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fr 9.

:t) \ Dificultades, errores, 1 conflictos y 0 bstaculos 11 l\

l' f! l' 9.1. Il'.'TRODUCCION

'f;.

l'1vmerosos estudios realizados durante los ultirnos anos (BROL:5SEAU. CAR~ TER, HART, BROW:". BELL...) conflrmannuestra cxcericncia de todcs losdias:!Cera

'oL de la lentitud en !J. Jdquisicion v dominio ,'c. r ,-:)r;,··~tQ ce ilU:r.erc decimal. tf, Son rnuchcs I~ dificultades que los nines cxperimenrao. desce e! memento ell

Que tienen la prirnera informacion de la existcccia de estos nuevcs numeros h:lmr· ,", Que son capaces de reconocerlos en un buen nurncrc de situaciones. urilizarles ck r; forma correcta. operar con ellos. cornprcncer ;1I significado e in!~-;rJrlc:s ell SllS

",. esquernas cognosciiivos personales. ~::tITH) /!lie~·:.'.~ n:;,,~ ...'ros. que incluven a los eme­.~,~ ros -ya conocidcs-« pero que ticnen algunas ;:,ropi~daiies distintas, ' .& II tiernpo necesario para realizar este camino cue ','J del primer ccruacto con tcs f nurnercs decimates hasta el dominio de los rnisrncs. cuece exrencerse dcsdc las:( echo 0 nueve aries hasta los tree: 0 catorce. sin -11,;'; sc pueca asegurar que .1 esu , edad estan resueltas todas I~ dificultades que esre aprendizaje ..laruca, los ':-'udics

de C.~R.?~~TER I:"..-\.E.P.. 19311 nos revelan cue auncue las respues.as ce lcs JluQ­1. nos e,~pc:.,ment3c'~n un progreso del :0 ·~o erure los rrece y los ciccis.e:e anos (r~ ~ pecto de los resultados obtenidos a 10; rrecc aries). ~J: algunas :::t;cuhades qw:

persisten hasta los diccisiete a:ios_J

I los aspectos del concepto de decimal que provocan mayor difici.ltad los COrIO­

cernes, en gran pane. a traves dd anclisis de las rcspuestas que los alurnnos da.o;a f

los problemas que les planrearnos 0 alas situaciones que resuelven. Perc analizarbs 1 producciones de los alurnnos en tareas relatives al concepto de decimal es un ti'3lR­:I jo delicado para el maestro. Exige haber profundizado previamente en el procesodt

elaboracion ce dicho concepto. en la rnanera de aprender de los alernnos y. sobr!it todo, haber construido para si rnismo un esquema que le perrnita no solamcnlr ~ detectar las dificultades' que revelan I~ respuestas de los alurnnos sino. princip». mente. diagnosticar sus causas v elabor:J.r nuevas estr:ltegi~ did:ictic:1S que ~~ quen en el alumno 1.1 progresio~ en 1.1 comprensi6n del concepto. aJ mismo tiempe Que 1.1 correccion material de esOs signos de incomprensi6n que son los et1'OI8

repetidos y persistenteS. . . , EL interes de este capitulo se justilica por 1.1 necesidad que tiene r} maestro ck con6Ctr cuiles son los aspectos del concepto de decimal que of=n una ~ resistenci.a a su adquisicion por parte de los ninos. Conviene. ademis. precisar ..

\ "in

- .... ---~.

<, .~

que entendemos par error, dificultad. obstaculo 0 confiieto y el significado que cada If: . «Nopuedo poner el U!10 en.1a primera casillaporque habria 10, ni en la segunda ' uno de estes aspectos tiene en su relacion con el aprendizaje. \,. por la misma razon, luego 10 pongo en la tercera.» - ,

En cada memento de una accion didlietica es convenienteque el maestro conoz­ca que es 10que sabe el alumno -para poder apoyarse en ello con el fin de provo­ear el progreso en el conocimiento- y cualesson los «conocirnientoss que, aunque j, sean falsos e incornpletos, merecen ser tenidos en cuenta en la ensenanza, Por eso podemos preguntarnos: i.Que nos ensenan los errores? i.Esos errores son siempre cosas que hay que evitar? 0 por el contrario, i.son indices reveladores de algo que j{nos permita decidir 10 que varnos a ensenar? En todo case debernos interpretarlos antes de decidir 10que.\'amos 01 ensenar. 9 9.::!. ERRORES \1..\5 FRECliE~l£S REL.\ClO~}.I)0.S cor--; EL M­

CO:,\C£PTO DE :"C\IERO DECI:\lAI~ CO;\, so ESCRITCRA Y CON Sl'S OPERACIO?,ES

Pucdc 5C: de gran imcres detcnernos en observer algunos de los principaies errores que los 1!'Jr.Jnos ce Inensenar.za basira --"':y no solo e1l05- producen cuan­ tdo OpC:-J:; eX, numcros dcc.maies. Los herncs ciasificado en cuatro apartados que

IV

recogen ics :t~p~\,,::\.'! rr..::~ ~i£:nific411ivos ~ los que S~ rcficren los errores. En cada uno de los cases Cll,;:1::;l:i.C'S la prC~U:11a que se hizo a los alurnnos y retenernos algunas de las respuesu.s oJ'.e:l;das.

9.2.1. Encres relncion:ldos eon la leetura r escritur:l de los numeros: "alar de: posicion

' ­

u.j i,Cuai ce las :aimeros siguienles es 37 milesimas? 0.037: 0.37; 37; 37000. El S~ l>Q de :1inos de nueve aiios ~. el 40 % de t:-::ce responden 37 000 (CARP~

TER. 1SKI). Pa:c:cc que: una ~uena pane de los alumnos de esta..s edades interpr~ci":;

centts:r.!:!s ,omo e"tero~,. y piensan que parn qu~ haya milesimas tiene que habe:" " f tre~, :ems.

h) Si sc pide 01 los alum nos que cuenten por centesimas. es facil obtener la r respuesta siguic:nte: 14,08; 14.09: IS. .

c) BRO"";.J prop'Jso el ejercicio siguiente: En un campo de flitbol hay un conta­dor que c~e:nta las personas que van entrnndo. En un momento indica:

,.- , , I I I 1016Pi~'I~i

i

i.Cuanlo marcar:i cuando entre una persona mis~ Algunas de las respueStaS err6neas obtenida..s fueron:

CililiIiliJ :'[ilili]ill :CiliIiliGJ : acompanadas de las explicaciones siguientes:

d) Calcula mentalrnente 3104 menos doscientos, EI resultado erroneo puede ser 3003 acornpailado de la explicacion: «Como no puedo quitar dos cientos a uno. quito el ciento que me queda a 4.»

e) Seis decimas como decimal se escribe 0.6. i.Como escribestres centesimas? Algunasrespuestas erroneas obtenidas: 0.300: 3,00; 3,0; 3,100; 00,3: 0,3. Estes errores indican que el sistema de numeracion decimal no se ha instalado

convenienternente en los nines, quienes sistematicamente corneten estos errores: v estos resultados se repiten cuando se trata de la escritura de: nurneros decirnales rnenores que 1a unidad.

