•INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA.

•ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Prof. Saúl QUISPE CHINO

UN PROBLEMA DE PESO SIN PESAS

• Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas en peso. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con sólo tres pesadas.

Definición de inecuación

Hay enunciados que se traducen mediante desigualdades. Las relaciones que se expresan mediante desigualdades se llaman inecuaciones y en ellas pueden aparecer una o más incógnitas.

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Hay enunciados que se traducen mediante desigualdades. Las relaciones que se expresan mediante desigualdades se llaman inecuaciones y en ellas pueden aparecer una o más incógnitas.

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades• Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número, la desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:

• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

Si: a < b a · c < b · c (si c > 0)

• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Si:   a < b    a · c > b · c (si c < 0)

Propiedades de las desigualdades

• Dados cuatro números reales a, b, c y d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de la ordenación con la suma, es decir: 

• Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:

• Si un número real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad cambia de sentido, es decir:

Resolver una inecuación

Resolver una inecuación significa hallar el conjunto de valores que la hacen verdadera. A este conjunto se lo llama conjunto solución o intervalo solución.

Es importante realizar la interpretación gráfica de las inecuaciones, para tener mayor claridad en la tendencia de las variables y las soluciones.

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de primer grado es una expresión de la forma:ax + b < 0; ax + b > 0;ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0;

Con a ≠ 0. a y b ∈ |R

Una inecuación de primer grado es una expresión de la forma:ax + b < 0; ax + b > 0;ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0;

Con a ≠ 0. a y b ∈ |R

Para resolver una inecuación lineal

con una incógnita, se procede a despejar ésta, teniendo en cuenta las

propiedades de las desigualdades.

Para resolver una inecuación lineal

con una incógnita, se procede a despejar ésta, teniendo en cuenta las

propiedades de las desigualdades.

Ejemplo:

3x-1x

43 5-x 3 +<Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de:

Solución:- Multiplicamos a la inecuación por 12: x449x 60-x 36 −+<

604 9x- 4x 36 +<+ x

06,23164 =<x

- Transponemos términos:

- Simplificamos términos semejantes:

de donde: x ∈ ]-∝; 2,06[

31 x < 64

- Dividimos entre 31:

Ejemplo:

Ejemplo:

INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA 

INCÓGNITA.

Una inecuación de segundo grado es una expresión de la

forma:ax2 + bx + c < 0;ax2 + bx + c > 0;ax2 + bx + c ≤ 0;ax2 + bx + c ≥ 0;

Con a ≠ 0, a, b y c ∈ |R

Una inecuación de segundo grado es una expresión de la

forma:ax2 + bx + c < 0;ax2 + bx + c > 0;ax2 + bx + c ≤ 0;ax2 + bx + c ≥ 0;

Con a ≠ 0, a, b y c ∈ |R

Para resolver una inecuación cuadrática:

Se calculan las soluciones de la

ecuación:ax2 + bx + c = 0.

x1 y x2Se determinan tres

intervalos en la recta real, a saber (-∝; x1);

(x1; x2) y (x2;+ ∝), Se comprueba

cuáles intervalos son solución de la

inecuación.

Para resolver una inecuación cuadrática:

Se calculan las soluciones de la

ecuación:ax2 + bx + c = 0.

x1 y x2Se determinan tres

intervalos en la recta real, a saber (-∝; x1);

(x1; x2) y (x2;+ ∝), Se comprueba

cuáles intervalos son solución de la

inecuación.

Ejemplo:Juanito multiplica un número dos veces para luego, al resultado obtenido, quitarle el triple de dicho número obteniendo siempre un valor superior a -2 y a veces igual a este valor. ¿Con qué números esta efectuando estas operaciones, Juanito?.

Ejemplo: (CONTINUACIÓN)

Interpretación bidimensional de la solución de una inecuación de segundo grado.

Para resolver e interpretar la solución de la inecuación: x2 – 3x + 2 ≥ 0, es preciso graficar en el plano cartesiano la ecuación: y = x 2 – 3x + 2 .

Entonces: el conjunto solución de “x” para los cuales “y” sea positiva es decir mayor que cero es la que está comprendida desde -1 para la izquierda, conjuntamente que desde 2 hacia la derecha.

] –∝; 1] [2; +∝[

ECUACIONES EXPONENCIALES.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la

incógnita aparece en el exponente.ax + k = 0

con a > 0; a ≠ 1 y k ∈ |R

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la

incógnita aparece en el exponente.ax + k = 0

con a > 0; a ≠ 1 y k ∈ |R

Para resolver ecuaciones

exponenciales vamos a tener en

cuenta las propiedades de las

potencias:

Para resolver ecuaciones

exponenciales vamos a tener en

cuenta las propiedades de las

potencias:

PROPIEDADES DE LAS POTENCIACIÓN

n ‐ mn

m

aa

a=

1‐ aa1=

n

n

n

ba

b

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

a0 = 1 a ≠ 0

a1 = a                  

am . an = am+n 

(am)n = am . n 

an . b n = (a . b) n

Ejemplo caso 01:

Solución:

Ejemplo caso 02:

Solución:

Ejemplo caso 03:

Solución:

ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base

para obtener el número.Logax = y ⇒ ay = x ,

∀ a > 0 y a ≠ 1

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base

para obtener el número.Logax = y ⇒ ay = x ,

∀ a > 0 y a ≠ 1

Para resolver ecuaciones

exponenciales vamos a tener en

cuenta las propiedades de los

logarítmos:

Para resolver ecuaciones

exponenciales vamos a tener en

cuenta las propiedades de los

logarítmos:

Propiedades de los logarítmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Propiedades de los logarítmos

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

Ejemplo:

¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación?log 2 + log (11 – x2) = 2 log (5 – x)

log [2.(11 – x2)] = log (5 – x)2

Solución:

[2.(11 – x2)] = (5 – x)2

22 – 2x2 = 25 – 10x + x2

3x2– 10x + 3 = 0

Verificación:11 – x2 > 0 y 5 – x > 011 – 32 > 0 y 5 – 3 > 0

2 > 0 y 2 > 0

11 – x2 > 0 y 5 – x > 011 – (1/3)2 > 0 y 5 – (1/3) > 0

98/9 > 0 y 14/3 > 0x1 = 3 y x2 = 1/3