Poisson

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Questão 65 (FUB/2015 - Cespe | Cebraspe)

Uma repartição pública recebe diariamente uma quantidade X de requerimentosadministrativos e uma quantidade Y de recursos administrativos. Essasquantidades seguem distribuições de Poisson com taxas, respectivamente, iguais a`n15 requerimentos por dia e `n4 recursos por dia.Considerando que, nessa situação hipotética, as variáveis aleatórias X e Y sejamindependentes e que S = X + Y , julgue os seguintes itens.

61 Em determinado dia, a probabilidade de não haver recebimento derequerimento administrativo nessa repartição será inferior a 0, 08.

62 A variância da distribuição de Y é igual a `n4.

63 É correto a�rmar que P (S = 0) > 0, 02.

64 A moda da distribuição da quantidade de recursos administrativos é igual azero.

65 A variável aleatória S segue uma distribuição de Poisson.

66 O valor esperado da variável aleatória S é igual a `n60.


Uma repartição pública recebe diariamente uma quantidade X de requerimentosadministrativos e uma quantidade Y de recursos administrativos. Essasquantidades seguem distribuições de Poisson com taxas, respectivamente, iguais a`n15 requerimentos por dia e `n4 recursos por dia.

Considerando que, nessa situação hipotética, as variáveis aleatórias X e Y sejamindependentes e que S = X + Y , julgue os seguintes itens.































































Resolução

Para �ns didáticos, vamos provar este fato usando Função Geratriz de Momentos.Sabemos que:

� X ∼ Poisson(λ)⇒ P (X = x) = λx e−λ

x! , x = 0, 1, 2, . . .

� Y ∼ Poisson(θ)⇒ P (Y = y) = θy e−θ

y! , y = 0, 1, 2, . . .

Para a distribuição de Poisson, sua F.G.M é dada por:

MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x

x!= e−λ×eλet = exp [λ exp(t)− λ]

Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX)

=∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =

∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!=

e−λ∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =

∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x

x!=

e−λ×eλet = exp [λ exp(t)− λ]

Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =

∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x

x!= e−λ×eλet

= exp [λ exp(t)− λ]

Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =

∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução



x! , x = 0, 1, 2, . . .


y! , y = 0, 1, 2, . . .


MX(t) = E(etX) =

∞∑x=0

etx×λx e−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x


Onde exp (t) = et

Resolução

A F.G.M da soma de S = X + Y , onde X e Y são variáveis independentes comdistribuição de Poisson será dada por:

MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)

= exp [λ exp(t)− λ]× exp [θ exp(t)− θ]= exp [(λ+ θ) exp(t)− (λ+ θ)]

Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2, . . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)

ResoluçãoA F.G.M da soma de S = X + Y , onde X e Y são variáveis independentes comdistribuição de Poisson será dada por:

MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]

= E[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)

= exp [λ exp(t)− λ]× exp [θ exp(t)− θ]

= exp [(λ+ θ) exp(t)− (λ+ θ)]


Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).

Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2, . . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn

de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2, . . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas,

com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2, . . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1,

λ2, . . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2,

. . . , λn, teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)


Conclusão S ∼ Poisson(λ+ θ).Generalizando: Dada uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Poisson eparâmetros λ1, λ2, . . . , λn,

teremos que

Sn =n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)


MS(t) = E[et(X+Y )

]= E

[etX × etY

]= E

[etX]× E

[etY]

= MX(t)×MY (t)



Sn =

n∑i=1

Xi ∼ Poisson

(n∑i=1

λi

)

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