Conceptos básicos para el manejo de datos

1) Enumeración de los datos

Cuando se manejan tablas de datos es muy útil conocer la posición que ocupan los datos dentro de la tabla, pues muchas veces se necesitan hacer operaciones matemáticas con una parte de los datos.

Para numerar los datos se utiliza el subíndice i. Supongamos que X es la variable que representa el valor de los datos, entonces el dato número uno será X1, que se lee “X sub uno” el dato numero dos será X2, que se lee X sub dos” y así el dato número i será Xi, y se leerá “X sub i”.

Ejemplo 1

Sea la siguiente tabla con los valores de la variable X

podemos numerar los datos colocando una fila adicional con la variable i que indica el número o posición del dato dentro de la tabla, así:

Entonces: X1 = 2; X2 = 4; X3 = 5; X4 = 9

2) Notación de suma con sigma (∑)

En la mayoría de los procedimientos estadísticos es necesario obtener la suma de un conjunto de números.

La letra griega ∑ (sigma) se utiliza para denotar la suma de un conjunto de números.

X 2 4 5 9

i 1 2 3 4X 2 4 5 9

Ejemplo 2.

Suponga que la semana pasada usted almorzó tres días en un restaurant de menú popular y el gasto fue:

día día 1 día 2 día 3Gasto (Bs) 17 20 25

El gasto total se puede representar utilizando la letra sigma así:

∑Gasto = 17 + 20 + 25 = 62 Bs

Ejemplo 3.

Para la siguiente tabla de datos:

Xi 8 2 3 6 7 8 9 4 5 4 1

Se pide:

1.1) Numerar los datos. ¿Cuántos datos hay?

1.2) Calcular

Solución:

1.1) Numeración de los datos (i)

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Xi 8 2 3 6 7 8 9 4 5 4 1

En total hay 11 datos, el número de datos se suele representar por la letra n, así:

n=11

1.2) Cálculo de las sumatorias

Ejercicio propuesto (e1):

Para el siguiente conjunto de datos:

X 7 4 9 10 3 2 1 5

se pide:

e1.1) Numerar los datos. Si n representa el número de datos cuál es el valor de n?

e1.2) Indicar los valores de:

a) X3 c) X7 e) X8

b) X5 d) X1 f) X10

e1.3) Calcular:

Ejercicio propuesto (e2):

Para el siguiente conjunto de datos, que representan las notas de algunos estudiantes de matemáticas:

X 20 13 09 04 15 17 13

se pide:

e2.1) Numerar los datos. Si n representa el número de estudiantes, cuál es el valor de n?

e2.2) Indicar los valores de:

a)X1 b) X5 c) X2 d) X7

e2.3) Si usted es el estudiante número 6 de la lista, ¿cuál es su nota?

e2.4) Calcular:

2.2) Sustracción de variables

En muchas oportunidades es necesario calcular la suma total de una serie de restas, por ejemplo suponga que usted tiene las siguientes ingresos y gastos diarios durante 5 días:

Ingreso/día

(Bs)

Gasto/día

(Bs)

100 50

120 70

90 60

140 50

80 60

y está interesado en conocer su saldo diario y el saldo al final de los 5 días de trabajo. Entonces, añadimos una columna a la tabla para calcular el saldo diario, que será la resta del ingreso menos el gasto de cada día, así:

Ingreso/día

(Bs)

Gasto/día

(Bs)

Saldo diario

(ingreso – gasto)

(Bs)

100 50 50

120 70 50

90 60 30

140 50 90

80 60 20

Ahora para conocer el saldo total de los 5 días de trabajo sumamos los valores de la columna saldo diario y colocamos el total en una nueva fila de la tabla, así:

Ingreso/día

(Bs)

Gasto/día

(Bs)

Saldo diario

(ingreso – gasto)

(Bs)

100 50 50

120 70 50

90 60 30

140 50 90

80 60 20

Total 240

Para comodidad en la nomenclatura, vamos a decir que la variable X representa el ingreso diario, y la variable Y el gasto diario, así:

X = ingreso diario Y = gasto diario

Si queremos expresar el cálculo para el saldo total utilizando la nomenclatura con sigma, tenemos:

que es equivalente a calcular las sumas totales de cada variable y luego restar estos totales, así:

En la tabla podemos expresar estos totales en la última fila:

Xi

Ingreso/día

(Bs)

Yi

Gasto/día

(Bs)

(Xi – Yi)

(ingreso – gasto)

Saldo diario (Bs)

100 50 50

120 70 50

90 60 30

140 50 90

80 60 20

∑ Xi ∑ Yi ∑(Xi-Yi)

530 290 240

Ejemplo 4.

Para el siguiente grupo de datos calcular: ∑ X2

Xi

5

7

2

3

Solución: Añadimos una nueva columna a la tabla con los valores respectivos de (Xi)2

Xi (Xi)2

5 25

7 49

2 4

3 9

y calculamos: 87

si queremos, añadimos el resultado a la tabla:

Xi (Xi)2

5 25

7 49

2 4

3 9

Total 87

Ejercicio propuesto (e3):

Para los valores de X y Y dados en la tabla se pide calcular:

a) ∑ (Xi – Yi)

b) ∑ (Xi – Yi)2

Xi Yi

2 4

6 3

9 5

Nota: Al restar un número de otro menor que él, el signo del resultado es negativo, por ejemplo: 5 – 8 = -3

4 8

Ejercicio propuesto (e4):

Dado los datos de la tabla

Y1510591420617

Se pide:

a) Numerar los datos (i)b) ∑Y e) ∑(Y-12)

c) ∑Y2 f) ∑(Y-12)2

d) (∑Y)/n g) ∑(Y-12)2/(n-1)

i Y Y2 (Y-12) (Y-12)2

1 15 225 3 92 10 100 -2 43 5 25 -7 49

4 9 81 -3 95 14 196 2 46 20 400 8 647 6 36 -6 368 17 289 5 25

Solución:

b) ∑Y = 96

c) ∑Y2 =1.352

d) (∑Y)/n= 12

e) ∑(Y-12)= 0

f) ∑(Y-12)2 = 200 g) ∑(Y-12)2/(n-1) =28,57

Ejercicio propuesto (e5):

Dado los datos de la tabla

fi Xi3 105 119 1510 192 211 2630 102

se pide:

a) Numerar los datos (i)

b) ∑X d) ∑fiXi

c) ∑fi d) ∑fiXi2

i fi Xi fiXi fi(Xi)2

1 3 10 30 3002 5 11 55 6053 9 15 135 20254 10 19 190 36105 2 21 42 8826 1 26 26 676

Total 30 102 478 8.098

Solución:

b) ∑Xi =102

c) ∑fi = 30

d) ∑fiXi = 478

e) ∑fiXi2 = 8.098