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horacio-santander
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De la función de demanda individual a la función de demanda del mercado
Pensemos en una economía con n id i 1consumidores i = 1, … ,n
La demanda marshalliana del i-ésimoconsumidor por el bien j es,
),,( 21* iij mppxj
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l d
Si todos los consumidores son tomadores de
la función de demanda del mercadoSi todos los consumidores son tomadores de precios, entonces la demanda del mercado
l bi jpor el bien j es
)()( *1 ∑n
iinX
Si todos los consumidores son idénticos
.),,(),,,,(1
211
21 ∑=
=i
iij
nj mppxmmppX L
Si todos los consumidores son idénticos, entonces
),,(),,( 21*
21 mppxnMppX jj ×=donde M = nm
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l dla función de demanda del mercado
La curva de demanda del mercado es la “suma horizontal” de las curvas de demandasuma horizontal de las curvas de demandaindividualesPor ejemplo, supongamos que sólo se tienendos consumidores en la economía; i = A,B
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l dla función de demanda del mercado
p1 p1p1 p1
p1’ p1’p1” p1”
20 15Ax *1
Bx *1
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l d
p1 p1
la función de demanda del mercadop1 p1
p1’ p1’p1” p1”
p120 15Ax*
1Bx*
1
p1’
BA xx 1*1 +
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l d
p1 p1
la función de demanda del mercadop1 p1
p1’ p1’p1” p1”
p120 15Ax*
1Bx*
1
p1’p ”p1
BA xx 1*1 +
De la función de demanda individual a l f ió d d d d l d
p1 p1
la función de demanda del mercadop1 p1
p1’ p1’p1” p1”
p120 15Ax*
1Bx*
1
p1’p ”
La “suma horizontal”de las curvas de
35
p1 demanda de A y B
35 BA xx 1*1 +
Elasticidades
Mide la “sensibilidad” de una variable en relación a otrarelación a otraLa elasticidad de la variable x en relación a la variable y es,
.%%
,x
yx ∆∆
=ε%, yyx ∆
Aplicaciones de la ElasticidadpLos economistas emplean la elasticidadLos economistas emplean la elasticidadcomo medida de la sensibilidad de
L tid d d d d d l bi iLa cantidad demandada del bien irespecto a su precio (elasticidad precio de demanda)La demanda del bien i en relación alLa demanda del bien i en relación al precio del bien j (elasticidad precio
d d d d )cruzada de demanda)
Aplicaciones de la Elasticidadp
La demanda por el bien i en relación al ingreso (elasticidad ingreso de demanda)ingreso (elasticidad ingreso de demanda)
La cantidad ofrecida del bien i respecto a su precio (elasticidad precio de oferta)su p ec o (e ast c dad p ec o de o e ta)
Aplicaciones de la Elasticidadp
La cantidad ofrecida del bien i en relación al salario (elasticidad de ofertarelación al salario (elasticidad de ofertaen relación al salario)
Y muchas, muchas otras situacionesY muchas, muchas otras situaciones
Elasticidad precio de demandap
Pregunta: ¿Por qué no empleamos la pendiente de la curva de demanda comopendiente de la curva de demanda comomedida de la sensibilidad de la cantidaddemandada frente a n cambio en el precio?demandada frente a un cambio en el precio?
Elasticidad precio de demandap1 p1
p
10 10Pendiente= - 2
Pendiente= - 0.2
p1 p1
X1*5 50 X1
*X1
¿en cuál de estos casos la cantidad demandada es
X1
más sensible al cambio en el precio?
