Numeros Reales

FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICAFUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA

LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL

1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS

• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....

• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....

• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b

• Decimales exactos: a,bc

• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....

• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....

• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios

• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales no periódicos

1.1 – Clasificación de los números reales

,...7,2, 3Π


1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

1.1 – Clasificación de los números reales


1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL

Se efectúa la división:

1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa

Natural 24

8 ⇒=

exacto Decimal 25,24

9 ⇒=

puro periódico Decimal 3,1...3333,13

4 ⇒≈=

mixto periódico Decimal 6̂1,1...16666,16

7 ⇒≈=


1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN

• Números decimales exactos


100

238N =

N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero

Simplificar la fracción, si es posible50

119N =

Despejar N100N = 238


Números decimales periódicos puros


99

236N =

N = 2,383838...

100N = 238,3838...

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo

Restarlos


236N =

Despejar N99N = 236


Números decimales periódicos mixtos


90

215N =

N = 2,3888...

10N = 23,888...

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con el mismo periodo.


215N =

Despejar N90N = 215

100N = 238,888... Restarlos


1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

1.3 – Números aproximados

Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas.

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.

Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.


1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO

1.3 – Números aproximados

Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.

El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición

Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas.

Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|

El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real

RealValor

absolutoError relativo Error =


1.4.1 – DEFINICIÓN

1.4 – Notación científica

Un número puesto en notación científica consta de:

• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).

• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.

• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.

Si n es positivo, el número N es “grande”.

Si n es negativo, el número N es “pequeño”.

n10x......bcd,aN =


1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA


• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).

• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:

• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:

baba 1010.10 += baba 1010:10 −=

( ) b.aba 1010 =


1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA


Parte decimal

Parte entera

Exponente de base 10

- Notación científica con 3 cifras significativas:

MODE + 8 + 3

- Quitar la notación científica

MODE + 9


1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD


Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos:

Giga Nano

Mega Micro

Kilo Mili

Hecto Centi

Deca Deci

910610

310210

110

910−

610−

310−

210−

110−


Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se pueden poner como cociente de dos números enteros:

1.5 – Números no racionales

irracional es 2perfecto cuadradoun es no p si ,irracional es p

ésima-n potencia una es no p si ,irracional es pn

irracional es πesirracionalson periódicos no decimales números Los

En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales.


El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de números reales y se designa por R

1.6 – Los números reales

Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.

1.6.1 - DEFINICIÓN

1.6.2 – LA RECTA REAL


1.7 – Representación de números sobre la recta real

1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS

1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS

0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1 –6

0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1 –6

2 2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4

2,692,65 2,66 2,682,67 2,72,61 2,62 2,63 2,64 2,6



1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS

O U

1 u. 1 u.1 u.

1 u.1 u.

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Se divide cada unidad en tantas partes como tenga el denominador y se toman tantas como tenga el numerador.



1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS

Se utiliza el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.

( ) 222112 += 2

2



1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS

0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1 –6

2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4 2

2,65 2,66 2,682,67 2,69 2,72,61 2,62 2,63 2,64 2,6


1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS

1.8 – Intervalos y semirrectas

• Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b}

a b

• Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b}

a b

Números comprendidos entre a y b

Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b


1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS


• [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b}

a b

• (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b}

a b

Números comprendidos entre a y b, incluido a

Números comprendidos entre a y b, incluido b


1.8.3 – SEMIRRECTAS


• (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a

a

• (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a

a

• (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a

a

• [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a

a


1.8.4 – Entornos

1.8 – Entornos

• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)

: Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)

• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}

)r,a(E −•

: Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r))r,a(E +•

a-r a+r

aa-r a+r

aa-r

a a+r


1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.

1.9 – Valor absoluto de un número real

<≥

=0 a si a-

0a si aa

1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.

{ }ba,baxbax

bax

bax

baxb|ax| +−∈⇒

−=+=

⇒

−=−=−

⇒=−

( )ba,baxbax

bax

bax

baxb|ax| +−∈⇒

−=+=

⇒

−=−=−

⇒<−

),ba[]ba,(xbax

bax

bax

baxb|ax| +∞+−−∞∈⇒

−=+=

⇒

−=−=−

⇒≥−


PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS

1.10 – Potencias

1a 0 =aa1 =

nmnm aa.a +=nmnm aa:a −=

( ) n.mnm aa =

nnn )b.a(b.a =( ) nnn b:ab:a =

a

1a 1 =−

n

n

a

1a =−

n

nnn

a

b

a

b

b

a =

=

−


1.11.1 – DEFINICIÓN

1.11 – Raíces

1.11.2 – PECULIARIDADES

impar. esn si existe sólo a 0 a Si

n. sea que cualquiera existe a 0 a Sin

n

⇒<⇒≥

1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES

n

1n aa = n

mn m aa =

na bb = ⇔ = a

radical radicando

Índicen


1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA

1.11 – Raíces

":"cuadradas Raíces

"x" :Potencias y

"x" :tecla la con Raíces y

"" o "x" Tecla xy

613,4164078 "" "180" "" 180 ⇒=⇒

1919y64 7.101,84467440 71,84467440 "" "64" "x" "2" 2 ⇒⇒=⇒

211,8461943 "" )"" "5" :"" "2" ("" "483" 483 483 5

25 2 ⇒=⇒⇒

93,22710880 """5""x" "350" 350350 y

1

5

15 ⇒=⇒=


1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1.12 – Propiedades y operaciones con raíces

( )n.mm n

n ppn

nn

n

nnn

nnp p

aa

aa

b

a

b

a

abb. a

r)simplifica puede (Se aa

=

=

=

==


1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES

1.12 – Propiedades y operaciones con raíces

Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)

Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)

Racionalizar : Quitar las raíces del denominador

• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador.

• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.


1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO

1.13 – Logaritmos

Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Pa xPlog x

a=⇔=

1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1aloga =01loga =

QlogPlog)Q.P(log aaa +=QlogPlog)Q/P(log aaa −=

Plog.n)P(log an

a =

alogPlog

Plogb

ba =


1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS

1.13 – Logaritmos

Logaritmo decimal o en base 10 :

PlogPlog10 =

Logaritmo neperiano o en base e :

PlnPloge =

Education

Numeros Reales