Задача: Ако са дадени два подобни триъгълника, в които са

построени:

а) ъглополовящи на съответни ъгли;

б) медиани към съответни страни;

в) височини към съответни страни.

Да се докаже подобност на така получени триъгълници.

A

C

BM L H A1 B1

C1

M1 L1 H1

А

В

С

А1 В1

С1

L

L1

а)Доказателство:

Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СL и С1L1 са

ъглополовящи. Разглеждаме ∆АСL и ∆А1С1L1.

111111

111 LCAACLLACCAL

LCААСL∆∆⇒

∠=∠∠=∠

~

1111 CA

AC

LC

CL =

А В

С

А1 В1

С1

М

М1

б)Доказателство:

Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СМ и С1М1 са медиани. Разглеждаме

∆АСМ и ∆А1С1М1. Но АВ=2АМ и А1В1=2А1М1

1111 CA

AC

MА

АМ =

111

1111

111

CMAAMCMA

AM

CA

ACMACСАМ

∆∆⇒

=

∠=∠~

1111 CA

AC

MC

CМ =

А В

С

А1В1

С1

НН1

в)Доказателство:

Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини.

Разглеждаме ∆АНС и ∆А1Н1С1.

111

111

0111 90

CHAAHCHACCAH

CНААНС∆∆⇒

∠=∠=∠=∠

~

1111 CA

AC

НC

CН =

Теорема1. Отсечки в подобни триъгълници

Ако два триъгълника са подобни, то:

съответните височини

съответните ъглополовящи

съответните медиани

се отнасят тъй както съответните страни.

ka

a

m

m

l

l

h

h ====1111

Теорема 2. Радиуси на окръжности в подобни триъгълници Ако два триъгълника са подобни, то: отношението на радиусите на описаните окръжности; отношението на радиусите на вписаните окръжности; е равно на отношението на съответните страни.

А В

С

А1 В1

С1

kc

c

r

r

R

R ===111

Задача 2. В равнобедрен триъгълник АВС(АС=ВС) допирателната към вписаната окръжност, успоредна на АВ, пресича АС и ВС съответно в точки M и N. Да се намери височената към основата, ако радиусите на окръжностите, вписани в ∆АВС и ∆MNC са съответно 3cm и 1cm.

А В

С

М N

r

r1

H

P

Решение:

Разглеждаме ∆АВС и ∆МNС. Нека r и r1 са радиусите на вписаните окръжности, а височината СН – h .

( )( ) ABCMNC

ABIIMNCABCMN

общACBMCN∆∆⇒

∠=∠∠=∠

~

От свойствата на височините и радиусите в подобни триъгълници получаваме:

h

rh

r

r

CH

CP

r

rABCMNC

211 −=⇒=⇒∆∆ ~

Откъдето . Следователно височината е 9 cm.92

182

1

2

==⇒−

= hrr

rh

Задача 3. В триъгълника АВС точките А1,В1,С1 са среди на страните ВС,СА и АВ. Да се изрази лицето на ∆А1В1С1 чрез лицето S на ∆АВС.

А В

С

А1В1

С1

Решение:

Знаем, че ∆А1В1С1 ~ ∆АВС и 2

111 ==AB

BAk

Следователно SSkS CBA 4

12

111==

Теорема 3. Лица на подобни триъгълници Ако два триъгълника са подобни, то отношението на лицата им е равно на квадрата на коефициента на подобност.

АВ

С

А1 В1

С1

Н

Н1

Доказателство:

Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини и АВ: A1B1=k

kBA

AB

HC

CH ==1111

Тогава

И следователно АВ=kA1B1, CH=kC1H1

2

1111

1111

11111

.2

1

.21

.2

1

.2

1

111

kHCBA

HkCBkA

HCBA

CHAB

S

S

S

S

СВА

ABC

==

===

Задача 4: Ако лицата на два подобни триъгълника са 9 cm2 и16 cm2, то

какъв е коефициентът на подобност? / Устно/

S=9cm2 S=16 cm2

A B

C

A1 B1

C1

Практическа задача:

Височината на рекламното пано в момента е 1/6 от височината на

сградата. За да се вижда по-добре, то трябва да се уголеми.

Колко материал е необходим за новата реклама, ако за изработване

на старата са изразходвани 3 кв. м.?

ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА

Задача 2. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1. ВС:B1C1=1:3. Намерете радиуса на описаната около ∆A1B1C1 окръжност, ако радиуса на описаната окръжност ∆АВС около е 6 cm.

Задача 3. Дадени са два подобни триъгълника. Периметърът на единия е два пъти по-голям от периметъра на другия, а сборът от квадратите на дължините на две съответни ъглополовящи е 125. Намерете тези ъглополовящи.

Задача 4. Две съответни страни в подобни триъгълници са 8 и 12, а сборът от лицата им е 52. Намерете лицата на подобните триъгълници.

Задача 1. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1. Периметърът на триъгълника АВС е пет пъти по-голям от периметъра на A1B1C1. Намерете медианата през върха А на ∆АВС, ако медианата през върха A1на ∆A1B1C1 е 10 cm.