Elasticidad precio de demandap1 p1
decenas unidadesp
10 10
p1 p1Pendiente= - 2
Pendiente= - 0.2
5 50X1* X1
*X1 X1
Elasticidad precio de demandap1 p1
decenas unidadesp
10 10
p1 p1Pendiente= - 2
Pendiente= - 0.2
5 50X1* X1
*X1 X1
La cantidad demandada es igual de sensible en los dos casos
Elasticidad precio de demandap
Respuesta: debido a que el valor de la sensibilidad depende de las unidades desensibilidad, depende de las unidades de medida empleadas
Elasticidad precio de demandap
*% ∆ 1, %
%1
*1 p
xpx ∆
∆=ε
E t l did d l ibilid d
1, %11 ppx ∆
En este caso la medida de la sensibilidad es unatasa de porcentajes y no depende de las unidadesde medida
Elasticidad Arco y elasticidad puntoy p
La elasticidad precio “promedio” de demanda del bien i sobre un intervalo de precios se conoce como elasticidad arco, y generalmente se estima mediante la fórmulagdel punto medioLa elasticidad estimada para un único valorLa elasticidad estimada para un único valor del precio se conoce como elasticidad punto
Elasticidad Arco de la Demanda
pi Cú l l l i id dpi ¿Cúal es la elasticidadprecio “promedio” de demanda
l i l d ipi’
pi’+h para el intervalo de precioscentrado en pi’?pi
pi’-h
Xi*Xi
Elasticidad Arco de la Demanda
pipi
pi’pi’+h
iX∆% *pipi’-h i
ipX pii ∆=
%,*ε
Xi*"'iX"X XiiXiX2100% hp ×=∆
'100%
ii pp ×=∆
Elasticidad Arco de la Demanda
pipi
pi’pi’+h
iX∆% *pipi’-h i
ipX pii ∆=
%,*ε
Xi*"'iX"iX Xi
2100% hp ×=∆ )"'"(100% * ii XXX −×=∆
iXiX
'100%
ii pp ×=∆
2/)"'"(100%
iii XXX
+×=∆
Elasticidad Arco de la Demanda2100% ihp ×=∆
i
ipX p
Xii ∆
∆=
%% *
,*ε'
100%i
i pp ×∆
ip∆%
2/)"'"()"'"(100% *
ii
iii XX
XXX+−
×=∆2/)( ii XX +
Elasticidad Arco de la Demanda
*
2100% ihp ×=∆
ipX p
Xii ∆
∆=
%% *
,*ε'
100%i
i pp∆
ip∆%
2/)"'"()"'"(100% * ii
i XXXXX
+−
×=∆2/)( ii XX +
.2
)"'"(2/)"'"(
'%% *
* hXX
XXpX iiii
pX
−×=
∆∆
=ε
Esta es la elasticidad arco para el intervalo de precios
22/)"'"(%, hXXp iiipX ii +∆
p pcentrado en pi’
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi¿Cuál es la elasticidad preciode demanda dentro de un
pi’pi’+h de demanda dentro de un
muy pequeño intervalode precios centrado en p ’?pi
pi’-hde precios centrado en pi ?
Xi*"'iX"iX XiiXiX)"'"('% *
*
XXpX iiii −×=
∆=ε .
22/)"'"(%,* hXXp iiipX ii
×+∆
ε
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi
pi’pi’+h h → 0,
pipi’-h
Xi*"'iX"iX XiiXiX
)"'"('% * XXpX iiii −×
∆ε .2
)(2/)"'"(%,* hXX
pp
ii
ii
i
i
ipX ii
×+
=∆
=ε
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi
pi’pi’+h h → 0,
pipi’-h
Xi*"'iX"iX XiiXiX
)"'"('% * XXpX −∆ .2
)(2/)"'"(%
%,* h
XXXXp
pX ii
ii
i
i
ipX ii
×+
=∆∆
=ε
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi
pi’pi’+h h → 0,
pipi’-h
Xi*'iX XiiX
)"'"('% * XXX∆ .2
)"'"(2/)"'"(
'%%
,* hXX
XXp
pX ii
ii
i
i
ipX ii
−×
+=
∆∆
=ε
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi
pi’h → 0,
ii dXp *'pi
i
i
i
ipX dp
dXXp
ii , '* ×→ε
Xi*'X XiiX
)"'"('% * XXpX −∆ .2
)(2/)"'"(%
%,* h
XXXXp
pX ii
ii
i
i
ipX ii
×+
=∆∆
=ε
Elasticidad Precio de la Demanda
pipi
dXp *'pi’ i
i
i
ipX dp
dXXp
ii , '* ×=εpi
Esta es la elasticidad en el punto)''( X
Xi*'X
).','( ii pX
XiiX
Elasticidad Precio de la Demandaii dXp *
×=ε
P j l bXii
pX dpXii *,* ×=ε
Por ejemplo, supongamos que pi = a - bXi. Xi = (a-pi)/b y
Entonces,1*dXi −= .bdpi
=
1 pp .1/)(,*
iipX pa
pbbpa
pii −
−=
−×
−=ε
/)( ii pabbpa
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi* ip−=*εpi
a
pi ii
pX paii −,*ε
2/ 12/
2/2
−=−
−=⇒=aaaap ε
0=ε
Xi*a/b
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi* ipX
p−=*εpi
a
pi ii
pX paii −,
2/
/2
12/
2/2
−=−
−=⇒=aa
aap ε
a/2 1−=ε
0=εXi*a/ba/2b
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi*i
pX pap
ii−=,*εpi
a
pi ii
pX paii −,
a
/2
−∞=−
−=⇒=aa
aap ε
a/2 1−=ε
0=εXi*a/ba/2b
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi*i