Puesto que la base de la escritura de numeros decimateses el sistema de nurnera­cion decimal, no puede esperarse que los nines comprendan 1:1 escritura de los decimales rnenores que la unidad rnientras no esteasegurado el dominio del sistema c. '''''71erao:ion decimal para la escritura de nurnercs enteros.

9,2.2. Errores relacionados ccn e\. cera

La urilizacion del cero forma parte' de mecanisincs "'~~ i..;,..::o:-,:.n dc distinta forma segun el coruexto en que aparece.

Ejcmpl» l. Ai;:Jrlc,s aiurnnos ignoran cl cero e interprc.an 0.036 como 3!i. ;;e" diendo 10. CS;:UClUr:l gio::::.l dd r.urncro y viendolo s610 cemo un nurnerc ~n;~f(::.

Ejempt» 1. :,27 ~ considcra distinto de 1.270.

9.2.3. Errores rrlacionados eon cl ordclI entre decimalcs

':'; Si se propene a los ninos que ordenen del mas pequeiio al mas grande los numeros siguientes: 4.5. 4.15. 4.05: la respuesta mas frecuente es 4,05 < -:.5 < 4,15: si sc les pre!;!.!n:a por quc:, diran que «el mas pequeno es el que tiene :.Ir. cero. ~ lu~g(l 5 ~ m;!s ~equ~:10 que 15". Los numeros decimales son intet;:'r;:tad(;~ como pares de emer.::s. y orJcnO!dos por criterios que en algunos casos puder. jar lugar 01 reSiJueSlllS conect:!s.

Segun 101 encue5:0! del l.~ R.P. 19ii (ER.\IEl.. !9S~) para el 37% de ah:r:;nos de CM, (nir,os de 10 a : I alios\. eI numero 3.~ cs inienor a 3.135.

b) i.Cual es el mayor de los numeros 0.09: 0.:85: 0.3: 0.18147 La respuesta mas frecuente es 0.1814. C) Intercalar ur, decimal entre OIros dos. . «Entre 1.23 y 1.24 no hay ningun numero. 1.24esel nzimcro 4ue'sigue a 1.23.»

9.:!.4. Errures reiacionlidos can las operaeiones

AI!1unas opernciones. con los resultados erroneos conespondientes. mere­cen una particular O!tcnci6n ;'Qr par:e del maes:ro, Conslderemos los ejerr.;Jios si­guientes:

i uJ 0.70 .;- 0.';0 .;- O.~O = 0.130: 17J .. 11.8 =38.11 bJ Hacer el r."mero 437.56 diez veces mayor. Respue5ta: 437.560

[ cJ 3.15 x 10 = 30. I50

, ..,I .'. 136

d) 3.15 x 10 = 3. I 50 c) 2.3 x 2.3 = ~.9

./) .l x 2.3 = 3.12 \ g) 2.12: 2 =1.6 \ II) A IJ pregurua, .:cu:il de los ;lJres de ope:;~uientes da la respuesta mayor? \ . \

8•.l x ~;B:-4

8 x O•.l: S:QA ..0.8 : O.~; O.S;O.~

Un buen nurnero de alurnnos de todas bs ~es justifica que multiplicar es hacer un mirnero rnds grande y dividir es haa:dDm3s,pequelio.

Estes resultados. tornados de diversos tr.IlJIjjjII citados en 101 bibliografia, los encontrarnos con rnucha frecuencia en nu~mnos 'de 5." y 6.0 de E.G.B. y nos revelo n como para estes alumnos las regZ"4IK siguen funcionando son las de los nurneros naturales. y que los numeres coo,_'5on' percibidos como pares de numeros naturales. Parece que los erroresque ~ los nines estan relacionados con una elena manera de comprender.

En este punto hernos presentado un cierta lI!il:ro de errores agrupados segun una clasificacicn prirnaria. ~Pueden agruparse ~dor de algunas ideas hornoge­neas y obiencr niveles, categonas..etc.? Este es diD. ce los trabajos de Bfl.Ow:-; que exponernos en cl puruo 9.3.

U. ACRl"P.·\R lOS ERRORES PAR.-\iilE:-<TIFIC.-\R ~IVELE~ DE COi\II'RENSION 1

Los errorcs y los resultados correctos ~.cn diversos tests escritos, segui­des de algunos cnrrcvistas, han llevado 31 equi.pDCS.~I.S. (B"ow;o.l. 1981) a deter­miner 6 nivclcs de: comprensi6n del tema: ciIIpr de posici6n y numeros deci­malcs>"

Se: e:sludio si los cscolares ing!eses de ana: :a:pce alios poseen el significado del valor posicional para los numeros enteoos y,JID los decimales. y si SJ.ben como funcionan y como se aplican en distir:t:lS ~ en las que intervienen. Los t6picos cubicrtos por los tuestion:lrics fueroa lClI..quientes (son los que figuran en la mayor parte: de: los curiiculos de ::SIc "",-eI): i

or

a) CormpondcnciJ enlre nomerc y lupr de posiCiit.

0) l.;u lIevadJ5 en la adicion. 10 en en hop- a,.,ivJknte a I siluado en cI lugar ;: ;.:'

inmcdialJmenle J la izquierdJ. c) Ef compli"ado y enojose as~o de b ~:zDa. que es el in\'erso ge b). I en un h'

r:i

IUgJres cqui..lenle a 10 dcllupr sit::ado jllmcdm:a- ala derccha. d) Otr.l.S relJciones enlre lupr= incluycndo b~cion de dos ",j~eros. ,0) CorrespondenciJ visual con fnccioncs..Ion&imd'y.\'ll::l como se US:ln par.lleer =Ias. j) Repr=nucioncs y aproximacioncs. g) Resultado de muhiplicar por un mcltiplo de _;IOtencia de 10.

. h) Result:ldo de dividir por un multiplo de lUllI Jll*lcia de 10. I i) La noo6n de que multiplic:u por un ncmcroilirior a I es hacer m:l.s pequeno el (

numero. mientras que dividirlo es haccrlo ~ v.mdc. r

138 (

iJ La naiuraleza infinita del cenjunto de los nurnercs reales, "\ 1.:) Conocimiemo del tipo de situaciones reales en las que se 'uS:ln nonnJlmenle los nume.

ros decimates.

Del resultado de los tests escritos se obtuvo un ccnjunto de cuestiones que perrnitieron identificar un grupo relativarnente homogeneo y de estegrope se obtu­vieron seis niveles, por un procedimiento que perrnite agrupar los alumnos segun eI nivel de facilidad que manifiestan en sus respuestas esctius. EI nivel de faeilidad 0

de dificultad de las preguntas se rnide -en este trabajo- por el porcentaje de respuestas correctas 0 incorrectas segun 13.S edades,

Los niveles octenidos fueron los siguientes:

• ;';h'el 1: valor posicional de nurneros enteros mayores que lOCO. Cuestiones upicas de esre nivel: Subraya el mayor de los nurneros 20100 y :0095: escribe

un nurnero entre ~.;r.0 v.l 2.Q9. ­• :'\ileJ 1: ,.!cc;r:1alc:s. decirnas, Cuestiones npicas en este nivel fueron sernejantes a las que presentamos en el parra­

to II.S. .

Es,e es el cuccrado unidad, el area sornbreada es: Dar ta respeesta ccmo un decimal.

