la incógnita en la otra ecuación, jugando con los signos para que en ambas ecuaciones éstos sean contrarios.Sumamos ambas ecuaciones obteniendo una única ecuación de primer grado que resolvemos.Elegimos una de las ecuaciones iniciales para averiguar el valor de la otra incógnita

2x+3y= 163x –2y=11

2(2x+3y=16)……….4x+6y= 323(3x -2y= 11)…….....9x-6y= 33 13x = 65 ;

x=65/13= 5

2.5 + 3y=16; 10+ 3y=16; 3y=16-10;3y =6; y=6/3=2 x= 5; y=2

IGUALACIÓNDespejamos aquella incógnita que queremos eliminar en ambas ecuaciones; igualamos y despejamos.

5x+y=8……………y=8-5x2x-y=-1……………y=2x+1

8-5x=2x+1 8-1=2x+5x; 7=7x; x=1y=8-5x; y=8-5; y=3

SUSTITUCIÓNDespejamos la incógnita a eliminar en una

x + y=8 ……………..x=8-y2x+3y=20…………2(8-y) + 3y=20

de las dos ecuaciones y sustituimos la expresión algebraica obtenida en la otra. 16-2y+3y=20; -2y+3y=20-16

y=4x=8-y x=8-4 x=4

OTROS SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMA EJEMPLOSISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOSe resuelven por reducción

x2 + y2 = 26x2 -2y2 = 232(x2 + y2 = 26)…………2x2+2y2=521(x2 -2y2 = 23)……… x 2 -2y 2 = 23 3x2 =75

x2=77/3 x2=25 x=52 + y2 = 26 ; 25 + y2= 26; y2=26-25;y2=1; y=

SISTEMAS DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y UNA DE SEGUNDO GRADOSe resuelven por sustitución despejando siempre la incógnita en la ecuación de primer grado y sustituyendo en la segunda.Conviene recordar el desarrollo de las igualdades notables.

x + y= 3…………… x=3-yx2 + y2=5 ………………(3-y)2+y2=5 9-6y+y2+y2=5 2y2-6y +4=0 y2-3y+2=0Resolviendo la ecuación de segundo grado queda: y1=2 e y2=1Por lo que al ser x=3-y x1=1 x2=2

IMPORTANTE: Una vez hemos resuelto una ecuación o sistema, por cualquier método, debemos comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación original

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO ALGEBRAICO

MÉTODO EJEMPLOConsiste en expresar las condiciones del problema mediante una ecuación o sistema. Para ello elegimos la incógnita adecuada y utilizamos el lenguaje algebraico para obtener una ecuación y resolverla.

Las edades de dos hermanos suman 30 años.Dentro de seis años el pequeño tendrá la edad que tiene ahora el mayor ¿Cuántos años tiene cada uno?x……….Edad del menory………..Edad del mayor.

Los dos suman 30 años: x+y=30Dentro de seis años el pequeño tendrá la edad que ahora tiene el mayor: x+6=y Nos queda un sistema que podemos resolver por sustitución:x+x+6=30; 2x=30-6; 2x=24; x=24/2=12 y=12+6=18x=12 años y=18 años.

EJERCICIOS

Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas

1. x+3=2x-5

2.

3. 3(x-2)=4x-5(x+8)

4. 5(x+ )=

5. 3x2=2(11x+8)

6. x2-2x=0

7. 5x2-720=0

8. x3+x2-4x-4=0

9. x4-2x2+1=0

10. x+5y=152x+y=12

11. x2-y2=33x2+2y2=14

12. 4x2= y2 +112x-y=1

Resuelve los siguientes problemas

1. Una finca de 10000m2 mide el cuádruple de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

2. En un concurso se destina al segundo premio la tercera parte que al primero y al tercer premio la quinta parte de la suma de los dos anteriores. Si se disponen de 3000 euros para repartir ¿Cuánto corresponde a cada categoría?

3. En un triángulo isósceles, la base mide 2 cm menos que la altura y la superficie es de 60cm2. Calcula sus dimensiones.

4. La suma de dos números es 16 y la diferencia entre sus cuadrados es 64. Averigua el valor de dichos números.