Pitágoras de SamosNació : hacia el 569 a.C. en Samos, Jonia.

Murió : hacia el 475 a.C. en Metaponto (Lucania, Sur de Italia)

 

Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los filósofos jónicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Posiblemente llegó a conocer a Tales, aunque no se sabe con certeza. Viajó por Babilonia y Egipto, y posiblemente también por la India. Durante estos viajes tuvo la oportunidad de conocer las matemáticas y la astronomía de estos pueblos, siendo influido también por las creencias de tipo religioso. Cuando regresa a Samos la isla está gobernada por el tirano Policrates. Su espiritu libre no acepta aquello y decide emigrar a Crotona, en la Magna Grecia, hoy sur de Italia (530 a. de C.). Allí funda una escuela o comunidad, considerada como algunos como una secta, con propósitos religiosos, políticos y filosóficos que alcanzó gran renombre y expansión. Su influencia política provocó levantamientos contra ellos, por lo que Pitágoras se vió obligado a huir a Tarento. Un año más tarde muere en Metaponto.

La comunidad pitagórica tenía unas creencias muy particulares, y se regía por unas normas muy estrictas. Una de sus doctrinas era la de la metempsicosis o transmigración de las almas, que consistía básicamente en que el alma era eterna y se reencarnaba en diferentes cuerpos a lo largo de sucesivas vidas hasta conseguir la perfecta purificación o catársis. Por este motivo tenían prohibido comer carne, ya que cualquier animal podía ser la reencarnación de un familiar o amigo fallecido. Desde el punto de vista moral, su objetivo era seguir el camino de la purificación que lleva a la

catársis. Este fin se alcanzaría mediante el conocimiento de la filosofía y las matemáticas. Entre los alumnos de la escuela se distinguían los acusmáticos (oyentes) a los que les imponía silencio y una rigurosa disciplina de aprendizaje, y los matemáticos a los que se les permitía hacer preguntas y penetrar en las más profundas enseñanzas de la escuela. Un punto fundamental para entender la filosofía pitagórica es su conocido lema, que en palabras de Filolao dice así:

"Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido ni conocido"

A partir de aquí, desarrollaron la teoría de que en el universo todo está armoniosamente ordenado (cosmos) y por lo tanto, puede ser explicado a través de las matemáticas. Fueron los primeros en entender la actividad matemática como una búsqueda de la sabiduría, independiente de las necesidades de la vida práctica, y en plantearse la necesidad de estructurarla y discutir sus principios. En palabras de Proclo:

" ...transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de una forma inmaterial e intelectual"

Entre los avances realizados por los pitagóricos en el campo de las matemáticas, cabe destacar la demostración del conocido y por siempre famoso teorema de Pitágoras, y el descubrimiento de los números irracionales.

 

El teorema de Pitágoras

Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.

Figura 1

Figura 2

En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 se descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pegueño. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquí obtenemos que (a+b)2= c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2 = c2+2ab, y simplificando a2+b2 = c2. (q.e.d.)

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes. El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triángulo rectángulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...

Plimpton 322

 

Existe una cantidad muy numerosa de demostraciones del teorema de Pitágoras, pero quizás la más famosa es la que aparece en "Los Elementos" de Euclides. La idea es dividir el cuadrado mayor en dos partes de forma que cada parte sea igual al área de uno de los cuadrados pequeños. Demostraremos primero que el área del rectángulo amarillo (A'A''BM) es igual al área del cuadrado amarillo (ABPQ). Comencemos viendo que los triángulos ABM y CBP son congruentes (iguales). Esto es cierto porque:

a) Los ángulos obtusos de ABM y CBP son iguales.b) El lado AB de ABM es igual al lado BP de CBPc) El lado BM de ABM es igual al lado CB de CBP

Es decir, los triángulos tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido.

Ahora bien, el triángulo ABM tiene un área igual a la mitad de la del rectángulo amarillo (A'A''BM) porque tienen la misma base y altura (para verlo tomar BM como base). Asimismo, el área del triángulo CBP es la mitad de la del cuadrado amarillo (ABPQ) por la misma razón (tomar BP como base). Como los dos triángulos son iguales, el rectángulo y el cuadrado también lo son. De forma análoga se procede con el rectángulo y el cuadrado de la izquierda y el teorema queda demostrado.

 

Los números irracionales

Los pitagóricos creían que todas las magnitudes que existían eran conmensurables; es decir, que dadas dos magnitudes cualesquiera había una unidad común que medía a cada una de ellas un número entero de veces. Esto es lo mismo que decir que dados dos segmentos, la longitud de uno de ellos debía ser igual que la del otro multiplicada por un número racional. Los números irracionales no eran conocidos y, más todavía, según las teorías de aquella época no podían existir. Así que cuando se intento medir la diagonal de un cuadrado de radio 1, se llegó a algo sorprendente. Utilizando el teorema de Pitágoras, llegamos a que la diagonal d del cuadrado es tal que d2=2. Como d tiene que poder expresarse como a/b entonces d2=2=a2/b2. Multiplicando por b2 obtenemos que a2=2b2. Descomponiendo a y b en factores primos y sustituyendo en a2=2b2, observamos que el número de factores 2 en el miembro de la izquierda es par, mientras que en el miembro de la derecha es impar. Esto contradice el teorema fundamental de la aritmética, que afirma que la descomposición en factores primos de un número es única. Concluimos entonces que d no puede ser racional. Este hecho representó un duro golpe para los pitagóricos ya que echaba por tierra una de sus creencias más firmes. Además muchos de sus resultados estaban basados en el hecho de que cualquier par de magnitudes eran conmensurables. Más tarde esos mismos resultados serían demostrados por otros matemáticos siguiendo caminos alternativos (puede verse en los Elementos de Euclides por ejemplo).

 

Articulo elaborado por José María Gómez.