I I I .---, s5 ~Figura 9.1

Este ncrr:ec:) cs: Subraya e! numero mayor emre\~.06 y .l.5. • :"h"d J: .:!cc:rn:liL""S. centesirnas, milesirnas, Cuestiones npicas de esre nivel fueron: Se:s .:e~i:...us .:c:r.e dccim:ll c:s 0.6. .:Como >oCr..lS C"'..-:-ibir tc::s cem"sim:l5~. cs..-rib<: un

nu:n~:o ~~lre n.":'1 y :).~:.

lit •l7 I' I.

J

Figur:l 9.1 c:::::J 2"9

Este nU'":lem <5:

• :'\;'el~: Je~:rr.:llc:s. rei:lcion con los lupres a i:l izq\'ierd:l. Cueslioncs liprc:l5 de ::ste nivel fue~on: i Subr::~':l :1 nurr:ero '":l:is proximo a 0.13 entre los nUr:1eros: 0,1; 10; 0.2; 10; O.O!: 2.

MultipJ:Q. par diez 's.1 J.

FlEUr:> 9.3 .---<­

-. ·~~I· ........:-.-....

Este numero es: ~ ..-,Ji~5~~~~~~• Niyel 5: r,;iaciones mas complej:u de lug.:ll".

\~~~*f~i~"c.,<~ ~~.;:~~- ~~~~;~~

( ( l ( \ .cia de mo<lelos implicilOS err6neos. Estos errores nv ap".~.aSJ ,)s~, n,,--.<Ie

l

Caestioncs tipicas de este nivel fueron: Cumo dl!cimas es 10'rnismo que... centesirnas, Dhide 3.7 per una cenlesima. En 5214. el 2 representa 2 cieruos. En 521400. el 2 represents 2... • l'("IYel 6: decimales como resultado de una division. Nurnero infinite de decimales. CIIIeSliones upicas de este nivel fueron: DiYide per 20; 24_ ; 16... : ;j::uaJ es eI nurnero' que te parece mas proximode 59 -s- 190? ~n:tutos numeros pueden escribirse entre 0.41 y 0,42?

BROWN y su equipo llegan con esre estudio a lasconclusiones siguientes:

• EI 50 % de los a\umnos de quince alios tiene'un conocimierno razonable. .JIIID no complete, de los decimates, rnientras que el 50 % restante iiene lagunas ~bles. 10 q~e no significa que eSlOS alumnos no sean capaces de utilizer ~mente los nurneros decimates en siiuaciones concretes y farniliares. como _.Ia medida y las rnonedas.

• Se han encontrado tudes los niveles de cornprensicn en cada uno de los ~ de 12. 13. 14 Y.15anos, aunque en proporciones difcrentcs de :l:10 en ano.

• Existe una p]rticular clifkultad en la comprension d~ ia c~nt~$im:l. y el:o !es 3IK:c rc:nsar <;ue muchos alumn:.ls necesilan mode\o~ "isu:.il:s de dC:cimas. centesi­:DilI5..etl:... para comprenderlas cn un senlido correClO. Iv quc IIc";, a los auhlres de ~ t:abajo a proponer eI uso de los bloque, mul:iDasc d<: DICSr.S. 0 se:1cill:.mcnte JI'Id cuadriculado.

Esposible que los maestros d<: los alumnos de cstas edades ;,iense:n quc los nirios .. adquirido el dominio de estas ideas a los once alios. 10que no p::rece ser el caso -m. Lasconclusiones de este trabajo destacan la ~e=e;id:ld que ti~ne el maestro *1Iacer un diagnostico esmerado de-ccrno progre~, cac:;, individuo en las cucstio­lISque recubrcn el :opico an:.li7.ado y en Olras simi!ares.

He:nos vislO un:l mane:-d dc lItiliz:lr los err,:.rc! que pro.:~:!c: pnr 'Jr.:l enumer:l­~ de temas caracteristicos del domini:> es.:olJr d~ un .:cr.ccj)<O. en ~:Jcs:ro caso. 1& nlimeros decimales: elabora un cues:il.lr.::rio quc TK·r.;lile (kcrc::,r ·;i grade de iDIidad 0 de diticultad de cada uno dc Ius ::spectus que CC'I:lpr~:JJe c! conceplo: J:aSigue con ello llamar la alcncion del maeslro sobre ia necesidad d.: diagnoslic:ar ~o de conocimie:1to que tiene cada al..lonno y 1J man.:r.! d<: prol1n:S2.r que ie es ~ y propone, finalrnente. que se ul:licen malc:ia:es que permitan «concreti­.. Ia decima. la centc:sim3,etc.

K c:SON lmLES CIERTOS ERRORES EN LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE?

Kl. .:Que puedcn revelarnos derlos errores?

los CJTores que no se deben a distracciones, sino que se reproducen sistematica­~ en situaciones similares. son muy inleresantes porque nos revelan la existen-

MI

estan relacionados con una cierta mane6 de conocet que permiB: deteciar las resis­tencias a la evolucion de un concepto. esio es. los obst3culos epi5lernol6gicos. Es de desear que los modelos implicilOS erroneos so: hagan e:l.plicilOS produciendo errores Que. en el decir de ASS~ KRYGOWSKA. podemos caliliear de «IToresbendilos». porque nos ponen sobre la pista de malentendidos que se instalm Yse consolidan si

;' no se muestr:lO e:-;plicitamente. Los componamientos del alumno pueden ser co­( rrectos. a vecesdurante mucho tiempo. aunque est':n sosteoidaspor rnodclos Ialsos.

Si el maestro no conace los rnodelcs err6neos de los alumnos -10 que no han comprendido 0 han comprendido mal- dificilmenle podr.i erear las condicion.:s necesarias para provocar el progreso Yla reorganizaci6n de las ideas.

Los. conocimien,oS insuficientes deben cunsiderarse como una eiapa neccsaria para eJ progreso del conocimienlO. y el que aparezcan es cit ~-.l:l utiliJad para el maeslro. Esto no quiere decir Que c;lebamC5 pro\"ocar It'S errOJa. pero si las siiuacio­nes que puedan poner de m,,:11IieSIC la sio;nilic~ion que: 105 nines dan a 10 que

dicen. escriben 0 hacen respecto de una ide:l mateln:itica.La utilidad que se reconoc:: :It error permite distinguir d IDOdclo de iXdagogia.

EI error. por ejemplo. no tiene una !\:ncion ni un lugar en gg p...oC:1gogi:. empiris:a en la que e! maestro no anaTi;:a los e:Tores sino que. si Csw5 se prcduccn, vuelve :: rcp~lir la Iec.:i~r.. hast~ que !'c ~prcTda .... Y no a?a:rezc.m ~ errores. En las situa­cioncs .:i1l!:'Cl:C.lS InciciC'r.:!:C~, :; :li-..r.'.~.() que eomete un e:1',x es s:mcionadt' por cl mae:~lro: p~ro ii no cc:: 10 G\le hacc. no puce:: leila IJrt3 acti!ud rene,i"a

1p:c·\(jesob!"e !'u :1ct;\i'::.lj ~ cS!" 1.: ,,'~dllCC :! .:I:ltor:. r h;ibitos I;uc Ii:lIL-ion:ln como rellejos ,0ndici'JOndus. ~n 1o, que 11<' il:l~ 1"'5:biEd:.:J ,~e iiluar d ::;:11"- Sin embarg". pucJ~ conscl;uirse que d error ju~gu~ un ~apei i;o::uortantc.si :<:Ie b:1ct funcionar como ,I mOlor de la a.:cion y de: b relle","n (BROl;S~E"'L·. I li1l3}. en sitBaciunes apropiad;;..i. en las que el alumno que ha f~caS:ldv ~n ia resoluci6n de un problema. ::,ucde analiz:lr su fraC'Jso -en u:rminos de error-. r uede vohn 3 ronsidemr su ~s~rate· gi:: -'oh·icn':o a IJ ac~ion pa~a ve~ r'.)r qu': nO Ie l1a gijdc bi.:n-; ~. pueocrectifi~ar SU modo de h;1eer -:1! Iinai dc un rroc.:su de 3C::l~::or. a la siluacion cn

el que ha sid,' prolagonista de ,-..: apr::rldizajc.

