Nacrtna geometrijaNacrtna geometrija

Nacrtna geometrija

О- центар пројицирања

F- фронталница

Разликујемо:

косу паралелну пројекцију

нормалну или ортогоналну paralelnu пројекцију

Разлка између ових пројекција је само у углу који међусобно заклапају пројекциони зрак и пројекцијска

равнина.

Посебан облик ортогоналног пројицирања представља

котирана пројекцја.Ту се користи само једна пројекцијска

раван а уз пројекцију тачке у загради је уписана и кота

тачке.Највећу примену у нацртној геометрији и уопште

у техници има ортогонална пројекција.

Nacrtna geometrija

Хоризонталница

Фронталница

Пр

оф

ил

ни

ца

х

у

z

Обично се у нацртној геометрији користе три пројекцијске равнине које међусобно заклапају праве углове и које чине ортогонални пројекцијски триедар

Nacrtna geometrija

0

x

y

-y

-x

z

-z

октант x y z

II +x+y+z

IIII +x-y +z

IIIIII +x-y -z

IVIV +x+y-z

VV -x +y+z

VIVI -x -y +z

VIIVII -x -y -z

VIIIVIII -x +y -z

FFФРОНТАЛНИЦАФРОНТАЛНИЦА

HHХОРИЗОНТАЛНИЦАХОРИЗОНТАЛНИЦА

PPПРОФИЛНИЦАПРОФИЛНИЦА

VIIIVIII

IIII

IIIIII

VV

VIIVII

IVIV

II

VIVI

А

А'

А''А'''

H

F

P

x

y

z

x

z

y

Х - удаљеност тачке од профилнице

У - удаљеност тачке од фронталнице

Z - удаљеност тачке од хоризонталнице

Nacrtna geometrija

F'=x'O=z'

P'

y'

-y'

-x'

H"=x"O=y"

z"

-z"

-x"

-y'''O=x'''H'''=y'''

-z'''

z'''

P"

F'''

H

F

P

x'=x"= -Y'''

O=z'=y"=x'''

y'= -z"= -z'''

-y'=z"=z'''

-x'=-x"=y'''

Како се ортогонални пројекцијски триедар поставља на раван цртежа

на (H)

на(F)

на (P)

Тачка у општем положајуТачка у општем положајуТачка у општем положајуТачка у општем положају

Положај тачке је одређен ако су позната Положај тачке је одређен ако су позната растојања од пројекцијских равни.растојања од пројекцијских равни.

Прва пројекцијаПрва пројекција се налази на продору се налази на продору нормалног зрака кроз хоризонталницу.нормалног зрака кроз хоризонталницу.

Друга пројекцијаДруга пројекција се налази на продору се налази на продору нормалног зрака кроз фронталницу.нормалног зрака кроз фронталницу.

Трећа пројекцијаТрећа пројекција се налази на продору се налази на продору нормалног зрака кроз профилницу.нормалног зрака кроз профилницу.

А

А'

А''А'''

H

F

P

x

y

z

x

z

y

Х - удаљеност тачке од профилнице

У - удаљеност тачке од фронталнице

Z - удаљеност тачке од хоризонталнице

Х - удаљеност тачке од профилнице

У - удаљеност тачке од фронталнице

Z - удаљеност тачке од хоризонталнице

Nacrtna geometrija

0

ТачкаТачка у просторуу простору

x

y

z

FF

HH

PP

A (4; 3; 2)A (4; 3; 2) x y zx y z

A’ A’ (x;y)(x;y)

A’’’ A’’’ (y;z)(y;z)

A’’ A’’ (x;z)(x;z)

Ортогонални триедарОртогонални триедар

A’A’

A’’A’’

A’’’A’’’AA

Пример бр 1.Пример бр 1.

ТачкаТачка

x

z

HH

PP

y

y’’’

A (4; 3; 2)A (4; 3; 2) x y zx y z

A’ A’ (x;y)(x;y)

A’’’ A’’’ (y;z)(y;z)

A’’ A’’ (x;z)(x;z)

PP FF

HHA’A’

A’’A’’A’’’A’’’

Пример бр 2.Пример бр 2.

ТачкаТачка

x

y

z

-z

-x

N (4; -3; -1)N (4; -3; -1) x y zx y z

-y

N’’N’’

N’’’N’’’

N’N’

NN

N’ N’ (x;y)(x;y)

N’’’ N’’’ (y;z)(y;z)

N’’ N’’ (x;z)(x;z)

x

z

y

y'''

N’’’N’’’

ТачкаТачка

N’’N’’

N’N’Пример бр 2.Пример бр 2.