pX
pii
−=*εpi
a
pi ii
pX paii −,
a−∞=ε
/2
−∞=−
−=⇒=aa
aap ε
a/2 1−=ε
0=ε
Xi*a/ba/2b
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi* iX
p−=*εpi
a
pi ii
pX paii −,
−∞=ε
/2
elástico∞ε
a/2inelástico
1−=ε
0=ε
Xi*a/ba/2b
Elasticidad Precio de la Demanda
p pi = a - bXi*i
pX
p−=*εpi
a
pi ii
pX paii −,
−∞=ε
/2 ( l ti id d it i )elástico
a/2 (elasticidad unitaria)inelástico
1−=ε
inelástico0=ε
Xi*a/ba/2b
Elasticidad Precio de la Demandaii dXp *
×=εPor ejemplo ii
pX dpXii *,* ×=ε
Entonces 1*
−= ai
i paddX.* a
ii kpX =i
i
pdp
a
.1,* a
ppapka
kpp
a
aia
iai
pX ii==×= −ε
, pkp iipii
Elasticidad Precio de la Demandapi 2* a kkkX −
22
ii
aii pkpkpX ===
a lo largo de todala curva de demanda
2−=εla curva de demanda
Xi*
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
Si al subir el precio se provoca unadisminución pequeña en la cantidaddisminución pequeña en la cantidaddemandada, entonces el ingreso del
endedor se incrementavendedor se incrementaCuando la demanda es inelástica el ingresogde los vendedores se incrementa cuando el precio se incrementaprecio se incrementa
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
Si al subir el precio se provoca una grandisminución en la cantidad demandadadisminución en la cantidad demandada, entonces el ingreso de los vendedores se red cereduceCuando la demanda es elástica el ingreso de glos vendedores cae cuando el precio se incrementaincrementa
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
El ingreso de los vendedores es:
).()( * pXppI ×= ).()( pXppI ×
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
dXdI *
dpdXppX
dpdI *
* )( +=
Entonces
dpdp
EntoncesdXppXdR *
* )( +=dp
ppXdp
)( +=
dX *
+=
dpdX
pXppX
*
**
)(1)(
dppX )(
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
[ ].1)(* ε+= pX
[ ]ε+= 1)(* pXdpdR
si entoncesdp
1−=ε 0=dR
Y un cambio en el ingreso no altera los
ε 0=dp
Y un cambio en el ingreso no altera los ingresos de los vendedores
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
si 1−=ε 0=ddI
Y un cambio en el ingreso no altera losdp
Y un cambio en el ingreso no altera los ingresos de los vendedores
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
Pero si 01 ≤<− ε 0>dpdI
Un incremento en el precio aumenta los ingresos
dpUn incremento en el precio aumenta los ingresosde los vendedores
El ingreso y la elasticidad precio de d ddemanda
dIY si 1−<ε 0<
dpdI
Y un incremento en el precio reduce los ingresos
dp
Y un incremento en el precio reduce los ingresosde los vendedores
Ingreso Marginal y Elasticidad Precio d D dde Demanda
El ingreso marginal es la tasa a la cualcambia el ingreso del vendedor con elcambia el ingreso del vendedor con el número de unidades vendidas
)()( qdIIM .)()(dqqqIMg =
Ingreso Marginal y Elasticidad Precio d D d
( ) l f ió i d d d
de Demandap(q) es la función inversa de demanda
)()( qqpqI ×= )()(
)()()()( qpqdqqdp
dqqdIqIMg +==
dqdq
)( d .)()(
1)(
+=
dqqdp
qpqqp
)( dqqp
Ingreso Marginal y Elasticidad Precio d D dde Demanda
)( d .)()(
1)()(
+=
dqqdp
qpqqpqIMg
)( dqqp
dyqp
dpdq×=εqdp
1 .11)()(
+=
εqpqIMg
Ingreso Marginal y Elasticidad Precio d D dde Demanda
1
+=
ε11)()( qpqIMg
Nos dice que la tasa la cual cambia el ingreso del vendedor con el número deunidades que vende dependen de la q psensibilidad de la cantidad demandada al precio es decir depende de la elasticidadprecio, es decir depende de la elasticidadprecio de demanda
Ingreso Marginal y ElasticidadPrecio de Demanda
+=
11)()( qpqIMg +ε
1)()( qpqIMg
Si 1−=ε .0)( =qIMgSiSi
01 ≤<− ε .0)( <qIMg1<ε 0)(IMSi 1−<ε .0)( >qIMg
Ingreso Marginal y Elasticidad Preciod D d
p Veamos el caso de una función inversa de
de Demanda
a
p Veamos el caso de una función inversa de demanda lineal
bqaqp −=)(
a/b qa/2b a/b qa/2bbqaqIMg 2)( −=