9.-\.:!. £ns~ii:lnz.:J por el melodo "confliclO»

Algunos autorcs proponen d empieo sislematico de .m rnio:jue "cor,f1ictO» en la ense:'lanza. (0nsiste en ;:ro\"OCJr en ios alumnos rei!C1--~ Ydebates sobre sus prcpios errores 0 lagunas de .:on,·c:mic:-.H.' '~n un ter.u ~:iso. ;\1i,LCOL:·l Sw.\~; (! 98i) ha cOmparado. por ejernplo. la ensef::l.nza de! ,,3Ier ~:cionai decimal por un metodo «positivo» (Ia ionn:: :mdicional de pr~nw ias no;:;ur.e:;) con la ense· rianza por el melodo «confiicto',. L.1S lecciones por ~ ~undo metodo lienen

cuatro fases.

<I) Se da a los alum nos u:::1 !:l~ea ..)r.\! I.l es.:~t:l. Ii.;:! C::e5tiunes se han prepara· do cuid:ldosamente teniendo en cuent3 los errore; detcaados en t:n pre-lesl.)

b) Se \"uel-e a dar la misma larea. pero e:Sla vez tic:ndlqu~ re::..:i;:::da usando 31 menos una de las altemalivas que d maes:ro propone: poeejemplo la recla num':ri­

ca 0 la calculadora. loll

•

c, S~ provoca una retkti611 y ua debate ,:n el q ue se .dan cuenta ce 10 made­Ct:~;0 .:!~ algunos re\;:C~SI:lS '! r:onoccn IJ necesidad devnuevos metodos 0 de nuevcs concepios. \

;:"';5 ~~::lICS suelen pro"cx:::n-= cando a un nino los ejercicios resueltos por •C'::1. con errores que ~I no h:lam~~:do.

,f) En IJ cuarta f:lS<: se ~ el COriC~PIO correcto. utilizandolo adecuada-

r.:c~:.:.

.-'.1 'inJ!. los alurnnos propo=t ::;.::cic:os resueltos por un alurnno irnaginario '! e::p0sticJn :110\ mismos los escres.

Lcs autcrcs de este IrJb:ljo.n:ll:ln que haciendo utilizado ~n los dos rnetodos c:: ~~Sd:lnlJ -positi"o '! pormnt1icto- los mismos rnateriales (fichas de ejerci­cics. calculadora. ~IC.l. d m~ contlicto fue mas significative para corregir 1:lS i~:2m;;rension~s '! los errores, Ycnncluyen que la ensenanza por conflicto perrnite U~:: .nas profunda comprensi6llror.:e::llUJI. aunque ~.tig~ rnucho mas esfuerzo per p:.-::: del maestro,

9.:. ~SO"," LOS ERRORfS CSrc.-\:\IE:"TEi:"DICES DE L~ APRE:'\DIZ.·\JE E'CO:'I?LETO 0 DE L:'\ FR.-\C.-I.SO?: .-I.LGL·:-'·.-\S REFLEDO:"ES DlD.·\CnC\s SO!3RE LAS C\LSAS DE LOSHl.RORES

• COf!(lc:,-n;r:nlO inSJJfici~nu d~" u;f..:.s Jt fa tT:Jmaa6Jn Jic:moll

\0 p~1!"::ce :i~ceSJ.rio insisfr m:!s sobr~ :.3 nc=c.:si~:!d J~ ~Or.1in:lr !J csc:itu~:l c~:::71:1 ;;jr~ los num::ros ~ef::S :l b u:l:~;!d. ~r.:es de pce.:r ~'I~nJ~rla Je fC:":":".J ::)mprensi\'J:ll:l ~scrim:l dc num.:ro; i:li::r.o~ J I.

• C()tTocimi~nto tuficic:ltt d~ _tCS:lr..:J...·s. Pf!rO fl.'siJctnCt oJl camhia ell.! (s:aruJ

Es d o:~so d~ los ninos que in::::-;::r~l:ln cor.~~tJmenl~ 1:15 .:k;:nJs. ccnl~nas y t:~:d:lJ~s c~ miI.p.:fo nO:lsOcim 1:lS ~scrilUrJS J~ d~cim:l. c:nl~simJ. ~lc .. :ll mismo ~~:;'~::r!1J. ?"o Ikpn J ver q~.lr-t:! d.: e'lCl,;~r un mismo mc':do de repreSenl:l­ jC:C:1 (10 unidJdes haecn un:a dec::::l ~s 10 mismo qu~ dia d~cim:lS hJcen unJ l:~.:~:lJl. Pero ~st:l ide:l un -=i11:l ~s muv k:1l:l ~n su dJbor-cicin cotanOScili":l. Sc~:~ ocur.ir qu.: las ide:lS lnanendlJs no 'son i:ls prim~r~s ~n s~r comp-r:ndid:lS y ~.: :~!:e ~:(lr-ii:lrnos Que 105tBnoS n~cesite,n mucho ti~mpo P:lrJ h:!c~r sUYJ eSI:l f jc~: que. S:lbemos. por ott3ptte. tuvo un:l larg:l g~n~sis historic:l. :--<'1 debemos I ol·..idJr que solo 3. pallir dd .tiglo XVI fOTTn:l p:lne del b:lg:lje de los m;ltem:iticos. t ~~~riJmos aprender los mamros y todos los que de alguna m:lnera somos respon­s:~!~s de 10 que exigimos a·lauincs, que no gJnamos nada inlentJnCo Jceterar los ccnocimientos. Si estos nc cs:in preparados. solo conseguiremos mecJnismos va­c-::!s de significacion y adema -y C5tO es muy lriste- les priv:lmos de la aJegr:":l ~t:e proporcion:l el dc:sc~brir'1 comprender. ,

• La jol'mll ~If 9W 16 "'pra,nrado ,10! decimates a los ninos , EI origen de :llgum:s errores hay que busc:lrl~ la introduccion que se ha

hecho de los decirualls. Por ejernplo. si IJ situacion en la que ha aparecido por prirnera vez el nlimclJdecimal es para expresar el nurnero de habitantes de una ciudad, tamanda ea-uuidad el milo el millen, el nurnero decimal es percibido por los ninos comoa!Uxuposicicin de dos numeros enteros, separados por una coma. '! 10 mismo 1i11: han introducido por la rnedida, En ambos C:lSOS basta carnbiar Ia unidad ~que desaparezca la coma, que solo habia service para disfra­zar un nurnero entera,Ejemplo: 1.13 m = 113 cm.