N (4; -3; -1)N (4; -3; -1) x y zx y z

N’ N’ (x;y)(x;y)

N’’’ N’’’ (y;z)(y;z)

N’’ N’’ (x;z)(x;z)

x

y

z

А=A"

A'

A'''

B'=B

B"

B'''

C'''=C

C'

C"

А=A"

A'

A'''

B'=B

B"B'''

C"C'''=C

C'

z

y

x

F

H

P

0

0

Тачка А лежи у фронталници А(4,0,3)

Тачка Б лежи у хоризонталници Б(2,1,0)

Тачка Ц лежи у профилници Ц(0,3,2)

х

у

z

0

A'

A"

A'''

Б'

Б"

Б''' B

A

H

FP

A'

A"A'''

Б'

Б"Б'''

0 x

y

z

y'''

A(10,10,40)Б(50,20,10)A(10,10,40)Б(50,20,10)Права је у простору одређена ако су познатте две њене тачкеПрава је у простору одређена ако су познатте две њене тачке

x

y

z

F

H

P

O A"=A

A'

A'''

B"=B

B'

B'''

d'

d"=dd'''

xB'

B"=BB'''

d"=d

A'

A"=AA'''

d'

d'''

z

y

Ако је права или дуж паралелна, управна или лежи у некој од пројекцијских равнина онда кажемо да је у специјалном положају.

А(2,0,2)

Б(5,0,4)

Y’’’

0

x

y

z

F

H

P

A'

A"A'''

A

o

B'

B"

B'''

B

C'

C"

C''' C

Геометријски лик у општем положајуГеометријски лик у општем положају

А(10,10,50)Б(30,30,10)Ц(50,20,20)А(10,10,50)Б(30,30,10)Ц(50,20,20)

x

z

y

y''' o

A'

A"A'''

B'

B"

B'''

C'

C"C'''

x

y

z

F

P

A'

Б'

Ц'

Ц"Б"A"Б'''Ц'''A'''

y

z

x

Ако је геометријски лик паралелан, лежи или је управан на неку од пројекцијских равнина онда кажемо да је у специјалном положају. Тада се геоматријски лик увек у једној од пројекција види у правој величини док се у остале две пројкције види као дуж.

Ако је геометријски лик паралелан, лежи или је управан на неку од пројекцијских равнина онда кажемо да је у специјалном положају. Тада се геоматријски лик увек у једној од пројекција види у правој величини док се у остале две пројкције види као дуж.

А' Ц'

Б'

A" Б" Ц"

Ц'''Б'''

A''' H

0

A(20,40,0)B(25,15,0)C(45,30,0)A(20,40,0)B(25,15,0)C(45,30,0)

0у'''

Геометријски лик у специјалном положајуГеометријски лик у специјалном положају

ПризмaПирамидaКупа(конус)

Ваљак (цилиндар)

Лопта

Геомеријска тела - пподелаГеомеријска тела - пподела

Рогљаста телаРогљаста тела Обла телаОбла тела

Ikosaedar

Dodekaedar

Heksaedar

OktaedarTetraedar

Пројекције геометријских тела (чије су базе паралелне са пројекцијском равнином)

Пројекције геометријских тела (чије су базе паралелне са пројекцијском равнином)

о

А(10,40,20)Б(30,10,20)Х=60мм

А(10,40,20)Б(30,10,20)Х=60мм

А’

А”

Б’

Б”Б’’’А’’’

х

у

z

Y’’’

Ц’

Д’

Ц”Ц’’’Д’’’ Д”

О’=В’

О”О’’’

В’’

Видљивост у другој пројекцијиВидљивост у другој пројекцији

Заклоњена тачкаЗаклоњена тачка

В’’’

Видљивост у трећој пројекцији

Видљивост у трећој пројекцији

Заклоњена тачкаЗаклоњена тачка

Права правилна четворострана пирамида

Права правилна четворострана пирамида

Пројекције обртног конуса(купе)Пројекције обртног конуса(купе)Нацртати пројекције обртног конуса чији је базис паралелан са профилницом. Центар круга базиса је О(20,30,20).Круг базиса тачком А додирује хоризонталницу. Висина конуса је х=60мм.

Нацртати пројекције обртног конуса чији је базис паралелан са профилницом. Центар круга базиса је О(20,30,20).Круг базиса тачком А додирује хоризонталницу. Висина конуса је х=60мм.

о

О’

О”О’’’

х

у

z

У’’’А’’’

Б’’’

Ц’’’

Д’’’

хоризонталница

1.про

Б’

Д’

Ц’=А’

2.про.

А’’

Д’’=Б’’

Ц’’

В’’’

В’

В’’