Esta pres.::luci6n xenlU:l la idea de que J todo natural -que expresa una medida-« se pcede l5IIci:1r un nurnero decimal con un carnbio de unidad adecua­do. ~. que :l teCo d:::i::l:!J se puede ascciar un nurnero natural, Pero deja en la sornbra las difcenC:!!r Que exisren entre la topologia discrete de los naturales y la tcpologia deasa, ::III:tI;ue no continua. de los decirnales.

EI :nis;:lo jncllrlc;:t puede presentarse cuz ndo se han introducido los nurneros cecirnatescome el ~:.:lJo de enurnerar una coleccicn de cubitos, barras, places '! cU!:G ce )IXlkubl.ll5..:lCr.1Jndo cemo unidad la olaca.

Ej:::::;:!.x S=::~ ~ :JrT:lS. 2 placas se :~:ric·ir.j 2.46 qce ::5 10 mismo 4u~ 2~6 si se :cr.::! ':::r.1u::~ d cubito (como he:7lcs visto en d pumo :.2).

~o es.!~ :.t:'-:l.ii.:!!:;:;': eSI:l imJ';~:I ce;e'::rn~l !:~ ... ~ JI nino J d:::i(qu~ ~.':7 ~s d n'i~~r\:; q'-=c= iig'~~ ~_~.:..~. ;::orqu~ ~JS~:l :l:i~<.!ir 'In c~bito. y quc= per t:lni.:;. ~;.tre 2.~6

:~. :.~~ :"'lC :~.:!Y :1i~~ n~rr:~ro. Y !~.-::=i~ll ~! :10m~:"o 2.~6 S~ ...=~j ~:5~:nro del nl:7.~~;> : ..:.~,}.

;::l r:s:!;::,::l.. 'oClsl:!.s :·Or.T1JS ce ir.::cdu·::r Ics ~um~ros decirn.lks .:;t;:::l0 p.:r­mi~:1:! S~ :J~_~on~\) num~ros. nU~\·I}S. :on ~!~~r.JS prcpic=oJcc=s ~::Stint~ de los n:!:::r:lks. ~c~~:: ilCSio:l:!r obst:icu!cs s:.J;:km~r. tJr.os qu~ ~ JliJde:l J :es obst.:icu. Ics ~;:istcr.1()lC!-~::s~:~dos JI concepo.

• T(Qr~tr.aJ in:plici,..,pw 1t fabrican los al:JmnOl

~It:c~:ls v= 1m~::t:lOS se bbric~:1 rq!:ls d~ Jc=ici:l qu~ ks p.:lT.1iten cblc:ler rcsult.ldos cornc:~hs:.l d punto de "ue ~St:!s regl:lS puecen no ~r conocid.1s por d ;n:l~s;ro si no Ik¥::: ;>!JnteJr !:ls oc:!siones ~n bs q:J~ b regia no sir.':: '! conduc:: 'JI ~rror. Por ~;:Ig:Jn:lS regbs implicitJs sobre d modo d~ ord~nJr los d::ci­m:ll~s pu~d~n ser...&mcnor d num~ro qu~ li~ne mis cifrJS despues de la com:!.)' ESI:l ;~J que .:s I!iis3 pued~ producir buenos rpult:ldos en al~unos C:lScs: 12.0': < 12.~: perv£:::::.u:l l:l hOrJ do: ord~n.lr 12.~ 15 Y 12.~; 0 la que hemos visto funcion:lf ~n \i)s am::s sobre e1 ord~n: se JplicJ eI :ll'gorilmo de ordenacicin ce los enleros a los mimea.qlle hJy Jntes de b comJ y :l los que hay despu.:s de l:l coma, 10 que d:lr.i 4.15 > c..s porque 15 es m:lyor que 4. '

Es sumame::te icponante conocer que: signific:lcion dan los nilios J 1:15 op.:rJ. ciones que hx:n. ,.~er que 1:lS definicjon~s 0 teoremas que se han fabricado se hag:m explicilO5 ~>lo(kr acepl:lrlos si son v:ilidos. 0 rech:l23rlos en C:lSO conlrJ­rio.

'. .I

1~)

143

iJ • AplicociontS 0 s;ruocioaa prtiaict:5. reales y mtis 0 menes [amiliares parD. los ;,iiia -un estado de equilibrio a otto a tfaves de unit etapa de transicion durante la cual \

exisie un desequilibrio. Este se produce porque las relaciones que se tenian comoOtra causa de los errores puede ser 12 ausericia de situaciones signiflcativasen las validas en una etapa anterior entran en ccntradiccion con otras nuevas 0 con una

Que el nino encuerure los mimeros decimates. Fuera de las medidas y la ;;:zmaia J nueva reorganizacion de las antiguas. La fase de conflicto se supera durante un -vesta solo en algunos paises-e- no existen situacicnes familiares a los niic5 que periodo de reorganizacion y de coordinacion que desernboca en un nuevo estado de den 'sentido a algunas de las operaciones con decimales. equilibrio. en un conocirniento mas amplio Que el anterior. EI nuevo conocimienro

Hemos pedido a 500 alurnnos de 5.° '! 6.° de E.G.B. que enunciaran, pzej(:m­ perrnite integrar el antiguo y comprenderlo rnejor, porque se le ha situado en una p13. un problema al que correspondiera la operacion 0.75 : 5. estructura mas rica Que la precedente,

EI analisis de las respuestas nos ha llevado a las conclusiones siguiernec En el diccionario leernos Que obstaculo es algo que hace dificilo irnposible el paso Y. en seruido Iigurado. «irnpedimento 6 dificultad Que se interpone a la conse­

II Todos los problemas Que «inveruan» los !'dlos son de repartir alSG..1D que cucion de un fin». La palabra obsiaculo parece ser una dificullad mayor. En didac­revela 1:15 situaciones escolares Que aprendieron en 3.· cit E.G.B. con nume:llIUCIU­ rica exisic una nocion de obstaculo Que se debe a BACHELARD. quien en su libro La rales, \ fonrkuion de l'Esprit Sdelllifiqu"e (VRI:'oI. 1975) plantea el conocirniento cicntifico

• Un gran nurncrc de a'umnos repanc cucrcas, bornbones. alarnbres, ;:scks en terrninos de oostaculos. «Los obsiaculos -dice- apareccn en el :lCIO mismo de 'I... ;cenlimos~ Aparecen 0.75 trczos. 0.75 pasieies. O.751:m de bornbones.; cenccer. C07:10 una nccesidad funcional de lernitud 'I de: confusion .» B'CHELARD

...Algunos alurnnos hacen sencillame nie desaoarecer la COma y divide.:5 e::­ introduce 1a nocion de obstaculo en la adquisicion de los conocimientos de la Iisica:' Ire 5. posteriorrncrue, los obsiaculos han sido objeto de diversos esiudios rnuv intere­

santes y la nocion ha pasado a ser de irnportancia especial en didactica de'1a mate­Prohaclernentc :~S SiL:~ciui.c.s cue dan ;;;~if:~~d~ a los decimates y c cic':u...' rnatica.

uP=~:l:~onc:; (on ·::;os S':Jr: 50;,> siiuacioues ~.·:":.i::~es. perc esias dcbcn ad~:! Para BAC'IiELARD en fisica y para BROL:SSEAl-' (1976) en matcrr.aticas. lin cbs­!1"-5 operacioncs. L'JS r:.':dl:~:lc~ uhe):idos ncs rt·\'~I:lr. que :l0 sc n::. hccho d~l c: 1:1 d~\'isi6n CO~) n:!~\::r;.,'\~ n~tu":d~s :l b. C:~\·isI6:; CI~r. ios r.c~~:"os C~~il~:!Its..Cwm0

~;,) ~~ h~ c:-~~do l:n r.c,;:'·C sir.n~::r:id\'). n("l ~s ~j~ t:·::r.::!f.:Jr q'..:t: S~ prodcz'c::-. ~tC:s f ~:Tore~. O~j~· n:obk;::~ qc: ~~ r!:i.i"'llC'O :.I k>5 i7'J;$Ti1(~S :di.!n~n(lS rue: «T~ I!oa c~erd<! d~ !j.::G~ r.: d< ;:;:;~. D::~·~.:: ~~c.:: cc,,':;..:..< de O.f m de 1:;r50. ~Cu:i;lI3C'Uer­n.--: r • rl!~:i('l ha~er:)' t

1:::1 ~:;.5 'itl de ie; r.i::,:; OJn IJna re~i-'uesl~ ::r.;;'n~a. Todos los errores IIIa5lran crea incomprc:~s~~i" ~tj,:;:\:tJ de 1~ ~~=-:itur~~ C:~:::n:ilil:\j de en nu~~ro. t

EI :23.7(~ 0;: r.~;i p-'::i' ~';::p~~~:~ IOu d~spu':~ d: ~Jbe~ il:::r.Oi:l division delUOO m J ~nlre O.~ 7:1. L:· ::~:~ :':'Jl:S:':! c::J des::('.r:::.:,:Ir, absoh::: tnlre los numcas y (;1

ie:llic:Jd, L:>~ r,;:'l()~ C.l:~ j:!n -;S~J :-::~;)l.!eSl:! :-.~c-::~ U~~: ~::~~I:!C"i6r.. d:!n un r:sduoo. ~ p:~~ SJr. irl\:J~'::::s 'j.~ co~;nr:!r:c con la .eali-::JC. 10 Q<:e k~ permilina rooqir eI e~c~(CESTESO. I~S?L I

1

9.6. DIFlCCLT.:,O. CO:-':FL!CfO. OcST..i,,(TLO, ERROR'

:.In:! cii:c:Jll::d ::s :!gr: .:;\;:: :::-,~:oe ejecu::!. bic;; " cmendcr prenlo una m53.. LIs di:lcullad:s pue:.1er. ;:;rx::der ce :;i','crsa.s C:IU5:lS. rel:!cion:ldc.s con el conOl:;110 que se aprende. con el rr.::l.:>dr. :;c~ ·.l:iii::.J ei m:!:s:ro. co:: la preparacio:l al11ll:riGr del ::lum:lo 0 con su propia disposicior. par::: aprend::r.

Confiielo signillca c:h~'que u o;>osicion:mre forma<·contradictono:s de i;a~rprr­tar una misma situacio:l. Se habla de confliclo COpOSCilivo c.lando dos idas con­lra:1ir.:orio:s cho~n y pr:-:-.:ccn un deseqci!ibrio q'.l~ ;;uc:deprovocar duda!,produ­cir errores.

La nocion de conniclo ~ognoscitivo ~ace referencia a l:l' leona de PI.-.G!T sobrt: la «equilibraci6n m::.yorante,>. Para PlACET. el conocin:iemo progres:J pllSIIIdo de

I:iculo es un conocimler.lo quc es v:iliJo en un delerm;~ado contexle. QU~ cema ::11 puede durar muche liempoJ mienlras no aparezCl un cenniclo.Esic lIeZ2 cu::ndo aparece una si:uaci'lr: que p:lrece semeja:lle a aQuc!bs e:1 las Que f:.lncionaha el conceplo. pero qce :lplic:ir.dolo a elias conduce al er.o~. EI conodr:-.ie:"le se ;evel:! insuficienlc rrenle a la nue\':l siluacion y para resolveda es precisv reeSln;Clurar eI ron(l('imi~nlo anlerior: «se conoce contra un conocimie:lto ar:l.:rior. deslru:-e:ldo conocimienlos mal hechos 0 hechos de Olra forma. incomplclOs 0 mal :ldqui­ridos».

Los obs::iculos oponen ur.a resis:encia al calOlbic> nc:eS:li'io para :!cepCl~ un modelo m~s amplio. : esta resiS!enCla puede explicar !: kr,lilud de la e"olucion d~

alcunos conceplOS e i:ldusc> su retroceso. - Por ejemplo. c~ cI COr.jl::lIO de nume~os na:ur..ics. e! pro;;ucl0 de do~ numeros

es mayor que cadJ uno de lo~ faclores. y si di\'idimos un nl~~:rc ::. por b. siendo a mayor que b. cl cocienle es siempre un mimero m:!.s pe~ueno.

Pues bien. aU:lQue los ninos h:lyan aprendido bien es:::s dos regJ:!~ dt!a aritme:i­C:l de los n.::ura!es. ',=neOnliJr:in un ObSI:iculo a la hor.! de enco~:rar multlplic:.cio­nes y divisiones con numeros inferiores a I::. ur:ida.::'

• Obsrticulo: tp;sumoldgi,os

Se lIaman obsl:iculos epislemologicos a eSla.~ concepciones que son conslilu:i':as del conocimi::nto. 'Comn lales dependen unicamenle del cOl'lcepto mismo. SJll in­herenles a la nocion :l que s.:: refieren y. por ronsiguiemc. cuaiQuicra Que desee adquirir e--..a necicn d~ber:i superar e50s obslaculos. So es posible prescindir de los ebs::iculos epislemologicos. pueslo Que super.1r1os forma pane del conocimienlo. Por o:ra pane. los obslacu!v~ epislemel6sicos se caraetc:rizan porQue ;on reproduci­hies (aparenn en siluaciones semej:lnl'CS). son resislenles al cambio y sc oponen •

· .;I ~­\ ..

144

tanto mas al carnbio cuanto mas solido haya side el aprendizaje anterior. Es impor­tame para el maestro saber Que el conocirniento anterior no sera solo un apoyo a la hera de insular un nuevo conocirniento. sino tambien un obstaculo Que hay Que superar. "­

Los obstaculos episternologicos se encuentran. ademas, en el desarrollo historico , de los conceptos y su huella existe en los modelos espontaneos de los alurnnos. EI concepto de obstaculo no puede confundirse con el de dificultad. pues para Que

'podamos hablar de obstaculo -en el sentido de BROliSSEAl:- deben darse las cuatro condiciones Que citarnos;

• Primera. Debe_~.r ,;n conocirniento, bien Que sea falso 0 incompleto. Ello perrnite reformular la diflculud"de'-queSe irate en terminos de conocimiento y no de ausencia de conocirniento.

• Segunda. EI conocirniento-obstaculo tiene su dominio de valid~i~ efica­cia: en unas situaciones resulta pertinerne yaaJpudo. perc en otras resulta ralso y"conduce al error. ---- - ", ,--- ­

-"-ereera: Es r~e"_al establecirniento de un nuevo concepro 0 al carnbio de la condicion del concepto anriguo en uno nuevo.

• Cuarta. No es fruto de un error pasajero Que bastaria corrccir 0 Je una ignorancia Quese'podii:i. col~a~:-ni !amPoco es una Ialta de aptitud. P\JI·.k resultar de circunsiancias culturales. soc.ales 0 econornicas: perc cstas CJUS:JS <c actualizan en ideas Queduran una vez Que las eJU5."lS dcsaparecen, Son estes los ob\::ic:;los Que inieresan. en cuanto Que el concc.rnicnto-cbstaculo forma parte ;i<:l ~':l;-e~. es::i preserue en los modelos implicitos Je los alumnos y debe rccicir :J1l tr.uamicruo adecuado Quep= por el reconoccr!c1s para poder rech:L:arlos (B;(,)L"s:::,·,l,. I'IS3).

Adem:is de los obSI:iculos de origen e;:liSlemologico. BROl:SSE.~13 ha ntuJiJdo otros:

Obst:iculos de origen olllogenico: los Que provienen de :imitac:"nes ' n:::;rolisio­10gicas. enlre otr:ls) del sujeto en un momento dJdo de su des;lIT;.Jilo mC:ll:l1.

Obst:iculos de origen did:iclico: IUS que dependen de b elcc::;c)o ~.: un i)roye::to de sistema educJtivo. Refiricndose. en pJniculJr. a los ObSi:ic':Jlos '::J:i.:ticos rclati· vos a los numeros decimales. BROLSSEAl.' escribe:

La p,,-s'-lIla.-icir. aClual Jt: ;os "I.'rimall.'s "n 1.'1 ni,·t:! ,-1""1<'//:..,1 ,'S "I r(',t;liu:d" J,­una larga r"vl/lciJn "n '" I>l(;r.." d,-una "I""ciondiddclica h"dra ;rJr los ,·"c:d",O,-dis· las ." d,'sp/If!s ;Jvrla Cvm'en<'i,ill IsiJ(/limdvIlnawncepdcit: '1/11.' Sf! remVII/V V S;'-";II!: • I"nirndv en "/I"nlC S/I llliiidvJ. !w' d,-cimvi"s ibvn v s('rcnscricdvs a :"dv '" m/lll~lv Iv anlCs posible. ~vcicdvs c 'm sislc-ma d" m"didc r rr!t:ridvs a las I,;cr.lcas I)peralVrias de los en/eros. ASI: aun ho.\· dia. los dt:cimalt:s son para Ivs aiumnvs d,· E.G.B. .mICros naluralescon /In cambio de unidad. por lanlo. na/llrah's (con COrrlVI >' medidcs, ESla concepcion. ariadida a IIna mecani:acion del alumno. srrd un ojj~ldc/lld hasla la unil'ersidadpara IIna bller:a comprt:nsidn de los mimervs r"al"s.

~

Error se utiliza aQui en c:l ~ntido de concepto eQuivocado, de juicio fJlso, con­tnrio a la verdad. Los errores pueden producirse por ignorancia, por dudas. 0

simplememe por casualidad. La.s dificuludes. obst:l.culos y conOietos pueden tambien producir errores. Pero

no deben tratarse todos de la misma iJrma sin bUSCH las causas de donde proceden. No es 10 mismo un error producido por distraceion 0 inadvenencia Que un error producido por un obst:iculo bien ancterizado. B... L"'CHEFF (1981) propene Que se reserve la palabra error para su signirlC3do en maternaticas -diferencia entre el valor real y el valor aproximado de IIII:l mc:dida-. debido a Que el error asi eonside­rado es un objeto maternatico, sujdoa una definicion y a una leoria. En el caso Que nos ocupa, el mismo autor propane que'¥ hable de faltas como se hace con las faltas de onografia, de c:ilculo.de r:uonamiento. etc. Por otra pane. los psicclogos dir:in Que la palabra falta tiene una coonoucion moral 'f puede producir culpabili­dad entre los nines, Quizas 10 m:isimponante no SCJ IJ palabra Que utilizarnos para nornbrar los resultados ineXJC10S qDt producen con frecuencia los alumnos. sino la interpretacion que les dames y 50bre todo 1:1 utilidad Que pueden iener, como verernos mas adelante. S.:;uiremos Ibm:indolos errores, aunque sin confundirlos con otros significados Quecst3 p:Jbbr:Iliene en COnleXIOS diferentes.

9.7. IDE:"<TlFIC\C10:" DE LOS OBSTAcULOS EPISTDIOLOCICOS tx LOS Nt:\IEROS DECI;\IALES

BRrJLSSE .... L· propene que sc!up 1:1 disrincion de des graades g:,,~;:os de obstacu­los sucesivos:

I, E1 grupo J: los obsraculos ori;:::::!~C's por :J pcrsis.encia del ernplec de las ;;rq:iec!Jd::s ':' de !;:s rc;m:.~e:l::IC-:.:m-~ c~r::::I::c:lS ':e los numert:s r.a!ura!cs en cir­c~os::lDci~ en las que. sin :mbr;o. :::;:j'r:~uy ,;:1:0 Que se de:X:l rC::~JZ:lr.

J. E! £r'..!r.ll de los ,)bsI3C:Jlcs c:ig::l;t':.>s por I:l pcrsis;cncia ~cl cmpleo de las situJ~':ones pJnic:JlJres dife:t:nlcs -:uc ;.)n signos de conccpciones dislinlas. mien­tr;>.; 'l:le unJ horr.ogeneizaC:6n ~ ;><Js:blc y nccesaria.

Es;': segunGo FilPO JP:l~ como ur.J consc:::Iencia de los efectos del primero scr.r~ d Jpr~nJi:~j::.

En i~s nume~os nalurJlcs: W oo.::on.:sde mediuJ y enumcrJe:oo: de r:l.Zon y mul;i;Jlo: de mull:plic:Jcion y homotcc:J: de orde:l Ydifercncia: son mu: semejan­tes. se ::xplican mutuarnenle y se coocibcn en re!:!cion direCIJ con eSQuem:!s opera­torillS muy primili\·os. Para mcdir'_ por ejempl<l. b:lSIJ.cOntar: un produclO sc expre­sa por un cardinal Que reprC5C:Jla d Dumero de veeesque sc ha rC;:lClido un facior... «Comprenden. Querr:idecir «eonseJ'-:Jr .:sle parec:do". Por eso. para los alumnos (y a veccs p:lra los mJeSlfos). b pasislcncia de los conocimienlos de los numeros naturJles constitu~'e en si mism:lp3It:S de obst:iculos: !

• Reducir eI producto de Iosdmm:!Jcs «mecidas" a l~ multiplicJci6n de natu­\rales.

• Concreur 1:lS fraccidnescomo medidas y en pJnicul:!r como medidas enteras con una unidJd definida per el daIominador.

• Imerpretar el ~rden de losckcimalescon 1:lS ideas del orden de los naturales.

Exislen otros pares de ~ Que no' ciumos aQui. aunQue recogeremos todJ"ia alguna:: renexiones (bs iIk3s de es.e pumo forman pane de 'un aniculo de

,147 146

! '( l \ --(I

BROUSSEAU todavia no publicado) que nos parece pueden ayudar, a comprender los obsraculos que deben superarse para comprender los nurneros decirnales.

Cuanto mas nos aferrarnos a! modele de los naturales (ya sea por referencia al sistema decimal de rnedida, ya sea rnultipiicando iodos los nurneros per una poten­cia apropiada de 10, 0 10 que es 10 mismo eligiendo una unidad suficienrerneme pequena) mas se refuerza I:! confusion.

Y el asuruo se com plica. puesto que estes esfu,:rzos' por aferrarnos al rnodclo de los naturales no parece que sirvan para rnucho ya que una sencilla division por 3 nos hace apareccr una escritura decimal ilirnitada, un nurnero, evidenrerncme no decimal. del que s610 podrernos dar valores aproxirnados.

Los conccpios que permiien expiicar el caracter aproxirnado de los decirnaies respectc de los nurneros que sc necesitcn (para mecir. por cjcrnplo) tarnbicn uen­den a hacer icnorar las diferencias de naturalcza que e.\is;e~ entre los decimates \ los :1~:~r;,ks:-J partir de un cieno range sc puede «desprccian ei «error», rcdori­ckar. :'O;;t'::li:li'SC cur; unccierta precision. Para aproxirnar I:!S cscrituras decimalcs de cuelquier nurncro real nos comcmarnos con escrituras de diferemes longitudes fi:1i;as n0 ac,jl;!d::~ (Ie,s decimalcs). Pero. de hccho se conduce J los a:'Ul:1nCls n O:=!1c;:."n~IJr 'Jnicamc:rnc: escritu;:lS dccir;-.:lic:s d-: long.itud linitJ Jcct:lCJS. (;'0:" c:)cr:-.­;<0. :. 3. c ~ cif~~5 ~c:sj':u~s d~ !J CO~J~ :: in:!usC' con f;c=cuC=i"j~iJ hO"l('g~~C:.l5. ::-~

d::::r. i.:.:n::-~,t·_·) ':!.~:"'!l,)~ oe f0;-:1l:l :...In poc~ djr~~{"iil:.

Est:, c~"'~":;,~:~'r, i~.c~'·I1l::lt: :od~\!;J :":1;1:; I~s d:ficultJd~s de comorens:lJn c<: i~

rr,:.:~;:p:i(':,(".;'!~ :~IJ~ :Hli7:~n~:l. (j~' form;:! :;:';T'r:=·..istJ ~! nUr.lc=ro de cifrJs d~s~"Ii..!\"s ~:..'

I: com::.. in~i"s:' !:, s':r,c'~'b c;!cr..ciOn je coma, :os numeros:;e hac~ i:nposi;,!c: en Crec!u.

!cs .:!~C!:7::':~~·~ ~Vl"'; t:li1 n~rnej"Jbks come l05/~:::':i~rJks (no hJy m:is d~cim:.J.lcs C;ut:

:-::~ .. :".~::..'~~. ;:':"":"C' ~~!=- ~~, ~:~ ~Il,,=rjc ~r,"h:H" c•.,,,,:-I nrrlc:p nr.;in:lr;O

[)~: heche d~ r'1Ije~ siernpre in\erca!:l: dc:::rn:!ks entre d;:,s cccimaks dislir.w> sc ~sp~ra >,l,dcr jc,;,;;bir ::1 c'.)ntinuo p:ro es;o no es :lsi. ~os encon\rJtnOS ce:r. '1b· t::c'...t!c~ :i~Jc~~.:. ~! ;rl~·::1:to.

?Oi c;r: ;:.:n'::. :.1: d:ii,--ultJdt:s :J:!.r;,,;, :~:!t~~ eS~:lS cu~stior.es h~:: GCj:h:!O }~u':lbs ~n 1J cul~u~ q'..:~ rl;j,C~~ ~~'~L ~ntc exphc:ic:l..:'ncs d~;".1entJks m~c:str0s y J!~r;-:~H.1S \ u:.::· \':111 a i~irr~::..: J i:,,:; ;1;Ji.ur::!.ks...

9.S. PISf..i.S DE REFLEXrOi\

1. a~!CU~ ~r. li:'r;)~ d~ te~;o de la ~~\Cna!1zJ o,lisatNb -3c:~aks y ar.tig;JO~­r j'~ilr.i;:one~ y preser,laciones de los decir.1ales que pu~dan inducir a con~ide::lr lo~

ntimerc~ deCimJks como pares d~ ntim:ros nau:r..les scpar::ldosper una coma. 2. .:Cu:ik~ de los errores ;Jrescntado~ en este capitulo pueden al~bui~ ala ausen­

cia de conocimien:o de! sis:ema de nU[;l~r::lcion .dedmal .-ar::l 105 mjmeros enteros? 3. .:Cdles 50~ 10~ errores q.:e puden atribui~ a la forma de ~nscnar !os ntime­

ros d~clmaks7

... Bus:;ue en !i~ros de le~\;J de!iniciones de 1m decimale~ que de)en entender GU~

lo~ ntimeros enl~r05 nC' sen d~cimak..... 5. Comp:lOo,ndo diversas defl:licio1!b y lr::lu::;ientc de los deClmJles en libros d~

\e'to correspondient:s a ios anos 50. 60. i(l YSC. .:es ;>osiole obscrva: una progresion •

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haoia una preseruacion mas proxima al concepte maternaiico de decimal? O. per el contrario, siguen siendo los decimates de la practica, 105 decimates de Slevin. 105 que se e:'lsenan ~:i 13 escuela?

6. Eiabora ua cuestionario en el que intervengan las carac:eristicas principales de los nurneros decimates. Analiza las respuestas que dan alurnnos de 5.°. 6.° y 7.° de E.G.B. iCui1es son lcs errores que se corrigen de un .alia a otro? iCuaies son 105 que persisien?

7. .:IX que formas puede provocarse la aparicion de ~.odelos irnplicitos? .:Cues­tionarios? ~Enlre\·ist.."~5? ~Debates?,. .

8. .:Qu~ significado dan los nines de y. 6.°. i.O y 8.° a los nurneros decimales y a las operacicnes can nurneros decirnales?

9. .:Q~~ ir.teres didactico tiene el que los :::nos hagan rnuchas cuernas de dividir, con much:'.S (,,~i(.~ decirnales en e! dividendo y e.1 d di·..isor? ~Cual es d imercs de: ~us ::1is::4~~ ocersciones en b vida practica de: lcs ~h.~m:1CS~ ~~o !.cr:J rr.is eficaz ~. r.;:is iateresarue ::r:1t:'le:!;" r;:1 tiernpo en buscar suuaciones cue p::-:7i1it~:-, da: !.ign:li"::l~0 J

(5__'5 nurne-os y 3 las operaciones can ellos? 10.· Compare las des fO:"TnJS de urilizar et error ciucas en los pcr.ios 9.2.! \ 9.~ ~.

respecrivarnerue. .:Re\"eian las dos una misma cC'ncepcior, dd apre~diZ:lj:' ~O~c ci:"c. rc:nciJ esc:"I''::J! ::.,iSlC ::ntrt= dla.s ~n Cl:Jnto :! 1:1 rorm:. de' orgJniz:!r b situaC':\,"Ir: 0::= I~p:endizJj{: I

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